Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Тест ЕГЭ по математике.

Демонстрационный вариант № 8.

Решение наиболее сложных заданий группы В.

В3. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение .

Формула площади параллелограмма:

S = a . b . sin α, где a , b - стороны параллелограмма, sin α - угол между ними.

Формула площади прямоугольника:

S = a . b , где a , b - стороны прямоугольника.

1) Площадь прямоугольника вдвое больше площади параллелограмма при равенстве их сторон. То есть:

a . b = 2 (a . b . sin α).

2) Вычислим синус угла α:

a . b
sin α = ———— = 1/2.
2(a . b )

3) Вспомним числовую окружность: если синус угла равен 1/2, то сам этот угол равен 30°. Значит, задача решена.

Ответ : 30.

В10. В чемпионате по гимнастике участвуют 56 спортсменок: 27 из России, 22 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение .

В чемпионате участвуют 7 китайских гимнасток (56 - 27 - 22 = 7).

Значит, вероятность того, что первой выступит китаянка, составляет 7 из 56. Составляем эту пропорцию и переводим ее в десятичную дробь, что и будет ответом:

7/56 = 0,125.

Ответ : 0,125.

В11. Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в восемь раз?

Решение .

Формула объема тетраэдра:

V = √2/12 . a 3 , где а - длина ребра тетраэдра.

Мы видим, что объем тетраэдра зависит только от длины его ребра. То есть если сравнивать два тетраэдра разной величины, то получается: во сколько раз больше a 3 одного тетраэдра по сравнению с другим, во столько же раз больше и его объем. Значит, задача решается просто.

Пусть а = 1. Тогда a 3 = 1.

Увеличим длину ребра в 8 раз - пусть теперь а = 8. Посмотрим, что получится в этом случае:

8 3 = 512.

Вывод: при увеличении ребра тетраэдра в 8 раз его объем увеличится в 512 раз.

Ответ : 512.

В12. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 50−5p . Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r (p ) = pq . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит 120 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Решение .

Сначала выпишем, что мы знаем из задачи:

r (p ) = 120,

q = 50−5p .

В формулу выручки r (p ) = pq подставляем эти два значения, производим сокращения и получаем квадратное уравнение:

p (50−5p ) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Решив квадратное уравнение, получим два его корня:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Нам надо определить наибольшую цену - значит, из двух значений p выбираем второе: 6 (тысяч рублей).

Ответ : 6.

В13. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение .

Важно уяснить: первый не стоял на месте, оба двигались. Обязательно надо представить два сухогруза в движении, чтобы не ошибиться или не выполнить лишних действий, что тоже приведет к неверному ответу.

1) Итак, второй сухогруз двигался быстрее и за 12 минут обогнал первый сухогруз на 600 метров, преодолев при этом и отставание на 400 метров, и длину первого сухогруза, и расстояние, равное собственной длине. В итоге он переместился относительно первого сухогруза на сумму всех этих величин:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (м).

12 мин — 1200 м

60 мин — х м.

Отсюда:

х = 60 . 1200: 12 = 6000 м или 6 км.

Таким образом, скорость второго сухогруза на 6 км/ч больше скорости первого.

Задача решена.

Ответ : 6.

В12. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = m 0 2 -t/T , где m 0 (мг) - начальная масса изотопа, t(мин.) - время прошедшее от начального момента. T(мин.) - период полураспада изотопа. В начальный момент масса изотопа m 0 = 80 мг. Период полураспада T = 3 мин. Через сколько минут масса изотопа станет равна 10 мг?

В13. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

В14. Найдите наименьшее значение функции y = 8x 2 - x 3 + 13 на отрезке [-5; 5].

ЧАСТЬ 2

Для записи решений и ответов на задания С1 - С6 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1. а) Решите уравнение2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

С2. Точка Е - середина ребра АА 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямыми DE и BD 1 .

С3. Решите систему неравенств

С4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АА 1 и СС 1 , К и М - основания перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые АА 1 и СС 1 .

а) Докажите, что МК = АС.

б) Найдите площадь треугольника КВМ, если известно, что АС = 10, ВС = 6, АВ = 8.

С5. Найдите все значения α, для каждого из которых уравнение

Имеет более трёх различных решений.

С6. В ряд выписаны числа: 1 2 , 2 2 ..., (N - 1) 2 , N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки "+" и "-" и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) 12, если N=12?

б) 0, если N=70?

в) 0, если N=48?

г) - 3, если N=90?

ТЕСТ ЕГЭ - 2014 ПО МАТЕМАТИКЕ

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ 1

Ответом на задания В1 - В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. В розницу один номер еженедельного журнала "Репортаж" стоит 27 руб., а полугодовая подписка на этот журнал стоит 550 руб. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей сэкономит г-н Иванов за полгода, если не будет покупать каждый номер журнала отдельно, а оформит подписку?

В2. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса по математике в 2007 году (по 10500-балльной шкале).

По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл заключён между 495 и 515.

В3. Найдите площадь треугольника АВСD. Размер каждой клетки 1см х 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В4. Для группы иностранных гостей требуется купить путеводители в количестве 20 шт. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице. Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей. В ответе напишите наименьшую сумму в рублях.

Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье рассмотрим пару задач, в которых речь идёт об объёме конуса. В прошлой статье мы несколько заданий. Суть простая – стоит условие об уменьшении (увеличении) высоты конуса или радиуса в определённое. Ставится вопрос о том, как изменился объём. Ещё раз формула объёма конуса:

Сначала рассмотрим задачи, а затем изложу пару рекомендаций к решению.

27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Очевидно, что если мы уменьшим высоту в три раза, то объём уменьшиться также в три раза (зависимость прямолинейная). Формально это можно записать так:

Ответ: 3

27095. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Увеличим радиус в 1,5 раза:

Объём увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25

*То есть можно сделать вывод:

Если радиус основания конуса изменить (увеличить или уменьшить) в n раз, то его объём соответственно увеличится или уменьшится в n 2 раз. Посмотрите формальную запись:

Поставим такую задачу. Как изменится объём конуса, если его высоту увеличить в 10 раз, а радиус уменьшить в 4 раза.

Объём конуса равен:

Увеличим высоту в 10 раз и уменьшим радиус в 4:

По величине 0,625 видно, что объём уменьшится. То есть объём полученного конуса составит 0,625 от объёма исходного конуса.

Ещё это изменение можно выразить следующим образом.

Объём исходного конуса разделить на объём полученного и определить во сколько раз произойдёт уменьшение:

То есть объём конуса уменьшится в 1,6 раза.

Можно сказать так – объём полученного конуса в 1,6 меньше исходного.

Небольшой итог!

Как видите, задачи очень простые. Суть процесса решения сводится к тому, чтобы формулу объёма полученного конуса «привести» к такому виду:

*То есть, чтобы полученный объём выражался через объём исходного конуса.

Разумеется, если будет идти речь только об изменении высоты, то такую задачу можно решить устно (прямая зависимость).

Вторую задачу (где изменяется только радиус) при наличии опыта тоже можно решить устно, но лучше подробно записать процесс вычисления.

Задач, где речь идёт об изменении обеих величин на экзамене не предполагается, но будьте готовы на всякий случай.

В будущем обязательно рассмотрим приём, которым очень удобно пользоваться при решении подобных заданий. Речь пойдёт не только о конусах, но и о других телах, не пропустите, подпишитесь на рассылку.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.