Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Предположим, что необходимо дать среднестатистический прогноз путевого расхода топлива автомобиля. Для этого имеется возможность воспользоваться множественным регрессионным анализом (на основе анализа параметров большого числа автомобилей) для оценки расхода топлива Q [л/100 км], с использованием следующих переменных (параметров):

m 1 – Объем двигателя автомобиля [см 3 ];
m 2 – Масса автомобиля [кГ];
m 3 – Тип привода, определяемый числом ведущих колес ;
m 4 – Мощность двигателя [л.с.].

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (m 1 , m 2 , m 3 и m 4 ) и зависимой переменной (Q ), то есть расходом топлива. Исходные данные показаны на рисунке.

Настройки для решения поставленной задачи показаны на рисунке окна "Регрессия". Результаты расчетов размещены на отдельном листе в таблице 6 .

В итоге получена следующая математическая модель:

Q = -0,002159246·x 1 + 0,001581937·x 2 + 1,987200675·x 3 + 0,078512695·x 4 - 4,428016498

Теперь можно определить примерный расход топлива у легкового автомобиля с бензиновым двигателем и колесной формулой 4 × 4, если известно, что двигатель автомобиля имеет объем 2700 см 3 , его масса составляет 1950 кг, автомобиль имеет полный привод на колеса – 4 ведущих колеса, мощность двигателя составляет 163 л.с., используя следующую формулу:

Q = -0,002159246·2700 - 0,001581937·1950 + 1,987200675·4 + 0,078512695·163 - 4,428016498

Решив это уравнение, получаем расход топлива у данного автомобиля: Q = 13,57 л/100 км.

В регрессионном анализе наиболее важными результатами являются:

· коэффициенты при переменных и Y-пересечение, являющиеся искомыми параметрами модели;

· множественный коэффициент R, характеризующий точность

модели для имеющихся исходных данных;

· F-критерий Фишера (в рассмотренном примере он значительно превосходит критическое значение, равное 3,54868E-09);

· t-статистика – величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели.

На t-статистике следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет ли тот или иной фактор Х на Y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. Приближенную оценку можно сделать так: если при n>>k величина t-статистики по абсолютному значению существенно больше трех, соответствующий коэффициент следует считать значимым, а фактор включить в модель. В противном случае его необходимо исключить из модели. Таким образом, можно предложить технологию построения регрессионной модели, состоящую из двух этапов:

1) обработать пакетом "Регрессия" все имеющиеся данные, проанализировать значения t-статистики;

2) удалить из таблицы исходных данных столбцы с теми факторами, для которых коэффициенты незначимы, и обработать пакетом "Регрессия" новую таблицу.

Для примера рассмотрим переменную m 4 . В справочнике по математической статистике t-критическое с (n-k-1) = 15-5-1=9 степенями свободы и доверительной вероятностью 0,95 равно 2,26. Поскольку абсолютная величина t, равная 4,17 больше, чем 2,26, мощность двигателя - это важная переменная для оценки расхода топлива. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t-значения для каждой из независимых переменных:

Из таблицы видно, что значения «Мощности двигателя – m 4 » и «Типа привода – m 3 » имеют абсолютную величину большую, чем 2,26 следовательно, эти переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания путевого расхода топлива автомобиля. А такие значения как «Масса автомобиля – m 2 » и «Объем двигателя – m 1 » имеют абсолютную величину меньшую чем 2,26. Следовательно, эти переменные, использованные в уравнении регрессии, необходимо исключить из модели. Это позволит повысить качество предсказания путевого расхода топлива автомобиля.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется научным исследованием;

2. Что является объектом научного исследования. Приведите примеры;

3. Что включает структура объекта научного исследования;

4. Формулирование цели и постановка задач научного исследования. Приведите примеры;

5. Какие виды научных исследований Вы знаете. Поясните их суть, достоинства и недостатки;

6. Структура экспериментального научного исследования;

7. Какие методики включает в себя экспериментальное научное исследование;

8. Поясните цель и содержание методики планирования экспериментального исследования;

9. Как определить объем выборки методом проверки статистических гипотез;

10. Устройство и тестовые возможности стендов с беговыми барабанами в процессе экспериментальных исследований на автомобильном транспорте;

11. Устройство и тестовые возможности стендов для исследования характеристик шин;

12. Устройство и тестовые возможности стендов для задания тестовых режимов при исследовании автомобильного двигателя;

13. Структура аналитического научного исследования на автомобильном транспорте;

14. Какое оборудование для задания тестовых режимов объектам исследования на автомобильном транспорте Вы знаете;

15. Как устанавливаются причинно-следственные связи на структурной схеме объекта исследования;

16. Как разрабатывается математическая модель исследуемого процесса;

17. Как осуществляется проверка адекватности и настройка математической модели;

18. Какие вопросы позволяет решать регрессионный анализ в процессе научных исследований на автомобильном транспорте;

19. Как построить модель множественной регрессии в среде MIKROSOFT EXCEL.

20. Начертите схему и поясните суть измерения сил тензометрическим методом;

21. Начертите схему и поясните суть измерения давления;

22. Начертите схему и поясните суть измерения моментов силы тензометрическим методом;

23. Как калибруется система измерения сил;

24. Начертите схему и поясните суть измерения интервалов времени цифровым методом;

25. Начертите схему и поясните суть измерения скорости вращения;

26. Начертите схему и поясните суть измерения угла поворота вала;

27. Начертите схему и поясните суть измерения угла поворота коленчатого вала двигателя;

28. Начертите схему и поясните суть измерения температуры при помощи сопротивле­ния термопреобразователя;

29. Начертите схему и поясните суть измерения температуры при помощи термоэлектрического преобразователя (термопары);

30. Анализ температурных полей при помощи тепловизора;

31. Начертите схему и поясните суть стробоскопического метода измерения угла опережения зажигания;

32. Начертите схему и поясните суть гироскопического метода измерения углов;

33. Начертите схему и поясните работу расходомера топлива ротационного типа;

34. Начертите схему и поясните работу расходомера топлива объемного типа;

35. Начертите схему расходомера топлива объемного типа и поясните принцип его работы при измерении «мгновенного» и «путевого» расхода топлива;

36. Как осуществляется тарировка расходомера топлива;

37. Дайте определения понятию «абсолютная погрешность измерения». Как она определяется;

38. Дайте определения понятию «относительная погрешность измерения». Как она определяется;

39. Погрешности измерений. Как определяются абсолютная и относительная погрешности измерения силы тензометрическим методом;

40. Какое оборудование для визуализации результатов измерений Вы знаете;

41. Как устроен и как работает электронно-лучевой осциллограф;

42. Как осуществляется калибровка вертикальной шкалы электронно-лучевого осциллографа;

43. Как осуществляется калибровка горизонтальной шкалы электронно-лучевого осциллографа;

44. Аналого-цифровое преобразование. Приведите схему процесса и дайте пояснение;

45. Поясните метод кодирования чисел в виде сочетания нулей и единиц. Дайте определение понятию «логический ноль» и «логическая единица»;

46. Как строится гистограмма и кривая распределения случайной величины;

47. Как осуществляется обработка результатов измерений;

48. Как осуществляется анализ результатов экспериментального исследования;

49. Как выполняется аппроксимация данных функции с использованием метода наименьших квадратов;

50. Как аппроксимировать результаты экспериментального исследования в среде MIKROSOFT EXCEL. Дайте определение понятию «аппроксимация»;

51. Поясните суть коэффициента достоверности аппроксимации R 2 ;

52. Перечислите статистические характеристики случайной величины.

Список основной литературы:

1. Диагностика автомобиля: Учебник для вузов. // Федотов А.И., Изд-во ИрГТУ, Иркутск. 2012. 463 с. Ил. 273. Табл. 22. Библиограф.: 64 назв.

2. Электрические измерения физических величин: Методы измерения: Учебное пособие для вузов // С.А.Спектор., : Л. Энергоатомиздат. Ленинградское отделение,1987.- 320 с.

3. Основы технологии полигонных испытаний и сертификация автомобилей // Безверхий С.Ф., Яценко Н.Н., М.: ИПК Издательство стандартов, 1996. – 600

4. Прочность и долговечность автомобиля // Под общей ред. Б.В. Гольда, М., Машиностроение, 1974. 328 с., ил.

5. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ // Петрович М.Л., Давидович М.И. - М.: Финансы и статистика,1989. -191 с.: ил. (Мат. обеспечение прикладной статистики).

6. Методы оптимизации. Вводный курс // Банди Б.: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1988. – 128 с.: ил.

7. Методы оптимизации в технической диагностике машин // Харазов А.М., Цвид С.Ф. М.: Машиностроение, 1983. – 132 с., ил.

8. Планирование эксперимента и анализ данных // Монтгомери Д., Пер. с англ. – Л.: Судостроение, 1980. – 384 с., ил.

9. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях // Грановский В.А., Сирая Т.Н., Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. – 288 с.: ил.

10. Шор. Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Госэнергоиздат, 1962, с. 552, С. 92-98.

Список дополнительной литературы:

11. Диагностическое обеспечение технического обслуживания и ремонта автомобилей: Справ. пособие. – М.: Высш. шк., 1990. – 208 с.: ил.

12. Испытание автомобилей // Учебник для машиностроительных техникумов по специальности «Автомобилестроение» / Балабин И.В., Куров Б.А., Лаптев С.А. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1988. – 192 с.: ил.

13. Технологическое оборудование для технического обслуживания и ремонта легковых автомобилей: Справочник/ Р.А. Попржедзинский, А.М. Харазов и др. – М.: Транспорт, 1988. – 176 с., ил., табл.

14. Измерения в электро- и радиотехнике: Учеб. Пособие. для средн. проф.-техн. училищ. – М.: Выс. шк., 1984. – 207 с., ил.

Тема 1. Методологические основы научного познания и творчества …………
Формулирование цели и постановка задач исследования….………………………
Тема 2. Теоретические и эмпирические методы исследования…………………………
Тема 3.Методика планирования экспериментального исследования …………………..
Тема 4.Оборудование для задания тестовых режимов…………………………………..
Тема 5.Измерительные приборы и системы, используемые при проведении научных исследований ………………………………………………..……………………………….
Измерение сил с помощью тензорезисторного моста …………………………………
Измерение крутящего момента ……………………………………………………………….
Тарировка тензометрических измерителей силовых параметров ……………………….
Тарировка тензометрических измерителей крутящего момента ……………….……
Измерение давления …………………………………………………………….……………………
Измерение интервалов времени …………….…………………………….……………………
Измерение скорости вращения ……………………………………….…………………….
Измерение угла поворота вала ………………………………………………………………….
Измерение скорости вращения коленчатого вала………………………………………….
Измерение температуры………………………………………………….……………………. .
Термопреобразователи сопротивле­ния………………………………………………….……
Термоэлектрические преобразователи………………………………………………….………
Анализ температурных полей………………………………………………….…………………
Стробоскопический метод измерения угла опережения зажигания………….………
Гироскопический метод измерения углов………………………………….………………….
Измерение расхода топлива расходомером ротационного типа……………….……...
Измерение расхода топлива расходомером поршневого типа ………………….…….
Измерение мгновенного расхода топлива.………………………………….………………
Измерение путевого расхода топлива.……………………………… ….……………………
Тарировка расходомеров топлива.………………………………………………………………
Тема 6.Оборудование для визуализации результатов измерений ……………………….
Тема 7.Аналого-цифровое преобразование измеряемых сигналов …………………….
Метрологические характеристики аналого-цифрового преобразования …………...
ТЕМА 8. Теория и методология научно-технического творчества …………………..
Прикладные методы математической обработки экспериментальных данных …….
ТЕМА 9. Аналитические научные исследования на автомобильном транспорте …….
Проверка адекватности математической модели …………………….……………….….
Тема10. Аппроксимация данных с использованием метода наименьших квадратов
Построение трендовых моделей при помощи диаграмм ………………………………..
Коэффициент достоверности аппроксимации R 2 ……………………………………………..
Тема11. Регрессионный анализ ………………………………………………………………..
Контрольные вопросы ……………………………………………………………………………….
Список литературы……………………………………………………………………………………
Оглавление

Федотов Александр Иванович

ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Учебно-методическое пособие

для студентов вузов, обучающихся по профилю «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», направления подготовки 190600.62 эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, квалификации – «магистр», а также 190600.68 степени - «магистр»

Подписано в печать 2015. Формат 60х84 1/16

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,25

Уч.- изд. л. 5,9 Тираж 200 экз. Зак

ИД № 06506 от 26.12.2001

Вопросы:

4. Оценка параметров линейной модели множественной регрессии.

5. Оценка качества множественной линейной регрессии.

6. Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей.

Множественная регрессия является обобщением парной регрессии. Она используется для описания зависимости между объясняемой (зависимой) переменой У и объясняющими (независимыми) переменными Х 1 ,Х 2 ,…,Х k . Множественная регрессия может быть как линейная, так и нелинейная, но наибольшее распространение в экономике получила линейная множественная регрессия.

Теоретическая линейная модель множественной регрессии имеет вид:

соответствующую выборочную регрессию обозначим:

Как и в парной регрессии случайный член ε должен удовлетворять основным предположениям регрессионного анализа. Тогда с помощью МНК получают наилучшие несмещенные и эффективные оценки параметров теоретической регрессии. Кроме того переменные Х 1 ,Х 2 ,…,Х k должны быть некоррелированы (линейно независимы) друг с другом. Для того, чтобы записать формулы для оценки коэффициентов регрессии (2), полученные на основе МНК, введем следующие обозначения:

Тогда можно записать в векторно-матричной форме теоретическую модель:

и выборочную регрессию

МНК приводит к следующей формуле для оценки вектора коэффициентов выборочной регрессии:

(3)

Для оценки коэффициентов множественной линейной регрессии с двумя независимыми переменными , можно решить систему уравнений:

(4)

Как и в парной линейной регрессии для множественной регрессии рассчитывается стандартная ошибка регрессии S:

(5)

и стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

(6)

значимость коэффициентов проверяется с помощью t-критерия.

имеющего распространение Стьюдента с числом степеней свободы v= n-k-1.

Для оценки качества регрессии используется коэффициент (индекс) детерминации:

, (8)

чем ближе к 1, тем выше качество регрессии.

Для проверки значимости коэффициента детерминации используется критерий Фишера или F- статистика.

(9)

с v 1 =k, v 2 =n-k-1 степенями свободы.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Для компенсации такого увеличения вводится скорректированный (или нормированный) коэффициент детерминации:

(10)

Если увеличение доли объясняемой регрессии при добавлении новой переменной мало, то может уменьшиться. Значит, добавлять новую переменную нецелесообразно.

Пример 4:

Пусть рассматривается зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников. Собраны статистические данные по 6 однотипным предприятиям. Данные в млн. ден. ед. приводятся в таблице 1.

Таблица 1

Построить двухфакторную линейную регрессию и оценить ее значимость. Введем обозначения:

Транспонируем матрицу Х:

Обращение этой матрицы:

таким образом зависимость прибыли от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников можно описать следующей регрессией:

Используя формулу (5), где k=2 рассчитаем стандартную ошибку регрессии S=0,636.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии рассчитаем, используя формулу (6):

Аналогично:

Проверим значимость коэффициентов регрессии а 1 , а 2 . посчитаем t расч.

Выберем уровень значимости , число степеней свободы

значит коэффициент а 1 значим.

Оценим значимость коэффициента а 2:

Коэффициент а 2 незначим.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (7) . Прибыль предприятия на 96% зависит от затрат на новое оборудование и технику и повышение квалификации на 4% от прочих и случайных факторов. Проверим значимость коэффициента детерминации. Рассчитаем F расч.:

т.о. коэффициент детерминации значим, уравнение регрессии значимо.

Большое значение в анализе на основе многофакторной регрессии имеет сравнение влияния факторов на зависимый показатель у. Коэффициенты регрессии для этой цели не используется, из-за различий единиц измерения и различной степени колеблемости. От этих недостатков свободные коэффициенты эластичности:

Эластичность показывает, на сколько процентов в среднем изменяется зависимый показатель у при изменении переменной на 1% при условии неизменности значений остальных переменных. Чем больше , тем больше влияние соответствующей переменной. Как и в парной регрессии для множественной регрессии различают точечный прогноз и интервальный прогноз. Точечный прогноз (число) получают при подстановке прогнозных значений независимых переменных в уравнение множественной регрессии. Обозначим через:

(12)

вектор прогнозных значений независимых переменных, тогда точечный прогноз

Стандартная ошибка предсказания в случае множественной регрессии определяется следующим образом:

(15)

Выберем уровень значимости α по таблице распределения Стьюдента. Для уровня значимости α и числа степеней свободы ν = n-k-1 найдем t кр. Тогда истинное значение у р с вероятностью 1- α попадает в интервал:

Тема 5:

Временные ряды.

Вопросы:

4. Основные понятия временных рядов.

5. Основная тенденция развития – тренд.

6. Построение аддитивной модели.

Временные ряды представляют собой совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Момент (или период) времени обозначают t, а значение показателя в момент времени обозначают у(t) и называют уровнем ряда .

Каждый уровень временного ряды формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно разделить на 3 группы:

Длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда – тренд T(t).

Кратковременные периодические факторы, формирующие сезонные колебания ряда S(t).

Случайны факторы, которые формируют случайные изменения уровней ряда ε(t).

Аддитивной моделью временного ряда называется модель, в которой каждый уровень ряда представлен суммой тренда, сезонной и случайной компоненты:

Мультипликативная модель – это модель, в которой каждый уровень ряда представляет собой произведение перечисленных компонент:

Выбор одной из моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если амплитуда возрастает, то мультипликативную модель.

Основная задача эконометрического анализа заключается в выявлении каждой из перечисленных компонент.

Основной тенденцией развития (трендом) называют плавное и устойчивое изменение уровней ряда во времени свободное от случайных и сезонных колебаний.

Задача выявления основных тенденций развития называется выравниванием временного ряда .

К методам выравнивания временного ряда относят:

1) метод укрупнения интервалов,

2) метод скользящей средней,

3) аналитическое выравнивание.

1) Укрупняются периоды времени, к которым относятся уровни ряда. Затем по укрупненным интервалам суммируются уровни ряда. Колебания в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются. Более четко обнаружится общая тенденция.

2) Для определения числа первых уровней ряда рассчитывается средняя величина. Затем рассчитывается средняя из такого же количества уровней ряда, начиная со второго уровня и т.д. средняя величина скользит по ряду динамики, продвигаясь на 1 срок (момент времени). Число уровней ряда, по которому рассчитывается средняя, может быть четным и нечетным. Для нечетного скользящую среднюю относят к середине периода скольжения. Для четного периода нахождение среднего значения не сопоставляют с определением t, а применяют процедуру центрирования, т.е. вычисляют среднее из двух последовательных скользящих средних.

3) Построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровня ряда от времени. Для построения трендов применяют следующие функции:

Параметры трендов определяются с помощью МНК. Выбор наилучшей функции осуществляется на основе коэффициента R 2 .

Построение аддитивной модели проведем на примере.

Пример 7:

Имеются поквартальные данные об объеме потребления электроэнергии в некотором районе за 4 года. Данные в млн. кВт в таблице 1.

Таблица 1

Построить модель временного ряда.

В этом примере в качестве независимой переменной рассматриваем номер квартала , а в качестве зависимой переменной y(t) потребление электроэнергии за квартал.

Из диаграммы рассеяния можно увидеть, что тенденция (тренд) носит линейный характер. Видно также наличие сезонных колебаний (период = 4) одинаковой амплитуды, поэтому будем строить аддитивную модель.

Построение модели включает следующие шаги:

1. Проведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней за 4 квартала и проведем центрирование:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени.

1.2. Разделив полученные суммы на, 4 найдем скользящие средние.

1.3. Приводим эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем среднее значение из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

2. Рассчитаем сезонную вариацию. Сезонная вариация (t) = y(t) – центрированная скользящая средняя. Построим таблицу 2 .

Таблица 2

Сквозной № квартала t	Потребление электроэнергии Y(t)	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
	6,0	-	-	-
	4,4	6,1	-	-
	5,0	6,4	6,25	-1,25
	9,0	6,5	6,45	2,55
	7,2	6,75	6,625	0,575
:	:	:	:	:
	6,6	8,35	8,375	-1,775
	7,0	-	-	-
	10,8	-	-	-

3. На основе сезонной вариации в таблице 3 рассчитывается сезонная компонента.

Показатели	Год	Номер квартала в году I II III IV
		-	-	-1,250	2,550
	0,575	-2,075	-1,100	2,700
	0,550	-2,025	-1,475	2,875
	0,675	-1,775	-	-
Итого		1,8	-5,875	-3,825	8,125	Сумма
Среднее		0,6	-1,958	-1,275	2,708	0,075
Сезонная компонента		0,581	-1,977	-1,294	2,690

4. Устраняем сезонную компоненту из исходных уровней ряда:

Вывод:

Аддитивная модель объясняет 98,4% общей вариации уровней исходного временного ряда.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером: прогнозирование объемов продаж компании OmniPower. Представьте себе, что вы - менеджер по маркетингу в крупной национальной сети бакалейных магазинов. В последние годы на рынке появились питательные батончики, содержащие большое количество жиров, углеводов и калорий. Они позволяют быстро восстановить запасы энергии, потраченной бегунами, альпинистами и другими спортсменами на изнурительных тренировках и соревнованиях. За последние годы объем продаж питательных батончиков резко вырос, и руководство компании OmniPower пришло к выводу, что этот сегмент рынка весьма перспективен. Прежде чем предлагать новый вид батончика на общенациональном рынке, компания хотела бы оценить влияние его стоимости и рекламных затрат на объем продаж. Для маркетингового исследования были отобраны 34 магазина. Вам необходимо создать регрессионную модель, позволяющую проанализировать данные, полученные в ходе исследования. Можно ли применить для этого модель простой линейной регрессии, рассмотренную в предыдущей заметке? Как ее следует изменить?

Модель множественной регрессии

Для маркетингового исследования в компании OmniPower была создана выборка, состоящая из 34 магазинов с приблизительно одинаковыми объемами продаж. Рассмотрим две независимые переменные - цена батончика OmniPower в центах (Х 1 ) и месячный бюджет рекламной кампании, проводимой в магазине, выраженный в долларах (Х 2 ). В этот бюджет входят расходы на оформление вывесок и витрин, а также на раздачу купонов и бесплатных образцов. Зависимая переменная Y представляет собой количество батончиков OmniPower, проданных за месяц (рис. 1).

Рис. 1. Месячный объем продажа батончиков OmniPower, их цена и расходы на рекламу

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Интерпретация регрессионных коэффициентов. Если в задаче исследуются несколько объясняющих переменных, модель простой линейной регрессии можно расширить, предполагая, что между откликом и каждой из независимых переменных существует линейная зависимость. Например, при наличии k объясняющих переменных модель множественной линейной регрессии принимает вид:

(1) Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + … + β k X ki + ε i

где β 0 - сдвиг, β 1 - наклон прямой Y , зависящей от переменной Х 1 , если переменные Х 2 , Х 3 , … , Х k являются константами, β 2 - наклон прямой Y , зависящей от переменной Х 2 , если переменные Х 1 , Х 3 , … , Х k являются константами, β k - наклон прямой Y , зависящей от переменной Х k , если переменные Х 1 , Х 2 , … , Х k-1 являются константами, ε i Y в i -м наблюдении.

В частности, модель множественной регрессии с двумя объясняющими переменными:

(2) Y i = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + ε i

где β 0 - сдвиг, β 1 - наклон прямой Y , зависящей от переменной Х 1 , если переменная Х 2 является константой, β 2 - наклон прямой Y , зависящей от переменной Х 2 , если переменная Х 1 является константой, ε i - случайная ошибка переменной Y в i -м наблюдении.

Сравним эту модель множественной линейной регрессии и модель простой линейной регрессии: Y i = β 0 + β 1 X i + ε i . В модели простой линейной регрессии наклон β 1 Y при изменении значения переменной X на единицу и не учитывает влияние других факторов. В модели множественной регрессии с двумя независимыми переменными (2) наклон β 1 представляет собой изменение среднего значения переменной Y при изменении значения переменной X 1 на единицу с учетом влияния переменной Х 2 . Эта величина называется коэффициентом чистой регрессии (или частной регрессии).

Как и в модели простой линейной регрессии, выборочные регрессионные коэффициенты b 0 , b 1 , и b 2 представляют собой оценки параметров соответствующей генеральной совокупности β 0 , β 1 и β 2 .

Уравнение множественной регрессии с двумя независимыми переменными:

(3) = b 0 + b 1 X 1 i + b 2 X 2 i

Для вычисления коэффициентов регрессии используется метод наименьших квадратов. В Excel можно воспользоваться Пакетом анализа , опцией Регрессия . В отличие от построения линейной регрессии, просто задайте в качестве Входного интервала Х область, включающую все независимые переменные (рис. 2). В нашем примере это $C$1:$D$35.

Рис. 2. Окно Регрессия Пакета анализа Excel

Результаты работы Пакета анализа представлены на рис. 3. Как видим, b 0 = 5 837,52, b 1 = –53,217 и b 2 = 3,163. Следовательно, = 5 837,52 –53,217 X 1 i + 3,163 X 2 i , где Ŷ i - предсказанный объем продаж питательных батончиков OmniPower в i -м магазине (штук), Х 1 i - цена батончика (в центах) в i -м магазине, Х 2i - ежемесячные затраты на рекламу в i -м магазине (в долларах).

Рис. 3. Множественная регрессия исследования объем продажа батончиков OmniPower

Выборочный наклон b 0 равен 5 837,52 и является оценкой среднего количества батончиков OmniPower, проданных за месяц при нулевой цене и отсутствии затрат на рекламу. Поскольку эти условия лишены смысла, в данной ситуации величина наклона b 0 не имеет разумной интерпретации.

Выборочный наклон b 1 равен –53,217. Это значит, что при заданном ежемесячном объеме затрат на рекламу увеличение цены батончика на один цент приведет к снижению ожидаемого объема продаж на 53,217 штук. Аналогично выборочный наклон b 2 , равный 3,613, означает, что при фиксированной цене увеличение ежемесячных рекламных затрат на один доллар сопровождается увеличением ожидаемого объема продаж батончиков на 3,613 шт. Эти оценки позволяют лучше понять влияние цены и рекламы на объем продаж. Например, при фиксированном объеме затрат на рекламу уменьшение цены батончика на 10 центов увеличит объем продаж на 532,173 шт., а при фиксированной цене батончика увеличение рекламных затрат на 100 долл. увеличит объем продаж на 361,31 шт.

Интерпретация наклонов в модели множественной регрессии. Коэффициенты в модели множественной регрессии называются коэффициентами чистой регрессии. Они оценивают среднее изменение отклика Y при изменении величины X на единицу, если все остальные объясняющие переменные «заморожены». Например, в задаче о батончиках OmniPower магазин с фиксированным объемом рекламных затрат за месяц продаст на 53,217 батончика меньше, если увеличит их стоимость на один цент. Возможна еще одна интерпретация этих коэффициентов. Представьте себе одинаковые магазины с одинаковым объемом затрат на рекламу. При уменьшении цены батончика на один цент объем продаж в этих магазинах увеличится на 53,217 батончика. Рассмотрим теперь два магазина, в которых батончики стоят одинаково, но затраты на рекламу отличаются. При увеличении этих затрат на один доллар объем продаж в этих магазинах увеличится на 3,613 штук. Как видим, разумная интерпретация наклонов возможна лишь при определенных ограничениях, наложенных на объясняющие переменные.

Предсказание значений зависимой переменной Y. Выяснив, что накопленные данные позволяют использовать модель множественной регрессии, мы можем прогнозировать ежемесячный объем продаж батончиков OmniPower и построить доверительные интервалы для среднего и предсказанного объемов продаж. Для того чтобы предсказать средний ежемесячный объем продаж батончиков OmniPower по цене 79 центов в магазине, расходующем на рекламу 400 долл. в месяц, следует применить уравнение множественной регрессии: Y = 5 837,53 – 53,2173*79 + 3,6131*400 = 3 079. Следовательно, ожидаемый объем продаж в магазинах, торгующих батончиками OmniPower по цене 79 центов и расходующих на рекламу 400 долл. в месяц, равен 3 079 шт.

Вычислив величину Y и оценив остатки, можно построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика. мы рассмотрели эту процедуру в рамках модели простой линейной регрессии. Однако построение аналогичных оценок для модели множественной регрессии сопряжено с большими вычислительными трудностями и здесь не приводится.

Коэффициент множественной смешанной корреляции. Напомним, что модель регрессии позволяет вычислить коэффициент смешанной корреляции r 2 . Поскольку в модели множественной регрессии существуют по крайней мере две объясняющие переменные, коэффициент множественной смешанной корреляции представляет собой долю вариации переменной Y , объясняемой заданным набором объясняющих переменных:

где SSR – сумма квадратов регрессии, SST – полная сумма квадратов.

Например, в задаче о продажах батончика OmniPower SSR = 39 472 731, SST = 52 093 677 и k = 2. Таким образом,

Это означает, что 75,8% вариации объемов продаж объясняется изменениями цен и колебаниями объемов затрат на рекламу.

Анализ остатков для модели множественной регрессии

Анализ остатков позволяет определить, можно ли применять модель множественной регрессии с двумя (или более) объясняющими переменными. Как правило, проводят следующие виды анализа остатков:

Первый график (рис. 4а) позволяет проанализировать распределение остатков в зависимости от предсказанных значений . Если величина остатков не зависит от предсказанных значений и принимает как положительные так и отрицательные значения (как в нашем пример), условие линейной зависимости переменной Y от обеих объясняющих переменных выполняется. К сожалению, в Пакете анализа этот график почему-то не создается. Можно в окне Регрессия (см. рис. 2) включить Остатки . Это позволит вывести таблицу с остатками, а уже по ней построить точечный график (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость остатков от предсказанного значения

Второй и третий график демонстрируют зависимость остатков от объясняющих переменных. Эти графики могут выявить квадратичный эффект. В этой ситуации необходимо добавить в модель множественной регрессии квадрат объясняющей переменной. Эти графики выводятся Пакетом анализа (см. рис. 2), если включить опцию График остатков (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость остатков от цены и затрат на рекламу

Проверка значимости модели множественной регрессии.

Убедившись с помощью анализа остатков, что модель линейной множественной регрессии является адекватной, можно определить, существует ли статистически значимая взаимосвязь между зависимой переменной и набором объясняющих переменных. Поскольку в модель входит несколько объясняющих переменных, нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = β 2 = … = β k = 0 (между откликом и объясняющими переменными нет линейной зависимости), Н 1: существует по крайней мере одно значение β j ≠ 0 (мжду откликом и хотя бы одной объясняющей переменной существует линейная зависимость).

Для проверки нулевой гипотезы применяется F -критерий – тестовая F -статистика равна среднему квадрату, обусловленному регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибок (MSE):

где F F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы, k – количество независимых переменных в регрессионной модели.

Решающее правило выглядит следующим образом: при уровне значимости α нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, если F > F U(k,n – k – 1) , в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется (рис. 6).

Рис. 6. Сводная таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициентов множественной регрессии

Сводная таблица дисперсионного анализа, заполненная с использованием Пакета анализа Excel при решении задачи о продажах батончиков OmniPower, показана на рис. 3 (см. область А10:F14). Если уровень значимости равен 0,05, критическое значение F -распределения с двумя и 31 степенями свободы F U(2,31) = F.ОБР(1-0,05;2;31) = равно 3,305 (рис. 7).

Рис. 7. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии при уровне значимости α = 0,05, с 2 и 31 степенями свободы

Как показано на рис. 3, F-статистика равна 48,477 > F U(2,31) = 3,305, а p -значение близко к 0,000 < 0,05. Следовательно, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, и объем продаж линейно связан хотя бы с одной из объясняющих переменных (ценой и/или затратами на рекламу).

Статистические выводы о генеральной совокупности коэффициентов регрессии

Чтобы выявить статистически значимую зависимость между переменными X и Y в модели простой линейной регрессии, была выполнена проверка гипотезы о наклоне. Кроме того, для оценки наклона генеральной совокупности был построен доверительный интервал (см. ).

Проверка гипотез. Для проверки гипотезы, утверждающей, что наклон генеральной совокупности β 1 , в модели простой линейной регрессии равен нулю, используется формула t = (b 1 – β 1)/S b 1 . Ее можно распространить на модель множественной регрессии:

где t – тестовая статистика, имеющая t -распределение с n – k – 1 степенями свободы, b j - наклон переменной х j по отношению к переменной Y , если все остальные объясняющие переменные являются константами, S bj – среднеквадратичная ошибка регрессионного коэффициента b j , k - количество объясняющих переменных в уравнении регрессии, β j - гипотетический наклон генеральной совокупности откликов j -й относительно переменной, когда все остальные переменные фиксированы.

На рис. 3 (нижняя таблица) показаны результаты применения t -критерия (полученные с помощью Пакета анализа ) для каждой из независимых переменных, включенных в регрессионную модель. Таким образом, если необходимо определить, оказывает ли переменная Х 2 (затраты на рекламу) существенное влияние на объем продаж при фиксированной цене батончика OmniPower, формулируются нулевая и альтернативная гипотезы: Н 0: β2 = 0, Н 1: β2 ≠ 0. В соответствии с формулой (6) получаем:

Если уровень значимости равен 0,05, критическими значениями t -распределения с 31 степенями свободы являются t L = СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;31) = –2,0395 и t U = СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;31) = 2,0395 (рис. 8). р -значение =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(5,27;31;ИСТИНА) и близко к 0,0000. На основании одного из неравенств t = 5,27 > 2,0395 или р = 0,0000 < 0,05 нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. Следовательно, при фиксированной цене батончика между переменной Х 2 (затраты на рекламу) и объемом продаж существует статистически значимая зависимость. Таким образом, существует чрезвычайно малая вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если между затратами на рекламу и объемами продаж нет линейной зависимости.

Рис. 8. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии при уровне значимости α = 0,05, с 31 степенью свободы

Проверка значимости конкретных коэффициентов регрессии фактически представляет собой проверку гипотезы о значимости конкретной переменной, включенной в регрессионную модель наряду с другими. Следовательно, t -критерий для проверки гипотезы о значимости регрессионного коэффициента эквивалентен проверке гипотезы о влиянии каждой из объясняющих переменных.

Доверительные интервалы. Вместо проверки гипотезы о наклоне генеральной совокупности можно оценить значение этого наклона. В модели множественной регрессии для построения доверительного интервала используется формула:

(7) b j ± t n – k –1 S bj

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы построить 95%-ный доверительный интервал, содержащий наклон генеральной совокупности β 1 (влияние цены X 1 на объем продаж Y при фиксированном объеме затрат на рекламу Х 2 ). По формуле (7) получаем: b 1 ± t n – k –1 S b 1 . Поскольку b 1 = –53,2173 (см. рис. 3), S b 1 = 6,8522, критическое значение t -статистики при 95%-ном доверительном уровне и 31 степени свободы t n – k –1 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;31) = 2,0395, получаем:

–53,2173 ± 2,0395*6,8522

–53,2173 ± 13,9752

–67,1925 ≤ β 1 ≤ –39,2421

Таким образом, учитывая эффект затрат на рекламу, можно утверждать, что при увеличении цены батончика на один цент объем продаж уменьшается на величину, которая колеблется от 39,2 до 67,2 шт. Существует 95%-ная вероятность, что этот интервал правильно оценивает зависимость между двумя переменными. Поскольку данный доверительный интервал не содержит нуля, можно утверждать, что регрессионный коэффициент β 1 имеет статистически значимое влияние на объем продаж.

Оценка значимости поясняющих переменных в модели множественной регрессии

В модель множественной регрессии следует включать только те объясняющие переменные, которые позволяют точно предсказать значение зависимой переменной. Если какая-либо из объясняющих переменных не соответствует этому требованию, ее нужно удалить из модели. В качестве альтернативного метода, позволяющего оценить вклад объясняющей переменной, как правило, применяется частный F -критерий. Он заключается в оценке изменения суммы квадратов регрессии после включения в модель очередной переменной. Новая переменная включается в модель лишь тогда, когда это приводит к значительному увеличению точности предсказания.

Для того чтобы применить частный F-критерий для решения задачи о продажах батончика OmniPower, необходимо оценить вклад переменной Х 2 (затраты на рекламу) после включения в модель переменной X 1 (цена батончика). Если в модель входят несколько поясняющих переменных, вклад объясняющей переменной х j можно определить, исключив ее из модели и оценив сумму квадратов регрессии (SSR), вычисленную по оставшимся переменным. Если в модель входят две переменные, вклад каждой из них определяется по формулам:

Оценка вклада переменной Х 1 Х 2 :

(8а) SSR(X 1 |Х 2) = SSR(X 1 и Х 2) – SSR(X 2)

Оценка вклада переменной Х 2 при условии, что в модель включена переменная Х 1 :

(8б) SSR(X 2 |Х 1) = SSR(X 1 и Х 2) – SSR(X 1)

Величины SSR(X 2) и SSR(X 1 ) соответственно представляют собой суммы квадратов регрессии, вычисленных только по одной из объясняемых переменных (рис. 9).

Рис. 9. Коэффициенты модели простой линейной регрессии, учитывающей: (а) объем продаж и цену батончика – SSR(X 1) ; (б) объем продаж и затраты на рекламу – SSR(X 2) (получены с помощью Пакета анализа Excel)

Нулевая и альтернативная гипотезы о вкладе переменной Х 1 формулируются следующим образом: Н 0 - включение переменной Х 1 не приводит к значительному увеличению точности модели, в которой учитывается переменная Х 2 ; Н 1 - включение переменной Х 1 приводит к значительному увеличению точности модели, в которой учтена переменная Х 2 . Статистика, положенная в основу частного F -критерия для двух переменных, вычисляется по формуле:

где MSE – дисперсия ошибки (остатка) для двух факторов одновременно. По определению F -статистика имеет F -распределение с одной и n –k–1 степенями свободы.

Итак, SSR(X 2) = 14 915 814 (рис. 9), SSR(X 1 и Х 2) = 39 472 731 (рис. 3, ячейка С12). Следовательно, по формуле (8а) получаем: SSR(X 1 |Х 2) = SSR(X 1 и Х 2) – SSR(X 2) = 39 472 731 – 14 915 814 = 24 556 917. Итак, для SSR(X 1 |Х 2) = 24 556 917 и MSE (X 1 и Х 2) = 407 127 (рис. 3, ячейка D13), используя формулу (9), получаем: F = 24 556 917 / 407 127 = 60,32. Если уровень значимости равен 0,05, то критическое значение F -распределения с одной и 31 степенями свободы =F.ОБР(0,95;1;31) = 4,16 (рис. 10).

Рис. 10. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 31 степенями свободы

Поскольку вычисленное значение F -статистики больше критического (60,32 > 4,17), гипотеза Н 0 отклоняется, следовательно, учет переменной Х 1 (цены) значительно улучшает модель регрессии, в которую уже включена переменная Х 2 (затраты на рекламу).

Аналогично можно оценить влияние переменной Х 2 (затраты на рекламу) на модель, в которую уже включена переменная Х 1 (цена). Проведите вычисления самостоятельно. Решающее условие приводит к тому, что 27,8 > 4,17, и следовательно, включение переменной Х 2 также приводит к значительному увеличению точности модели, в которой учитывается переменная Х 1 . Итак, включение каждой из переменных повышает точность модели. Следовательно, в модель множественной регрессии необходимо включить обе переменные: и цену, и затраты на рекламу.

Любопытно, что значение t -статистики, вычисленное по формуле (6), и значение частной F -статистики, заданной формулой (9), однозначно взаимосвязаны:

где а - количество степеней свободы.

Регрессионные модели с фиктивной переменной и эффекты взаимодействия

Обсуждая модели множественной регрессии, мы предполагали, что каждая независимая переменная является числовой. Однако во многих ситуациях в модель необходимо включать категорийные переменные. Например, в задаче о продажах батончиков OmniPower для предсказания среднемесячного объема продаж использовались цена и затраты на рекламу. Кроме этих числовых переменных, можно попытаться учесть в модели расположение товара внутри магазина (например, на витрине или нет). Для того чтобы учесть в регрессионной модели категорийные переменные, следует включить в нее фиктивные переменные. Например, если некая категорийная объясняющая переменная имеет две категории, для их представления достаточно одной фиктивной переменной X d : X d = 0, если наблюдение принадлежит первой категории, X d = 1, если наблюдение принадлежит второй категории.

Для иллюстрации фиктивных переменных рассмотрим модель для предсказания средней оценочной стоимости недвижимости на основе выборки, состоящей из 15 домов. В качестве объясняющих переменных выберем жилую площадь дома (тыс. кв. футов) и наличие камина (рис. 11). Фиктивная переменная Х 2 (наличие камина) определена следующим образом: Х 2 = 0, если камина в доме нет, Х 2 = 1, если в доме есть камин.

Рис. 11. Оценочная стоимость, предсказанная по жилой площади и наличию камина

Предположим, что наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади, одинаков у домов, имеющих камин и не имеющих его. Тогда модель множественной регрессии выглядит следующим образом:

Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + ε i

где Y i - оценочная стоимость i -гo дома, измеренная в тысячах долларов, β 0 - сдвиг отклика, X 1 i ,- жилая площадь i -гo дома, измеренная в тыс. кв. футов, β 1 - наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома при постоянном значении фиктивной переменной, X 1 i ,- фиктивная переменная, означающая наличие или отсутствие камина, β 1 - наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома при постоянном значении фиктивной переменной β 2 - эффект увеличения оценочной стоимости дома в зависимости от наличия камина при постоянной величине жилой площади, ε i – случайная ошибка оценочной стоимости i -гo дома. Результаты вычисления регрессионой модели представлены на рис. 12.

Рис. 12. Результаты вычисления регрессионой модели для оценочной стоимости домов; получены с помощью Пакета анализа в Excel; для расчета использована таблица, аналогичная рис. 11, с единственным изменением: «Да» заменены единицами, а «Нет» – нулями

В этой модели коэффициенты регрессии интерпретируются следующим образом:

1. Если фиктивная переменная имеет постоянное значение, увеличение жилой площади на 1000 кв. футов приводит к увеличению предсказанной средней оценочной стоимости на 16,2 тыс. долл.
2. Если жилая площадь постоянна, наличие камина увеличивает среднюю оценочную стоимость дома на 3,9 тыс. долл.

Обратите внимание (рис. 12), t -статистика, соответствующая жилой площади, равна 6,29, а р -значение почти равно нулю. В то же время t -статистика, соответствующая фиктивной переменной, равна 3,1, а p -значение – 0,009. Таким образом, каждая из этих двух переменных вносит существенный вклад в модель, если уровень значимости равен 0,01. Кроме того, коэффициент множественной смешанной корреляции означает, что 81,1% вариации оценочной стоимости объясняется изменчивостью жилой площади дома и наличием камина.

Эффект взаимодействия. Во всех регрессионных моделях, рассмотренных выше, считалось, что влияние отклика на объясняющую переменную является статистически независимым от влияния отклика на другие объясняющие переменные. Если это условие не выполняется, возникает взаимодействие между зависимыми переменными. Например, вполне вероятно, что реклама оказывает большое влияние на объем продаж товаров, имеющих низкую цену. Однако, если цена товара слишком высока, увеличение расходов на рекламу не может существенно повысить объем продаж. В этом случае наблюдается взаимодействие между ценой товара и затратами на его рекламу. Иначе говоря, нельзя делать общих утверждений о зависимости объема продаж от затрат на рекламу. Влияние рекламных расходов на объем продаж зависит от цены. Это влияние учитывается в модели множественной регрессии с помощью эффекта взаимодействия. Для иллюстрации этого понятия вернемся к задаче о стоимости домов.

В разработанной нами регрессионной модели предполагалось, что влияние размера дома на его стоимость не зависит от того, есть ли в доме камин. Иначе говоря, считалось, что наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома, одинаков у домов, имеющих камин и не имеющих его. Если эти наклоны отличаются друг от друга, между размером дома и наличием камина существует взаимодействие.

Проверка гипотезы о равенстве наклонов сводится к оценке вклада, который вносит в модель регрессии произведение объясняющей переменной X 1 и фиктивной переменной Х 2 . Если этот вклад является статистически значимым, исходную модель регрессии применять нельзя. Результаты регрессионного анализа, включающего переменные Х 1 , Х 2 и Х 3 = Х 1 *Х 2 приведены на рис. 13.

Рис. 13. Результаты, полученные с помощью Пакета анализа Excel для регрессионной модели, учитывающей жилую площадь, наличие камина и их взаимодействие

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу Н 0: β 3 = 0 и альтернативную гипотезу Н 1: β 3 ≠ 0, используя результаты, приведенные на рис. 13, обратим внимание на то, что t -статистика, соответствующая эффекту взаимодействия переменных, равна 1,48. Поскольку р -значение равно 0,166 > 0,05, нулевая гипотеза не отклоняется. Следовательно, взаимодействие переменных не имеет существенного влияния на модель регрессии, учитывающую жилую площадь и наличие камина.

Резюме. В заметке показано, как менеджер по маркетингу может применять множественный линейный анализ для предсказания объема продаж, зависящего от цены и затрат на рекламу. Рассмотрены различные модели множественной регрессии, включая квадратичные модели, модели с фиктивными переменными и модели с эффектами взаимодействия (рис. 14).

Рис. 14. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 873–936

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

		Количество уволившихся	Зарплата
			30000 рублей
			35000 рублей
			40000 рублей
			45000 рублей
			50000 рублей
			55000 рублей
			60000 рублей

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

	номер месяца	название месяца	цена товара N
			1750 рублей за тонну
			1755 рублей за тонну
			1767 рублей за тонну
			1760 рублей за тонну
			1770 рублей за тонну
			1790 рублей за тонну
			1810 рублей за тонну
			1840 рублей за тонну

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

Задачей множественной линейной регрессии является построение линейной модели связи между набором непрерывных предикторов и непрерывной зависимой переменной. Часто используется следующее регрессионное уравнение:

Здесь а i - регрессионные коэффициенты, b 0 - свободный член(если он используется), е - член, содержащий ошибку - по поводу него делаются различные предположения, которые, однако, чаще сводятся к нормальности распределения с нулевым вектором мат. ожидания и корреляционной матрицей .

Такой линейной моделью хорошо описываются многие задачи в различных предметных областях, например, экономике, промышленности, медицине. Это происходит потому, что некоторые задачи линейны по своей природе.

Приведем простой пример. Пусть требуется предсказать стоимость прокладки дороги по известным ее параметрам. При этом у нас есть данные о уже проложенных дорогах с указанием протяженности, глубины обсыпки, количества рабочего материала, числе рабочих и так далее.

Ясно, что стоимость дороги в итоге станет равной сумме стоимостей всех этих факторов в отдельности. Потребуется некоторое количество, например, щебня, с известной стоимостью за тонну, некоторое количество асфальта также с известной стоимостью.

Возможно, для прокладки придется вырубать лес, что также приведет к дополнительным затратам. Все это вместе даст стоимость создания дороги.

При этом в модель войдет свободный член, который, например, будет отвечать за организационные расходы (которые примерно одинаковы для всех строительно-монтажных работ данного уровня) или налоговые отчисления.

Ошибка будет включать в себя факторы, которые мы не учли при построении модели (например, погоду при строительстве - ее вообще учесть невозможно).

Пример: множественный регрессионный анализ

Для этого примера будут анализироваться несколько возможных корреляций уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, находящихся за чертой бедности. Следовательно мы будем считать переменную характерезующую процент семей, находящихся за чертой бедности, - зависимой переменной, а остальные переменные непрерывными предикторами.

Коэффициенты регрессии

Чтобы узнать, какая из независимых переменных делает больший вклад в предсказание уровня бедности, изучим стандартизованные коэффициенты (или Бета) регрессии.

Рис. 1. Оценки параметров коэффициентов регрессии.

Коэффициенты Бета это коэффициенты, которые вы бы получили, если бы привели все переменные к среднему 0 и стандартному отклонению 1. Следовательно величина этих Бета коэффициентов позволяет сравнивать относительный вклад каждой независимой переменной в зависимую переменную. Как видно из Таблицы, показанной выше, переменные изменения населения с 1960 года (POP_ CHING), процент населения, проживающего в деревне (PT_RURAL) и число людей, занятых в сельском хозяйстве (N_Empld) являются самыми главными предикторами уровня бедности, т.к. только они статистически значимы (их 95% доверительный интервал не включает в себя 0). Коэффициент регрессии изменения населения с 1960 года (Pop_Chng) отрицательный, следовательно, чем меньше возрастает численность населения, тем больше семей, которые живут за чертой бедности в соответствующем округе. Коэффициент регрессии для населения (%), проживающего в деревне (Pt_Rural) положительный, т.е., чем больше процент сельских жителей, тем больше уровень бедности.

Значимость эффектов предиктора

Просмотрим Таблицу с критериями значимости.

Рис. 2. Одновременные результаты для каждой заданной переменной.

Как показывает эта Таблица, статистически значимы только эффекты 2 переменных: изменение населения с 1960 года (Pop_Chng) и процент населения, проживающего в деревне (Pt_Rural), p < .05.

Анализ остатков. После подгонки уравнения регрессии, почти всегда нужно проверять предсказанные значения и остатки. Например, большие выбросы могут сильно исказить результаты и привести к ошибочным выводам.

Построчный график выбросов

Обычно необходимо проверять исходные или стандартизованные остатки на большие выбросы.

Рис. 3. Номера наблюдений и остатки.

Шкала вертикальной оси этого графика отложена по величине сигма, т.е., стандартного отклонения остатков. Если одно или несколько наблюдений не попадают в интервал ± 3 умноженное на сигма, то, возможно, стоит исключить эти наблюдения (это можно легко сделать через условия выбора наблюдений) и еще раз запустить анализ, чтобы убедится, что результаты не изменяются этими выбросами.

Расстояния Махаланобиса

Большинство статистических учебников уделяют много времени выбросам и остаткам относительно зависимой переменной. Тем не менее роль выбросов в предикторах часто остается не выявленной. На стороне переменной предиктора имеется список переменных, которые участвуют с различными весами (коэффициенты регрессии) в предсказании зависимой переменной. Можно считать независимые переменные многомерным пространством, в котором можно отложить любое наблюдение. Например, если у вас есть две независимых переменных с равными коэффициентами регрессии, то можно было бы построить диаграмму рассеяния этих двух переменных и поместить каждое наблюдение на этот график. Потом можно было отметить на этом графике среднее значение и вычислить расстояния от каждого наблюдения до этого среднего (так называемый центр тяжести) в двумерном пространстве. В этом и заключается основная идея вычисления расстояния Махаланобиса . Теперь посмотрим на гистограмму переменной изменения населения с 1960 года.

Рис. 4. Гистограмма распределения расстояний Махаланобиса.

Из графика следует, что есть один выброс на расстояниях Махаланобиса.

Рис. 5. Наблюдаемые, предсказанные и значения остатков.

Обратите внимание на то, что округ Shelby (в первой строке) выделяется на фоне остальных округов. Если посмотреть на исходные данные, то вы обнаружите, что в действительности округ Shelby имеет самое большое число людей, занятых в сельском хозяйстве (переменная N_Empld). Возможно, было бы разумным выразить в процентах, а не в абсолютных числах, и в этом случае расстояние Махаланобиса округа Shelby, вероятно, не будет таким большим на фоне других округов. Очевидно, что округ Shelby является выбросом .

Удаленные остатки

Другой очень важной статистикой, которая позволяет оценить серьезность проблемы выбросов, являются удаленные остатки . Это стандартизованные остатки для соответствующих наблюдений, которые получаются при удалении этого наблюдения из анализа. Помните, что процедура множественной регрессии подгоняет поверхность регрессии таким образом, чтобы показать взаимосвязь между зависимой и переменной и предиктором. Если одно наблюдение является выбросом (как округ Shelby), то существует тенденция к "оттягиванию" поверхности регрессии к этому выбросу. В результате, если соответствующее наблюдение удалить, будет получена другая поверхность (и Бета коэффициенты). Следовательно, если удаленные остатки очень сильно отличаются от стандартизованных остатков, то у вас будет повод считать, что регрессионный анализа серьезно искажен соответствующим наблюдением. В этом примере удаленные остатки для округа Shelby показывают, что это выброс, который серьезно искажает анализ. На диаграмме рассеяния явно виден выброс.

Рис. 6. Исходные остатки и Удаленные остатки переменной, означающей процент семей, проживающих ниже прожиточного минимума.

Большинство из них имеет более или менее ясные интерпретации, тем не менее обратимся к нормальным вероятностным графикам.

Как уже было упомянуто, множественная регрессия предполагает, что существует линейная взаимосвязь между переменными в уравнении и нормальное распределение остатков. Если эти предположения нарушены, то вывод может оказаться неточным. Нормальный вероятностный график остатков укажет вам, имеются ли серьезные нарушения этих предположений или нет.

Рис. 7. Нормальный вероятностный график; Исходные остатки.

Этот график был построен следующим образом. Вначале стандартизованные остатки ранжируюся по порядку. По этим рангам можно вычислить z значения (т.е. стандартные значения нормального распределения) на основе предположения, что данные подчиняются нормальному распределению. Эти z значения откладываются по оси y на графике.

Если наблюдаемые остатки (откладываемые по оси x) нормально распределены, то все значения легли бы на прямую линию на графике. На нашем графике все точки лежат очень близко относительно кривой. Если остатки не являются нормально распределенными, то они отклоняются от этой линии. Выбросы также становятся заметными на этом графике.

Если имеется потеря согласия и кажется, что данные образуют явную кривую (например, в форме буквы S) относительно линии, то зависимую переменную можно преобразовать некоторым способом (например, логарифмическое преобразование для "уменьшения" хвоста распределения и т.д.). Обсуждение этого метода находится за пределами этого примера (Neter, Wasserman, и Kutner, 1985, pp. 134-141, представлено обсуждение преобразований, убирающих ненормальность и нелинейность данных). Однако исследователи очень часто просто проводят анализ напрямую без проверки соответствующих предположений, что ведет к ошибочным выводам.