Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Современная наука, будучи частью культуры, также не является однородной. Она прежде всего подразделяется на гуманитарные и естественнонаучные отрасли, сообразно тому в области общественного сознания или общественного бытия лежит предмет их исследования. В нашей дисциплине будут рассматриваться основные концепции, выработанные современными естественными науками.

Е стественные науки различаются по степени общности в зависимости от предмета их изучения . Так, пожалуй, наибольшей степенью общности на сегодняшний день обладает математика — наука о соотношениях. Все, к чему можно применить понятия: больше, меньше, равно, не равно, относится к области применимости математики. Поэтому использование математических методов стало неотъемлемой частью методологии большинства прикладных наук.

Огромной степенью общности обладает физика — наука о движении. Движение является необходимым атрибутом материи. Оно пронизывает все стороны общественного бытия и находит отражение в общественном сознании. Поэтому разработки, созданные физикой, оказываются полезными далеко за пределами традиционной области их применения.

Возьмем, к примеру, экономику капиталистического общества. Значительнейшую роль в ней играет движение капитала и товара. Товар, созданный производителем, движется к потребителю, в то время, как его денежный эквивалент совершает обратное движение.

Физике хорошо известны подобные системы с качественным преобразованием движения и наличием обратной связи между их элементами. Типичным примером такой системы является, например, колебательный контур, состоящий из конденсатора, катушки индуктивности и сопротивления (резистора), включенных последовательно. Подобные системы хорошо описываются математическими уравнениями, имеющими два вида решения: колебательный, — если уровень обратной связи высок и релаксационный, — если в цепь обратной связи внесено достаточное затухание. Это затухание определяется величиной энергии, рассеиваемой в цепи обратной связи.

Капитализм стадии первоначального накопления, подробно описанный К. Марксом в его знаменитой работе “Капитал”, обладал значительным уровнем обратной связи, что должно было приводить к колебательным процессам в экономике. Действительно, для такого капитализма характерными были кризисы перепроизводства. Из-за возможности кризисов капитализм объявлялся “загнивающим”.

Анализ кризисов, произведенный в основном в США, привел экономистов к выводу о том, что следует внести элемент рассеяния в цепь товарно-денежного движения.

Рассеивать можно товар. Такие попытки предпринимались в США в период так называемой Великой депрессии. Пшеницу топили в Гудзоновом заливе, апельсины жгли в паровозных топках. Уничтожение материальных ценностей, безусловно, снижает размах колебаний товарно-денежного потока. Однако в целом оно невыгодно обществу.

Более удачным оказалось рассеяние денег. Оно выражается в виде дефицита платежного баланса. Проще говоря, все общество начинает жить в долг. В результате такого рассеяния кризисы перепроизводства в современной капиталистической экономике исчезли.

После выхода на арену нефтяных арабских стран, не охваченных механизмом рассеяния товарно-денежной массы, капиталистический мир снова залихорадило. Однако дипломатические усилия и международные экономические санкции позволили ввести экономику этих стран в общую схему платежного дефицита. После этого в капиталистическом мире снова наступила сравнительная стабильность.

Следующей по степени общности предмета является химия — наука о строении вещества и его преобразовании. Она обслуживается физикой и математикой как вспомогательными инструментами. Химия имеет четко определенную и весьма обширную область применения.

Область применения биологии еще более ограничена, но, конечно, отнюдь не менее важна. Это наука о живом. Ее понимания требует глубоких познаний в области математики, физики, химии. Чтобы осознать всю глубину проблем, стоящих перед биологией, помыслите на досуге о том, чем же живое отличается от неживого.

Химия и биология замечательны тем, что они выработали и развили концепцию классификации. Помимо химии и биологии она широко применяется в вычислительной математике и представляет несомненный интерес для изучающих экономику.

Кроме перечисленных фундаментальных естественных наук имеется еще большое количество прикладных наук. Например, геология и география — науки о Земле и ее устройстве. Анатомия и физиология изучают биологические особенности человека. На сегодняшний день очень популярны так называемые пограничные научные дисциплины. Как говорили раньше: “Дисциплины, возникающие на стыке наук”. Это биофизика, биохимия, физическая химия, математическая физика и т. д. Особую роль среди них играет современная экология — наука, призванная решать глобальную экологическую проблему, созданную человечеством буквально в последние десятилетия.

Еще в конце прошлого столетия Земля была в основном аграрной планетой со сравнительно небольшим количеством городов и низким уровнем индустриального производства. Сельское хозяйство было практически безотходным. Для примера поезжайте в современную деревню (я не имею в виду дачные поселки). Там вы, как правило, не обнаружите свалки. Предметы, входящие в крестьянский обиход, практически полностью и без остатка утилизируются.

Совершенно иная картина наблюдается в городах. Человечество подошло к той черте, начиная с которой оно может быть задавлено отходами собственной жизнедеятельности, в первую очередь бытовым мусором и отходами современного химического и перерабатывающего производства. Общая для так называемых развитых стран тенденция к вытеснению вредных производств в слаборазвитые страны (в том числе и Россию) не спасает положения. Решение может быть найдено только объединенными усилиями всего человечества.

Система естественно-научных знаний

Естествознание является одной из составляющих системы современного научного знания, включающей также комплексы технических и гуманитарных наук. Естествознание представляет собой эволюционирующую систему упорядоченных сведений о закономерностях движения материи.

Объектами исследования отдельных естественных наук, совокупность которых еще в начале XX в. носила название естественной истории, со времени их зарождения и до наших дней были и остаются: материя, жизнь, человек, Земля, Вселенная. Соответственно современное естествознание группирует основные естественные науки следующим образом:

• физика, химия, физическая химия;
• биология, ботаника, зоология;
• анатомия, физиология, генетика (учение о наследственности);
• геология, минералогия, палеонтология, метеорология, физическая география;
• астрономия, космология, астрофизика, астрохимия.

Конечно же, здесь перечислены лишь основные естественные , на самом же деле современное естествознание представляет собой сложный и разветвленный комплекс, включающий сотни научных дисциплин. Одна только физика объединяет целое семейство наук (механика, термодинамика, оптика, электродинамика и т. д.). По мере роста объема научного знания отдельные разделы наук приобрели статус научных дисциплин со своим понятийным аппаратом, специфическими методами исследования, что зачастую делает их трудно доступными для специалистов, занимающихся другими разделами той же, скажем, физики.

Подобная дифференциация в естественных науках (как, впрочем, и в науке вообще) является естественным и неизбежным следствием всё более сужающейся специализации.

Вместе с тем также естественным образом в развитии науки происходят встречные процессы, в частности складываются и оформляются естественно-научные дисциплины, как часто говорят, «на стыках» наук: химическая физика, биохимия, биофизика, биогеохимия и многие другие. В результате границы, некогда определившиеся между отдельными научными дисциплинами и их разделами, становятся весьма условными, подвижными и, можно сказать, прозрачными.

Эти процессы, приводящие, с одной стороны, к дальнейшему росту количества научных дисциплин, но с другой — к их сближению и взаимопроникновению, являются одним из свидетельств интеграции естественных наук, отражающей общую тенденцию в современной науке.

Именно здесь, пожалуй, уместно обратиться к такой занимающей, безусловно, особое место научной дисциплине, как математика, которая является инструментом исследования и универсальным языком не только естественных наук, но и многих других — тех, в которых можно усмотреть количественные закономерности.

В зависимости от методов, лежащих в основе исследований, можно говорить о естественных науках:

• описательных (исследующих фактические данные и связи между ними);
• точных (строящих математические модели для выражения установленных фактов и связей, т. е. закономерностей);
• прикладных (использующих систематику и модели описательных и точных естественных наук для освоения и преобразования природы).

Тем не менее, общим родовым признаком всех наук, изучающих природу и технику, является сознательная деятельность профессиональных работников науки, направленная на описание, объяснение и предсказание поведения исследуемых объектов и характера изучаемых явлений. Гуманитарные же науки отличаются тем, что объяснение и предсказание явлений (событий) опирается, как правило, не на объяснение, а на понимание реальности.

В этом состоит принципиальное различие между науками, имеющими объекты исследования, допускающие систематическое наблюдение, многократную опытную проверку и воспроизводимые эксперименты, и науками, изучающими по сути уникальные, неповторяющиеся ситуации, не допускающие, как правило, точного повторения опыта, проведения более одного раза какого-либо эксперимента.

Современная культура стремится преодолеть дифференциацию познания на множество самостоятельных направлений и дисциплин, в первую очередь раскол между естественными и гуманитарными науками, явно обозначившийся в конце XIX в. Ведь мир един во всем своем бесконечном многообразии, поэтому относительно самостоятельные области единой системы человеческого знания органически взаимосвязаны; различие здесь преходяще, единство абсолютно.

В наши дни явно наметилась интеграция естественнонаучного знания, которая проявляется во многих формах и становится наиболее выраженной тенденцией его развития. Всё в большей степени эта тенденция проявляется и во взаимодействии естественных наук с науками гуманитарными. Свидетельством этому является выдвижение на передний фронт современной науки принципов системности, самоорганизации и глобального эволюционизма, открывающих возможность объединения самых разнообразных научных знаний в цельную и последовательную систему, объединяемую общими закономерностями эволюции объектов различной природы.

Есть все основания полагать, что мы являемся свидетелями всё большего сближения и взаимной интеграции естественных и гуманитарных наук. Подтверждением тому служит широкое использование в гуманитарных исследованиях не только технических средств и информационных технологий, применяемых в естественных и технических науках, но и общенаучных методов исследования, выработанных в процессе развития естествознания.

Предметом настоящего курса являются концепции, относящиеся к формам существования и движения живой и неживой материи, в то время как законы, определяющие ход социальных явлений, являются предметом гуманитарных наук. Следует, однако, иметь в виду, что, как бы ни различались между собой естественные и гуманитарные науки, они обладают общеродовым единством, каковым является логика науки. Именно подчинение этой логике делает науку сферой человеческой деятельности, направленной на выявление и теоретическую систематизацию объективных знаний о действительности.

Естественно-научная картина мира создается и видоизменяется учеными разных национальностей, среди которых и убежденные атеисты, и верующие различных вероисповеданий и конфессий. Однако в своей профессиональной деятельности все они исходят из того, что мир материален, т. е. существует объективно вне зависимости от изучающих его людей. Заметим, однако, что сам процесс познания может оказывать влияние на изучаемые объекты материального мира и на то, как представляет их себе человек в зависимости от уровня развития средств исследования. Кроме того, каждый ученый исходит из того, что мир принципиально познаваем.

Процесс научного познания — это поиск истины. Однако абсолютная истина в науке непостижима, и с каждым шагом по пути познания она отодвигается дальше и глубже. Таким образом, на каждом этапе познания ученые устанавливают относительную истину, понимая, что на следующем этапе будет достигнуто знание более точное, в большей степени адекватное реальности. И это еще одно свидетельство того, что процесс познания объективен и неисчерпаем.

Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.

С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:

Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.

Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.

Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α. Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:

Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:

На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.

Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:

Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:

В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:

Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.

Практическое применение теоремы

Задание 1 . Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.

Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:

Задание 2 . Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.

В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.

Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.

По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:

В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.

Теорема синусов

Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:

Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.

Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.

Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB). В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α. На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:

sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,

Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:

Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.

Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.

Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр BD для описанной окружности. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).

Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).

Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin(π − α) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.

Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.

2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

Теорема синусов доказана.

Теорема синусов

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение .

Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
где R - радиус описанной окружности

Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов" .

Задача

В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м

Решение .
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:

• синус 30 градусов равен sin(30) = 1 / 2
• синус 90 градусов равен sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 м

Ответ : 0,8 м или 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Теорема синусов (часть 2)

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .

Теорию подробно см. в главе "Теорема синусов" .

Задача

Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС.

Решение .
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Таким образом
BC / sin α = AB / sin γ

Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам.
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов.

Откуда:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см

Ответ : 16 / √2

Задача .
В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника.
Найти АН

При изучении треугольников невольно встаёт вопрос о вычислении зависимости между их сторонами и углами. В геометрии и синусов дает наиболее полный ответ для решения этой проблемы. В изобилии различных математических выражений и формул, законов, теорем и правил встречаются такие, что отличаются необычайной гармоничностью, лаконичностью и простотой подачи заключённого в них смысла. Теорема синусов является ярким примером подобной математической формулировки. Если в словесной трактовке ещё и возникает определённое препятствие в осмыслении данного математического правила, то при взгляде на математическую формулу всё сразу становится на свои места.

Первые сведения о данной теореме были обнаружены в виде доказательства её в рамках математического труда Насир ад-Дин Ат-Туси, датированного тринадцатым веком.

Приближаясь ближе к рассмотрению соотношения сторон и углов в любом треугольнике, стоит отметить, что теорема синусов позволяет решать массу математических задач, при этом данный закон геометрии находит себе применение в различных видах практической деятельности человека.

Сама теорема синусов гласит, что для любого треугольника характерна пропорциональность сторон к синусам противоположных углов. Также имеется и вторая часть этой теоремы, согласно которой отношение любой стороны треугольника к синусу противоположного угла равно описанной около рассматриваемого треугольника.

В виде формулы это выражение выглядит, как

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Имеет теорема синусов доказательство, которое в различных вариантах учебников предлагается в богатом разнообразии версий.

Для примера рассмотрим одно из доказательств, дающих объяснение первой части теоремы. Для этого зададимся целью доказать верность выражения a sinC = c sinA.

В произвольном треугольнике ABC построим высоту BH. В одном из вариантов построения H будет лежать на отрезке AC, а в другом за его пределами, в зависимости от величины углов при вершинах треугольников. В первом случае высоту можно выразить через углы и стороны треугольника, как BH = a sinC и BH = c sinA, что и является требуемым доказательством.

В случае, когда точка H окажется за пределами отрезка AC, можем получить следующие варианты решений:

ВН = a sinC и ВН = c sin(180-A)= c sinA;

либо ВН = a sin(180-C) = а sinC и ВН = c sinA.

Как видим, в независимости от вариантов построения, мы приходим к желаемому результату.

Доказательство второй части теоремы потребует от нас описать вокруг треугольника окружность. Через одну из высот треугольника, к примеру B, построим диаметр круга. Полученную точку на окружности D соединим с одной из высотой треугольника, пусть это будет точка A треугольника.

Если рассмотреть полученные треугольники ABD и ABC, то можно заметить равенство углов C и D (они опираются на одну дугу). А учитывая, что угол А равен девяносто градусов то sin D = c/2R, или же sin C = c/2R, что и требовалось доказать.

Теорема синусов является отправной точкой для решения широкого спектра различных задач. Особая привлекательность заключается в практическом её применении, как следствие из теоремы мы получаем возможность связать между собой величины сторон треугольника, противолежащих углов и радиуса (диаметра) описанной вокруг треугольника окружности. Простота и доступность формулы, описывающей данное математическое выражение, позволяли широко использовать эту теорему для решения задач при помощи различных механических счётных приспособлений таблицы и пр.), но даже приход на службу человека мощных вычислительных устройств не снизил актуальность данной теоремы.

Эта теорема не только входит в обязательный курс геометрии средней школы, но и в дальнейшем применяется в некоторых отраслях практической деятельности.