Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Видеоурок «Целое уравнение и его корни» дает представление о целом уравнении, видах таких уравнений, приведении уравнения к стандартному виду, решении подобных уравнений. Задача данного видеоурока - облегчить усвоение материала по данной теме, формировать умения решать задания, в которых используются целые уравнения, способствовать запоминанию учебного материала.

Оформление наглядного материала в виде урока дает возможность заменить учителя в части подачи стандартного блока нового материала, освободить учителя для углубления индивидуальной работы. Видеоматериал помогает сконцентрировать внимание учащихся на освоении нового материала, помогает глубже его понять и лучше запомнить.

Видеоурок начинается с представления темы урока. На экране отображается определение целого уравнения, содержащего одну переменную, как уравнения, обе части которого представляют собой целые выражения. Ниже приведены примеры таких уравнений: (х 5 -2) 2 +х 3 =х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36)=2(х+8)-2. Далее рассматривается преобразование уравнений, при котором все его слагаемые переносятся из правой части в левую, раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. После этого уравнение принимает вид, в котором левая его часть представляет собой многочлен, а правой части - 0. Отмечается, что в ходе преобразований получается уравнение, равносильное данному. К тому же уравнение, к которому приведено исходное, в общем виде можно записать: Р(х)=0, где Р(х) - многочлен стандартного вида.

Рассмотренные примеры подводят к общему выводу о том, что любое целое уравнение, содержащее одну переменную, может быть приведено к виду Р(х)=0, где Р(х) - многочлен, степень которого является степенью данного уравнения. То есть степень некоторого произвольного целого уравнения может быть определена после приведения его к равносильному уравнению вида Р(х)=0 и равна степени многочлена Р(х).

Далее рассматривается уравнение первой степени - такое уравнение, которое приводится к виду ах+b=0 с одной переменной х, числами а и b, при этом а≠0. Корень данного уравнения находится по формулех=-b/a. Отмечается, что такое уравнение имеет один корень.

Также предлагается рассмотреть решение уравнения второй степени, которое приводится к виду ах 2 +bx+c=0, содержащее переменную х, некоторые числа а, b, c, при этом а≠0. Известен способ нахождения корней данного уравнения путем вычисления дискриминанта. На экране отображается формула нахождения дискриминанта для уравнения второй степени: D=b 2 -4ac. В зависимости от значения дискриминанта, может быть два корня уравнения - D>0, один - для D=0, или корни отсутствуют D<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

Ученикам представляются также уравнения третьей и четвертой степени, которые приводятся к видам ах 3 +bx 2 +cх+d=0 и ах 4 +bx 3 +cх 2 +dх+e=0. В каждом из этих уравнений имеется одна переменная х, коэффициент при старшей степени a≠0, остальные коэффициенты - некоторые числа. Уточняется, что уравнение третьей степени не может иметь более трех корней, а уравнение четвертой степени имеет не более четырех корней. В качестве дополнительной информации ученикам сообщается, что формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертой степени существуют, но они громоздкие и неудобные в применении, а для уравнений пятой степени и выше формул для нахождения корней не существует. Однако решить такие уравнения иногда удается при помощи специальных приемов, которые позволяют упростить выражение и найти корни.

На примере демонстрируется один из способов, как можно найти корни уравнения, не применяя сложных формул нахождения корней.Описывается, каким образом решение некоторых уравнений можно найти с помощью разложения многочлена на множители. Уравнение х 3 -27x 2 -х+27=0 раскладывается на множители, выведя за скобки общий множитель (х-27). В результате преобразований получим произведение (х-27)(х-1)(х+1)=0 Полученное уравнение сводится к нахождению решений трех уравнений х-27, х-1, х+1. Из этих уравнений легко найти корни х 1 =27, х 2 =1, х 3 =-1.

