Чему равна серединная линия трапеции. Теоремы: свойства равнобедренной трапеции. Свойства диагоналей трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$ .

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. $AD\parallel BC$ , то углы $\angle BAD$ и $\angle ABC$ – односторонние при этих прямых и секущей $AB$ , следовательно, $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$ .

2) Т.к. $AD\parallel BC$ и $BD$ – секущая, то $\angle DBC=\angle BDA$ как накрест лежащие.
Также $\angle BOC=\angle AOD$ как вертикальные.
Следовательно, по двум углам $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ .

Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$ . Пусть $h$ – высота трапеции. Тогда $S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}$ . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку $M$ прямую $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. $MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB$ ) точка $N"$ - середина отрезка $CD$ . Значит, точки $N$ и $N"$ совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ . Пусть $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$ .

Тогда по теореме Фалеса $M"$ и $N"$ - середины отрезков $BB"$ и $CC"$ соответственно. Значит, $MM"$ – средняя линия $\triangle ABB"$ , $NN"$ - средняя линия $\triangle DCC"$ . Поэтому: \

Т.к. $MN\parallel AD\parallel BC$ и $BB", CC"\perp AD$ , то $B"M"N"C"$ и $BM"N"C$ – прямоугольники. По теореме Фалеса из $MN\parallel AD$ и $AM=MB$ следует, что $B"M"=M"B$ . Значит, $B"M"N"C"$ и $BM"N"C$ – равные прямоугольники, следовательно, $M"N"=B"C"=BC$ .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки $P$ , $N$ и $M$ лежат на одной прямой.

Проведем прямую $PN$ ($P$ – точка пересечения продолжений боковых сторон, $N$ – середина $BC$ ). Пусть она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

Рассмотрим $\triangle BPN$ и $\triangle APM$ . Они подобны по двум углам ($\angle APM$ – общий, $\angle PAM=\angle PBN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $AB$ секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим $\triangle CPN$ и $\triangle DPM$ . Они подобны по двум углам ($\angle DPM$ – общий, $\angle PDM=\angle PCN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $CD$ секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}$ . Но $BN=NC$ , следовательно, $AM=DM$ .

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

Пусть $N$ – середина $BC$ , $O$ – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую $NO$ , она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ($\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично $\triangle CON\sim \triangle AOM$ . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}$ . Но $BN=CN$ , следовательно, $AM=MD$ .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ .

Из вершин $B$ и $C$ опустим на сторону $AD$ перпендикуляры $BM$ и $CN$ соответственно. Так как $BM\perp AD$ и $CN\perp AD$ , то $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , тогда $MBCN$ – параллелограмм, следовательно, $BM = CN$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $CDN$ . Так как у них равны гипотенузы и катет $BM$ равен катету $CN$ , то эти треугольники равны, следовательно, $\angle DAB = \angle CDA$ .

Т.к. $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$ – общая, то по первому признаку . Следовательно, $AC=BD$ .

3) Т.к. $\triangle ABD=\triangle ACD$ , то $\angle BDA=\angle CAD$ . Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и $\triangle BOC$ – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ , такую что $\angle A = \angle D$ .

Достроим трапецию до треугольника $AED$ как показано на рисунке. Так как $\angle 1 = \angle 2$ , то треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = ED$ . Углы $1$ и $3$ равны как соответственные при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Аналогично равны углы $2$ и $4$ , но $\angle 1 = \angle 2$ , тогда $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$ , следовательно, треугольник $BEC$ тоже равнобедренный и $BE = EC$ .

В итоге $AB = AE - BE = DE - CE = CD$ , то есть $AB = CD$ , что и требовалось доказать.

2) Пусть $AC=BD$ . Т.к. $\triangle AOD\sim \triangle BOC$ , то обозначим их коэффициент подобия за $k$ . Тогда если $BO=x$ , то $OD=kx$ . Аналогично $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Т.к. $AC=BD$ , то $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Значит $\triangle AOD$ – равнобедренный и $\angle OAD=\angle ODA$ .

Таким образом, по первому признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$ – общая). Значит, $AB=CD$ , чтд.

Цели урока:

1) познакомить учащихся с понятием средней линии трапеции, рассмотреть её свойства и доказать их;

2) научить строить среднюю линию трапеции;

3) развивать умение учащихся использовать определение средней линии трапеции и свойства средней линии трапеции при решении задач;

4) продолжать формировать у учащихся умение говорить грамотно, используя необходимые математические термины; доказывать свою точку зрения;

5) развивать логическое мышление, память, внимание.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания происходит в течение урока. Домашнее задание было устным, вспомнить:

а) определение трапеции; виды трапеций;

б) определение средней линии треугольника;

в) свойство средней линии треугольника;

г) признак средней линии треугольника.

2. Изучение нового материала.

а) На доске изображена трапеция ABCD.

б) Учитель предлагает вспомнить определение трапеции. На каждой парте имеется схема-подсказка, помогающая вспомнить основные понятия в теме “Трапеция” (см. Приложение 1). Приложение 1 выдаётся на каждую парту.

Ученики изображают трапецию ABCD в тетради.

в) Учитель предлагает вспомнить, в какой теме встречалось понятие средней линии (“Средняя линия треугольника”). Учащиеся вспоминают определение средней линии треугольника и её свойство.

д) Записывают определение средней линии трапеции, изображая её в тетради.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Свойство средней линии трапеции на данном этапе остаётся не доказанным, поэтому следующий этап урока предполагает работу над доказательством свойства средней линии трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция,

MN – средняя линия ABCD

Доказать , что:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Можно выписать некоторые следствия, вытекающие из условия теоремы:

AM = MB, CN = ND, BC || AD.

На основании только перечисленных свойств доказать требуемое невозможно. Система вопросов и упражнений должна подвести учащихся к желанию связать среднюю линию трапеции со средней линией какого-нибудь треугольника, свойства которой они уже знают. Если предложений не последует, то можно задать вопрос: как построить треугольник, для которого отрезок MN являлся бы средней линией?

Запишем дополнительное построение для одного из случаев.

Проведём прямую BN, пересекающую продолжение стороны AD в точке K.

Появляется дополнительные элементы – треугольники: ABD, BNM, DNK, BCN. Если мы докажем, что BN = NK, то это будет означать, что MN – средняя линия ABD, а дальше можно будет воспользоваться свойством средней линии треугольника и доказать необходимое.

Доказательство:

1. Рассмотрим BNC и DNK, в них:

а) CNB =DNK (свойство вертикальных углов);

б) BCN = NDK (свойство внутренних накрест лежащих углов);

в) CN = ND (по следствию из условия теоремы).

Значит BNC =DNK (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Доказательство можно провести на уроке устно, а дома восстановить и записать в тетради (на усмотрение учителя).

Необходимо сказать и о других возможных способ доказательства этой теоремы:

1. Провести одну из диагоналей трапеции и использовать признак и свойство средней линии треугольника.

2. Провести CF || BA и рассмотреть параллелограмм ABCF и DCF.

3. Провести EF || BA и рассмотреть равенство FND и ENC.

ж) На этом этапе задаётся домашнее задание: п. 84, учебник под ред. Атанасяна Л.С. (доказательство свойства средней линии трапеции векторным способом), записать в тетради.

з) Решаем задачи на использование определения и свойства средней линии трапеции по готовым чертежам (см. Приложение 2). Приложение 2 выдаётся каждому учащемуся, и решение задач оформляется на этом же листе в краткой форме.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобны
Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)
Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции - являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными - они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это - треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b - основания трапеции

c, d - боковые стороны трапеции

d1 d2 - диагонали трапеции

α β - углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 49. ТРАПЕЦИЯ.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC || BD. АВDС - трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями ; АВ и СD - основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD - боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной .

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (черт. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (черт. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС - средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (черт. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;
2)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:
ВС = СD - по условию;
/ 1 = / 2, как вертикальные,
/ 4 = / 3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, /\ АBС = /\ DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно (§ 48):

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;
2) , но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что сумма внутренних углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 2d .

2. Доказать, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

3. Доказать, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

4. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

5. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

6. Доказать, что периметр фигуры, образованной отрезками, соединяющими середины сторон четырёхугольника, равен сумме диагоналей этого четырёхугольника.

7. Доказать, что прямая, проходящая через середину одной из боковых сторон трапеции параллельно её основаниям, делит другую боковую сторону трапеции пополам.