Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Простая и логически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:

где b - константа, а ε - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание именно так и построено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не только те, которые попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

Когда эта формула применяется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра α . Если α равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если а равен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.

На практике обычно рекомендуется брать α меньше 0,30. Однако выбор а больше 0,30 иногда дает более точный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение α по реальным данным, чем использовать общие рекомендации.

На практике оптимальный параметр сглаживания часто ищется с использованием процедуры поиска на сетке. Возможный диапазон значений параметра разбивается сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от α =0,1 до α = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается такое значение α , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

Microsoft Excel располагает функцией Экспоненциальное сглаживание (Exponential Smoothing), которая обычно используется для сглаживания уровней эмпирического временного ряда на основе метода простого экспоненциального сглаживания. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Tools - Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором следует выбрать значение Экспоненциальное сглаживание. В результате появится диалоговое окно Экспоненциальное сглаживание , представленное на рис. 11.5.

В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются практически те же параметры, го и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.

1. Input Range (Входные данные) - в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.

2. Labels (Метки) - данный флажок опции устанавливается в том случае, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. Если заголовок отсутствует, флажок следует сбросить. В этом случае для данных выходного диапазона будут автоматически созданы стандартные названия.

3. Damping factor (Фактор затухания) - в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания α . По умолчанию принимается значение α = 0,3.

4. Output options (Параметры вывода) - в этой группе, помимо указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), можно также потребовать автоматически построить график, для чего необходимо установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и рассчитать стандартные погрешности, для чего нужно установить флажок опции Standart Errors (Стандартные погрешности).

Воспользуемся функцией Экспоненциальное сглаживание для повторного решения рассмотренной выше задачи, но уже с помощью метода простого экспоненциального сглаживания. Выбранные значения параметров сглаживания представлены на рис. 11.5. На рис. 11.6 показаны рассчитанные показатели, а на рис. 11.7 - построенные графики.

Задачи прогнозирования построены на изменении неких данных во времени (продаж, спроса, поставок, ВВП, выбросов углерода, численности населения…) и проецировании этих изменений на будущее. К сожалению, выявленные на исторических данных, тренды могут нарушаться множеством непредвиденных обстоятельств. Так что данные в будущем могут существенно отличаться от произошедшего в прошлом. В этом и состоит проблема прогнозирования.

Однако, существуют методики (под названием экспоненциальное сглаживание), позволяющие не только попытаться предсказать будущее, но и выразить численно неопределенность всего, что связано с прогнозом. Численное выражение неопределенности с помощью создания интервалов прогнозирования поистине неоценимо, но часто игнорируется в прогностическом мире.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Исходные данные

Допустим, вы фанат «Властелина Колец», и вот уже три года изготавливаете и торгуете мечами (рис. 1). Отобразим продажи графически (рис. 2). За три года спрос удвоился - может быть, это тренд? Мы вернемся к этой мысли чуть позже. На графике есть несколько пиков и спадов, что может быть признаком сезонности. В частности, пики приходятся на месяцы с номерами 12, 24 и 36, которые оказываются декабрями. Но может быть это лишь случайность? Давайте выясним.

Простое экспоненциальное сглаживание

Методы экспоненциального сглаживания основываются на прогнозировании будущего по данным из прошлого, где более новые наблюдения весят больше, чем старые. Такое взвешивание возможно благодаря константам сглаживания. Первый метод экспоненциального сглаживания, который мы опробуем, называется простым экспоненциальным сглаживанием (ПЭС, simple exponential smoothing, SES). Он использует лишь одну константу сглаживания.

При простом экспоненциальном сглаживании предполагается, что ваш временной ряд данных состоит из двух компонентов: уровня (или среднего) и некоей погрешности вокруг этого значения. Нет никакого тренда или сезонных колебаний - есть просто уровень, вокруг которого колеблется спрос, тут и там окруженный небольшими погрешностями. Отдавая предпочтение более новым наблюдениям, ПЭС может явиться причиной сдвигов этого уровня. Говоря языком формул,

Спрос в момент времени t = уровень + случайная погрешность около уровня в момент времени t

Так как же найти приблизительное значение уровня? Если принять все временные значения как имеющие одинаковую ценность, то следует просто вычислить их среднее значение. Однако, это плохая идея. Следует дать больший вес недавним наблюдениям.

Создадим несколько уровней. Рассчитаем исходный уровень в первый год:

уровень 0 = среднее значение спроса за первый год (месяцы 1-12)

Для спроса на мечи он равен 163. Мы используем уровень 0 (163) как прогноз спроса на месяц 1. Спрос в месяц 1 равен 165, то есть он на 2 меча выше уровня 0 . Стоит обновить приближение исходного уровня. Уравнение простого экспоненциального сглаживания:

уровень 1 = уровень 0 + несколько процентов × (спрос 1 – уровень 0)

уровень 2 = уровень 1 + несколько процентов × (спрос 2 – уровень 1)

И т.д. «Несколько процентов» - называется константой сглаживания, и обозначается альфой. Это может быть любое число от 0 до 100% (от 0 до 1). Выбирать значение альфы вы научитесь позже. В общем случае значение для разных моментов времени:

Уровень текущий период = уровень предыдущий период +
альфа × (спрос текущий период – уровень предыдущий период)

Будущий спрос равен последнему вычисленному уровню (рис. 3). Поскольку вы не знаете, чему равна альфа, установите для начала в ячейке С2 значение 0,5. После того, как модель будет построена, найдите такую альфа, чтобы сумма квадратов ошибки – Е2 (или стандартное отклонение – F2) были минимальны. Для этого запустите опцию Поиск решения . Для этого пройдите по меню ДАННЫЕ –> Поиск решения , и установите в окне Параметры поиска решения требуемые значения (рис. 4). Чтобы отразить результаты прогноза на диаграмме, для начала выберите диапазон А6:В41, и постройте простую линейную диаграмму. Далее кликните на диаграмме правой кнопкой мыши, выберите опцию Выбрать данные. В открывшемся окне создайте второй ряд и вставьте в него предсказания из диапазона А42:В53 (рис. 5).

Возможно, у вас есть тренд

Чтобы проверить это предположение достаточно подогнать линейную регрессию под данные спроса и выполнить тест на соответствие критерию Стьюдента на подъеме этой линии тренда (как в ). Если уклон линии ненулевой и статистически значимый (в проверке по критерию Стьюдента величина р менее 0,05), у данных есть тренд (рис. 6).

Мы воспользовались функцией ЛИНЕЙН, которая возвращает 10 описательных статистик (если вы ранее не пользовались этой функцией, рекомендую ) и функцией ИНДЕКС, которая позволяет «вытащить» только три требуемые статистики, а не весь набор. Получилось, что наклон равен 2,54, и он значим, так как тест Стьюдента показал, 0,000000012 существенно меньше 0,05. Итак, тренд есть, и осталось включить его в прогноз.

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда

Часто оно называется двойным экспоненциальным сглаживанием, потому что имеет не один параметр сглаживания - альфа, а два. Если у временной последовательности линейный тренд, то:

спрос за время t = уровень + t × тренд + случайное отклонение уровня в момент времени t

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда имеет два новых уравнения, одно - для уровня по мере его продвижения во времени, а другое - тренд. Уравнение уровня содержит сглаживающий параметр альфа, а уравнение тренда – гамма. Вот как выглядит новое уравнение уровня:

уровень 1 = уровень 0 + тренд 0 + альфа × (спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0))

Обратите внимание, что уровень 0 + тренд 0 - это просто одношаговый прогноз от исходных значений к месяцу 1, поэтому спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0) - это одношаговое отклонение. Таким образом, основное уравнение приближения уровня будет следующим:

уровень текущий период = уровень предыдущий период + тренд предыдущий период + альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Уравнение обновления тренда:

тренд текущий период = тренд предыдущий период + гамма × альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Холтовское сглаживание в Excel аналогично простому сглаживанию (рис. 7), и, как и выше, цель – найти два коэффициента, минимизируя сумму квадратов ошибок (рис. 8). Чтобы получить исходные значения уровня и тренда (в ячейках С5 и D5 на рис. 7), постройте график за первые 18 месяцев продаж и добавьте к нему линию тренда с уравнением. Исходное значение тренда 0,8369 и исходный уровень 155,88 занесите в ячейки С5 и D5. Прогнозные данные можно представить графически (рис. 9).

Рис. 7. Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке

Выявление закономерностей в данных

Есть способ испытать прогностическую модель на прочность - сравнить погрешности сами с собой, сдвинутыми на шаг (или несколько шагов). Если отклонения случайны, то улучшить модель нельзя. Однако, возможно, в данных о спросе есть сезонный фактор. Концепция погрешности, коррелирующей с собственной версией за другой период, называется автокорреляцией (подробнее об автокорреляции см. ). Чтобы рассчитать автокорреляцию, начните с данных об ошибке прогноза за каждый период (столбец F на рис. 7 переносим в столбец В на рис. 10). Далее определите среднюю ошибку прогноза (рис. 10, ячейка В39; формула в ячейке: =СРЗНАЧ(B3:B38)). В столбце С рассчитайте отклонение ошибки прогноза от среднего; формула в ячейке С3: =B3-B$39. Далее последовательно сдвигайте столбец С на столбец вправо и строку вниз. Формулы в ячейках D39: =СУММПРОИЗВ($C3:$C38;D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/КОРЕНЬ(36), D43: =-2/КОРЕНЬ(36).

Что может значить для одного из столбцов D:O «синхронное движение» со столбцом С. Например, если столбцы С и D синхронны, то число, отрицательное в одном из них, должно быть отрицательным и в другом, положительное в одном, положительное – в другом. Это означает, что сумма произведений двух столбцов будет значительной (отличия накапливаются). Или, что тоже самое, чем ближе значение в диапазоне D41:О41 к нулю, тем ниже корреляция столбца (соответственно от D до О) со столбцом С (рис. 11).

Одна автокорреляция выше критического значения. Погрешность, сдвинутая на год, коррелирует сама с собой. Это означает 12-месячный сезонный цикл. И это неудивительно. Если вы посмотрите на график спроса (рис. 2), то окажется, что есть пики спроса на каждое Рождество и провалы в апреле-мае. Рассмотрим технику прогнозирования, учитывающую сезонность.

Мультипликативное экспоненциальное сглаживание Холта-Винтерса

Метод называется мультипликативным (от multiplicate - умножать), поскольку использует умножение для учета сезонности:

Спрос в момент t = (уровень + t × тренд) × сезонная поправка для момента t × все оставшиеся нерегулярные поправки, которые мы не можем учесть

Сглаживание Холта-Винтерса также называют тройным экспоненциальным сглаживанием, потому что у него три сглаживающих параметра (альфа, гамма и сезонный фактор – дельта). Например, если имеется 12-месячный сезонный цикл:

Прогноз на месяц 39 = (уровень 36 + 3 × тренд 36) х сезонность 27

Анализируя данные, необходимо выяснить, что в серии данных является трендом, а что - сезонностью. Чтобы выполнить вычисления по методу Холта-Винтерса, необходимо:

• Сгладить исторические данные методом скользящего среднего.
• Сравнить сглаженную версию временного ряда данных с оригиналом, чтобы получить приблизительную оценку сезонности.
• Получить новые данные без сезонного компонента.
• Найти приближения уровня и тренда на основе этих новых данных.

Начните с исходных данных (столбцы А и В на рис. 12) и добавьте столбец С со сглаженными значениями на основе скользящего среднего. Так как сезонность имеет 12-месячные циклы, имеет смысл использовать среднее за 12 месяцев. С этим средним есть небольшая проблема. 12 – четное число. Если вы сглаживаете спрос за месяц 7, стоит ли считать его средним спросом с 1-го по 12-й месяц или со 2-го по 13-й? Чтобы справиться с этим затруднением, нужно сгладить спрос с помощью «скользящего среднего 2×12». Т.е., взять половину от двух средних с 1 по 12-й месяц и со 2 по 13. Формула в ячейке С8: =(СРЗНАЧ(B3:B14)+СРЗНАЧ(B2:B13))/2.

Сглаженные данных для месяцев 1–6 и 31–36 получить нельзя, так как не хватает предыдущих и последующих периодов. Для наглядности исходные и сглаженные данные можно отразить на диаграмме (рис. 13).

Теперь в столбце D разделите оригинальную величину на сглаженную и получите приблизительное значение сезонной поправки (столбец D на рис. 12). Формула в ячейке D8: =B8/C8. Обратите внимание на всплески в 20% выше нормального спроса в месяцах 12 и 24 (декабрь), в то время как весной наблюдаются провалы. Эта техника сглаживания дала вам две точечные оценки для каждого месяца (всего 24 месяца). В столбце Е найдено среднее значение этих двух факторов. Формула в ячейке Е1: =СРЗНАЧ(D14;D26). Для наглядности уровень сезонных колебаний можно представить графически (рис. 14).

Теперь можно получить данные, скорректированные на сезонные колебания. Формула в ячейке G1: =B2/E2. Постройте график на основе данных столбца G, дополните его линией тренда, выведите уравнение тренда на диаграмму (рис. 15), и используйте коэффициенты в последующих расчетах.

Сформируйте новый лист, как показано на рис. 16. Значения в диапазон Е5:Е16 подставьте с рис. 12 области Е2:Е13. Значения С16 и D16 возьмите из уравнения линии тренда на рис. 15. Значения констант сглаживания установите для начала на отметке 0,5. Растяните значения в строке 17 на диапазон месяцев с 1 по 36. Запустите Поиск решения для оптимизации коэффициентов сглаживания (рис. 18). Формула в ячейке В53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Теперь в сделанном прогнозе нужно проверить автокорреляции (рис. 18). Так как все значения расположились между верхней и нижней границами, вы понимаете, что модель неплохо поработала над пониманием структуры значений спроса.

Построение доверительного интервала прогноза

Итак, у нас есть вполне рабочий прогноз. Как установить верхние и нижние границы, которые можно использовать для построения реалистичных предположений? В этом вам поможет симуляция Монте-Карло, с которой вы уже встречались в (см. также ). Смысл заключается в том, чтобы сгенерировать будущие сценарии поведения спроса и определить группу, в которую попадают 95% из них.

Удалите с листа Excel прогноз из ячеек В53:В64 (см. рис. 17). Вы запишете туда спрос на основе симуляции. Последнюю можно сгенерировать с помощью функции НОРМОБР. Для будущих месяцев вам достаточно снабдить ее средним (0), стандартным распределением (10,37 из ячейки $Н$2) и случайным числом от 0 до 1. Функция вернет отклонение с вероятностью, соответствующей колоколообразной кривой. Поместите симуляцию одношаговой погрешности в ячейку G53: =НОРМОБР(СЛЧИС();0;H$2). Растянув эту формулу вниз до G64, и вы получите симуляции ошибки прогноза для 12 месяцев одношагового прогноза (рис. 19). Ваши значения симуляций будут отличаться от приведенных на рисунке (на то она и симуляция!).

С погрешностью прогноза у вас есть все, что нужно для обновления уровня, тренда и сезонного коэффициента. Так что выделите ячейки C52:F52 и растяните их до строки 64. В результате у вас имеются симулированная ошибка прогноза и сам прогноз. Идя от обратного, можно спрогнозировать значения спроса. Вставьте в ячейку В53 формулу: =F53+G53 и растяните ее до В64 (рис. 20, диапазон В53:F64). Теперь вы можете нажимать на кнопку F9, каждый раз обновляя прогноз. Разместите результаты 1000 симуляций в ячейках А71:L1070, каждый раз транспонируя значения из диапазона В53:В64 в диапазон А71:L71, A72:L72, … A1070:L1070. Если вас это напрягает напишите код VBA.

Теперь у вас есть по 1000 сценариев на каждый месяц, и вы можете использовать функцию ПЕРСЕНТИЛЬ, чтобы получить верхние и нижние границы в середине 95%-ного доверительно интервала. В ячейке А66 формула: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,975), а в ячейке А67: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,025).

Как обычно, для наглядности данные можно представить в графическом виде (рис. 21).

На графике есть два интересных момента:

• Погрешность со временем становится шире. В этом есть смысл. Неуверенность накапливается с каждым месяцем.
• Точно так же погрешность растет и в частях, приходящихся на периоды сезонного повышения спроса. С последующим его падением погрешность сжимается.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 329–381

Скользящая средняя позволяет прекрасно сглаживать данные. Но ее главный недостаток заключатся в том, что каждое значение в исходных данных для нее имеет одинаковый вес. Например, для средней скользящей использующей период шести недель каждому значению для каждой недели уделяется 1/6 веса. В случае некоторых собранных статистических данных более актуальным значениям присваивается больший вес. Поэтому экспоненциальное сглаживание применятся для того, чтобы придать самым актуальным данным большего веса. Таким образом решается данная статистическая проблема.

Формула расчета метода экспоненциального сглаживания в Excel

Ниже на рисунке изображен отчет спроса на определенный продукт за 26 недель. Столбец «Спрос» содержит информацию о количестве проданного товара. В столбце «Прогноз» – формула:

В столбце «Скользящая средняя» определяется прогнозируемый спрос, рассчитанный с помощью обычного вычисления скользящей средней с периодом 6 недель:

В последнем столбце «Прогноз», с описанной выше формулой применяется метод экспоненциального сглаживания данных в которых значения последних недель имеет больший вес чем предыдущих.

Коэффициент «Альфа:» вводится в ячейке G1, он значит вес присвоения наиболее актуальным данным. В данном примере он имеет значение 30%. Остальные 70% веса распределяется на остальные данные. То есть второе значение с точки зрения актуальности (с право на лево) имеет вес равный 30% от оставшихся 70% веса – это 21%, третье значение имеет вес равен 30% от остальной части 70% веса – 14,7% и так далее.

График экспоненциального сглаживания

Ниже на рисунке изображен график спроса, среднее скользящие и прогноз методом экспоненциального сглаживания, который построен на основе исходных значений:

Обратите внимание, что прогноз с экспоненциальным сглаживанием более активно реагирует на изменения спроса чем скользящая средняя линия.

Данные для очередных предыдущих недель умножаются на коэффициент альфа, а результат добавляется к оставшейся части процентов веса умноженный на предыдущее прогнозируемое значение.