Далее рассматривается еще один способ решения уравнений высокой степени - способ введения новой переменной. Применение способа описывается на примере решения уравнения (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Сначала все члены уравнения переносятся в левую часть, раскрываются скобки. После данный преобразований получается многочлен стандартного вида 4 степени. Однако, подметив особенность данного уравнения - то, что в исходном уравнении есть одинаковые части х 2 +х, вводим новую переменную для обозначения этого выражения: х 2 +х=у. после подстановки новой переменной в уравнение, получим уравнение вида (у-1)(у-4)=-2. После приведения уравнения к стандартному виду получается обычное квадратное уравнение, корнями которого будут у 1 =2, у 2 =3. Значение корней у подставим в выражение для определения значения искомых х. Нахождение корней уравнения сводится к решению двух уравнений х 2 +х=2 и х 2 +х=3. В результате вычислений будут найдены корни данных уравнений будут х 1 =1, х 2 =-2, х 3 ≈1,3, х 4 ≈-2,3. Отмечается, что данным способом нередко решают уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0, в которых х является переменной, a, b, c - некоторыми числами, где а≠0. На экране дается определение биквадратного уравнения как уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0са≠0.

Для закрепления полученных знаний о решении уравнений способом введения новых переменных предлагается рассмотреть решение биквадратного уравнения 16х 4 -8х 2 +1=0. Вводится новая переменная у=х 2 . После ее введения образуется квадратное уравнение, имеющее один корень у=0,25. После подстановки значение новой переменной в выражение для ее определения можно найти корни уравнения х 1 =0,5 и х 2 =-0,5.

Видеоурок«Целое уравнение и его корни» подробно и наглядно представляет учащимся материал по данной теме, поэтому может быть использован учителем не только на уроке в школе, но также при дистанционном обучении, рекомендуется для самостоятельного освоения темы.

В данном уроке мы продолжаем углубляться в тему «Уравнение с одной переменной». Напомним, что для того, чтобы решить абсолютно любое уравнение, необходимо найти все подходящие значения аргументов, которые делают уравнение верным равенством. Подходящее значение или значение неизвестных или корни уравнения – всё это синонимы, и необходимо их найти или же доказать, что корней в уравнении нет.

Правда теперь стоит поговорить о том, что такое «целое уравнение » и какое количество корней у него. Поэтому необходимо рассмотреть следующие два примера.

Квадрат разности «х» куб и «х» в пятой степени равняется «х» в шестой степени минус два, умноженное на разность «х» и одного.

Во втором уравнении «х» в четвёртой степени минус один, делённое на четыре, минус «х» в квадрате плюс один, делённое на два, равняется три «х» квадрат.

Если посмотреть внимательно, то обе части этих уравнений самостоятельно являются целыми выражениями. Это и есть целое уравнение. Теперь стоит дать чёткое определение целому уравнению с одной переменной (это такое уравнение, где обе части являются целыми выражениями ).

Что если мы упростим примеры? В первом уравнении для начала раскроем скобки, а после этого перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые. Все сделанные преобразования позволяют найти значение: «х» в пятой степени минус два «х» в кубе плюс два «х» минус один равняется нулю. Во втором уравнении повторяем проделанные операции по преобразованию. Однако изначально избавляемся от знаменателя, умножая уравнение на четыре. В итоге мы получаем, что «х» в четвёртой степени минус четырнадцать «х» в квадрате минус три равняется нулю. Мы сделали ряд трансформаций в первом и втором уравнениях, но они не изменили значения, а лишь привели к равносильным уравнениям.

Напомним, что равносильные уравнения также называют эквивалентными. Эквивалентность создаёт дополнительные свойства уравнения: симметрия (когда первое уравнение равносильно второму, то значит и второе равносильно первому) и транзитивность (если у нас есть три уравнения, где первое равносильно второму, а второе равносильно третьему, то это значит, что первое равносильно третьему в том числе). Удобность равносильности уравнений заключается в том, что над ними можно производить ряд упрощений, которые помогают сделать решение более простым.

В итоге мы видим уравнение следующего вида: «Р» от «х» равно нулю, где «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. Абсолютно любое целое уравнение заменятся с помощью равносильного, где одна часть выступает многочленом стандартного вида, а вторая – нулем. Уравнение может иметь формат записи, где «Р» от «х» выступают многочленом стандартного вида. В данном виде степенью уравнения выступает степень многочлена. Если же взять произвольное целое уравнение, то его степенью выступает степень равносильного уравнения, которое имеет вид «Р» от «х» равно нуль. Здесь «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. То есть мы получаем, что первое уравнение - уравнение пятой степени, а второе – уравнение четвёртой степени.

Если говорить об элементарном примере, где уравнение имеет одну переменную первой степени, то оно имеет следующий формат: сумма «ах» и «b» равняется нулю. Неизвестной переменной выступает «х», а «а» и «b» являются некоторыми числами. Более того, «а» не может равняться нулю, потому что является коэффициентом при переменной «х» и в ином случае переменная исчезает. Когда сделаем необходимые преобразования, то видим, чему равняется «х» (минус «b», поделённое на «а»). Это и выступает корнем уравнения или его значением (также говорят, что корень удовлетворяет данному уравнению). Может возникнуть вопрос: зачем вообще узнавать, сколько корней у уравнения? Ответ прост: так мы будем понимать, сколько решений оно имеет. Например, преимуществом уравнения первой степени в том, что оно имеет только одно решение (корень).

До того, как мы перейдём к более сложным примерам, необходимо вспомнить, какие операции можно осуществить по преобразованию уравнений. Среди них:

• Раскрытие скобок в любой части уравнения;
• Приведение подобных в любой части уравнения;
• Перенос любого члена в другую часть, предварительно изменив его знак на противоположный;
• Прибавление одинакового выражения к обеим частям уравнения;
• Вычитание одинакового выражения у обеих частей уравнений;
• Умножение и деление на число, не являющееся нулем, обеих частей уравнения. Однако данное свойство может добавить новые корни или избавить от них.

Проведя ряд таких преобразований, мы получаем равносильное уравнение.

Теперь рассмотрим уравнение второй степени. Его можно привести к виду суммы «ах» в квадрате, «bx» и «с», равное нулю. Здесь мы видим переменную «х», а также некоторые числа (в особенности «а» не может быть равно нулю, ведь тогда уравнение второй степени превратиться в уравнение первой степени). Для того чтобы понять, какое число корней имеет уравнение, необходимо найти значение дискриминанта «D», формулой которого является разница «b» в квадрате и четырёх «ас». Когда мы нашли дискриминант, мы понимает, что уравнение может иметь два решения (если дискриминант больше нуля), может иметь один корень (если равен нулю) и не иметь корней (если меньше нуля). Уравнение второй степени не может иметь больше двух корней. В тех случаях, когда есть два решения, доступна формула корня, где «х» равно минус «b» плюс корень из дискриминанта, поделённое на два «а».

Уравнение второй степени или же квадратное уравнение имеет корень, которое обращает трёхчлен в значение нуля или так называемое тождество. Если говорить о коэффициентах, которые используют в квадратном уравнении, то каждый имеет определённое название: «а» выступает старшим коэффициентом, «b» - коэффициент при «х» или второй коэффициент, а «с» - свободный член уравнения. Есть примеры, когда старший коэффициент равен единице, в таком случае квадратное уравнение называется приведённым. Уравнение второй степени может быть полным и неполным. Неполное квадратное уравнение – такое, в котором второй коэффициент или свободный член равен нулю. Что является графиком уравнения второй степени? Совершенно верно, это парабола, которая симметрична относительно оси ординат, и может иметь значение функции от нуля до плюс бесконечности или же от нуля до минус бесконечности. Вспомним по графику, какое количество пересечений парабола может иметь, ведь именно от этого зависит количество корней или решений. Когда пересечение происходит в одной точке, то есть при вершине, то получаем один корень или, как говорят, два совпадающих корня. Когда же парабола встречается с осью абсцисс дважды, то значит у нас два корня или два решений. По ряду принципов можно определить направленность параболы. Положительность основного коэффициента говорит о направлении ветвей вверх. Схожесть старшего и второго коэффициентов говорит о том, что график расположен в левой полуплоскости относительно оси ординат. Различие этих коэффициентов говорит о том, что фигура находится в правой части.

Если говорить об уравнениях более высокой степени, то их также можно привести к основному виду. Например, уравнение третей степени выглядит как сумма произведения «а» и «х» в кубе, «b» и «х» в квадрате, «сх» и d, всё равное нулю. Кубическое уравнение также имеет график функций, который на декартовой системе представлен в виде кубической параболы. Что по поводу уравнения четвёртой степени: сумма произведения «а» и «х» в четвёртой степени, «b» и «х» в кубе, «с» и «х» в квадрате, «dх» и «е». Уравнение четвёртой степени выступает наивысшим, потому что только до четвёртой степени возможно решение в радикалах или при различных значениях коэффициентов. Во всех случаях «а» не может равняться нулю по тому, что уравнение станет более низкой степени. Отметим, что уравнение с n-ой степенью не может иметь более n-ого количества корней . Можно вывести формулы корней для уравнений третей и четвёртой степени, однако они будут очень сложны, и запомнить их будет невозможно для учащегося. Если говорить об уравнениях пятой степени и выше, то там даже формулы корней не выведены. Как тогда можно решить уравнения третей степени и выше?

В данном случае необходимо использовать приёмы, которые помогут упростить решение. Первая подсказка – разложить многочлены на множители. Попробуем применить данный приём на практике, решая пример «х» куб минус восемь «х» квадрат минус «х» плюс восемь равно нулю. Когда сделаем необходимые преобразования (вынесем «х» квадрат за скобки, далее разность «х» и восемь вынести за скобки, напоследок разложим получившуюся формулу). В результате мы видим, что разность «х» и восемь равна нулю, разность «х» и один равна нулю и произведение «х» и один равна нулю. Так мы и доказали, что изначальное уравнение имеет три корня или три значения (восемь, один и минус один).

При решении уравнения выше второй степени, можно порой использовать приём введения новой переменны. Например, есть уравнение, где произведение «х» квадрат минус пять «х» плюс четыре и «х» квадрат минус пять «х» плюс шесть, оно равняется сто двадцати. В данном примере для того чтобы найти решение, необходимо всё перенести в левую часть и раскрыть скобки, сделав необходимые преобразования. Получаем «х» в четвёртой степени минус десять «х» в кубе плюс тридцать пять «х» в кубе минус пятьдесят «х» минус девяносто десть равно нулю. Даже если мы приведём подобные, то уравнение всё равно получится очень сложное, а решить его будет абсолютно невозможно. Поэтому посмотрим внимательнее на формулу и увидим, что разность «х» в квадрате и пять «х» повторяется в обеих скобках. Что если мы введём новую переменную «у» вместо данной части? Тогда мы получаем произведение суммы «у» и четыре и суммы «у» и шести, равное сто двадцати. Упростив, мы получаем квадратное уравнение с корнями минус шестнадцать и шесть. Теперь вместо «у» мы можем подставить разность «х» квадрат и пять «х». Уравнение «х» квадрат минус пять «х» равно минус шестнадцать не имеет корней, потому что дискриминант отрицательный. А второе квадратное уравнение имеет дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: минус один и шесть.

Метод введения новой переменной позволяет легко решить уравнения четвёртой степени, которые имеют следующий вид: произведение «а» и «х» в четвёртой степени плюс произведение «b» и «х» во второй степени плюс «с» равняется нулю. В данном случае «а» не может равняться нулю. Это пример биквадратного уравнения, потому что уравнение является квадратным относительно «х» в квадрате. Применим теорию на практике, решив уравнение девять «х» в четвёртой степени минус десять «х» во второй степени плюс один равно нулю. Вместо «х» квадрат введём новую переменную «у», тогда выйдет квадратное уравнение с «у», где дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: одна девятая и один. Теперь подставляем «х» в квадрате и получаем четыре значения корня «х»: минус одна третья, одна третья, минус один и один. Получается, что исходное биквадратное уравнение имеет четыре решения.

В результате урока нам удалось обобщить и создать систему по знаниям в теме “Уравнения”. Теперь учащиеся смогут логически решать сложные примеры, применяя новые приёмы, и анализирую процесс решения. Если осталось дополнительное время, то стоит провести небольшой опрос среди учащихся. Начните с того, чтобы вам дали определение, что такое уравнение с одной переменной. Далее попросите рассказать о процессе решения, и что такое корень, какое количество корней может иметь уравнение. Следующая важная часть знаний – равносильные или эквивалентные уравнения, поэтому необходимо, чтобы учащиеся разложили по полочкам характерные таким уравнениям свойства.

Целыми уравнениями называются уравнения, у которых правая и левая части являются целыми выражениями. Например, следующие уравнения будут являться целыми:

1. 2*(x 2 + 1)*(x - 1) = 6*x - (x + 7);

2. (x 4 - 1)/4 - (x 2 + 1)/2 = 3*x 2

Выполним над этими уравнениями равносильные преобразования: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Получим:

1. 2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2*x 3 - 2*x 2 - 3*x + 5 = 0.

2. x 4 - 1 - 2*(x 2 + 1) = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 - 12*x 2 = 0

x 4 - 14*x 2 - 3 = 0.

В результате получили уравнения вида P(x) = 0, где P(x) - многочлен в стандартном виде. Степень этого многочлена будет также являться степенью уравнения.

Степень уравнения

Степенью произвольного уравнения будет называться степень многочлена, полученного из уравнения путем проведения равносильных преобразований. Уравнения первой степени всегда будут приводимы к виду a*x + b = 0, где х - некоторая переменная, а и b - некоторые числа, причем а не должно равняться нулю.

Из этого уравнения получаем выражение для х.

Это число (-b/a) называется корнем уравнения. Уравнение первой степени будет иметь один корень. Корнем уравнения P(x) =0 называют любое значение переменной х, такое, что многочлен P(x) обращается в нуль.

Уравнения второй степени всегда можно привести к виду a*x 2 + b*x + x = 0, где х - некоторая независимая переменная, а а, b, c - произвольные числа, причем а не равняется нулю. Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D)/(2*a), где D = b 2 - 4*a*c.

Выражение D (b 2 - 4*a*c) называется дискриминантом. В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень либо не иметь корней.

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: (x = (-b/(2*a)). Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Уравнения третей степени можно привести к виду a*x 3 + b*x 2 + c*x + d = 0. Уравнение четвертой степени можно привести к виду a*x 4 + b*x 3 + c*x 2 + d*x + e = 0.

Любое уравнение n-ой степени имеет не более n корней. Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степени известны, но они очень сложны. Для уравнений больших степеней формул корней не существует.

Продолжаем разговор про решение уравнений . В этой статье мы подробно остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Сначала разберемся, уравнения какого вида называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробных рациональных уравнений, приведем примеры. Дальше получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров со всеми необходимыми пояснениями.

Навигация по странице.

Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x=1 , 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0 , , - это все рациональные уравнения.

Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называют целым , если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным (или дробным рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Так 3·x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5 – это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями. А и x:(5·x 3 +y 2)=3:(x−1):5 – примеры дробных рациональных уравнений.

Завершая этот пункт, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение целых уравнений

Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям . Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения :

• сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
• после этого в левой части уравнения образовавшееся стандартного вида.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае – к решению алгебраического уравнения степени n . Для наглядности разберем решение примера.

Пример.

Найдите корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3 .

Решение.

Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. Для этого, во-первых, перенесем выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0 . И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые : 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6 . Таким образом, решение исходного целого уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5·x−6=0 .

Вычисляем его дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 , он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле корней квадратного уравнения :

Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения . Сначала проверяем корень 6 , подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 , что то же самое, 63=63 . Это верное числовое равенство, следовательно, x=6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1 , имеем 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3 , откуда, 0=0 . При x=−1 исходное уравнение также обратилось в верное числовое равенство, следовательно, x=−1 тоже является корнем уравнения.

Ответ:

6 , −1 .

Здесь еще нужно заметить, что с представлением целого уравнения в виде алгебраического уравнения связан термин «степень целого уравнения». Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения.

Согласно этому определению целое уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители . При этом придерживаются следующего алгоритма:

• сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был нуль, для этого переносят выражение из правой части целого уравнения в левую;
• затем, полученное выражение в левой части представляют в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.

Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере.

Пример.

Решите целое уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .

Решение.

Сначала как обычно переносим выражение из правой части в левую часть уравнения, не забыв изменить знак, получаем (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Здесь достаточно очевидно, что не целесообразно преобразовывать левую часть полученного уравнения в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0 , решение которого сложно.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно x 2 −10·x+13 , тем самым представив ее в виде произведения. Имеем (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0 . Полученное уравнение равносильно исходному целому уравнению, и его, в свою очередь, можно заменить совокупностью двух квадратных уравнений x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0 . Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны . Они являются искомыми корнями исходного уравнения.

Ответ:

Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной . В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения.

Пример.

Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 +3·x+1) 2 +10=−2·(x 2 +3·x−4) .

Решение.

Сведение данного целого рационального уравнения к алгебраическому уравнению является, мягко говоря, не очень хорошей идеей, так как в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней. Поэтому, придется поискать другой способ решения.

Здесь несложно заметить, что можно ввести новую переменную y , и заменить ею выражение x 2 +3·x . Такая замена приводит нас к целому уравнению (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , которое после переноса выражения −2·(y−4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося там выражения, сводится к квадратному уравнению y 2 +4·y+3=0 . Корни этого уравнения y=−1 и y=−3 легко находятся, например, их можно подобрать, основываясь на теореме, обратной теореме Виета .

Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. Выполнив обратную замену, получаем два уравнения x 2 +3·x=−1 и x 2 +3·x=−3 , которые можно переписать как x 2 +3·x+1=0 и x 2 +3·x+3=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения . А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Ответ:

Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения.

Решение дробно рациональных уравнений

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше мы покажем, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь u/v , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с , которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0 . В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x)=0 и q(x)≠0 .

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения . Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида , надо

• решить целое рациональное уравнение p(x)=0 ;
• и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0 , при этом
• если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
• если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Это дробно рациональное уравнение, причем вида , где p(x)=3·x−2 , q(x)=5·x 2 −2=0 .

Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3·x−2=0 . Это линейное уравнение, корнем которого является x=2/3 .

Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5·x 2 −2≠0 . Подставляем в выражение 5·x 2 −2 вместо x число 2/3 , получаем . Условие выполнено, поэтому x=2/3 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

2/3 .

К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения :

• решить уравнение p(x)=0 ;
• найти ОДЗ переменной x ;
• взять корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.

Для примера решим дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Во-первых, решаем квадратное уравнение x 2 −2·x−11=0 . Его корни можно вычислить, используя формулу корней для четного второго коэффициента , имеем D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12 , и .

Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Ее составляют все числа, для которых x 2 +3·x≠0 , что то же самое x·(x+3)≠0 , откуда x≠0 , x≠−3 .

Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня .

Ответ:

Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения p(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, к примеру, 127/1101 и −31/59 . Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ.

В остальных случаях при решении уравнения , особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения p(x)=0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни целого уравнения (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0 , составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+14=0 , x+1=0 . Три из этих уравнений линейные и одно – квадратное, их мы умеем решать. Из первого уравнения находим x=1/2 , из второго – x=6 , из третьего – x=7 , x=−2 , из четвертого – x=−1 .

С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x в выражение x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112 , получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0 ;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Таким образом, 1/2 , 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.

Ответ:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Найдите корни дробного рационального уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни уравнения (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0 . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного 5·x 2 −7·x−1=0 и линейного x−2=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим два корня , а из второго уравнения имеем x=2 .

Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x , достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 +5·x−14=0 . Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2 , откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x , что .

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ:

Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p(x) представлено каким-либо числом. При этом

• если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
• если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример.

Решение.

Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x , при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.

Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x , при которых x 4 +5·x 3 ≠0 . Решениями уравнения x 4 +5·x 3 =0 являются 0 и −5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 ·(x+5)=0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 =0 и x+5=0 , откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x=0 и x=−5 .

Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.

Ответ:

Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как r(x)=s(x) , где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида .

Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)−s(x)=0 .

Также мы знаем, что можно любое , тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения r(x)−s(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида .

Так мы от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x) переходим к уравнению , а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x)=0 .

Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене r(x)−s(x)=0 на , и дальше на p(x)=0 , может произойти расширение области допустимых значений переменной x .

Следовательно, исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0 , к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение p(x)=0 , мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x)=s(x) . Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.

Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x) . Чтобы решить дробное рациональное уравнение r(x)=s(x) , надо

• Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.
• Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида .
• Решить уравнение p(x)=0 .
• Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробных рациональных уравнений:
.

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным пояснением хода решения, чтобы прояснить приведенный блок информации.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение .

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению .

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби . Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение: . Так мы приходим к уравнению .

На следующем этапе нам нужно решить уравнение −2·x−1=0 . Находим x=−1/2 .

Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2 , получаем , что то же самое, −1=−1 . Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x=−1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень x=−1/2 принадлежит ОДЗ, следовательно, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

−1/2 .

Рассмотрим еще пример.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Нам требуется решить дробно рациональное уравнение, пройдем все шаги алгоритма.

Во-первых, переносим слагаемое из правой части в левую, получаем .

Во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части: . В результате приходим к уравнению x=0 .

Его корень очевиден – это нуль.

На четвертом шаге остается выяснить, не является ли найденный корень посторонним для исходного дробно рационального уравнения. При его подстановке в исходное уравнение получается выражение . Очевидно, оно не имеет смысла, так как содержит деление на нуль. Откуда заключаем, что 0 является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

7 , что приводит к уравнению . Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно из правой части, то есть, . Теперь вычитаем из обеих частей тройки: . По аналогии , откуда , и дальше .

Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробного рационального уравнения.

Ответ:

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Школа: Филиал МОУ СОШ с. Святославка в с. Воздвиженка

Предмет: математика.

Учебный план – 5 часов в неделю (из них 3 ч. – алгебра, 2ч. – геометрия)

Тема: Целое уравнение и его корни. Решение целых уравнений.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

дидактическая : систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний учащихся по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.

развивающая : развитие личности учащегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

(Приложение 1)

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята ! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ГИА и ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ГИА и ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ГИА и ЕГЭ.

Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»

Эпигаф:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(поэт Р. Сеф).

Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

У равнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н. э. вавилоняне .

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

На них мы и заострим наше внимание.

(Приложение 2)

Актуализация знаний.

На дом вам было дано задание повторить тему уравнения и способы их решения.

Ø Что называется уравнением? ( Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной)

Ø Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое

равенство.)

Ø Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет.)

Я вам предлагаю решить несколько уравнений устно:

а) x2 = 0 е) x3 – 25x = 0

б) 3x – 6 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0

в) x2 – 9 = 0 з) x4 – x2 = 0

г) x2 = 1/36 и) x2 – 0,01 = 0,03

д) x2 = – 25 к) 19 – c2 = 10

Скажите, что объединяет эти уравнения? (одна переменная, целые уравнения и т. д.)

Ø Что называется целым уравнением с одной переменной? (Уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми

выражениями

Ø Что называется степенью целого уравнения? (Степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен

стандартного вида)

Ø Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой, п -ой степени (не более 2, 3, 4, п)

Знаю ли я методы решения целых уравнений?

Умею ли я применять эти методы?

Смогу ли я решать уравнения самостоятельно?

Чувствовали ли вы себя комфортно на уроке?

6. На «3» - табл№1 + 1 уравнение из оставшихся таблиц.

На «4» - табл№1 + по 1 уравнению из любых двух таблиц

На «5» - Табл№1 + по 1 уравнению из каждой оставшейся

таблицы

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Подведение итогов:

Заполнение таблицы самооценки

Выставление оценок

Дома: оставшиеся нерешёнными уравнения из всех таблиц дорешать.