Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , - смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .

Если пружину растянуть на величину х , после чего отпустить в момент времени t =0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид -kx =ma , или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

.

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t =0 грузу сообщить смещение х=А , то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx , стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна . Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. При груз имеет максимальное отрицательное смещение –А, кинетическая энергия Wk =0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx . Далее движение происходит аналогично.

Маятники

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ , который образует нить с вертикалью (рис.1.15). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : , где m – масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ , поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: Iε= ,

.

Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому sin φ ≈φ , обозначим ,

имеем: , или , и окончательно

Это уравнение гармонических колебаний, его решение:

.

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:

Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6). Уравнение его движения запишем в виде:

.

В случае малых колебаний , или =0 , где . Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’ ). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О . Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.

Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.

1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний

Сложение одинаково направленных колебаний можно производить методом векторных диаграмм. Любое гармоническое колебание можно представить в виде вектора следующим образом. Выберем ось х с началом отсчета в точке О (рис.1.1.7)

Из точки О построим вектор , который составляет угол с осью х . Пусть этот вектор поворачивается с угловой скоростью . Проекция вектора на ось Х равна:

то есть она совершает гармонические колебания с амплитудой а.

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой циклической малой , заданные векторами и . Смещения по оси Х равны:

результирующий вектор имеет проекцию и представляет собой результирующее колебание (рис.1.1.8), по теореме косинусов Таким образом, сложение гармонических колебаний производится сложением векторов.

Проведем сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания частотой :

.

Сама материальная точка при этом будет двигаться по некоторой криволинейной траектории.

Из уравнения движения следует: ,

. (1.1.9)

Из уравнения (1.1.9) можно получить уравнение эллипса (рис.1.1.9):

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1. Разность фаз колебаний α= 0. При этом т.е. или Это уравнение прямой, и результирующее колебание происходит вдоль этой прямой с амплитудой (рис.1.1.10).

2. Если разность фаз то уравнение (1.1.9) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, При материальная точка движется по окружности, уравнение которой (рис.1.1.11).

3. Если частоты колебаний неодинаковы, то материальная точка описывает фигуры Лиссажу (рис.1112).

Рассмотрим сложение колебаний одного направления, частоты которых мало отличаются друг от друга. В этом случае результирующее движение можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Пусть частота одного колебания , второго . Амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны а. Начальные фазы равны нулю. В таком случае уравнения колебаний имеют вид:

Сложим эти выражения:

График функции х(t) представлен на рис. 1.1.13. Множитель меняется гораздо медленнее, чем , поэтому (1.1.10) можно рассматривать как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого меняется по некоторому периодическому закону

Определение

Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]

Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.

\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]

где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.

Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:

\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:

\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]

Пружинный маятник

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Частота колебаний пружинного маятника

Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]

Формула (6) справедлива в случае, если:

• пружина в маятнике считается невесомой;
• груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
• крутильные колебания отсутствуют.

Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?

Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]

Вычислим искомую частоту:

\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]

Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Вычислим циклическую частоту:

\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$

Пример 2

Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]

Для первого груза частота будет равна:

\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]

Для второго груза:

\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]

По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$

Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:

Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

следовательно

Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x : ускорение является второй производной координаты тела x по времени t :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

(*)

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость , то

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.