Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

§ 1 Прикидка арифметического действия

В этом уроке поговорим о том, как осуществляется прикидка результатов арифметических действий.

В жизни часто бывают ситуации, когда необязательно знать точный результат вычисления, а достаточно лишь примерного или приближенного его значения. Для такой оценки результата арифметического действия можно найти его «границы» - числа, между которыми данный результат заключен. А можно упростить вычисления, выполнив прикидку результата арифметического действия.

Выполнить прикидку результата арифметического действия означает найти приближенное значение этого арифметического действия.

Другими словами, найти число, которому приближенно равен результат данного действия.

Для того, чтобы выполнить прикидку результата арифметического действия, необходимо заменить компоненты числового выражения близкими по значению круглыми числами.

§ 2 Примеры выполнения прикидки арифметических действий

Например, выполним прикидку частного чисел 32203 и 76:

1. Заменим делитель 76 близким круглым числом 80.

2. Заменим делимое 32203 близким круглым удобным для выполнения деления числом 32000.

3. Выполним деление 32000: 80 = 400.

4. Делаем вывод, что 32203: 76 приближенно равно 400.

Запись прикидки оформляется следующим образом: 32203: 76 ≈ 32000: 80 = 400.

Разберем еще один пример: выполним прикидку произведения чисел 765 и 435:

1. Заменим первый множитель 765 близким круглым числом 800.

2. Заменим второй множитель 435 близким круглым числом 400.

3. Выполним умножение 800 · 400 = 320000.

4. Делаем вывод, что 765 · 435 ≈ 800 · 400 = 320000.

Следует отметить, что при подборе круглых чисел опираются на следующее правило:

если вторая цифра в записи числа меньше 5, то число округляют в меньшую сторону; а если вторая цифра в записи числа больше или равна 5, то число округляют в большую сторону.

Например:

Округлим число 180760. Вторая цифра в записи данного числа 8, 8 > 5, значит - округляем в большую сторону 180760 ≈ 200000.

Округлим число 422600. Вторая цифра в записи данного числа 2, 2 < 5, значит - округляем в меньшую сторону 422600 ≈ 400000.

Округлим число 7584. Вторая цифра в записи данного числа 5, значит - округляем в большую сторону 7584 ≈ 8000.

§ 3 Краткие итоги урока

Подведем итоги этого урока:

Для того чтобы выполнить прикидку результатов арифметических действий необходимо:

1. заменить компоненты числового выражения близкими по значению круглыми числами;

2. найти значение полученного выражения и оформить запись прикидки.

Список использованной литературы:

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1./Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014
2. Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014.
3. Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
4. CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 1 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювент, 2013.

Cтраница 2

По значению этого переноса также производится анализ на переполнение (р 27 - 1) или исчезновение (р 3 0) порядка в результате арифметических действий. Правда, в различных моделях машин этот анализ реализуется по-разному, что обусловлено в первую очередь соображениями рациональности построения конкретных схем.  

Это сделано намеренно, поскольку легче работать непосредственно с значениями, хранимыми в базе данных, чем с порожденными данными, которые получаются в результате арифметических действий с этими значениями. Более поздние версии системы INGRES разрешают работать с произвольными выражениями, но мы будем придерживаться этого ограничения, поскольку оно ближе к реляционному исчислению Кодда.  

В алгебре (точнее, в арифметике) понятие предела встречается при выполнении арифметических действий над иррациональными числами, результатами которых являются фактически пределы последовательностей, составленных из результатов соответствующих арифметических действий над десятичными приближениями заданных иррациональных чисел. Понятие предела присутствует и при определении бесконечной суммы членов убывающей геометрической прогрессии, а также при определении показательной функции ах, а О, х - действительное число. Сначала определяется степень аг с рациональным показателем г, а затем говорится, что полученные значения по непрерывности распространяются на все действительные числа. При дальнейшем изучении школьного курса математики к этому интуитивному определению, как правило, больше не возвращаются.  

Введенные выше операции над элементами пространства благ имеют смысл при любой размерности пространства; это позволяет нам использовать соответствующие геометрические термины (перенос, гомотетия), понимая их как результаты соответствующих арифметических действий.  

В этой таблице в верхней строке записано одно из слагаемых, а в первом столбце - другое слагаемое. Результаты арифметических действий в таблице находятся на пересечении соответствующих строк и столбцов.  

Не пытаясь дать сразу ответ на этот вопрос, можно все же признать естественным положение, при котором в части некоторых ожиданий и целей деятельность руководства фирмы всегда является более или менее успешной. В результате арифметического действия сложения, в котором не всегда учитываются даже все стороны, получается некая усредненная оценка.  

В предыдущем параграфе было указано, что в результат арифметической операции входит ошибка округления. Величина этой ошибки должна учитываться при анализе результатов дальнейших арифметических действий, выполняемых на ЭВМ. Прежде чем проследить распространение ошибки вычислений, рассмотрим абсолютную и относительную погрешности каждой из четырех арифметических операций.  

Первый из них называется законом монотонности суммы, а второй - законом монотонности произведения. Рассмотренные свойства числовых неравенств являются выражением законов монотонности результатов арифметических действий для множества действительных чисел. Так, второе и четвертое свойства выражают закон монотонности суммы, третье и шестое свойства - закон монотонности произведения, седьмое свойство - закон монотонности степени, а восьмое свойство - закон монотонности арифметического корня.  

Индикаторы этих регистров образуют линейку из 13 лампочек, что соответствует единому 13-разрядному коду при операциях циклического сдвига и взаимодействию этих регистров при переполнениях НР (СМ) в результате арифметических действий. С помощью сумматора осуществляются все арифметические и логические операции в машине, а также взаимодействие с буферными регистрами внешних устройств и с клавишным регистром при автоматической работе.  

Такое непосредственное отыскание предела в большинстве случаев представляет собой весьма громоздкое и трудное действие. Но если знать - раз и навсегда - производные всех основных элементарных функций (мы пока знаем только производную степенной функции у х), а также правила, по которым следует дифференцировать сложные функции, и результаты арифметических действий, то можно находить производные любых элементарных функций, не выполняя всякий раз указанного предельного перехода.  

Такое непосредственное отыскание предела большинстве случаев представляет собой весьма громоздкое и грудное действие. Но если знать - раз и навсегда - производные всех основных элементарных функций (мы пока знаем только производную степенной функции у - х), а также правила, по которым следует дифференцировать сложные функции, и результаты арифметических действий, то можно находить производные любых элементарных функций, не выполняя всякий раз указанного предельного перехода.  

Большинство современных компьютеров имеет 2 - х или 4 - х байтовые целые. Некоторые из более новых машин имеют 8-байтовые целые. Поскольку результат арифметических действий с указателями зависит от размера объектов, на которые указывает указатель, арифметические действия с указателями являются машин - независимыми.  

Большинство современных компьютеров имеет 2 - х или 4 - х байтовые целые. Некоторые из более новых машин имеют 8-байтовые целые. Поскольку результат арифметических действий с указателями зависит от размера объектов, на которые указывает указатель, арифметические действия с указателями являются машиннозависимыми.  

Рассмотрим, какие вопросы теории и практического характера изучаются в теме «Арифметические действия», каков уровень их раскрытия и порядок введения.

Конкретный смысл арифметических действий , т. е. связи между операциями над множествами и соответствующими арифметическими действиями (например, связь между операцией объединения непересекающихся множеств и действием сложения). Знание конкретного смысла арифметических действий должно быть усвоено на уровне эмпирического обобщения: учащиеся должны научиться практически устанавливать связи между операциями над множествами и арифметическими действиями при нахождении в ряде случаев результатов арифметических действий, а также выбирая арифметические действия при решении текстовых арифметических задач.

Свойства арифметических действий. Это математические положения о тождественных преобразованиях математических выражений, в них отражается, при каких преобразованиях данного математического выражения его значение не изменяется. В начальный курс математики включены свойства, являющиеся теоретической основой вычислительных приемов.

В начальном курсе математики изучаются следующие свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство вычитания числа из суммы, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания суммы из суммы, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойство деления суммы на число, свойство деление числа на произведение.

Свойства арифметических действий, предусмотренные программой, должны быть усвоены на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать их формулировку и практически применять их при обосновании вычислительных приемов, при решении задач, уравнений, упражнений на тождественные преобразования и др.

Другие свойства арифметических действий (существование и единственность результата, монотонность суммы и произведения и др.) раскрываются на уровне эмпирического обобщения: учащиеся практически оперируют ими, формулировка свойств не дается.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие, как выражается каждый из компонентов арифметических действий через результат и другой его компонент.

В начальном курсе математики сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения, а затем - связи между компонентами и результатом действий вычитания, умножения и деления.

Знание связей должно быть усвоено на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать соответствующую формулировку и практически использовать эти знания при решении уравнений и обосновании вычислительных приемов.

Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов, т. е. математические положения, характеризующие, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения одного из его компонентов.

По отношению к этому материалу предусматривается эмпирический уровень обобщения: учащиеся, выполняя специальные упражнения, наблюдают соответствующие изменения и на конкретных примерах устанавливают либо характер изменения результатов арифметических действий в зависимости от увеличения или уменьшения одного из компонентов, либо устанавливают количественные изменения – как изменится результат, если увеличить или уменьшить один из компонентов на несколько единиц или в несколько раз. Такие наблюдения послужат в дальнейшем основой для введения понятия функции, вместе с тем они являются прекрасными упражнениями развивающего характера.

Отношения между компонентами и между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие отношения «больше», «меньше», «равно» либо между компонентами (уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему), либо между компонентами и результатами арифметических действии (сумма может быть больше каждого из слагаемых, а может быть равна одному или каждому из слагаемых). Этот материал также усваивается на уровне эмпирического обобщения: учащиеся устанавливают соответствующие отношения, выполняя специальные упражнения. Знания названных отношений используются для проверки вычислений, они служат также целям функциональной пропедевтики.

Правила. Это, прежде всего положения, являющиеся следствиями из определения арифметических действий и их конкретного смысла: правила сложения и вычитания с числом 0, умножения и деления с числами 1 и 0, а также исторически сложившиеся положения – правила о порядке выполнения арифметических действий в математических выражениях. Учащиеся должны усвоить формулировку правил и уметь практически пользоваться ими.

Термины и символы. В связи с изучением названных вопросов, относящихся к теоретическому материалу, вводится соответствующая терминология и символика: название арифметических действий, символы их обозначающие и их название, название компонентов и результатов арифметических действий, название соответствующих математических выражений. Термины должны войти в активных словарь учащихся и использоваться ими при формулировке математических положений, учащиеся должны также научиться правильно пользоваться соответствующими символами. Термины и символы вводятся в тесной связи с изучением соответствующих арифметических действий.

Наряду с теоретическим материалом и в органической связи с ним рассматриваются вопросы практического характера: вычислительные приемы и решение арифметических задач . Вычислительные приемы – это приемы нахождения результатов арифметических действий. Вычислительные приемы раскрываются на основе явного использования соответствующих теоретических положений. Например, на основе переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых. В каждом концентре изучаются вычислительные приемы над целыми неотрицательными числами соответствующего отрезка натурального ряда (в первом концентре – в пределах 10, во втором – в пределах 100 и т. д.). В концентре «Десяток» изучаются только приемы сложения и вычитания, а в остальных концентрах – приемы всех четырех арифметических действий.

Порядок введения всех названных вопросов подчиняется главной цели изучения арифметических действий – формированию осознанных, прочных, доведенных до автоматизма вычислительных навыков.

3. Общие положения методики формирования понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников.

Усвоение учащимися теоретического материала сводится к усвоению ими существенных сторон изучаемых математических положений на уровне обобщения, предусмотренном программой. Следовательно, вся деятельность учащихся по овладению знаниями должна быть направлена на выделение и осознание ими существенных сторон изучаемых теоретических положений. Это осуществляется главным образом путём выполнения учащимися соответствующей системы упражнений, которая подчиняется целям каждого из этапов формирования знаний. В методике формирования знаний выделяют следующие этапы: подготовительный этап, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний.

На этапе подготовки к ознакомлению с новым теоретическим материалом , прежде всего, предусматриваются упражнения на воспроизведение ранее усвоенных знаний, которые являются средствами для усвоения нового знания. В большинстве случаев в этот период целесообразно создать в представлении детей «предметные модели» формируемых знаний с помощью выполнения операций над множествами. Например, до ознакомления с конкретным смыслом действия сложения следует провести достаточное количество упражнений на выполнение операции объединения непересекающихся множеств (к 4 мячам присоединить 3 мяча и узнать, сколько мячей станет), что в дальнейшем послужит основой для ознакомления со смыслом действия сложения.

На этапе ознакомления с новым материалом раскрываются существенные стороны изучаемых математических положений с помощью системы упражнений, выполняемых учащимися. При ознакомлении со свойствами арифметических действий, связями и зависимостями между их компонентами и результатами целесообразнее использовать метод эвристической беседы , подводя учащихся индуктивным путём к «открытию» соответствующей закономерности и убеждая в её справедливости с помощью средств наглядности. При ознакомлении с правилами, при введении терминологии и символики используется метод объяснения , т.е. учитель излагает материал, а учащиеся его воспринимают.

При ознакомлении индуктивным путём с конкретным смыслом арифметических действий, с их свойствами, связями и зависимостями между компонентами и результатами учащимся предлагаются такие упражнения, при выполнении которых проявляются соответствующие закономерности. Анализируя их, ученики выделяют существенные признаки формируемого знания и в зависимости от уровня его обобщения либо формулируют ряд частных выводов (при эмпирическом уровне), либо от них переходят к общему выводу (при понятийном уровне). При этом важно выделить не только существенные признаки, но и ряд несущественных признаков. Например, рассмотрим, как можно ознакомить с переместительным свойством умножения. Ученикам предлагается разложить в 4 ряда по 6 квадратов в каждом ряду и узнать общее количество квадратов, которые разложили. При этом обращается внимание учеников на то, что подсчёт общего числа квадратов можно осуществлять двумя способами: 6* 4 = 24 и 4* 6 = 24. При сравнении полученных записей, ученики устанавливают сходные признаки (даны произведения, одинаковые множители, значения произведений равны) и отличительные признаки (множители переставлены местами). Далее выполняются аналогичные упражнения, причем одно- два из них составляют дети. После выполнения достаточного количества упражнений на сравнение пар произведений ученики устанавливают, что во всех парах произведений одинаковые множители и значения произведений в каждой паре равны, при этом множители переставлены местами. Эти наблюдения позволяют ученикам прийти к обобщающему выводу, который является формулировкой переместительного свойства умножения: «Если множители поменять местами значение произведения не изменится».

При таком пути введения нового материала система упражнений должна отвечать ряду требований:

· Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность: операции над множествами (в рассмотренном примере – объединение равночисленных непересекающихся множеств квадратов) и соответствующие математические записи (6* 4 = 24 и 4* 6 = 24). Это создаёт возможность для «открытия» самими детьми изучаемых закономерностей.

· Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Так, для переместительного свойства умножения существенными признаками будут: в произведениях одинаковые множители, произведения отличаются порядком множителей, значения произведений равны; несущественными признаками являются сами числа и их отношение. Поэтому, подбирая пары произведений, надо брать их с различными числами, а числа в разном отношении (6* 4 и 4* 6; 2*5 и 5* 2; 7* 3 и 3* 7 и т.д.). Это позволит выделить ученикам не только существенные, но и несущественные признаки нового знания, что будет способствовать правильному обобщению.

· Следует предлагать учащимся самим составлять упражнения, аналогичные рассмотренным. Умение составлять такие упражнения будет свидетельствовать о том, что учащиеся выделили существенные стороны формируемого знания.

· При ознакомлении с новым материалом часто возникают ситуации, когда предшествующий опыт детей оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Это необходимо учитывать при введении нового материала и предусматривать специальные упражнения на сопоставление и противопоставление вопросов, имеющих какое-то сходство. Например, до изучения переместительного свойства умножения, надо повторить переместительное свойство сложения, и использовать ту же методику. В этом случае поможет аналогия при усвоении нового свойства. До изучения распределительного свойства умножения относительно сложения полезно повторить сочетательное свойство сложения, чтобы предупредить смешение этих свойств и появление ошибок при усвоении нового свойства.

Итак, в результате выполнения специальных упражнений учащиеся подводятся либо к обобщенной формулировке изучаемого математического положения, либо только к частным выводам.

На этапе закрепления знаний в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение изученного материала, их знания обогащаются новым конкретным содержанием и включаются в систему уже имеющихся знаний. Закрепление знаний каждого математического положения совершается в результате выполнения учащимися специальной системы упражнений, подчиняющейся общим требованиям:

· Каждое упражнение системы должно иметь потенциальную возможность применения формируемого знания. Тогда ученик, выполняя их, будет всякий раз выделять существенные свойства формируемого знания и тем самым лучше усваивать его. При этом первыми надо включать такие упражнения, которые могут быть выполнены как на основе применения формируемых знаний, так и других ранее усвоенных знаний. Выполнение таких упражнений при соответствующей методике создаёт реальные возможности для обобщения формируемых знаний каждым учеником.

· Упражнения на применение знаний должны строиться на различном конкретном содержании (решение арифметических задач, сравнение математических выражений и др.). Это обеспечит формирование содержательных и гибких знаний, предупредит их формальное усвоение.

· Система упражнений должна обеспечить установление внутрипонятийных связей (связи между арифметическими действиями, между их свойствами и др.) и межпонятийных связей (связи между компонентами и результатами арифметических действий с решением уравнений). Этим и определяется включение нового знания в систему уже имеющихся знаний.

· Упражнений должно быть достаточное количество, чтобы была обеспечена прочность формируемых знаний.

· Упражнения должны быть доступны учащимся и располагаться от простого к сложному.

· В системе должны предусматриваться специальные упражнения, готовящие учеников к усвоению вопросов практического характера: выполнение вычислений, решение арифметических задач, решение уравнений и т.д.

· На этом этапе, больше, чем на предыдущем, должны быть предусмотрены упражнения на сопоставление и противопоставление нового материала и ранее усвоенного, что предупредит смешение сходных вопросов и поможет установлению внутрипонятийных и межпонятийных связей.

· При организации деятельности учащихся на этом этапе следует чаще использовать метод самостоятельных работ, всемерно способствовать умственному развитию учащихся.

· Кроме того, надо учесть, что младшие школьники лучше усваивают материал, если его включать в уроки небольшими частями, но достаточно длительное время.

Приложение №1

Арифметические действия

Приложение №2

Похожая информация.

К арифметическим действиям относятся:

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение - это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 - слагаемые, 17 - сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 17 - 6 = 11. Здесь 17 - уменьшаемое, 6 - вычитаемое, 11 - разность.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения: n x m или n m . Например, 12 x 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 x 4 = 48 или 12 4 = 48. Здесь 12 - множимое, 4 - множитель, 48 - произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) - значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48: 4 = 12. Здесь 48 - делимое, 4 - делитель, 12 - частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное - целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 - остаток.

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) - значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в степень:

3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

Здесь 3 - основание степени, 5 - показатель степени, 243 - степень.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья - кубом. Первой степенью любого числа является само это число.

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени (n - показатель корня) из числа a (подкоренное число) - значит найти третье число, n-ая степень которого равна а. Результат называется корнем. Например:

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями.