Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90 º и/или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 2.24). Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

Рисунок 2.24

При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис. 2.25). Соединив полученные точки, получают двенадцатиугольник.

Рисунок 2.25

2.2.5 Деление окружности на пять и десять равных частей
и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника

Деление окружности на пять и десять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника показано на рис. 2.26.

Рисунок 2.26

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 2.26 а), получают точку А.Из точки А,как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки Адо точки 1 до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В(рис. 2.26 б). Отрезок 1Вравен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 2.26, в) радиусом К ,равным отрезку 1В,делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки 1 строят точки 2 и 5 (рис. 2.26, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем. Если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пятиугольник (рис. 2.26, г).

Деление окружности на десять равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 2.26), но сначала делят окружность на пять частей, начиная построение из точки 1, а затем из точки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 2.27, а). Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный десятиугольник(рис. 2.27, б).

Рисунок 2.27

2.2.6 Деление окружности на семь и четырнадцать равных
частей и построение правильного вписанного семиугольника и
четырнадцатиугольника

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 2.28 и 2.29.

Из любой точки окружности, например точки А, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 2.28, а) до пересечения с окружностью в точках В и D. Соединим точки Ви Dпрямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Радиусом, равным отрезку ВС,делают засечки на окружности в последовательности, показанной на рис. 2.28, б. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный семиугольник (рис. 2.28, в).

Деление окружности на четырнадцать равных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 2.29, а).

Рисунок 2.28

Сначала окружность делится на семь равных частей от точки 1, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырнадцатиугольник (рис. 2.29, б).

Рисунок 2.29

Построение эллипса

Изображение окружности в прямоугольной изометрической проекции во всех трех плоскостях проекций представляет собой одинаковые по форме эллипсы.

Направление малой оси эллипса совпадает с направлением аксонометрической оси, перпендикулярной той плоскости проекций, в которой лежит изображаемая окружность.

При построении эллипса, изображающего окружность небольшого диаметра, достаточно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу (рис. 2.30). Четыре из них являются концами осей эллипса (A, B, С, D),а четыре других (N 1 , N 2, N 3, N 4) расположены на прямых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.

а	б

Рисунок 2.30

3.193. Две окружности пересекаются в точках A и K. Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок AB, касается одной окружности в точке A. Прямая, содержащая отрезок AC, касается другой окружности также в точке A. Известно, что BK = 1, CK = 4,

tg CAB = √ 1 15 . Найдите площадь треугольника ABC.

3.194. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным 30◦ , высоты пересекаются в точке M . Найдите площадь треугольника AM B, если расстояния от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC со-

ответственно равны √ 2 и √3 .

3.195. На отрезке AB лежат точки C и D, причем точка C между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM и M D перпендикулярны и прямые CM и M B тоже перпендикулярны. Найдите площадь треугольника AM B, если известно, что CM D = a , а площадь треугольников AM D и CM B равны S1 и S2 соответственно.

3.196. (Формула Брахмагупты.) Докажите, что если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, c и d, то его площадь S может быть вычислена по формуле:

S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d),

где p = 1 2 (a + b + c + d) полупериметр четырехугольника.

3.197. Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120◦ . Найдите площадь треугольника.√

3.198. Площадь треугольника ABC равна 15 3. Угол BAC равен 120◦ . Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 2. Найдите медиану треугольника ABC, проведенную из вершины B.

3.199. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD. Известно, что AB = BC, площадь треугольника BCD в два раза меньше площади треугольника ABD, ADC = 120◦ . Найдите все стороны четырехугольника ABCD.

3.200. На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12, взяты точки A и B так, что OA = 15, AB = 5 и A лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C точка пересечения этих касательных.

3.201. Точки K, L, M , N√ и P расположены последовательно на окружности радиуса 2 2. Найдите площадь треугольника KLM , если LM k KN , KM k N P , M N k LP , а угол LOM

равен 45◦ , где O точка пересечения хорд LN и M P .

3.202. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30◦ , и катетом CA = 1 проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15◦ к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F . Найдите площадь треугольника CDF .

3.203. Окружность радиуса 3 проходит через вершину B, середины сторон AB и BC, а также касается стороны AC треугольника ABC. Угол BAC острый, и sin BAC = 1 3 . Найдите площадь треугольника ABC.

3.204. Остроугольный равнобедренный треугольник и трапеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции является диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Докажите, что трапеция и треугольник равновелики.

Задачи третьего уровня

3.205. Внутри правильного треугольника имеется точка, удаленная от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь треугольника.

3.206. Стороны четырехугольника равны a, b, c и d. Известно, что в этот четырехугольник можно вписать окружность и

около него можно описать окружность. Докажите, что его пло-

щадь равна abcd.

3.207. Пусть a, b, c, d последовательные стороны четырехугольника. Докажите, что если S его площадь, то S 6 6 1 2 (ac + bd), причем равенство имеет место только для вписанного четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3.208. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

3.209. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются стороны AC в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 3, M D = 2, DN = 2, N C = 4. Найдите стороны треугольника ABC.

3.210. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC и AC построены как на диаметрах полуокружности S1 , S2 и S по одну сторону от AC. Найдите радиус окружности, касающейся всех трех полуокружностей, если известно, что ее центр удален от прямой AC на расстояние a.

3.211. Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырехугольника с окружностью.

Ответы, указания, решения

7 класс

§ 1.1

1.1. 12. 1.2. 3: 2, 2: 5, 2: 3. 1.3. 2: 1, 1: 2, 1: 4. 1.4. 3,5, 8,5.

1.5. 6. 1.6. 4; 2. 1.7. 7; 5; 3; 1. 1.8. Указание. 6 = 2 ·5 −2 ·2. 1.9.

Указание. а) 8 = 2 ·11 −2 ·7; б) 5 = 7 ·7 −4 ·11. 1.10. 2. 1.11. 2,5.

1.12. 3: 7, 4: 7. 1.13 0 . 2: 7 и 5: 7; 2: 3 и 5: 3. 1.140 . m: (m+n)

и n: (m + n); m: (m −n) и n: (m −n); m: (n −m) и n: (n −m).

1.150 . AD: DC = 2: 3. 1.16. На луче с началом в середине отрезка AB, содержащем точку B. 1.17. 105◦ , 75◦ . 1.18. 45◦ , 135◦ . 1.25. Пусть M искомая точка. а) Либо M лежит на отрезке AB и AM: M B = 2: 1, либо B середина отрезка AM ; б) либо M лежит на отрезке AB и AM: M B = 1: 3, либо A лежит на отрезке M B и AM: AB = 1: 2. 1.26. Пусть M1 и M2 точки, в которых указанное отношение равно 2. а) Все отличные от B точки между M1 и M2 ; б) все точки прямой, не лежащие на отрезке M1 M2 . 1.27. Указание. 40◦ = 180◦ − 2 · 70◦ .

1.28. Указание. 1◦ = 19 · 19◦ − 360◦ . 1.30. а) 6◦ ; 0,5◦ ; б) 62,5◦ ; в) 13 ч 511 5 мин. 1.31. В любом месте между избами B и C. 1.32. В деревне B.

§ 1.2

1.34. Указание. Если AM и A 1 M1 медианы равных треугольников ABC и A1 B1 C1 (рис. 81), то треугольники ABM

и A 1 B1 M1 равны по двум сторонам и углу между ними.

1.35. Указание. Если AD и A 1 D1 биссектрисы равных треугольников ABC и A1 B1 C1 (рис. 82), то треугольники ABD

и A 1 B1 D1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1.36. Указание. AOD = BOC и AOC = BOD по двум сторонам и углу между ними (рис. 83). ABC = BAD

и ACD = BDC по стороне и двум прилежащим к ней углам.ABC = CDA и ABD = CDB по трем сторонам.

1.370 . Если AD биссектриса треугольника ABC (рис. 84)

и AB = AC, то треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому BD = CD, т. е. AD медиана,

и ADB = ADC = 90 ◦ , следовательно, AD высота.

1.380 . Пусть AD медиана треугольника ABC и AD BC (рис. 85). Тогда треугольники ADB и ADC равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = AC.

1.39. Пусть AD биссектриса треугольника ABC и AD BC (рис. 86). Тогда треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = AC.

1.40. Указание. Пусть P точка пересечения BK и AM

B D C B D C B D C

(рис. 87). В треугольнике ABM биссектриса BP является высотой.

1.41. AB: AC = 1: 2. Указание. Пусть P точка, в которой данная прямая пересекает медиану BD (рис. 88). В треугольнике ABD медиана AP является высотой.

1.42. Пусть точки K, L, M расположены соответственно на сторонах AB, BC, AC равностороннего треугольника ABC, причем AK: KB = BL: LC = CM: M A (рис. 89). Тогда AK = BL = CM и BK = CL = AM . Поскольку углы равностороннего треугольника равны, то треугольники AKM , BLK и CM L равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

1.460 . Пусть A1 точка на продолжении медианы AM за точку M , причем M A1 = AM (рис. 90). Треугольники A1 M B

и AM C равны по двум сторонам и углу между ними, поэто-

му A1 B = AC = b. Аналогично, A1 C = AB = c.

1.470 . Пусть M середина стороны BC треугольника ABC

и AM биссектриса треугольника (рис. 91). На продолжении отрезка AM за точку M отложим отрезок M A 1 , равный AM .

Тогда треугольники A1 M B и AM C равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому BA1 M = CAM = BAM . Значит, треугольник ABA1 равнобедренный. Следовательно, AB =

A 1 B = AC.

1.48. а) Нет; б) нет.

1.490 . б) Пусть катет AC и гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC соответственно равны катету A1 C1 и гипотенузе A1 B1 прямоугольного треугольника A1 B1 C1 (рис. 92). На продолжениях катетов AC и A1 C1 за точки C и C1 соответственно отложим отрезки CK и C1 K1 , равные соответственно AC и A1 C1 . Тогда медианы BC и B1 C1 треугольников ABK и A1 B1 K1 являются высотами, поэтому эти треугольники равнобедренные. Они равны по трем сторонам, значит, CAB = = C1 A1 B1 . Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по двум сторонам и углу между ними.

в) Этот признак следует из признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1.510 . Если точка M равноудалена от концов отрезка AB (рис. 93) и не принадлежит этому отрезку, то медиана M C равнобедренного треугольника AM B является его высотой, следовательно, M C серединный перпендикуляр к отрезку AB. Обратно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку AB равноудалена от его концов, так как высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой.

1.52. Центры O1 и O2 окружностей (рис. 94) равноудалены от точек A и B, следовательно, O1 O2 серединный перпендикуляр к отрезку AB.

1.54. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B1 C1

с гипотенузами AB и A 1 B1 равны катеты AC и A1 C1 и острые углы B и B1 (рис. 95). На продолжении катета BC за

точку C отложим отрезок CB2 , равный B1 C1 . Тогда прямоугольный треугольник ACB2 равен треугольнику A1 C1 B1 по двум катетам, поэтому B2 = B1 = B. Значит, треугольник BAB2 равнобедренный, поэтому AB = AB2 = A1 B1 . Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику A1 B1 C1 по катету и гипотенузе.

1.55. Из условия задачи следует, что BC + AC = BD + AD

и BC + BD = AC + AD (рис. 96). Складывая и вычитая эти равенства, получим, что BC = AD и AC = BD. Значит, треугольники ABC и BAD равны по трем сторонам, поэтому BAC = = ABD, треугольник AOB равнобедренный. Следовательно,

1.56. а) Пусть BM и B 1 M1 медианы треугольников ABC

и A 1 B1 C1 , AB = A1 B1 , BM = B1 M1 , BC = B1 C1 (рис. 97). Отложим на продолжениях медиан BM и B1 M1 за точ-

ки M и M1 отрезки M P и M1 P1 , равные соответственно BM и B1 M1 . Тогда из равенства треугольников P M C и BM A следует, что P C = AB, а из равенства треугольников P1 M1 C1 и B1 M1 A1 следует, что P1 C1 = A1 B1 . Поэтому треугольники

P BC и P1 B1 C1 равны. Следовательно, M BC = M1 B1 C1 . Значит, треугольники M BC и M1 B1 C1 равны. Поэтому M C = = M1 C1 , тогда и AC = A1 C1 . Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по трем сторонам.

1.57. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

1.59. Пусть ABCD данный четырехугольник (рис. 98). Поскольку AB = AD и CB = CD, точки A и C равноудалены от концов отрезка BD, следовательно, AC серединный перпендикуляр к отрезку BD.

1.60. Точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис. 99), поэтому AP = BP . Аналогично, DP = CP . Значит, треугольники AP D и BP C равны по трем сторонам, поэтому равны их медианы P M и P N . Таким образом, точка P равноудалена от концов отрезка M N , следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

1.61. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.

1.62. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

1.630 . Указание. Из признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу следует, что каждая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла.

Из признака равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе следует, что каждая точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе угла.

1.65. 7 или 9.

1.66. Указание. Искомые прямые перпендикулярны биссектрисам углов, образованных данными прямыми.

1.67. Указание. Пусть точка B 1 симметрична точке B относительно данной прямой (рис. 100). Если прямая AB пересекает прямую l, то точка C искомая.

1.68. Указание. Пусть точка B 1 симметрична точке B относительно данной прямой. Прямая AB пересекает прямую l в искомой точке C.

1.69. Указание. Постройте точки, симметричные данным относительно сторон угла.

1.70. Указание. Постройте точку, симметричную одной из данных относительно биссектрисы угла при вершине.

1.71 0 . Указание. Точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому она лежит на третьей биссектрисе.

1.72. Указание. Точки M и N лежат на биссектрисе угла A.

1.73. Пусть A недоступная вершина (рис. 101). Возьмем

Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.

Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.

Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами .

Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .

Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной .

Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом .

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .

Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом .

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Деление окружности на части

Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки "а" в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке "b". Радиусом R3 из точки "1" проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние "b-О" даёт сторону правильного десятиугольника.

Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки "1" окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные (или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть (N) равных частей.