Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA 1 B 1 C 1 у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Докажем, что ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместиласьA 1 , а вершины B и B 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Возможны три случая: 1) луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. а)); 2)луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Следовательно, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Доказать: ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A →A 1 , а B → B 1 , а С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Рассмотрим случай. луч С 1 С проходит внутри ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение : Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства :

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) (особое свойство)

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0)

признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3) если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства :

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1 ) Если ABСD – парал-м, и АС DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3) Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

>>Геометрия: Третий признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Третий признак равенства треугольников.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Признаки равенства треугольников”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении треугольников с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Из истории математики.
2. Признаки равенства треугольников.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Прямоугольные треугольники.

Из истории математики.
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала нам необходимо освежить в памяти предыдущие признаки равенства треугольников. И так начнем с первого.

1-ый признак равенства треугольников.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 (рис. 68). Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

Рис. 68

Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , сторона АВ - с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1 .

Так как ∠A = ∠A 1 и ∠B = ∠B 1 , то сторона АС, наложится на луч А 1 С 1 , а сторона ВС - на луч В 1 С 1 . Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А 1 С 1 , так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С 1 . Значит, совместятся стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 .

Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1 , СА = С 1 А 1 (рис. 69).

Рис. 69

Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 . Приложим треугольник АВС к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В - с вершйной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 B 1 (рис. 70).

Рис. 70

Возможны три случая: луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, а); луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и А 1 С 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Итак, АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 , ∠C = ∠C 1 .

Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура . Поясним, что это означает.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).

Рис. 71

Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Это свойство - жёсткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).

Рис. 72

Задачи

121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажите, что Δ СВО = Δ DAO;
б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что Δ АВС = Δ CDA;
б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.

123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.

Рис. 73

125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Рис. 74

126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.

127. В треугольниках АВС и А 1 B 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , ВС = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 . На сторонах АВ и A 1 B 1 отмечены точки D и D 1 так, что ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Докажите, что Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что Δ ВОА = Δ DOC.

130. В треугольниках АВС и A 1 В 1 С 1 отрезки СО и С 1 О 1 - медианы, BC = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 и ∠C = ∠C 1 . Докажите, что:

а) Δ АСО = Δ А 1 С 1 О 1 ;
б) Δ ВСO = Δ В 1 С 1 O.

131. В треугольниках DEF и MNP EF - NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N - в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный.

133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник - равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.

138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Рис. 75

139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE - биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) Δ АВЕ = Δ CDF.

Рис. 76

140. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 медианы ВМ и В 1 М 1 равны, АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

141. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 отрезки AD и A 1 D 1 - биссектрисы, АВ = А 1 В 1 , BD = B 1 D 1 и AD = A 1 D 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Ответы к задачам

121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.

122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.

142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.

В разделе на вопрос 3 признак равенства треугольников (3 случай) доказать заданный автором Котик лучший ответ это сли три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано:
2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Два треугольника с тремя равными сторонами
Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Доказательство
Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Наложение двух треугольников
Три возможных случая при наложении треугольников

Первый случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
Второй случай

Третий случай
Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
Первый случай
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны.
Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать
Второй случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник САС1.
Второй случай
Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 - равнобедренный.
По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1. Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
Третий случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
Третий случай доказательство
По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
Рассмотрим треугольник АСС1.
Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.