Однако на этом тема не заканчивается. У дисперсии есть различные полезные свойства, с которыми мы и познакомимся в данной заметке.

Дисперсия используется в самых разных формулах и методах анализа. Чтобы хорошо понимать глубинный смысл тех или иных формул, очень неплохо знать, как они образованы. Тогда и анализ данных будет гораздо интереснее и понятнее.

Итак, формула дисперсии имеет следующий вид:

Обозначения прежние:

D – дисперсия,

x – анализируемый показатель, с чертой сверху – среднее значение показателя,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Собственно, этот вид формулы напрямую отражает ее суть – средний квадрат отклонений. Но что здесь полезно отметить. В те времена, когда люди еще не имели ПЭВМ, расчеты приходилось делать на листе бумаги или в уме. Дело, конечно, полезное – мозги развивает, но не сильно способствует скорости и точности. Тем не менее, и сегодня можно столкнуться с необходимостью ручных расчетов и манипуляцией с формулой. В этом случае формулу дисперсии удобно представить в другом виде:

То есть как разницу между средним квадратом и квадратом средней исходных значений. Здесь нет непосредственно отклонений от средней арифметической, что делает формулу значительно проще. Убедимся, что обе формулы расчета дисперсии идентичны. Для этого запишем еще раз первоначальный вид.

Теперь, раскроем скобки.

Т.к. средняя арифметическая для заданного набора данных является величиной постоянной, то для удвоенного произведения можно применить :

Разделим каждое слагаемое числителя на n .

Последний штрих.

Все сошлось.

Предлагаю запомнить такую форму записи. Обязательно пригодиться.

В предыдущих публикациях ничего не было сказано о том, что по аналогии со средней арифметической дисперсия может быть простой и взвешенной. До сих пор мы рассматривали только простую дисперсию. Но если исходные данные сгруппированы, то веса нужны не только для расчета , но и для расчета дисперсии:

где f –веса (количество значений в группе).

Извлекая квадратный корень, получим взвешенное среднеквадратическое отклонение. Как и со средней арифметической, простую дисперсию можно считать частным случаем взвешенной, когда все веса равны единице.

Ничего сложного здесь нет – в числителе по-прежнему берется сумма всех отклонений, а не только уникальных, а в знаменателе – количество всех наблюдений, даже тех, которые повторяются.

Малоопытному аналитику часто трудно осознать, как наглядно представить дисперсию. Вот средняя – понятно, что-то в середине. Например, центр масс на рисунке из предыдущей статьи. На этом же рисунке можно рассмотреть и физический смысл дисперсии. Напомню, что мы берем спицу с нанизанными грузиками. Среднее арифметическое из расстояний от начала спицы до каждого из грузиков будет соответствовать точке равновесия. Однако есть еще одна важная физическая характеристика такой системы – момент инерции.

Наподобие того, как масса тела характеризует его инертность в поступательном движении, момент инерции имеет похожий смысл во вращательном движении. Например, автомобиль из-за своей массы (инертности) не может остановиться мгновенно (разве что во время краш-теста). Точно так трудно мгновенно остановить качели с людьми (типа лодочка в парке культуры и отдыха). Случай с автомобилем – поступательное движение, с качелями – вращательное. В отличие от инерции в поступательном движении момент инерции зависит не только от массы, но еще и от расстояния массы до точки вращения. Чем дальше тело от точки вращения, тем большим моментом инерции оно обладает. Длинное топорище позволят рубить дерево гораздо эффективнее, чем короткое. Вернемся к нашей картинке с грузиками на спице и добавим в нее несколько пояснений.

В такой системе момент инерции равен сумме произведений квадратов расстояний каждого грузика до точки равновесия и соответствующих масс. Формула момента инерции имеет следующий вид:

где m – масса отдельного грузика

Нетрудно заметить, расстояние грузиков до центра является одновременно и отклонением от средней. Масса грузиков в этом случае соответствует весу отклонения (в статистическом смысле). Отсюда легко увидеть, что момент инерции уравновешенной системы – это числитель дисперсии расстояний грузиков до центра масс. Чем дальше грузики от центра, тем больше момент инерции и, соответственно, дисперсия.

Свойства дисперсии

Как я уже не раз упоминал, сама по себе дисперсия – показатель малоинформативный. Дисперсию всегда с чем-то сравнивают и используются в других формулах. Отсюда очень важно знать ее математические свойства. Нижеследующее рекомендую прочитать вдумчиво и по возможности запомнить.

Для большей наглядности обозначим дисперсию как D(X) .

Свойство 1 . Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0 .

Оно и не удивительно – у постоянной величины нет отклонений.

Свойство 2 . Если случайную величину умножить на постоянную А , то дисперсия этой случайной величины увеличится в А 2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А 2 D(X) .

Данное свойство вполне очевидно, если вспомнить, что при расчете дисперсии отклонения от средней возводятся в квадрат.

Свойство 3 . Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A+X) = D(X) .

Это свойство также вполне понятно, т.к. все значения и их среднее увеличиваются на одну и ту же величину, и при взятии их разностей, величина А просто сокращается.

Свойство 4 . Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y) .

Учитывая второй способ расчета дисперсии (см. выше), а также математического ожидания, выводится довольно просто:

D(X+Y) = M(X+Y) 2 — (M(X+Y)) 2 = M(X) 2 + 2M(XY) + M(Y) 2 — (M(X)) 2 — 2M(XY) — (M(Y)) 2 =

= M(X) 2 — (M(X)) 2 + M(Y) 2 — (M(Y)) 2 = D(X) + D(Y) . Ч. т. д.

Свойство 5 . Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y) .

Здесь учитывается то, что дисперсия всегда положительна (все отклонения от средней возводятся в квадрат).

На этой радостной ноте и закончим заметку.

Всех благ. Приходите еще и приводите своих друзей.

Тема 8.12. Дисперсия случайной величины.

О. Дисперсия случайной величины - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

Свойства дисперсии.

Это свойство оставим без доказательства.

Биномиальный закон распределения.

Пусть заданы числа n принадлежит N и p (0 <p < 1). Тогда каждому целому числу из промежутка можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её B(бетта))

Будем говорить, что случайная величина распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в n повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью p .

Рассмотрим отдельное i - е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид

Закон распределения случайной величины рассматривался в предыдущей теме

Для i = 1,2, ... , n получаем систему из n независимых случайных величин, имеющих одинаковые законы распределения.

Пример.

Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр продукции не отвечает стандарту отношением р * = 4/20 = 0,2.

Так как х случайная величина, р * – тоже случайная величина. Значения р * могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание р * ? Поскольку х есть случайная величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, М( x ) = np . Для математического ожидания случайной величины р * по определению получаем: M (p *) = M(x/n) , но n здесь является константой, поэтому по свойству математического ожидания

M (p *) = 1/n*M(x)=1/n np=p

Таким образом, “ в среднем” получается истинное значение р , чего и следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является несмещённой оценкой для р . Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.

Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Многие случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание, но различные возможные значения. Поэтому одного математического ожидания недостаточно для характеристики случайной величины.

Пусть доходы Х и Y (в долларах) двух фирм заданы распределениями:

Иногда удобно пользоваться другой формулой, которую можно получить, если воспользоваться свойствами математического ожидания,

Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) сходится.

Неотрицательное число называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Оно имеет размерность случайной величины Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. Величину иногда называют стандартным отклонением.

Случайная величина называется центрированной , если . Случайная величина называется нормированной (стандартной), если .

Продолжим пример . Вычислим дисперсию доходов двух фирм:

Сравнивания дисперсии, видим, что доход второй фирмы варьирует больше, чем первой.

Свойства дисперсии .

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. , если константа. Это очевидно, так как постоянная величина имеет математическое ожидание, равное постоянной величине, т.е. .

2. Постоянный множитель C можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат.

Действительно,

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией, т.е.

Выражение называется ковариацией величин Х и Y (см. Тема 4, §2). Для независимых случайных величин ковариация равна нулю, т.е.

Используя это равенство, можно пополнить список свойств математического ожидания. Если случайные величины Х и Y независимы , то математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий, а именно:

Если случайная величина преобразована линейно, т.е. , то

.

Пример 1. Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и равна p . Чему равна дисперсия числа появлений события А в этих испытаниях?

Решение. Пусть – число появления события А в первом испытании, – число появления события А во втором испытании и т.д. Тогда общее число наступления события А в n испытаниях равно

Воспользовавшись свойством 3 дисперсии, получим

Здесь мы воспользовались тем, что , i = (см. примеры 1 и 2, п.3.3.1.).

Пример 2. Пусть Х – сумма вклада (в долларах) в банке – задана распределением вероятностей

Найти среднюю сумму вклада и дисперсию.

Решение. Средняя сумма вклада равна математическому ожиданию

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D(X) = 8196 – 7849,96 = 348,04 .

Среднее квадратическое отклонение

Моменты.

Для того, чтобы учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений случайной величины Х , которые велики, но имеют малую вероятность, целесообразно рассматривать математические ожидания целой положительной степени случайной величины.

1.Дисперсия постоянной C равна 0,DC = 0, С = const .

Доказательство . DC = M (С – MC ) 2 = М (С – С ) = 0.

2. D (CX ) = С 2 DX .

Доказательство. D (CX ) = M (CX ) 2 – M 2 (CX ) = C 2 MX 2 – C 2 (MX ) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X ) = С 2 DX .

3. В случае если X и Y – независимые случайные величины , то

Доказательство .

4. В случае если Х 1 , Х 2 , … не зависимы, то .

Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.

Доказательство . D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Доказательство . D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X–MX) 2 = DX.

Пусть – независимые случайные величины, причем, .

Составим новую случайную величину , найдем математическое ожидание и дисперсию Y .

; .

То есть при n ®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределœенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.

Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в базе закона больших чисел.

Свойства дисперсии - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Свойства дисперсии" 2017, 2018.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины D(X) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

1 свойство . Дисперсия постоянной величины C равна нулю; D(C) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии, D(C) = M{ 2 }.

Из первого свойства математического ожидания D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.

2 свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C 2 D(X)

Доказательство. По определению дисперсии, D(CX) = M{ 2 }

Из второго свойства математического ожидания D(CX)=M{ 2 }= C 2 M{ 2 }=C 2 D(X)

3 свойство. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D = D[X] + D.

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D(X + Y) = M[(X + Y) 2 ] − 2

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = {M(X2) − 2}+{M(Y2) − 2} = D(X) + D(Y). Итак, D(X + Y) = D(X) + D(Y)

4 свойство . Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X − Y) = D(X) + D(Y)

Доказательство. В силу третьего свойства D(X − Y) = D(X) + D(–Y). По второму свойству

D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) или D(X − Y) = D(X) + D(Y)

Числовые характеристики систем случайных величин. Коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции.

Корреляционный момент. Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется корреляционным моментом или ковариацией:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин – формулу:

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений величин:
- коэффициент корреляции;

Свойства коэффициента корреляции:

1. Если Х и У независимые случайные величины, то r =0;

2. -1≤ r ≤1 .При этом, если |r| =1, то между Х и У функциональная, а именно линейная зависимость;

3. r характеризует относительную величину отклонения М(ХУ) от М(Х)М(У), и т.к. отклонение имеет место только для зависимых величин, то rхарактеризует тесноту зависимости.

Линейная функция регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и У - зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря, невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X:

где α и β - параметры, подлежащие определению.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

где m x =M(X), m y =M(Y), σ x =√D(X), σ y =√D(Y), r=µ xy /(σ x σ y)-коэффициент корреляции величин X и Y.

Коэффициент β=rσ y /σ x называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X.

Неравенство Маркова.

Формулировка неравенства Маркова

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби , т.е.

а вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не превосходящее положительного числа А, не меньше , т.е.

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева . Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем 1 −D[X]ε 2

P(|X – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)ε 2

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств

P(|X−M(X)| < ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

P(|X – M(X)| < ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

P(|X – M(X)| < ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности P(|X –M(X)| ≥ ε).

Напишем выражение для дисперсии случайной величины X

D(X) = 2 p1 + 2 p 2 + . . . + 2 p n

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых |x i – M(X)| < ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D(X) ≥ 2 p k+1 + 2 p k+2 + . . . + 2 p n

Обе части неравенства |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x j – M(X)| 2 ≥ε 2 .Заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей

|x j – M(X)| 2 числом ε 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + . . . + p n)

По теореме сложения, сумма вероятностей p k+1 +p k+2 +. . .+p n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x k+1 +x k+2 +. . .+x n , а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x j – M(X)| ≥ ε. Отсюда следует, что сумма p k+1 + p k+2 + . . . + p n выражает вероятность

P(|X – M(X)| ≥ ε).

Это позволяет переписать неравенство для D(X) так

D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)

P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε 2

Окончательно получим

P(|X – M(X)| < ε) ≥D(X)/ε 2

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева . Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Доказательство . Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем

или, учитывая соотношение (1)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства:

(2)

Подставляя правую часть (2) в неравенство (1) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при n→∞, получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли . Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε - сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

Доказательство . Обозначим через X 1 дискретную случайную величину - число появлений события в первом испытании, через X 2 - во втором, ..., X n - в n -м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие A наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью .