5 декабря 2014 в 18:54

Задачи тысячелетия. Просто о сложном

• Занимательные задачки ,
• Математика

Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах? » Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (P olynomial time) - для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP -задачи (N on-deterministic P olynomial time) , найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...) . С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 - 2 простых числа, для 10 - уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга - Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса . Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени - так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик - нельзя ». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так - математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

Гипотеза Римана доказана?

Математик из Университета Пурду утверждает, что он получил доказательство гипотезы Римана, которую часто называют величайшей нерешенной математической задачей. Хотя работа этого математика еще должна пройти процедуру рецензирования.

На этой неделе профессор математики Школы естественных наук Пурду, лауреат премии Эдварда Эллиотта Луи де Бранж опубликовал 23-страничный труд со своим доказательством. Обычно математики объявляют о таких достижениях на конференциях или в научных журналах. Однако за доказательство гипотезы Римана назначен приз в $1 млн, поэтому он решил поспешить с публикацией. «Я приглашаю других математиков проверить мои выкладки, - говорит де Бранж в подготовленном заявлении. - Со временем я передам свое доказательство для официальной публикации, но ввиду обстоятельств я чувствую необходимость немедленно опубликовать свою работу в интернете».

Гипотеза относится к распределению простых чисел. Простые числа делятся только на самих себя и на единицу. В числе прочих задач простые числа используются для шифрования. В начале этого месяца было подтверждено, что обнаружено самое большое известное на сегодняшний день простое число, которое выражается двойкой в степени 24036583 за вычетом единицы и записывается 7235733 десятичными цифрами.

Как и решения многих других математических проблем, доказательство гипотезы Римана вряд ли найдет немедленное коммерческое применение, но через десятилетие его использование вполне вероятно.

Истоки гипотезы восходят к 1859 году, когда математик Бернхард Риман предложил теорию о распределении простых чисел, но в 1866 году он умер, так и не успев завершить ее доказательство. С тех пор за решение задачи брались многие. В частности, ее пытался решить Джон Нэш, математик, лауреат Нобелевской премии по экономике, история жизни которого положена в основу сюжета книги и кинофильма A Beautiful Mind («Игры разума»). В 2001 году математический институт Clay Mathematics Institute в Кембридже, штат Массачусетс, объявил за доказательство гипотезы премию в $1 млн.

Де Бранж, пожалуй, наиболее известен решением другой технической проблемы из области математики: 20 лет назад он доказал теорему Бибербаха. С тех пор ученый почти целиком посвятил себя проверке гипотезы Римана.

Предыдущие публикации:

Обсуждение и комментарии

	нц 10 Jun 2004 12:21 PM
Респект человеку, по крайней мере за то, что он пытается делать.
	Хохол 10 Jun 2004 12:24 PM
Да, нобелевка по математике это круто!!!
	torvic 10 Jun 2004 1:06 PM
"математик, обладатель Нобелевской премии" [по экономике]
	Yuri Abele 10 Jun 2004 1:17 PM
To Хохол: Джон Нэш - это действительно один из величайших математиков современности. Велик не замороченностью каких-нибудь математических вычислений, а тем вкладом, который его работа по теории игр внесла в мировую экономику. Она практически перевернула современную экономику. Если в двух словах, то он математически доказал, что конкурентам выгоднее, как это не парадоксально, сотрудничать а не конкурировать
	Maverik 10 Jun 2004 1:37 PM
2 torvic > Джон Наш, нобелевский лауреат по математике Это оригинал. Я сам чуть со стула не упал! Видно, редакоторам zdnet давно зарплату не повышали. Я уж не говорю о "гепотизе", которая светит в аннотации. Да не, тут прикол именно в том, что нобелевка по математике уже давно является бородатым историческим анекдотом.
	Qrot 10 Jun 2004 1:41 PM
> *Гипотеза* Римана доказана > доказательство *гепотизы* Римана помнится, наша учительница по русскому языку засчитывала подобное за двойную ошибку. > ... к 1859 году, когда математик Бернхард Риман предложил > теорию... в 1966 году он умер он что у вас, горец? в оригинале "but he died in 1866" тут редактор кроме сисадмина по вызову есть вообще?
	Qrot 10 Jun 2004 1:44 PM
Nobel Prize-winning mathematician != нобелевский луреат по математике. надмозги переводили?
	Maverik 10 Jun 2004 1:48 PM
Насчет даты смерти я не обратил внимания. :-) Респект!
	Михаил Елашкин - imhoelashkin.com 10 Jun 2004 2:07 PM
2 Qrot >надмозги переводили? О, вижу внимательного читателя Гоблина. Привет собрату:)
	Matros 10 Jun 2004 2:22 PM
2 Qrot: Это не надмозги, это безмозги. :)
	And 10 Jun 2004 3:22 PM
2 Yuri Abele. По-моему, совершенно очевидно, что конкурентам выгоднее сотрудничать, а не конкурировать. По-моему, такое сотрудничество имеет даже специальные названия, типа "ценовой сговор". И с таким сотрудничеством пытаются бороться всякие антимонопольные органы.
	Qrot 10 Jun 2004 4:23 PM
Михаил Елашкин: салют камраду! :)
	Yuri 10 Jun 2004 6:32 PM
Ну и знайтный же бред тут понаписали! Лажа чуть ли не в каждом слове. Это специально постараться - и то не сразу такое придумаешь. Гипотеза Римана, конечно, связана с распределением простых чисел (точно так же, как и еще со множеством других интереснейших вопросов), но пытаться объяснить ее суть, начиная с понятия простого числа - это чего-то особенного:-) А уж какое отношение к гипотезе Римана имеет обнаружение очередного простого числа, и тем более какую коммерческую выгоду можно было бы извлечь из этого доказательства, хотя бы даже и через сотни лет - это вообще загадка для пытливого ума:-)
	bravomail 10 Jun 2004 7:09 PM
коммерческая выгода одна - легкость ломки современных шифров
	Yuri 10 Jun 2004 7:29 PM
> коммерческая выгода одна - легкость ломки современных шифров Она _абсолютно_ не зависит не только от того, доказана или нет гипотеза Римана, но даже и от того, верна ли она вообще.
	Ks 10 Jun 2004 8:57 PM
Вообще говоря, гипотеза Римана касается нулей дзета-фнукции Римана, и уж если и используется в теории распределения простых чисел, то совсем неочевидным образом. Скажем так - постулат Бертрана доказывается с использованием этой самой дзета-функции, но вполне без этой гипотезы.
	Nobody 10 Jun 2004 10:51 PM
Nobel to Lunix! Windows must die!
	done 10 Jun 2004 11:24 PM
2YuriВ что Вы толкового принести в наше сообщество??
	C3Man 12 Jun 2004 4:44 AM
APOLOGY FOR THE PROOF OF THE RIEMANN HYPOTHESIS?
	Алекс 13 Jun 2004 6:15 PM
Ранее де Бранжес (это профессор, который утверждает, что доказал гипотезу Римана) доказал теорему типа -- если верно некое условие, то верна и гипотеза Римана. Потом выяснилось, что его условие не верно. В том, что висит в Инете доказательства гипотезы Римана нету (а вы бы повесили в инете 1M$?), там есть его извинения перед коллегами, о том, что его доказательство может спутать им планы исследований, его путь к доказательству и то, что бы он сделал с 1M$. В свое время Гильберт сказал, что если бы он проспал 500 лет, а потом проснулся, то первым делом он бы спросил, доказана ли гипотеза Римана.
	Алекс 14 Jun 2004 3:22 AM
Виноват, он действительно выложил доказательство. Только не на 24х страницах как вначале сообщалось, а на 124х. Мужику 72 года, а есть еще порох в пороховницах и ягоды в ягодицах.
	Вlack ibm.* 16 Jun 2004 12:05 PM
А вообще математика хороша тем что в не "КАК много может сделать " одиночка- сиди и ковыряй. про другие науки так не скажешь. ДАЖе теоритеическа физика где не нужны дорогостоящие эсперементы.. Сильно связана с эсперементаторами.. ТЕ ТЕОРФИЗИКИ только для эсперементаторов и работали(Ланндау ДА гений одиночка. НО достиг бы он такого релуьзата не взяы бы его Капица?) .. ну разве что особняком стоит Эейнштейн. МОЛОДЕЦ МУЖИК.
	Николай 13 Oct 2006 2:34 PM
Несколько год назад я "доказывал" Большую Теорему Ферма.Был ооочень рад,а потом...нашол ошибку!Уверен ли господин де Бранжес в том,что нашел настоящее доказательство?Я-нет!

Математические физики заявили о продвижении в работе над 150-летней теоремой, за доказательство которой Математический институт Клэя предлагает награду в миллион долларов. Ученые представили оператор, который удовлетворяет гипотезе Гильберта-Пойя, гласящей, что существует дифференциальный оператор, чьи собственные значения в точности соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции Римана. Статья опубликована в журнале Physical Review Letters.

Гипотеза Римана - одна из «задач тысячелетия», за доказательство которых американский Математический институт Клэя выдает премии в миллион долларов. Гипотеза Пуанкаре (теорема Пуанкаре-Перельмана), которую доказал наш соотечественник , входила именно в этот список. Гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана (то есть значения комплекснозначного аргумента, обращающие функцию в нуль) лежат на прямой ½ + it, то есть их вещественная часть равна ½. Сама дзета-функция возникает во многих разделах математики, например, в теории чисел она связана с количеством простых чисел, меньших заданного.

Теория функций предсказывает, что множество нетривиальных нулей дзета-функции должно быть похоже на множество собственных значений («решений» для матричных уравнений) некоторой другой функции из класса дифференциальных операторов, которые часто используются в физике. Идея о существовании конкретного оператора с такими свойствами получила название гипотезы Гильберта-Пойя, хотя ни тот, ни другой не публиковали работ на эту тему. «Так как публикаций "авторов" на эту тему нет, то формулировка гипотезы меняется в зависимости от интерпретации, - поясняет один из авторов статьи Дорже Броди из лондонского Университета Брунеля. - Однако два пункта должны быть выполнены: а) необходимо найти оператор, чьи собственные значения соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции, и б) определить, что собственные значения являются действительными числами. Основной целью нашей работы был пункт а). Для доказательства части б) необходима дальнейшая работа».

Еще одной важной гипотезой в этой области является идея Берри и Китинга, что в случае существования искомого оператора, он будет теоретически соответствовать некоторой квантовой системе с определенными свойствами. «Мы определили условия квантования гамильтониана Берри-Китинга, таким образом, доказывая гипотезу их имени, - добавляет Броди. - Возможно, это разочарует, но полученный гамильтониан, кажется, не соответствует никакой физической системе очевидным образом; по крайней мере, мы не нашли такого соответствия».

Наибольшую сложность представляет доказательство действительности собственных значений. Авторы оптимистично настроены по этому поводу, в статье присутствует подкрепляющий аргумент, основанный на PT-симметрии. Эта идея из физики частиц означает, что при замене всех направлений четырехмерного пространства-времени на обратные, система будет выглядеть так же. Природа в общем случае не PT-симметрична, однако, полученный оператор обладает этим свойством. Как показано в статье, если доказать нарушение этой симметрии для мнимой части оператора, то все собственные значения будут вещественными, таким образом завершая доказательство гипотезы Римана.

Решение на 15 строк представил известный ученый из Великобритании сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah ), лауреат престижных математических премий. В основном он работает в области математической физики. Science сообщает, что о своем открытии Атья рассказал на конференции Heidelberg Laureate Forum в Гейдельбергском университете в понедельник.

Гипотезу Римана сформулировал, как можно догадаться, Бернхард Риман в 1859 году. Математик ввел понятие дзета-функции - функции для комплексного переменного - и описал с ее помощью распределение простых чисел. Первоначально проблема с простыми числами заключалась в том, что они просто распределены по ряду натуральных чисел без какой-либо видимой закономерности. Риман предложил свою функцию распределения простых чисел, не превосходящих x, но объяснить, почему возникает зависимость, не смог. Над решением этой проблемы ученые бьются уже почти 150 лет.

Гипотеза Римана входит в список семи задач тысячелетия (Millennium Prize Problems), за решение каждой из которых полагается награда в миллион долларов. Из этих задач решена только одна - гипотеза Пуанкаре. Ее решение предложил российский математик Григорий Перельман еще в 2002 году в серии своих работ. В 2010-м ученому присудили премию, но от нее отказался.

Георг Фридрих Бернхард Риман - немецкий математик и физик / ©Wikipedia

Майкл Атья утверждает, что объяснил выявленную Риманом закономерность. В своем доказательстве математик опирается на фундаментальную физическую постоянную - постоянную тонкой структуры, которая описывает силу и природу электромагнитных взаимодействий между заряженными частицами. Описывая эту постоянную с использованием относительно малоизвестной функции Тодда, Атья нашел решение гипотезы Римана от противного.

Научное сообщество не спешит принимать предложенное доказательство. Так, например, экономист из Норвежского университета естественных и технических наук Йорген Висдал (Jørgen Veisdal ), ранее изучавший гипотезу Римана, заявил, что решение Атьи «слишком туманное и неопределенное». Ученому необходимо более тщательно изучить письменное доказательство, чтобы прийти к выводам. Коллеги Атьи, с которыми связался Science , также отметили, что не считают представленное решение успешным, так как оно основано на шатких ассоциациях. Физик-математик из Калифорнийского университета в Риверсайде Джон Баэс (John Baez ) и вовсе заявил, что доказательство Атьи «просто накладывает одно внушительное требование на другое без каких-либо доводов в пользу этого или реальных обоснований».

Российский математик нашел доказательство Гипотезы Римана January 3rd, 2017

Бернхард Риман

Помните, я вам рассказывал про . Так вот, среди них была гипотеза Римана.

В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман взял давнюю идею Эйлера и развил ее совершенно по-новому, определив так называемую дзета-функцию. Одним из результатов этой работы стала точная формула для количества простых чисел до заданного предела. Формула представляла собой бесконечную сумму, но специалистам по анализу к этому не привыкать. И это не было бесполезной игрой ума: благодаря этой формуле удалось получить новые подлинные знания о мире простых чисел. Мешала только одна маленькая неувязка. Хотя Риман мог доказать, что его формула точна, самые важные потенциальные следствия из нее полностью зависели от одного простого утверждения, касающегося дзета-функции, и вот это то простое утверждение Риман никак не мог доказать. Полтора столетия спустя, мы все еще не сумели сделать это.

Сегодня это утверждение называется гипотезой Римана и представляет собой, по сути, священный Грааль чистой математики, который похоже "нашел" российский математик .

Это может значить то, что мировая математическая наука находится на пороге события международного масштаба.

Доказательство или опровержение гипотезы Римана будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно, в области распределения простых чисел. А это может повлиять на совершенствование информационных технологий.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США.

Таким образом, доказательство гипотезы может обогатить российского математика.

Согласно неписаным законам международного научного мира, успех Игоря Турканов полностью признают не раньше, чем через несколько лет. Тем не менее, его работа уже была представлена на Международной физико-математической конференции под эгидой Института прикладной математики им. Келдыша РАН в сентябре 2016 года.

Также отметим, что если найденное Игорем Туркановым доказательство Гипотезы Римана будет признано верным, то на счет российских математиков будет записано решение уже двух из семи «проблем тысячелетия». Одну из этих проблем - «гипотезу Пуанкаре» в 2002 году . При этом он отказался от полагавшейся ему премии в $1 млн от института Клэя.

В 2015 году Профессор математики Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) из Нигерии заявил о том, что он смог решить гипотезу Римана, но в Математическом институте Клэя пдо сегодняшнего момента считали гипотезу Римана недоказанной. По словам представителей института, для того, чтобы достижение было зафиксировано, его необходимо опубликовать в авторитетном международном журнале, с последующим подтверждением доказательства научным сообществом.

источники