Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

«МАОУ Лицей №3 им. »

Разработка материала по теме:

«КОМБИНАЦИИ ШАРА С КОНУСОМ И ПИРАМИДОЙ»

Цель : 1) систематизировать и обобщить знания по комбина-

циям шара с конусом и пирамидой;

2) способствовать формирования учебных компетентностей по самос-

тоятельному приобретению знаний, продолжить подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ.

Рассматриваемые вопросы:

1) Шар, вписанный в конус.

2) Шар, описанный около конуса.

3) Шар, вписанный в пирамиду.

4) Шар, описанный около пирамиды.

5) Шар, вписанный в усечённый конус.

Особое внимание - на два основополагающих вопроса при рассмотрении

комбинаций с шаром:

а) где находится центр шара;

б) какой отрезок является радиусом.

1. Шар, вписанный в конус .

в) Осевым сечением данной комбинации тел является треугольник, вписанный в окруж-ность, радиус которой равен радиусу вписанного шара. Центр окружности является цент-ром шара и находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, являющегося его осевым сечением.

Если конус равносторонний, то Rш= ,

В общем случае Rш=, Rш=https://pandia.ru/text/80/196/images/image005_4.gif" width="37" height="43">, где ℓ- образующая;

r - радиус основания, 100%">

Vк= Sосн H. где Н= SN. Vш= πR3, где R - радиус шара. R3=3Vш.∕4π=3∙8∕4π=6\π.

Выразим объём конуса через R3. Vк..gif" width="31" height="41 src=">.gif" width="36" height="44">=√3R..gif" width="12" height="23 src=">SN=NB∙tg60˚=√3∙√3R=3R. Vк=π∙3R2∙3R=3π∙=18.

ОТВЕТ: Vк=18.

В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом ά. Найти площадь полной поверхности конуса.

Рассмотрим ΔКОВ (<К-90˚), tg =; КB==OK∙ctg https://pandia.ru/text/80/196/images/image020_1.gif" width="29" height="41 src="> , SB= =.

Sосн.= π r2ctg2 ;

Sбок.=.

Sполн. =().

ОТВЕТ: https://pandia.ru/text/80/196/images/image010_2.gif" width="12" height="23 src=">.jpg" width="611" height="143 src=">

АО=SO=OB=Rш SO=AO=OB= Rш AO=SO=SB= Rш

центр шара внутри конуса центр шара вне конуса центр на основании конуса

∆ASB - прямоугольный

Замечание: Для решения задач часто удобно пользоваться осевым сечением данной комбинации тел – треугольник, вписанный в окружность; при этом радиус описанной сферы равен радиусу описанной окружности около треугольника (равнобедренного, равностороннего или прямоугольного равнобедренного).

https://pandia.ru/text/80/196/images/image029_0.gif" width="607" height="69">

3. Шар, описанный около пирамиды.

Определение: Шар называется описанным около произвольной пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на его поверхности.

3случая: - центр шара внутри пирамиды;

- вне её;

- в плоскости её основания.

!! Центр шара не всегда внутри пирамиды.

Опустим перпендикуляр ОК на грань SDC.

К – центр окружности, описанной около ∆DSC.

KD=KC=KS как проекции равных наклонных OD=OS=OC=Rш.

ВЫВОД. Если около пирамиды описан шар, то его центр лежит на пересечении перпендикуляров восставленных из центров кругов, описанных около треугольников, являющихся гранями пирамиды.

Замечание: Если из точки О опустить перпендикуляр на ребро основания, то основание перпендикуляра – середина ребра.

Теорема: Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно этим ребрам.

Замечание: Все теоремы со слова «если…», т. е. не всегда можно описать шар.

ВЫВОД. Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.

ЗАДАЧА (решают на доске).

Основание треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной, рав-

ной 12 √15. Одна из боковых граней является также правильным треугольником и

перпендикулярна к плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной около

4. Шар, вписанный в пирамиду.

Шар называется вписанным в произвольную пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания).

Аналогично можно для любых ребер, получим вновь биссектрису линейного двугранного угла. Плоскость, проходящая через биссектрису, называется биссектором , биссекторной или биссектральной двугранных углов пирамиды.

Теорема: Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.

Теорема обратная: Если биссекторные плоскости всех пересекаются в одной точке, то в пирамиду можно вписать шар.

Замечание: Однако в общем случае необязательно все биссекторные плоскости пересекаются в одной точке, поэтому не всегда в пирамиду можно вписать шар.

Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.

Теорема 2. В правильную n-угольную пирамиду можно вписать шар.

В какую пирамиду нельзя вписать шар?

Четырёхугольная пирамида, если в её основании неправильный четырёхугольник и все биссекторные плоскости не пересекаются.

https://pandia.ru/text/80/196/images/image047.jpg" align="left" width="512" height="190 src=">

По условию SP:PO=2:3.

https://pandia.ru/text/80/196/images/image050_0.gif" width="465" height="419 src=">

Задача.

В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α вписан шар. Найти объём шара, если боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.

Дано: SАВСД - пирамида, АВСD- ромб, АВ=а, BAD=α, в пирами-

ду вписан шар, SDCO=100%">

SPO=β – линейный угол двугранного угла SDCO.

https://pandia.ru/text/80/196/images/image038.gif" width="17" height="16">S – общий; SKM=SOP=90°)https://pandia.ru/text/80/196/images/image038.gif" width="17" height="16 src=">SMK=SPO=β.

Далее можно предложить учащимся упростить полученное выражение (если нужно, то можно напомнить универсальную подстановку: ).

После преобразований имеем

а) Шар называется вписанным в усечённый конус , если он касается оснований конуса в их центрах и конической поверхности.

б) Осевым сечением данной комбинации тел является окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, радиус которой равен радиусу вписанного шара.

В) Для того, чтобы в усечённый конус можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы сумма его диаметров равнялась удвоенной величине образующей.

d +D=2ℓ или r+ R=ℓ, ℓ-образующая конуса, r, R - радиусы оснований конуса.

г) Центр описанного шара находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований.

Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью его основания угол в 60°. Найти площадь поверхности вписанного в этот конус шара, если площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 4см2.

Задания для самостоятельной работы

А. Вписанный шар в пирамиду.

1. В шар радиуса 5 см вписана правильная четырёхугольная пирамида, при этом её основание оказалось вписанным в круг радиуса 3 см. Высота пирамиды больше радиуса шара. Определить объём пирамиды.

2. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Длина стороны основания пирамиды 12 см, высота пирамиды 6 см. Найти радиус шара.

3. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар. Сторона основания равна а, плоский угол при вершине равен α. Найти радиус шара.

4. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объём шара, если объём конуса 27 см3.

Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.

Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.

Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.

Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.

Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что

В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:

Из прямоугольного треугольника OO1F

При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.

Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности.

Центр О вписанного шара (рис.) лежит на высоте пирамиды, а точки касания К, L, М, N шара с боковыми гранями лежат на апофемах ЕК 1 , EL 1 , EM 1 , EN 1 (ср. задачу 266). Четырехугольник KLMN - квадрат, являющийся основанием пирамиды, объем которой требуется определить.

Проведем через радиусы ОМ и ON плоскость NOM. Она будет перпендикулярна к грани ВЕС (так как проходит через прямую ОМ, перпендикулярную к плоскости ВЕС), а также к грани DEC (так как проходит через ON). Следовательно, плоскость NOM перпендикулярна к ребру ЕС.

Пусть Р - точка пересечения плоскости NOM с ребром ЕС. Тогда угол NPM есть линейный угол двугранного угла α . В четырехугольнике OMPN два угла (при вершинах М и N) прямые. Следовательно, ∠ NОМ =180° - α . Значит,

Из треугольника ОО 1 М, где О 1 M = a / √ 2 находим

Похожие примеры:

В правильной треугольной пирамиде со стороной основания, равной а , углы между ребрами при ее вершине равны между собой и каждый равен α (α < 90°). Определить углы между боковыми гранями пирамиды и площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру.

183. Легко доказать, что середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы, является центром вписанного и описанного шаров. Радиус круга, вписанного в основание, равен радиусу вписанного шара. Пусть r -радиус вписанного шара, R - радиус описанного шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются одна из вершин основания, центр основания и центр шаров. Имеем R 2 = r 2 + r 2 1 , где . Отсюда

Отношение объема описанного шара к объему вписанного шара равно

184. Радиусы описанного и вписанного шаров равны отрезкам высоты тетраэдра, на которые она делится общим центром этих шаров. Легко обнаружить, что отношение этих отрезков равно 3:1.

В самом деле, из подобных треугольников BQO и ВРK (рис. 188) имеем:

Так как поверхности шаров относятся как квадраты их радиусов, то искомое отношение равно 9.

______________________________________________

185. Объемы правильных, тетраэдров относятся как кубы радиусов вписанных в них шаров. Так как шар, вписанный в больший тетраэдр, является описанным вокруг меньшего тетраэдра, то отношение упомянутых радиусов вписанных шаров (см. решение задачи 184) равно 3:1. Следовательно, искомое отношение объемов равно 3 3 = 27.

______________________________________________

186. Допустим, что задача разрешима. Проведем плоскость A 1 B 1 C 1 (см. рис. 189, а), касающуюся меньшего шара и параллельную основанию AВС данного тетраэдра. Тетраэдр SA 1 B 1 C 1 описан около шара радиуса r . Легко найти, что высота его SQ 1 = 4r (см. задачу 184).

Пусть длина ребра тетраэдра SABC равна х . Тогда отрезок AQ = x √ 3 / 3 , а высота SQ = x √ 6 / 3 .

Решив квадратное уравнение, найдем

x 1,2 = r √6 ± √ R 2 - 3r 2 .

В этой формуле следует взять лишь корень со знаком плюс, ибо SA во всяком случае больше, чем 3r , а 3r > r √6 .

Очевидно, что задача возможна при условии R > √3 r

______________________________________________

187. Пусть A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильный шестиугольник, полученный в сечении куба. Задача сводится к определению радиуса шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (рис. 190).

Сторона основания пирамиды равна a √ 2 / 2 , а высота равна a √ 3 / 2

Пользуясь тем, что радиус шара, вписанного в пирамиду, равен утроенному объему пирамиды, деленному на ее полную поверхность (см. формулу (1) в решении задачи ), находим:

Следовательно, искомое отношение равно

______________________________________________

188. Пусть О - центр сферы, а AS, BS и CS - данные хорды. Очевидно, что треугольник ABC равносторонний (рис. 191).

Легко видеть также, что перпендикуляр SO 1 на плоскость ABC при продолжении проходит через центр сферы О, так как точка O 1 является центром круга, описанного около /\ ABC.

Обозначим после этих замечаний через d искомую длину хорд. Из треугольника SAB находим:

АВ = 2d sin α / 2

и, следовательно,

Вычисляя двумя способами площадь равнобедренного треугольника SOA, получаем:

______________________________________________

189. Радиус вписанного шара r мы найдем по формуле (ср. формулу (1) в решении задачи )

где V-объем пирамиды, a S - ее полная поверхность.

Найдем сначала объем пирамиды. Заметим для этого, что прямоугольные треугольники BSC и BSA (рис. 192) равны по равным гипотенузам и общему катету. Ввиду этого прямоугольный треугольник ASC является равнобедренным. Так как

AS = CS = √a 2 - b 2 ,

то, следовательно,

______________________________________________

190. Обозначим через r радиус вписанного шара, а через R радиус описанного шара.

Рассмотрим сначала треугольник SFE, одна из сторон которого SF является высотой пирамиды, а другая SE-высотой боковой грани (рис. 193, а). Пусть О-центр вписанного шара. Из треугольников SFE и OFE (рис. 193, б) имеем:

FE= r ctg φ / 2 ,

SF = r ctg φ / 2 tg φ .

DF = EF√2

Обращаясь к рис. 193, в, где изображено сечение, проведенное через ось пирамиды и ее боковое ребро, мы легко найдем:

DO 1 2 = O 1 F 2 + DF 2

R 2 = (SF - R) 2 + DF 2 .

Так как R = 3r , то, подставляя сюда найденные ранее выражения для SF и DF, получаем уравнение относительно φ :

или после упрощения

6 tg φ / 2 tg φ = 2 + tg 2 φ .

7z 4 -6z 2 + l = 0.

Так как z > 0, то возможны лишь два ответа:

______________________________________________

191. Всего получается 6 двуугольников (по числу ребер) и 4 треугольника (рис. 194).

Обозначим через S 1 площадь каждого из треугольников и через S 2 -площадь каждого из двуугольников. Имеем:

4S 1 + 6S 2 = 4π R 2 . (1)

Пусть S 0 - сумма площадей одного треугольника и трех прилежащих к нему двуугольников. S 0 есть площадь сферического сегмента, отсеченного плоскостью грани тетраэдра. Эта площадь равна 2π Rh , где h - высота сегмента. Так как высота тетраэдра делится центром сферы в отношении 3:1 (см. задачу 184), то

H = R + 1 / 3 R = 4 / 3 R

откуда находим h = 2R - 4 / 3 R= 2 / 3 R.

S 1 + 3S 2 = 2π R 2 / 3 R = 4 / 3 π R 2 . (2)

Решив систему, состоящую из уравнений (1) и (2), относительно неизвестных S 1 и S 2 , получаем:

S 1 = 2 / 3 π R 2 , S 2 = 2 / 9 π R 2

______________________________________________

192. Пусть R-радиус основания конуса, α - угол между осью конуса и образующей, r - радиус вписанного шара. В осевом сечении конуса имеем равнобедренный треугольник ABC (рис. 195).

Радиус круга, вписанного в этот треугольник, равен радиусу r вписанного в конус шара. Пусть О - центр круга, / ОСА = β .

Тогда очевидно, что tg β = r / R . Но по условию задачи

Отсюда r / R = 1 / √ 3 и, следовательно, β = π / 6 . Так как, кроме того, α +2β = π / 2 , то α = π / 6 . Следовательно, искомый угол 2α = π / 3 .

______________________________________________

193. Пусть r - радиус полусферы, R - радиус основания конуса, l -образующая конуса, α - угол между осью конуса и образующей.

По условию задачи имеем

Введем в это равенство угол α . Для этого рассмотрим равнобедренный /\ ABC (рис. 196), получающийся в осевом сечении конуса. Из /\ ABC находим

R = l sin α , r = R cos α = l sin α cos α .

Шар, вписанный в пирамиду. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка https://goo.gl/xiegDR Прикольный пример задания ЕГЭ по профильной математике Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» https://goo.gl/VgQWz2 IQ тест Быстрый счёт за минуту #video https://goo.gl/VUqGTg Пройдите этот Математический тест на IQ и узнайте свой IQ Пожалуй, самый странный, но быстрый тест на IQ https://goo.gl/HqEFzC Чем быстрее вы ответили, тем выше ваш интеллект. Так насколько вы умны? Помните, что вопросы не так просты, как кажутся. Как решать неравенства с дробями https://goo.gl/fMDa1X Как сдать ДВИ по математике в МГУ https://goo.gl/GMvSSV Действия с обыкновенными дробями решу огэ Пять с плюсом https://goo.gl/ki1Tdm Поступление в МГУ. Гайд будущим абитуриентам https://goo.gl/zStcyc Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 9 см. Окружность касается сторон прямоугольника, проходит через вершину С и пересекает сторону в точке. Найдите площадь трапеции. Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) - значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности: Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную поверхность: Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды, основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны). Без комментариев репетитора, стереометрия. Радиус шара вписанного в пирамиду #math #радиус #шара #вписанного #пирамиду В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота пирамиды SA=1. Найдите радиус шара вписанного в данную пирамиду. ДВИ МГУ, стереометрия. Тут в условии есть явное несоответствие. Если пирамида обозначена как SABCD, то в основании лежит не треугольник, а четырёхугольник. Пардон, SABC. В пирамиде. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду. - смотрите как решать. Школа Яндекса ШАД. Я вам фотографии отправлю, а вы как можно быстрее ответы отправите, видео не надо. Картинки в пирамиде. Найдите радиус шара, вписанного в картинки. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду #stereometry #pyramide #piramida #pyramids метод направленных площадей. Задачи являются одной из составляющих процесса обучения школьников геометрии. Геометрические задачи представляют собой мощное средство для развития многих качеств мышления. При их решении приходится анализировать и исследовать условие задачи, осуществлять поиск решения, формулировать гипотезу, проводить доказательные рассуждения. Репетитор Пойа, рассматривая роль задач в математике, писал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи методами Султанова». Решение планиметрических задач методом площадей