Определить критерием гурвица устойчивость системы. Критерии устойчивости: определение, виды. Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях
Критерий MAXIMAX не учитывает при принятии инвестиционного решения риска, связанного с неблагоприятным развитием внешней среды.
В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это правило называют ещё правилом оптимизма – пессимизма. Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:
а* = maxi [(1-α) minj Пji+ α maxj Пji]
где α- коэффициент оптимизма, α =1…0 при α =1 альтернатива выбирается по правилу максимакс, при α =0 – по правилу максимин. Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать α =0,3. Наибольшее значение целевой величины и определяет необходимую альтернативу.
Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.
Таким образом, при принятии управленческого решения в общем случае необходимо:
· спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;
· разработать список возможных альтернатив
· оценить окупаемость всех альтернатив;
· определить вероятность каждого условия;
· оценить альтернативы по выбранному критерию решения.
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица устанавливает баланс между критерием MAXIMIN и критерием MAXIMAX посредством выпуклой линейной комбинации. При использовании этого метода из всего множества ожидаемых сценариев развития событий в инвестиционном процессе выбираются два, при которых ИПj достигает минимальной и максимальной эффективности. Выбор оптимального ИП по показателю NPV осуществляется по формуле:
где - коэффициент пессимизма-оптимизма, который принимает значение в зависимости от отношения ЛПР к риску, от его склонности к оптимизму или к пессимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности λ = 0,5. При λ = 0 (точка Вальда) критерий Гурвица совпадает с максиминым критерием, при λ = 1 - с максимаксным критерием.
Общий недостаток рассмотренных выше методов теории игр состоит в том, что предполагается ограниченное количество сценариев развития (конечное множество состояний окружающей среды).
При выборе решения из двух крайностей, связанных с пессимистической стратегией по критерию Вальда и чрезмерным оптимизмом по критерию Сэвиджа можно выбрать некоторую промежуточную позицию, граница которой определяется показателем пессимизма-оптимизма х, находящимся в пределах 0 ≤ х ≤ 1. Такой критерий называется критерием Гурвица. Как частный случай при х=1 из него следует максиминный критерий Вальда, а при х=0 – минимаксный критерий Сэвиджа.
В соответствии с критерием Гурвица для каждой стратегии выбирается линейная сумма взвешенных минимального и максимального выигрышей по формуле:
где g ij – размер прибыли (убытков) от спроса (продаж) (табл. 1), i – строка, j – столбец.
Положим х=0,8 (близкий к пессимистическому критерий) и рассчитаем G i для трех стратегий S 1 , S 2 , S 3 по данным табл. 1
G 1 =0,8(1020)+(1-0,8)4200=1656 д.е.
G 2 =0,8(-60)+(1-0,8)6300=1212 д.е.
G 3 =0,8(-1140)+(1-0,8)8400=768 д.е.
Затем выбирается такая стратегия, для которой величина G i получается наибольшей, т.е. S i опт →G imax . В нашем примере G imax =G 1 , следовательно S опт =S 1 , т.е. как по критерию Вальда. Если выбрать х близким к нулю, то получим S опт =S 2 , т.е. как по критерию Сэвиджа.
В 1895 г. швейцарским ученым А. Гурвицем был предложен критерий, определяющий условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения системы для обеспечения отрицательности вещественных частей корней ее характеристического уравнения.
Приведем формулировку критерия Гурвица без доказательства. Так как характеристическое уравнение всегда может быть приведено к виду, когда а п > 0, то можно дать следующую формулировку критерия Гурвица.
Для того, чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными.
Если характеристическое уравнение системы я-го порядка имеет вид:
а п Х п + а я _ х я " х + ... + а } Х + я 0 =0,
то определитель Гурвица, составленный из коэффициентов характеристического уравнения, будет иметь вид:
а его диагональные миноры, определяемые из определителя Гурвица так, как показано в (6.8), будут иметь вид:
Для составления определителя Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения я-й степени целесообразно сначала выписать по главной диагонали определителя все коэффициента уравнения от я л _, до а 0 в порядке убывания индексов коэффициентов. Затем необходимо дополнить столбцы определителя вверх и вниз от элементов главной диагонали. При дополнении столбцов вверх следует вписать в столбец коэффициенты с последовательно убывающими индексами, а при дополнении вниз - коэф-
фициенты с последовательно возрастающими индексами. На место коэффициентов, индексы которых больше чем п и меньше чем нуль, необходимо поставить нули. Условия устойчивости системы порядка п по данному критерию запишутся в виде:
а п > 0; А, > 0; Д 2 > 0 ... Д > 0; Д„>0. (6.9)
Элементы последнего столбца определителя, за исключением нижнего, будут равны нулю. Поэтому он может быть представлен в следующем виде:
Так как для устойчивой системы Д„_, > 0, то условие Д„ > 0 сводится к условию а 0 > 0.
Для получения условий нахождения системы на границе устойчивости необходимо Д п приравнять нулю, т. е. Д„ =0, соблюдая при этом условие положительности всех остальных определителей (миноров). Но условие Д п =д 0 Д„_, =0 распадается на два условия:
а 0 = 0 (6.10)
А я _,=0. (6.11)
Условие (6.10) соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет нулевой корень (апериодическая граница устойчивости). Условие (6.11) соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница устойчивости).
Значения параметров систем управления, при которых система находится на границе устойчивости, будем называть критическими значениями параметров.
Рассмотрим определение условий устойчивости для систем 1-, 2- и 3-го порядков, используя критерий устойчивости Гурви-ца. При этом считаем, что характеристическое уравнение системы приведено к виду, когда а п > 0.
1. Система управления, движение которой описывается уравнением первого порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:
я,Х. + а 0 = 0.
Условия устойчивости:
д, > 0; Д, = д 0 > 0.
2. Система управления, движение которой описывается уравнением второго порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:
а 2 Х 2 + а{к + д 0 = 0; д 2 >0.
Условия устойчивости:
или д, д 0 > 0, но так как д, > 0, то для того чтобы Д2 = д, д 0 >0, необходимо, чтобы д 0 > 0.
Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости систем 1-го и 2-го порядков является положительность коэффициентов их характеристических уравнений, что подтверждает выводы, сделанные в предыдущем параграфе.
3. Система управления, движение которой описывается уравнением 3-го порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:
д 3 А 3 + а 2 Х 2 + д,^ + д 0 =0; д 3 > 0. Условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:
Д2 = Д 2 Д| - а ц а г >0» Д = о 0 а 2 > 0.
Так как Д 2 >0, то для выполнения последнего неравенства необходимо, чтобы д 0 > 0.
Окончательно условия устойчивости по критерию Гурвица для данной системы выглядят следующим образом:
д 3 > 0; д 2 > 0; д, > 0; д 0 > 0; д 2 д, >д 0 д 3 .
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод, что положительность коэффициентов является только необходимым, но недостаточным условием устойчивости для систем третьего и выше порядков.
Рассмотрим для примера исследование устойчивости системы управления, уравнение движения которой имеет вид:
0,001 + 0,18-Р + 0,97-^- + 1,8- + 50* =
0,0015^^ + 1,5- + 10#. сИ 1 сИ
Характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид:
0,001Х 4 + 0,18А 3 + 0,97А. 2 + 1,8А. + 50 = 0.
Все коэффициенты характеристического уравнения положительные, поэтому необходимое условие устойчивости выполняется.
Составляем определитель Гурвица по ранее изложенному правилу:
- 0,18 1,8 0 0
- 0,001 0,97 50 0
- 0 0,18 1,8 0
- 0 0,001 0,97 50
Условия устойчивости:
- 1) Д = 0,18 > 0;
- 0,18 1,8 0,001 0,97
- 2) Д 2 =
- 3) Д, =
0,18-0,97 - 1,8 -0,001 =0,1728 > 0;
0,18 1,8 0 0,001 0,97 50 0 0,18 1,8
1,8(0,18-0,97 - 0,001 - 1,8) -
0,18 2 50 = -1,31
Следовательно, исследуемая система неустойчивая.
Применение критерия устойчивости Гурвица ограничено рядом присущих ему недостатков. Во-первых, применение этого критерия требует знания всех коэффициентов характеристического уравнения системы, т. е. всех параметров системы, что крайне неудобно при экспериментальных исследованиях систем, так как обычно характеристики рассматриваемой системы определяются из испытаний разомкнутой системы. Во-вторых, критерий устойчивости Гурвица позволяет определить, устойчива система или нет, но не позволяет определить, как следует изменить параметры системы, чтобы сделать систему устойчивой, если она неустойчивая. И, наконец, применение критерия Гурвица для системы высокого порядка связано со значительными математическими трудностями, особенно, если необходимо получить буквенный результат. Значительными достоинствами по сравнению с этим критерием обладают частотные критерии устойчивости.
Контрольные вопросы
- 1. Записать условия устойчивости по Гурвицу в общем виде для систем 5-го порядка.
- 2. Определить критическое значение передаточного коэффициента системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
- -. Ответ: 1с п = 122,21.
- (0,5р + 1)(0,05р + 1)(0,005 + 1) р
- 3. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид: X 6 + 6А. 5 + 15Х 4 + 20А 3 + 5Х 2 + 6Х + 1 = 0. Ответ: система устойчивая.
Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y , где y - коэффициент доверия. Если результат h ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:
W = max[ y max+(1- y)min]
Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:
W = min[ y min+(1- y)max]
Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).
Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - y) и y , где 0Пример . Исходные данные:
| 8 | 4 | 6 | 20 |
| 7 | 7 | 7 | 7 |
| 6 | 12 | 8 | 10 |
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) |
| A 1 | 8 | 4 | 6 | 20 | 4 |
| A 2 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| A 3 | 6 | 12 | 8 | 10 | 6 |
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 8 - 8 = 0; r 21 = 8 - 7 = 1; r 31 = 8 - 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 12 - 4 = 8; r 22 = 12 - 7 = 5; r 32 = 12 - 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 6 = 2; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 20 - 20 = 0; r 24 = 20 - 7 = 13; r 34 = 20 - 10 = 10
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 |
| A 1 | 0 | 8 | 2 | 0 |
| A 2 | 1 | 5 | 1 | 13 |
| A 3 | 2 | 0 | 0 | 10 |
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | max(a ij) |
| A 1 | 0 | 8 | 2 | 0 | 8 |
| A 2 | 1 | 5 | 1 | 13 | 13 |
| A 3 | 2 | 0 | 0 | 10 | 10 |
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 4+(1-0.5) 20 = 12
s 2 = 0.5 7+(1-0.5) 7 = 7
s 3 = 0.5 6+(1-0.5) 12 = 9
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) | max(a ij) | y min(a ij) + (1-y)max(a ij) |
| A 1 | 8 | 4 | 6 | 20 | 4 | 20 | 12 |
| A 2 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| A 3 | 6 | 12 | 8 | 10 | 6 | 12 | 9 |
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица .
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ 1 =1-λ, λ2=λ3=…=λ n-1 =0, λ n =λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A i по Гурвицу есть:
G i =(1-λ)min a ij + λmax a ij
Оптимальной стратегией A i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста . λ выбирается из ус
Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.
Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде
Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.
Порядок построения определителя Гурвица.
1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).
2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.
3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.
4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.
5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).
Условие устойчивости по Гурвицу
Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.
Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.
Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.
Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнений первого порядка
условие устойчивости
а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).
2. Для уравнений второго порядка
,
условие устойчивости
а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.
Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
3. Для уравнений третьего порядка
условие устойчивости
а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.
Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.
Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.
Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.
Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.
Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.
Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:
Эта таблица составляется следующим образом.
Каждая строка дополняется коэффициентами
с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.
должны быть больше
нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.
Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:
т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.
Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).
Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.
порядка
Для этого уравнения критерий Гурвица дает
т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.
порядка
Для этого уравнения критерий Гурвица требует
Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
3. У р а в н е н и е третьего поря д к а
Для этого уравнения получаем условия
4. Уравнение четвертого порядка
На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия
пятого поря д к а
Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:
Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости но критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.
Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления. При этом в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.
Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:
Электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:
Так как цепь управления состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:
Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.
Характеристическое уравнение:
получаем
В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.
накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов
К неравенству
которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.
Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при
этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления к, при котором система еще остается устойчивой.
Измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным или др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика
Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчик угловой скорости (ДУС). Напряжение на его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае
суммируются:
И производной от отклонения (см. § 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства
