Даны две коробки имеющие форму. Примеры решений задач по комбинаторике. Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Запомните, что объем прямоугольного параллелепипеда (или обычной коробки) равен произведению его длины, ширины и высоты. Если ваша коробка имеет прямоугольную или квадратную форму, то вам требуется лишь узнать ее длину, ширину и высоту. Для получения объема необходимо перемножить результаты замеров. Формула расчета в сокращенном виде нередко представляется следующим образом: V = Д x Ш x В.
Пример задачи: "Если длина коробки равна 10 см, ширина – 4 см, а высота – 5 см, то каков ее объем?"
V = Д x Ш x В
V = 10 см x 4 см x 5 см
V = 200 см 3
"Высота" коробки может упоминаться как "глубина". Например, в задаче могла быть указана следующая информация: "Длина коробки равна 10 см, ширина – 4 см, а глубина – 5 см."

2
Измерьте длину коробки. Если посмотреть на коробку сверху, то она предстанет перед вашими глазами в виде прямоугольника. Длиной коробки будет наиболее длинная сторона этого прямоугольника. Запишите результат замера данной стороны в качестве значения параметра "длина".
При выполнении замеров обязательно используйте единые единицы измерения. Если вы измерили одну сторону в сантиметрах, то и остальные стороны тоже необходимо измерить в сантиметрах.

3
Измерьте ширину коробки. Ширину коробки будет представлять другая, более короткая, сторона видимого сверху прямоугольника. Если визуально соединить измеряемые по длине и ширине стороны коробки, то они предстанут в виде буквы "Г". Запишите значение последнего замера в качестве "ширины".
Ширина – это всегда более короткая сторона коробки.

4
Измерьте высоту коробки. Это последний параметр, который вы еще не измерили. Он представляет собой расстояние от верхнего края коробки до нижнего. Запишите значение этого замера в качестве "высоты".
В зависимости от того, на какой бок вы положите коробку, конкретные стороны, которые вы обозначите "длиной", "шириной" или "высотой" могут быть различными. Тем не менее, это не имеет никакого значения, вам лишь необходимы результаты замеров трех разных сторон.

5
Перемножьте результаты трех замеров между собой. Как уже упоминалось, формула расчета объема выглядит следующим образом: V = Длина x Ширина x Высота; поэтому для получения объема необходимо просто перемножить все три стороны. Обязательно укажите в расчете использованные вами единицы измерения, чтобы не забыть, что именно означают полученные значения.

6
При обозначении единиц измерения объема не забудьте указать третью степень " 3 ". Рассчитанный объем имеет цифровое выражение, но без правильного указания единиц измерения ваши расчеты будут бессмысленны. Для корректного отражения единиц измерения объема их следует указать в кубе. Например, если все стороны были измерены в сантиметрах, то единицы измерения объема будут указаны как "см 3 ".
Пример задачи: "Если ящик имеет длину 2 м, ширину – 1 м, а высоту 3 м, то каков его объем? "
V = Д x Ш x В
V = 2 м x 1 м x 4 м
V = 8 м 3
Примечание: Указание кубических единиц объема позволяет понять, сколько таких кубов можно поместить внутрь коробки. Если обратиться к предыдущему примеру, то это означает, что в ящик помещается восемь кубических метров.

Расчет объема коробок других форм

Определите объем цилиндра. Цилиндр представляет собой круглую трубку с кругами на обоих концах. Для определения объема цилиндра используется формула: V = π x r 2 x h, где π = 3,14, r – радиус круглой стороны цилиндра, а h – его высота.
Для определения объема конуса, или пирамиды с круглым основанием, используется та же формула, но умноженная на 1/3. То есть объем конуса рассчитывается по формуле: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Определите объем пирамиды. Пирамида – это фигура, имеющая плоское основание и сходящиеся вверху в одну точку стороны. Для определения объема пирамиды необходимо взять 1/3 от произведения площади ее основания на высоту. То есть формула расчета выглядит следующим образом: Объем пирамиды = 1/3(Площадь основания x Высота).
В большинстве случаев пирамиды имеют квадратное или прямоугольное основание. В такой ситуации площадь основания рассчитывается умножением длины основания на ширину.

Для определения объема коробки сложных форм сложите объемы отдельных ее частей. Например, вам может потребоваться измерить объем коробки, имеющей форму буквы "Г". В таком случае у коробки будет больше сторон, которые необходимо измерить. Если вы разобьете эту коробку на две части, то сможете стандартным образом измерить объем этих двух частей, а затем сложить полученные значения. В случае с коробкой в форме буквы "Г", более длинную часть можно рассматривать в качестве отдельной длинной прямоугольной коробки, а более короткую – в качестве приставленной к ней квадратной (или почти квадратной) коробки.
Если ваша коробка имеет совсем сложные формы, то знайте, что есть множество способов определения объема предметов любой формы.

Предлагаю читателям «Хабрахабра» перевод публикации «100 Prisoners Escape Puzzle» , которую я нашел на сайте компании DataGenetics. Все ошибки по данной статье присылайте, пожалуйста, в личные сообщения.

По условию задачи в тюрьме находится 100 заключенных, каждый из которых имеет личный номер от 1 до 100. Тюремщик решает дать заключенным шанс на освобождение и предлагает пройти придуманное им испытание. Если все заключенные справятся, то они свободны, если хотя бы один провалится - все умрут.

Задача

Тюремщик идет в секретную комнату и подготавливает 100 коробок с крышками. На каждую коробку он наносит числа с нумерацией от 1 до 100. Затем он приносит 100 бумажных табличек, по числу заключенных, и нумерует эти таблички от 1 до 100. После этого он перемешивает 100 табличек и помещает в каждую коробку по одной табличке, закрывая крышку. Заключенные не видят, как тюремщик выполняет все эти действия.

Соревнование начинается, тюремщик отводит каждого заключенного по одному в комнату с коробками и говорит заключенным, что они должны найти коробку, в которой будет находиться табличка с номером заключенного. Заключенные пытаются найти табличку со своим номером, открывая коробки. Каждому разрешается открыть до 50-ти коробок; если каждый из заключенных найдет свой номер, то заключенных отпустят, если хотя бы один из них не найдет свой номер за 50 попыток, то все заключенные умрут.

Для того, чтобы заключенные были освобождены, ВСЕ заключенные должны пройти испытание успешно.

Так какой же шанс, что заключенных помилуют?

После открытия коробки заключенным и проверки им таблички она помещается обратно в коробку и крышка снова закрывается;
Местами таблички менять нельзя;
Заключенные не могут оставлять друг другу подсказки или как-то взаимодействовать друг с другом после начала испытания;
Заключенным разрешается обсудить стратегию до начала испытания.

Какая же оптимальная стратегия для заключенных?

Дополнительный вопрос:
Если товарищ заключенных (не участник испытания) будет иметь возможность проникнуть в секретную комнату до начала испытания, изучить все таблички во всех коробках и (по желанию, но не обязательно) поменять местами две таблички из двух коробок (при этом у товарища не будет возможности как-то сообщить заключенным о результате своих действий), то какую стратегию он должен предпринять, чтобы увеличить шансы заключенных на спасение?

Решение маловероятно?

С первого взгляда эта задача кажется почти безнадежной. Кажется, что шанс на нахождение каждым из заключенных своей таблички микроскопически мал. К тому же, заключенные не могут обмениваться информацией между собой в процессе испытания.

Шансы одного заключенного - 50:50. Всего 100 коробок и он может открыть до 50-ти коробок в поисках своей таблички. Если он будет открывать коробки наугад и откроет половину всех коробок, то найдет свою табличку в открытой половине коробок, или его табличка останется в закрытых 50-ти коробках. Его шансы на успех - ½.

Возьмем двух заключенных. Если оба выбирают коробки наугад, для каждого из них шансы будут ½, а для двоих ½x½=¼.
(для двух заключенных успех будет в одном случае из четырех).

Для трех заключенных шансы будут ½ × ½ × ½ = ⅛.

Для 100 заключенных, шансы следующие: ½ × ½ × … ½ × ½ (перемножение 100 раз).

Это равняется

Pr ≈ 0.0000000000000000000000000000008

То есть это очень маленький шанс. При таком раскладе, скорее всего, все заключенные будут мертвы.

Невероятный ответ

Если каждый заключенный будет открывать ящики наугад, то вряд ли они пройдут испытание. Существует стратегия, при которой заключенные могут рассчитывать на успех более чем в 30% случаев. Это потрясающе невероятный результат (если вы не слышали про эту математическую задачу ранее).

Больше чем 30% для всех 100 заключенных! Да это даже больше, чем шансы для двоих заключенных, при условии, что те будут открывать ящики наугад. Но как это возможно?

Понятно, что по одному у каждого заключенного шансы не могут быть выше 50% (ведь нет способа для общения между заключенными). Но не стоит забывать, что информация хранится в расположении табличек внутри коробок. Никто не перемешивает таблички между посещениями комнаты отдельными заключенными, так что мы можем использовать эту информацию.

Решение

Для начала расскажу решение, затем разъясню, почему оно работает.

Стратегия крайне легкая. Первый из заключенных открывает коробку с тем номером, который написан на его одежде. Например, заключенный номер 78 открывает коробку с номером 78. Если он находит свой номер на табличке внутри коробки, то это здорово! Если нет, то он смотрит номер на табличке в «своей» коробке и затем открывает следующую коробку с этим номером. Открыв вторую коробку, он смотрит номер таблички внутри этой коробки и открывает третью коробку с этим номером. Далее просто переносим эту стратегию на оставшиеся ящики. Для наглядности смотрим картинку:

В конце концов, заключенный либо найдет свой номер, или дойдет до предела в 50 коробок. На первый взгляд, это выглядит бессмысленно, по сравнению с простым выбором коробки наугад (и для одного отдельного заключенного это так), но так как все 100 заключенных будут использовать тот же набор коробок, это имеет смысл.

Красота этой математической задачки - не только знать результат, но и понять, почему эта стратегия работает.

Так почему же стратегия работает?

В каждой коробке по одной табличке - и эта табличка уникальна. Это означает, что табличка находится в коробке с тем же номером, или она указывает на другую коробку. Так как все таблички уникальны, то для каждой коробки есть только одна табличка, указывающая на нее (и всего один путь, как добраться до этой коробки).

Если поразмыслить над этим, то коробки образуют замкнутую круглую цепочку. Одна коробка может быть частью только одной цепочки, так как внутри коробки только один указатель на следующую и, соответственно, в предыдущей коробке только один указатель на данную коробку (программисты могут увидеть аналогию со связанными списками).

Если коробка не указывает на саму себя (номер коробки равен номеру таблички в ней), то она будет в цепочке. Некоторые цепочки могут состоять из двух коробок, некоторые длиннее.

Так как все заключенные начинают с коробки с тем же номером, что и на их одежде, они, по определению, попадают на цепочку, которая содержит их табличку (есть всего одна табличка, которая указывает на эту коробку).

Исследуя коробки по этой цепочке по кругу, они гарантированно в конечном итоге найдут свою табличку.

Единственный вопрос остается в том, найдут ли они свою табличку за 50 ходов.

Длина цепочек

Для того, чтобы все заключенные прошли испытание, максимальная длина цепочки должна быть меньше, чем 50 коробок. Если цепочка длиннее, чем 50 коробок, заключенные, имеющие номера из этих цепочек провалят испытание - и все заключенные будут мертвы.

Если максимальная длина самой длинной цепочки меньше, чем 50 коробок, тогда все заключенные пройдут испытание!

Задумайтесь об этом на секунду. Выходит, что может быть только одна цепочка, которая длиннее 50-ти коробок при любом раскладе табличек (у нас всего 100 коробок, так что если одна цепочка длиннее 50-ти, то остальные будут короче, чем 50 в итоге).

Шансы на расклад с длинной цепочкой

После того, как вы убедили себя, что для достижения успеха максимальная длина цепи должна быть меньше или равна 50, и может быть только одна длинная цепочка в любом наборе, мы можем вычислить вероятность успеха прохождения испытания:

Еще немного математики

Итак, что нам нужно, чтобы выяснить вероятность существования длинной цепочки?

Для цепочки с длиной l, вероятность того, что коробки будут вне этой цепочки равна:

В этой коллекции чисел существует (l-1)! способов расположить таблички.

Оставшиеся таблички могут быть расположены (100-l)! способами (не забываем, что длина цепочки не превосходит 50).

Учитывая это, число перестановок, которые содержат цепочку точной длины l: (>50)

Выходит, есть 100(!) способов раскладок табличек, так что вероятность существования цепочки длиной l равно 1/l. Кстати, этот результат не зависит от количества коробок.

Как мы уже знаем, может быть только один вариант, при котором существует цепочка длиной > 50, так что вероятность успеха рассчитывается по данной формуле:

Результат

31.18% - вероятность того, что размер самой длинной цепочки будет меньше 50 и каждый из заключенных сможет найти свою табличку, учитывая предел в 50 попыток.

Вероятность того, что все заключенные найдут свои таблички и пройдут испытание 31.18%

Ниже приведен график, показывающий вероятности (по оси ординат) для всех цепей длины l (на оси абсцисс). Красный цвет означает все «неудачи» (данная кривая здесь - это просто график 1/l). Зеленый цвет означает «успех» (расчет немного сложнее для этой части графика, так как существует несколько способов для определения максимальной длины <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Гармоническое число (эта часть статьи для гиков)

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда.

Посчитаем предел, если вместо 100а коробок мы имеем произвольное большое количество коробок (давайте считать, что у нас есть 2n коробок в итоге).

Постоянная Эйлера-Маскерони - константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.

Так как число заключенных увеличивается, то при условии, если надсмотрщик разрешает заключенным открывать половину всех коробок, то шанс на спасение стремится к числу 30.685%

(Если вы приняли решение, при котором заключенные случайно угадывают коробки, то с увеличением количества заключенных вероятность спасения стремится к нулю!)

Дополнительный вопрос

Кто-нибудь еще помнит про дополнительный вопрос? Что может сделать наш полезный товарищ, чтобы увеличить шансы на выживание?

Сейчас мы уже знаем решение, так что стратегия тут простая: он должен изучить все таблички и найти самую длинную цепочку из коробок. Если самая длинная цепочка меньше 50-ти, то ему вообще не нужно менять таблички, или поменять их так, чтобы самая длинная цепочка не стала длиннее 50-ти. Тем не менее, если он нашел цепочку длиннее 50-ти коробок, всё, что ему нужно - это поменять содержимое двух коробок из этой цепи, чтобы разбить эту цепочку на две более короткие цепи.

В результате этой стратегии не будет длинных цепочек и все заключенные гарантированно найдут свою табличку и спасение. Так что, поменяв местами две таблички, мы сводим вероятность спасения к 100%!

Правило сложения используется в том случае, если у нас есть два или более множеств, которые попарно не пересекаются, то есть не имеют общих элементов. И нам нужно найти сколько элементов содержится в объединении этих множеств. В этом случае мы складываем число элементов в каждом множестве. Простейший пример: если у нас есть две корзинки с фруктами: в одной 5 яблок, а в другой 7 груш. Если мы эти фрукты пересыпаем в одну корзинку (объединяем множества), тогда в новой корзинке окажется 5+7=12 фруктов.

Правило умножения

Правило умножения используется в том случае, если у нас есть два множества, и мы составляем всевозможные пары из элементов этих множеств. Например, если взять множество, состоящее из 5-ти яблок и множество, состоящее из 7-ми груш и составить всевозможные пары из этих фруктов, то мы получим всевозможных пар.

Действительно. Возьмем первое яблоко. Мы можем положить к нему любую из семи груш, то есть получаем 7 пар. Возьмем второе яблоко, и к нему мы также можем положить любую из 7-ми груш, получаем ещё 7 пар. И так далее. Всего получается пар.

Правило умножения легко понять, если попытаться ответить, например, на такой вопрос: "сколько существует двузначных чисел? "

Пусть двузначное чиcло имеет вид , где - число десятков, - число единиц. При этом цифра может принимать значения от 1 до 9 (цифра 0 не может стоять на первом месте, так как в этом случаем мы получим однозначное число), цифра может принимать значения от 0 до 9.

Пусть , и у нас есть 10 вариантов цифр, которые могут стоять на втором месте. Тогда мы имеем 10 двузначных чисел, содержащих 1 десяток.

Затем мы берем и так же получаем 10 двузначных чисел, у которых теперь уже 2 десятка.

Так как цифра может принимать 9 различных значений, то получаем двузначных чисел.

Зная, что на первом месте может стоять 9 различных цифр, а на втором - 10, мы получаем комбинаций этих цифр, то есть все возможные двузначные числа. Здесь важно понимать, что любая цифра, стоящая на первом месте, может сочетаться с любой цифрой, стоящей на втором месте.

В общем случае правило умножения звучит так:

Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Это правило распространяется на любое число независимо выбираемых элементов.

Если мы хотим ответить на вопрос, сколько существует трехзначных чисел, мы заметим, что в трехзначном числе первая цифра может принимать 9 значений, вторая - 10, и третья - 10 значений. И мы получаем трехзначных чисел.

Формула включений-исключений

используется в том случае, если нам нужно найти число элементов в объединении двух множеств, в том случае, если эти множества пересекаются.

Пусть множество А содержит n элементов, множество В содержит m элементов, и пересечение этих множеств содержит k элементов. То есть k элементов содержатся и в множестве А, и в множестве В. Тогда объединение множеств содержит m+n-k элементов.

Действительно, при объединении двух множеств мы k элементов посчитали два раза, и теперь один раз мы должны их вычесть.

Число элементов в множестве обозначается общепринятым значком #. Тогда формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств имеет вид:

## # # # # # #

Рассмотрим примеры задач.

1. Сколько трехзначных чисел содержит хотя бы одну цифру 3?

Если вопрос задачи содержит слова "хотя бы", то в большинстве случаев сначала надо ответить на противоположное утверждение.

Найдем, сколько трехзначных чисел НЕ содержит цифру 3. В этом случае на первом, втором и третьем месте в записи числа может стоять любая цифра кроме 3. То есть первая цифра может принимать 8 значений, вторая - 9, и третья - 9 значений. Тогда мы получаем трехзначных чисел, которые НЕ содержит цифру 3. Следовательно, остальные числа содержат хотя бы одну цифру 3.

2. Сколько четырехзначных чисел, кратных 5.

Мы знаем, что число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Следовательно, в четырехзначном числе последняя цифра может принимать только два значения: 0 и 5.
Первая цифра может принимать 9 значений, вторая - 10, и третья - 10 значений, четвертая - 2 значения.

Тогда мы получаем четырехзначных чисел, которые делятся на 5.

Перестановки

Воспользуемся правилом умножения чтобы ответить на вопрос, "сколькими способами можно построить 7 человек в шеренгу?" .

Человека, стоящего первым в шеренге можно выбрать семью способами, второго можно выбрать из оставшихся шести человек, то есть шестью способами. Третьего, соответственно, пятью. И так далее. Последнего можно выбрать единственным способом. Всего получаем способов построить 7 человек в шеренгу.

В общем случае, если мы имеем объектов, которые хотим расположить в определенном порядке (пронумеровать их), то мы получим

способов расположения этих объектов.

Факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до :

По определению 0!=1; 1!=1.

Перестановкой из предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ расположения их в ряд).

Число перестановок предметов равно .

3. Имеется 10 компьютерных дисков и 10 коробок от них. Найдите вероятность того, что случайным образом уложив диски в коробки, мы обнаружим, что

1. Каждый диск лежит в своей коробке.

2. Хотя бы один диск лежит не в своей коробке.

3. Два определенных диска перепутаны местами, а остальные в своих коробках.

4. Ровно один лежит не в своей коробке, а остальные - в своих коробках.

1. Пронумеруем диски и коробки. Расположим коробки в определенной последовательности. Нам нужно, чтобы при случайном расположении дисков в ряд, их номера тоже оказались расположены в той же последовательности.

Расположить 10 чисел в определенной последовательности можно единственным способом, то есть мы имеем 1 благоприятный исход.

Расположить 10 чисел в произвольном порядке можно 10! способами.

Следовательно, вероятность того, что каждый диск окажется в своей коробке равна

2. Событие "хотя бы один диск лежит не в свой коробке " противоположно событию "", и его вероятность равна

3. Событие "два определенных диска перепутаны местами, а остальные в своих коробках", также как событие "каждый диск лежит в своей коробке ", имеет единственный благоприятный исход, поэтому вероятность этого события равна

4. Событие "ровно один лежит не в своей коробке, а остальные - в своих коробках " невозможно, так как если один диск лежит не своей коробке, то обязательно должен найтись ещё один, который так же лежит не в своей коробке. Поэтому вероятность этого события равна нулю.

4. Слово "МАТЕМАТИКА" написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что составив все эти буквы случайным образом в ряд, мы снова получим слово "МАТЕМАТИКА".

МАТЕМАТИКА"?

Вероятность того, что на первом месте будет стоять буква М равна 2/10 - у нас две буквы М, и всего 10 букв.

Вероятность того, что на втором месте будет стоять буква А равна 3/9 - у нас осталось 9 букв, из которых 3 буквы А.

Вероятность того, что на втором месте будет стоять буква Т равна 2/8 - у нас осталось 8 букв, из которых 2 буквы Т.

Пронумеруем все буквы в слове "МАТЕМАТИКА". Найдем, сколькими способами мы можем их расположить в определенном порядке. В слове 10 букв, и мы можем их расположить 10!=3628800 различными способами.

Поскольку в слове есть одинаковые буквы, то при перестановке этих букв мы получим то же слово:

в слове "МАТЕМАТИКА" 2 буквы "М"; 3 буквы "А"; 2 буквы "Т", следовательно по правилу произведения это дает нам способов перестановки этих букв с сохранением слова "МАТЕМАТИКА".

Таким образом, вероятность снова получить слово "МАТЕМАТИКА" равна:

Сколько буквосочетаний можно составить из букв слова "МАТЕМАТИКА" ?

Из 10 букв слова "МАТЕМАТИКА" можно составить 10! буквосочетаний. Но некоторые из них будут одинаковыми, так как при перестановке одинаковых букв, мы будем получать те же буквосочетания. То есть в итоге мы получим

буквосочетаний.

Размещения

В задачах по теории вероятностей часто возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать определенное число предметов и расположить их в определенном порядке.

5. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Воспользуемся правилом умножения.

В первую страну мы выбираем из 9 специалистов, то есть у нас 9 вариантов выбора. После того, как специалист для поездки в первую страну выбран, у нас осталось 8 специалистов, и для поездки во вторую страну у нас 8 вариантов выбора. И так далее... в четвертую страну мы можем выбрать кандидата из 6 специалистов.

Таким образом, мы получаем вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны.

Обобщим эту задачу на случай выбора k кандидатур из n специалистов для поездки в k различных стран.

Рассуждая аналогичным образом, мы получаем

вариантов.

Если умножить и разделить это выражение на , то получим следующую формулу:

В этой задаче из множества, состоящего из элементов мы выбрали упорядоченные подмножества (для нас был важен порядок расположения элементов в подмножестве) , состоящие из элементов. Задача сводилась к нахождению числа таких подмножеств.

Такие упорядоченные подмножества называются размещениями из n элементов по k.

Размещением (из n по k) называется упорядоченное подмножество из различных элементов из некоторого множества , состоящего из различных элементов.

Число размещений из элементов по обозначается и находится по формуле:

Размещения с повторениями

6. Игральную кость бросают трижды. Сколько различных комбинаций выпавших очков при этом получится?

При бросании кости первый раз мы получим 6 различных вариантов: 1 очко, 2, 3... или 6. Аналогично при бросании кости во второй и в третий раз мы получим также по 6 различных вариантов. По правилу умножения получим число различных комбинаций трех чисел, принимающих значения от 1 до 6:

В общем случае:

Пусть у нас есть множество , состоящее из элементов.

Любой упорядоченный набор элементов множества, состоящего из элементов называется размещением с повторением из элементов по . Число различных размещений с повторениями равно

Действительно. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно, и так раз. Сколько комбинаций из номеров мы можем получить?

Поскольку шары каждый раз возвращаются, каждый раз, вынимая шар из коробки, в которой шаров, мы можем получить различных чисел. По правилу умножения имеем

Сочетания

Рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5, но с существенным отличием.

7. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов?

В этой задаче нам нужно выбрать 4 кандидатуры, но при этом не важно, в каком порядке мы их выбираем, нас интересует только состав выбранных элементов, но не порядок их расположения.

Если бы нас интересовал порядок расположения элементов, как в задаче 5, то мы могли применили бы формулу для нахождения числа размещений из 9 по 4:

4 различных элемента можно расположить в определенном порядке 4! различными способами. Поскольку нас не интересует порядок расположения элементов, число способов, которыми мы можем выбрать 4 элемента, не располагая их в определенном порядке, уменьшается в 4! раза по сравнению с предыдущей задачей (так как для данной задачи различное расположение данных элементов считается одним способом), и мы получаем

способов.

В этой задаче появляется понятие сочетания .

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества (множества, состоящего из n элементов).

Внимание! Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается

и находится по формуле:

Число сочетаний из n по k показывает, сколькими способами мы можем выбрать k элементов из n элементов, или сколькими способами мы можем расположить k объектов по n местам.

Легко заметить, что

8. В коробке лежат 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 4 карандаша. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 красных и 2 синих?

Всего в коробке 12 карандашей. Найдем, сколькими способами способами можно извлечь из коробки 4 карандаша. Так как нас не интересует порядок, в котором карандаши извлекаются из коробки, а только состав карандашей, это число равно числу сочетаний из 12 по 4:

Из 8 красных карандашей можно извлечь два карандаша способами.

Из 4 синих карандашей можно извлечь два карандаша способами.

По правилу произведения получаем, что извлечь 2 синих и 2 красных карандаша можно способами.

Таким образом, искомая вероятность равна:

Метод шаров и перегородок

9. Сколькими способами можно разложить 10 шаров в 4 коробки? Предполагается, что некоторые коробки могут оказаться пустыми.

Рассмотрим 10 шаров:

Будем "раскладывать шары по коробкам", ставя перегородки.

Например, так:

В этом примере в первой коробке 3 шара, во второй - 2, в третьей - 4, и в четвертой - 2. Переставляя шары и перегородки, мы получаем различные комбинации шаров в коробках. Например, переставив последний шар в первой коробке и первую внутреннюю перегородку, мы получим такую комбинацию:

Таким образом, мы получаем различное число шаров в коробках, комбинируя позиции 10-ти шаров и 3-х внутренних перегородок. Чтобы определить, сколько различных комбинаций мы можем получить, нам нужно найти число сочетаний из 13 по 3. (Или, что то же самое, что число сочетаний из 13 по 10.) Столько способов выбрать 3 места для перегородок из 13 возможных позиций. Или, что то же самое, 10 мест для шаров.

10. Сколько решений имеет уравнение в целых неотрицательных числах?

Так как переменные могут принимать только целые неотрицательные значения, следовательно, у нас есть 10 переменных, и они могут принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4. Представим, что у нас есть 10 коробок (это переменные), и мы должны разложить по этим коробкам 4 шара. Сколько шаров попадет в коробку, таково значение соответствующей переменной. Если у нас 10 коробок, следовательно, 10-1=9 внутренних перегородки. И 4 шара. Всего 13 мест. Нам надо расположить на этих 13 местах 4 шара. Число таких возможностей:

В общем случае, если нам нужно разложить шаров в коробок, мы получаем комбинации из шаров и внутренней перегородки. И число таких комбинаций равно числу сочетаний из по .

В этой задаче мы имели дело с сочетаниями с повторениями.

Сочетания с повторениями

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из типов.

Что такое сочетания из элементов по элементов с повторениями можно понять с помощью такого мысленного эксперимента. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно, и так раз. В отличие от размещений с повторениями нас не интересует порядок записанных чисел, а только их состав. Например, группы чисел {1,1,2,1,3,1,2} и {1,1,1,1,2,2,3} считаются одинаковыми. Сколько таких групп из номеров мы можем получить?

В конечном итоге нас интересует сколько элементов каждого типа (всего n типов элементов) содержится в каждой группе (из k элементов) , и сколько таких различных вариантов может быть. То есть мы находим, сколько в целых неотрицательных решений имеет уравнение уравнение - задача аналогична задаче по раскладыванию n шаров в k коробок.

Число сочетаний с повторениями находится по такой формуле:

Таким образом, число сочетаний с повторениями - это количество способов представить число k в виде суммы n слагаемых.

Которую я нашел на сайте компании DataGenetics. Все ошибки по данной статье присылайте, пожалуйста, в личные сообщения.

В этой задаче в тюрьме сидят 100 заключенных, каждый из которых пронумерован числами от 1 до 100. Тюремщик решает дать шанс заключенным на освобождение, он рассказывает им условия испытания, и если все заключенные пройдут тест, тогда они будут освобождены. Если хотя бы один из них провалит тест, то все заключенные умрут.

Задача

Для того, чтобы заключенные были освобождены, ВСЕ заключенные должны пройти испытание успешно.

Так какой же шанс, что заключенных помилуют?

После открытия коробки заключенным и проверки им таблички она помещается обратно в коробку и крышка снова закрывается;
Местами таблички менять нельзя;
Заключенные не могут оставлять друг другу подсказки или как-то взаимодействовать друг с другом после начала испытания;
Заключенным разрешается обсудить стратегию до начала испытания.

Какая самая оптимальная стратегия для заключенных?

Дополнительный вопрос:

Если товарищ заключенных (не участник испытания) будет иметь возможность проникнуть в секретную комнату до начала испытания, изучить все таблички во всех коробках и (по желанию, но не обязательно) поменять местами две таблички из двух коробок (при этом у товарища не будет возможности как-то сообщить заключенным о результате своих действий), то какую стратегию он должен предпринять, чтобы увеличить шансы заключенных на спасение?

Решение маловероятно?

Для трех заключенных шансы будут ½ × ½ × ½ = ⅛.

Для 100 заключенных, шансы следующие: ½ × ½ × … ½ × ½ (перемножение 100 раз).

Это равняется

Pr ≈ 0.000000000000000000000000000008

То есть это очень маленький шанс. При таком раскладе, скорее всего, все заключенные будут мертвы.

Невероятный ответ

Решение

Для начала расскажу решение, затем разъясню, почему оно работает.

Красота этой математической задачки - не только знать результат, но и понять, почему эта стратегия работает.

Так почему же стратегия работает?

Исследуя коробки по этой цепочке по кругу, они гарантированно в конечном итоге найдут свою табличку.

Единственный вопрос остается в том, найдут ли они свою табличку за 50 ходов.

Длина цепочек

Если максимальная длина самой длинной цепочки меньше, чем 50 коробок, тогда все заключенные пройдут испытание!

Задумайтесь об этой на секунду. Выходит, что может быть только одна цепочка, которая длиннее 50-ти коробок при любом раскладе табличек (у нас всего 100 коробок, так что если одна цепочка длиннее 50-ти, то остальные будут короче, чем 50 в итоге).

Шансы на расклад с длинной цепочкой

Еще немного математики

Итак, что нам нужно, чтобы выяснить вероятность существования длинной цепочки?

Для цепочки с длиной l, вероятность того, что коробки будут вне этой цепочки равно:

В этой коллекции чисел существует (l-1)! способов расположить таблички.

Оставшиеся таблички могут быть расположены (100-l)! способами (не забываем, что длина цепочки не превосходит 50).

Учитывая это, число перестановок, которые содержат цепочку точной длины l: (>50)

Результат

31.18% - вероятность того, что размер самой длинной цепочки будет меньше 50 и каждый из заключенных сможет найти свою табличку, учитывая лимит в 50 попыток.

Вероятность того, что все заключенные найдут свои таблички и пройдут испытание 31.18%

Гармоническое число (эта часть статьи для гиков)

Посчитаем лимит, если вместо 100а коробок мы имеем произвольное большое количество коробок (давайте считать, что у нас есть 2n коробок в итоге).

Так как число заключенных увеличивается, то при условии, если надсмотрщик разрешает заключенным открывать половину всех коробок, то шанс на спасение стремится к числу 30.685%

Дополнительный вопрос

Определение .

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
Диагональ B 1 D
Диагональ основания BD
Диагональное сечение BB 1 D 1 D
Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

Основаниями являются два равных квадрата
Основания параллельны друг другу
Боковыми гранями являются прямоугольники
Боковые грани равны между собой
Боковые грани перпендикулярны основаниям
Боковые ребра параллельны между собой и равны
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
Углы перпендикулярного сечения - прямые
Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:

Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение .
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ : 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .