Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Графическое решение квадратного уравнения Закрепить умение строить графики различных функций; Формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом. г. Брдск 2009 Муниципальное общеобразовательное учреждение – Экономический лицей Обобщающий урок по теме «Квадратичная функция», алгебра 8 класс учитель Федосеева Т.М.

Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a"> 0 ветви вверх; a" title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a"> title="Построение графика квадратичной функции Определить направление ветвей: a>0 ветви вверх; a">

0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" class="link_thumb"> 3 Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x Решить уравнение х 2 +2х-3=0 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точки пересечения с осью ОХ: х 1 =-1; х 2 =3 1 способ решения уравнения х 2 -2х-3=0 y x 0 1 -4 23 Решить уравнение х 2 +2х-3=0"> 0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк" title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк"> title="Построим график функции у=х 2 -2х-3 с помощью алгоритма: 1) а=1>0 ветви направлены вверх; 2) вершина у о =у(1)=1-2-3=-4 А(1;-4) х=1 – ось параболы Контрольные точки: (0: -3), (3; 0) и им симметричные относительно оси х=1 Строим параболу. Находим точк">

Второй способ: а). Уравнение х 2 -2х-3=0 разобьём на части х 2 = 2х+3 Запишем две функции у= х 2 ; у=2х+3 Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0

Третий способ: х 2 -3 = 2х y= х 2 -3; y=2х Строим графики данных функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. 0 1 х у Решить уравнение х 2 +2х-3=0

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

Введение

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = kx + m , у = x 2,у = – x 2, в 8 классе – у = √ x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3, у = x 4,у = x 2n, у = x - 2n, у = 3√x , (x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , гдеk и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k ¹ 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция (x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 , где а , b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2 (a – x ) = x 2 (a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

/>Уравнение(x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 – y 2 ) . График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.

Кривая(x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x 3 – кубическая парабола, у = x 4, у = 1/ x 2.

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f (x ) , можно построить графики функций у = f (x + m ) ,у = f (x )+ l и у = f (x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f (x ) с помощью преобразования параллельного переноса: на │ m │ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │ l │ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

Находим координаты вершины параболы А (х0; у0): х =- b /2 a ;

y0=ахо2+вх0+с;

Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0);

PAGE_BREAK--

Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x 2 – 2 x – 3 . Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 – 2 x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 –3 и y =2 x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнениеx 2 – 2 x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = (x –1) 2 иy =4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравненияx 2 – 2 x – 3 = 0 на x , получим x – 2 – 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/ x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3 √ x = 10 – x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Ответ: x = 8.

Заключение

Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x 3, у = x 4,у = 3√x , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.