Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Задача 2.1. Найти, если
,
,
.

Решение. а). Для
имеем

.

б). Для
.

.

в). Для
.

.

Задача 2.2. Найти
, если

б). Дифференцируя уравнение для
, имеем

,

.

Дифференцирование последнего соотношения дает

.

Внося выражение для , находим

.

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

.

,

.

Вторую производную вычислим по формуле

.

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

б). Предел является неопределённостью вида
поэтому вначале его надо преобразовать к видуили:

.

К последнему (типа
) можно применять правило Лопиталя:

Полученный предел вновь является неопределенностью
поэтому повторное применение правила дает

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

.

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

.

Искомый предел согласно (1) равен

.

Задача 2.4. Исследовать функцию
и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось
. Для отыскания участков монотонности находим

.

Тогда
при
(интервал возрастания),
при
(интервал убывания). Точка
является стационарной, поскольку
При переходе через
производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при
функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

.

При
или
будет
и функция вогнута; при

и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот
вычислим

.

Поэтому при
функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции
показаны на графике

Y

О

4.3. Решение типового варианта контрольной работы n 3

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхностив точке
.

.

Решение. Обозначим

Величина градиента

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящей через
, запишется

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через
, поэтому ее уравнения

.

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области D, ограниченной заданными линиями:

Решение. Область D показана на рисунке (треугольник OAB).

Cтационарные точки являются решениями системы уравнений

,

откуда находим точку
, принадлежащую, как видно из рисунка, области
. В этой точке
. (2)

Исследуем функцию на границе области D.

Отрезок ОА. Здесь
и
Стационарные точки определяются из уравнения
откуда
В этой точке

. (3)

На концах отрезка

,

. (4)

Отрезок АВ. Здесь
и

Из уравнения
находим
и

. (5)

При
имеем

. (6)

Отрезок ОВ. Здесь
Поскольку
при
функция не имеет стационарных точек. Значения ее при

были вычислены в (4), (6).

Из результатов (2)-(6) заключаем, что

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точке С(2,1).

Задача 3.3. Найти полный дифференциал функции

Решение. Частные производные равны

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

Затем, дифференцируя найденные частные производные, получим частные

производные второго порядка данной функции:

Задача 3.5. Вычислить значение производной сложной функции

,

при
с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Так как сложная функциязависит от одной переменнойчерез промежуточные переменныеи, которые в свою очередь зависят от одной переменнойто вычисляем полную производную этой функции по формуле

.

.

Вычислим ипри
:

Подставим значения
в выражение производной. Получим

4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение . Поскольку

искомый интеграл равен

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

.

Методом неопределенных коэффициентов находим

.

Решая эту систему уравнений, имеем

.

Искомый интеграл равен

Задача 4.3.
.

Решение . Выполним подстановку
Разрешая уравнение относительно, находим:

.

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

и раскрывая скобки в равенстве

приходим к соотношению

Система уравнений относительно
запишется

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

.

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции
.

Решение . Универсальной является подстановка
для которой нетрудно проверить равенства

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

. (7)

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

(1)
Тогда

;

(2)
Тогда

;

(3)
Тогда


.

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Решение . а). Рассмотрим вспомогательную функциюна отрезке
Площадь вычисляется по формуле

Исследуем
Очевидно, что
Поскольку

,

нетрудно проверить, что
достигает в точке
локального минимума, причемКроме того,
Поэтому наименьшее значение
на , равное
, положительно, и, значит,
Имеем

Вычисляя интеграл по частям, находим

б). Здесь
на
Имеем

, и, следовательно,
меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения
находим значение
поэтому
при
и
при
Искомая площадь равна:

Вычисляем неопределенный интеграл

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривойв полярной системе координат.

Решение . Кривая определена для тех значенийиз интервала
(или
), при которых выполняется условие
Неравенство
имеет решения
или

. (8)

Области (8) принадлежат интервалу
при значениях
т.е.

Площадь вычисляется по формуле

Вычисляя неопределенный интеграл

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл
или доказать его расходимость.

Решение . Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

.

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут

то

Методом неопределенных коэффициентов находим

, откуда

Поэтому

Значение несобственного интеграла равно

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

D:

Решение . Вид области показан на рисунке.

Масса пластины
запишется с помощью двойного интеграла

.

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x 2 , z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение . Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x 2 и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

1 4 -

0 C

Объем области посредством тройного интеграла запишется

Приведем интеграл к повторному

.

Через
обозначены аппликаты точек
(см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости
и плоскости
, т.е.
,
. Черезобозначена область плоскости
, на которую проецируется область. Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты
точек
вычисляются из уравнения
и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности
и плоскости
т.е. уравнения
Искомый объем равен

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой, с плотностью
с помощью криволинейного интеграла первого рода;b ) работу силы
вдоль траекторииL от т.A до т.B с помощью криволинейного интеграла второго рода.

Четверть окружности
между А(3,-3), В(5,-1). (2)- дуга параболы
отА (0,1) доВ (1,-1).

Решение. а ). Зарядq проводника, имеющего плотность заряда
вычисляется по формуле

.

(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:

Участку L соответствуют значения параметра
где

откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный

причем верхний знак выбирается при
и нижний - при

В данной задаче

(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при

Для
имеем

Используем подстановку

б ). Работа силового поля с компонентами
вдоль траектории АВ запишется

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле

(2). Для дуги параболы

Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей, протекающей за единицу времени через частьплоскостилежащей в первом октанте. Единичная нормальнаправлена вне начала координат.

Решение. Искомый расход дан формулой

.

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл

где уравнение поверхности записано в явном виде:

.

Область
является проекциейна плоскость
и ограничена линиями

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим

.

Последний запишется через повторный интеграл

С о д е р ж а н и е

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Данная тема является актуальной, так как каждый день люди решают различные задачи, в которых они применяют разные методы решения, но есть задания, в которых не обойтись без метода математической индукции, и в таких случаях будут очень полезны знания в данной области.

Я выбрал данную тему для исследования, потому что в школьной программе методу математической индукции уделяют мало времени, ученик узнает поверхностнуюинформацию, которая поможетему получить лишь общее представление о данном методе, но чтобы углубленно изучить эту теорию потребуется саморазвитие. Действительно будет полезно поподробнее узнать о данной теме, так как это расширяет кругозор человека и помогает в решении сложных задач.

Цель работы:

Познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить её при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Задачи работы:

Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме.

Разобраться в принципе метода математической индукции.

Исследовать применение метода математической индукции к решению задач.

Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе.

Основная часть исследования

История возникновения:

Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.

Индукция - познавательная процедура, посредством которой из сравнения наличных фактов выводится обобщающее их утверждение.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство.

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом: мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению логически развивать свою мысль, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Индукция и дедукция

Известно, что существуют как частные, так и общие утверждения, и на переходе от одних к другим и основаны два данных термина.

Дедукция (от лат. deductio - выведение) - переход в процессе познания от общего знания к частному и единичному . В дедукции общее знание служит исходным пунктом рассуждения, и это общее знание предполагается «готовым», существующим. Особенность дедукции состоит в том, что истинность ее посылок гарантирует истинность заключения. Поэтому дедукция обладает огромной силой убеждения и широко применяется не только для доказательства теорем в математике, но и всюду, где необходимы достоверные знания.

Индукция (от лат. inductio - наведение) - это переход в процессе познания от частного знания к общему .Другими словами, - это метод исследования, познания, связанный с обобщением результатов наблюдений и экспериментов.Особенностью индукции является ее вероятностный характер, т.е. при истинности исходных посылок заключение индукции только вероятно истинно и в конечном результате может оказаться как истинным, так и ложным.

Полная и неполная индукция

Индуктивное умозаключение - такая форма абстрактного мышления, в которой мысль развивается от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности, а заключение, вытекающее из посылок, носит преимущественно вероятностный характер.

В ходе исследования я выяснил, что индукция делится на два вида: полная и неполная.

Полной индукцией называется умозаключение, в котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса.

Например,пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 6≤ n≤ 18 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Данные равенства показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Рассмотрим следующий пример: последовательность yn= n 2 +n+17; Выпишем первые четыре члена: у 1 =19; y 2 =23; y 3 =29; y 4 =37; Тогда мы можем предположить, что вся последовательность состоит из простых чисел. Но это не так, возьмем y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Это составное число, значит наше предположение неверно, таким образом, неполная индукция не приводит к вполне надежным выводам, но позволяет сформулировать гипотезу, которая в дальнейшем требует математического доказательства или опровержения.

Метод математической индукции

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для всех этих ситуаций мы не в состоянии.Но как осуществить проверку бесконечного числа случаев? Такой способ предложили Б.Паскаль и Я.Бернулли, это метод математической индукции, в основе которого лежит принцип математической индукции .

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом:

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Алгоритм (он состоит из четырех этапов):

1.база (показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (п = 1));

2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев); 3 .шаг (в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1); 4.вывод (у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .

Заметим, что Методом математической индукции можно решать не все задачи, а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.

Применение метода математической индукции

Применим всю данную теорию на практике и выясним, в каких задачах применяется данный метод.

Задачи на доказательство неравенств.

Пример 1. Доказать неравенство Бернулли(1+х)n≥1+n х, х>-1, n € N.

1) При n=1 неравенство справедливо, так как 1+х≥1+х

2) Предположим, что неравенство верно для некоторого n=k, т.е.

(1+х) k ≥1+k x.

Умножив обе части неравенства на положительное число 1+х, получим

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Учитывая, что kx 2 ≥0, приходим к неравенству

(1+х) k+1 ≥1+(k+1) x.

Таким образом, из допущения, что неравенство Бернулли верно для n=k, следует, что оно верно для n=k+1. На основании метода математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n € N.

Пример 2. Доказать, что при любом натуральном n>1, .

Докажем с помощью метода математической индукции.

Обозначим левую часть неравенства через.

1), следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

2)Пусть при некоторомk. Докажем, что тогда и. Имеем, .

Сравнивая и, имеем, т.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому. Но, значит, и.Мы доказали справедливость неравенства при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального n>1.

Задачи на доказательство тождеств.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Пусть n=1, тогда Х 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е.X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.

Пример 2. Доказать, что при любом натуральном nсправедливо равенство

1) Проверим, что это тождество верно приn = 1.; - верно.

2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е..

3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.;

Т.к. равенство верно при n=kи n=k+1, то оно справедливо при любом натуральном n.

Задачи на суммирование.

Пример 1. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Решение: 1) Имеем n=1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.

2) Докажем, что А(k) A(k+1).

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

В самом деле,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Итак, А(k) А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого n N.

Пример 2. Доказать формулу, n - натуральное число.

Решение: При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е. .

Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1, то это утверждение справедливо при любом натуральном n.

Задачи на делимость.

Пример 1. Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1) делится на 133 без остатка.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23× 133.

(23× 133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно;

2) Предположим, что (11 k+2 +12 2k+1) делится на 133 без остатка.

3) Докажем, что в таком случае

(11 k+3 +12 2k+3) делится на 133 без остатка. Действительно, 11 k+3 +12 2л+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей является 133.

Итак, А(k)→ А(k+1), то опираясь на метод математической индукции, утверждение верно для любых натуральных n.

Пример 2. Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11.

Решение: 1) Пусть n=1, тогдаХ 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 делится на 11 без остатка. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k

X k =3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 по предположению, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма делится на 11 без остатка при любом натуральном n.

Задачи из реальной жизни.

Пример 1. Доказать, что сумма Sn внутренних углов любого выпуклого многоугольника равна (п - 2)π, где п — число сторон этого многоугольника:Sn = (п - 2)π (1).

Это утверждение имеет смысл не для всех натуральных п , а лишь для п > 3, так как минимальное число углов в треугольнике равно 3.

1) При п = 3 наше утверждение принимает вид: S 3 = π. Но сумма внутренних углов любого треугольника действительно равна π. Поэтому при п = 3 формула (1) верна.

2) Пусть эта формула верна при n=k , то есть S k = (k - 2)π, где k > 3. Докажем, что в таком случае имеет место и формула:S k+ 1 = (k - 1)π.

Пусть A 1 A 2 ... A k A k+ 1 —произвольный выпуклый (k + 1) -угольник (рис. 338).

Соединив точки A 1 и A k , мы получим выпуклый k -угольник A 1 A 2 ... A k — 1 A k . Очевидно, что сумма углов (k + 1) -угольника A 1 A 2 ... A k A k+ 1 равна сумме углов k -угольника A 1 A 2 ... A k плюс сумма углов треугольника A 1 A k A k+ 1 . Но сумма углов k -угольника A 1 A 2 ... A k по предположению равна (k - 2)π, а сумма углов треугольника A 1 A k A k+ 1 равна π. Поэтому

S k+ 1 = S k + π = (k - 2)π + π = (k - 1)π.

Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и потому формула (1) верна при любом натуральном п > 3.

Пример 2. Имеется лестница, все ступени которой одинаковы. Требуется указать минимальное число положений, которые гарантировали бы возможность «забраться» на любую по номеру ступеньку.

Все согласны с тем, что должно быть условие. Мы должны уметь забраться на первую ступень. Далее должны уметь с 1-ой ступеньки забраться на вторую. Потом во второй - на третью и т.д. на n-ую ступеньку. Конечно, в совокупности же «n» утверждений гарантирует нм то, что мы сможем добраться до n-ой ступеньки.

Посмотрим теперь на 2, 3,…., n положение и сравним их друг с другом. Легко заметить, что все они имеют одну и ту же структуру: если мы добрались до k ступеньки, то можем забраться на (k+1) ступеньку. Отсюда становится естественной такая аксиома для справедливости утверждений, зависящих от «n»: если предложение А(n), в котором n - натуральное число, выполняется при n=1 и из того, что оно выполняется при n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно выполняется и для n=k+1, то предположение А(n) выполняется для любого натурального числа n.

Приложение

Задачи с применением метода математической индукции при поступлении в ВУЗы.

Заметим, что при поступление в высшие учебные заведения также встречаются задачи, которые решаются данным методом. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Пример 1. Доказать, что любом натуральном п справедливо равенство

1) При п=1 мы получаем верное равенство Sin.

2) Сделав предположение индукции, что при n=k равенство верно, рассмотрим сумму, стоящую в левой части равенства, при n=k+1;

3) Используя формулы приведения преобразуем выражение:

Тогда, в силу метода математической индукции равенство верно для любого натурального n.

Пример 2. Доказать, что для любого натурального n значение выражения 4n +15n-1 кратно 9.

1) При n=1: 2 2 +15-1=18 - кратно 9 (т.к.18:9=2)

2) Пусть равенство выполняется для n=k: 4 k +15k-1 кратно 9.

3) Докажем, что равенство выполняется и для следующего числа n=k+1

4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4.4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k-2)

4(4 k +15k-1) - кратно 9;

9(5k-2) - кратно 9;

Следовательно и все выражение 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) кратно 9, что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что при любом натуральном числе п выполняется условие: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.

1) Проверим, что данная формула верна при п=1: Левая часть = 1∙2∙3=6.

Правая часть= . 6 = 6; верно при п=1.

2) Предположим, что данная формула верна при n=k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.

3) Докажем, что данная формула верна при n=k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k+1 =.

Доказательство:

Итак, данное условие верно в двух случаях и доказали, что верно при n=k+1, следовательно она верно при любом натуральном числе п.

Заключение

Подведем итоги, в процессе исследования я выяснил, в чем заключается индукция, которая бывает полной или неполной, познакомился с методом математической индукции, основанном на принципе математической индукции, рассмотрел множество задач с применением данного метода.

Также я узнал много новой информации, отличной от той, что включена в школьную программу.Изучая метод математической индукции я использовал различную литературу, ресурсы интернета, а также консультировался с педагогом.

Вывод: Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, убедился в необходимости знаний по данной теме в реальной действительности. Положительным качеством метода математической индукции является его широкое применение в решении задач: в области алгебры, геометрии и реальной математики. Также эти знания повышают интерес к математике, как к науке.

Я уверен, что навыки, приобретенные в ходе работы, помогут мне в будущем.

​ Список литературы

Соминский И.С. Метод математической индукции. Популярные лекции по математике, выпуск 3-М.: Наука, 1974г.

Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (Избранные вопросы элементарной математики) - Изд.5-е, перераб., 1976 - 638с.

А. Шень. Математическая индукция. — МЦНМО, 2004. — 36 с.

M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич Сборник задач по алгебре: учеб.пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики 7-е изд.— М.: Просвещение, 2001.—271 с

Ма-ка-ры-чев Ю.Н., Мин-дюк Н.Г До-пол-ни-тель-ные главы к школь-но-му учеб-ни-ку ал-геб-ры 9 клас-са. - М.: Про-све-ще-ние, 2002.

Википедия- свободная энциклопедия.

Вероятностный подход к измерению информации

Количество информации i , содержащейся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, определяется из решения уравнения:

N = 2 i (формула Хартли)

Как решать задачи данного типа:

Задача 1. В рулетке общее количество лунок равно 128. Какое количество информации мы получим, когда увидим, что шарик остановился в одной из лунок?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой N=2 I . Если N=128, то I=7, т.к. 2 7 = 128.

Ответ: количество информации равно 7 битам.

Решить:

1.Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что нужная вам программа находится на одном из 8 CD дисков?

2. Происходит выбор одной карты из колоды в 32 карты. Какое количество информации мы получим, когда увидим, что выбрана определенная карта?

3. Сколько существует различных последовательностей из символов «плюс» и «минус», длиной ровно в пять символов?

Алфавитный подход к определению количества информации

Чтобы определить объем информации в сообщении при алфавитном подходе, нужно:

Определить количество информации (i) в одном символе по формуле 2 i = N , (где N - мощность алфавита)

Определить количество символов в сообщении (K)

Вычислить объем информации по формуле: V = K * i

Единицы измерения информации

1 байт=8 бит

1 Кбайт = 2 10 байт = 1024 байт

1 Мбайт = 2 10 Кбайт = 1024 2 байт = 1 048 576 байт

1 Гбайт = 2 10 Мбайт = 1024 3 байт » 1 млрд. байт

Задача 1. При составлении сообщения использовали 128-символьный алфавит. Каким будет информационный объем сообщения в Кбайтах, если оно содержит 2048 символов.

Решение:

Определим количество информации (i) в одном символе по формуле N=2 I . Если N=128, то I=7, т.к. 2 7 = 128.

Количество символов в сообщении (K) известно К=2048.

Вычисли объем информации по формуле: V = K * I = 2048*7 бит = (2048*7) /8 /1024 Кбайт =2*7/8 Кбайт = 1,75 Кбайт

Ответ: информационный объем сообщения равен 1,75 Кбайт

1. При составлении сообщения использовали 128-символьный алфавит. Каким будет информационный объем сообщения в Кбайтах, если оно содержит 2048 символов.

2. Сообщение занимает 2 страницы. На каждой странице по 80 строк, в каждой строке по 32 символа. Найдите информационный объем такого текста, если при его составлении использовали 256-символьный алфавит.

3. Выразите 8 Мбайт в битах.

4 ответов

Нет, твоя идея неверна. Сложность O(n) также должна признать, что эта проблема сложна.

Вот решение. T(n) = T(n-1) + T(n/2) + n . Поскольку вы вычисляете вещи для очень больших n , чем n-1 почти то же самое, что и n . Поэтому вы можете переписать его как T(n) = T(n) + T(n/2) + n

И здесь я сделал ошибку, и неправильное решение начинается :

который равен T(n) = 1/2 * T(n/2) + n/2 . Как вы видите, сложность этой рекурсии будет супер-крошечной бит меньше первоначальной.

Обратите внимание: здесь вы не можете использовать магистерскую теорему, потому что a < 1 .

Вы можете начать разворачивать рекурсию.

где последнее преобразование суммы, потому что это геометрическая прогрессия. Таким образом, рекурсия остановится в какое-то время, и вы можете просто выбрать точку, когда это произойдет. Я выбрал его, когда T(1) = b . Это происходит, когда n/2^k = 1 или n = 2^k , что означает, что k = log n .

Если вы замените этот k в рекурсии, вы получите самый большой элемент, выполняемый как O(n) , и поэтому это время работы этого уравнения.

Конец ошибки, начало правильного

который равен T(n/2) + n = 0 , который равен T(n) = - 2n , поэтому он является линейным. Это было противно интуитивно мне (знак минуса здесь), но вооруженный этим решением, я вижу, что решение функциональное уравнение T(n)=T(n-1)+T(n/2)+n что-то действительно близкое к -2n - 2 .

Если вы введете его в уравнение, вы увидите, что для любого n он выключен только 1. Таким образом, решение все еще O(n)

P.S. еще раз, очень странная рекурсия для класса CS.

Я считаю, что ты прав. Отношение рекуррентности всегда будет разделяться на две части: Т (п-1) и Т (п/2). Глядя на эти два, ясно, что n-1 уменьшает значение медленнее, чем n/2, или, другими словами, у вас будет больше ветвей из n-1 части дерева. Несмотря на это, при рассмотрении big-o полезно рассмотреть сценарий "наихудшего случая", который в этом случае состоит в том, что обе стороны дерева уменьшаются на n-1 (так как это уменьшается медленнее, и вам нужно будет имеют больше веток). В общем, вам нужно разделить отношение на два в общей сложности n раз, следовательно, вы имеете право сказать O (2 ^ n).

Ваши рассуждения верны, но вы отдаете слишком много. (Например, также правильно сказать, что 2x^3+4=O(2^n) , но это не так информативно, как 2x^3+4=O(x^3) .)

Первое, что мы хотим сделать, это избавиться от неоднородного члена n . Это говорит о том, что мы можем искать решение формы T(n)=an+b . Подставляя это в, находим:

An+b = a(n-1)+b + an/2+b + n

которая сводится к

0 = (a/2+1)n + (b-a)

подразумевая, что a=-2 и b=a=-2 . Поэтому T(n)=-2n-2 является решением уравнения.

Теперь мы хотим найти другие решения, вычитая уже найденное решение. Давайте определим U(n)=T(n)+2n+2 . Тогда уравнение становится

U(n)-2n-2 = U(n-1)-2(n-1)-2 + U(n/2)-2(n/2)-2 + n

которая сводится к

U(n) = U(n-1) + U(n/2).

U(n)=0 является очевидным решением этого уравнения, но как ведут себя нетривиальные решения этого уравнения?

Предположим, что U(n)∈Θ(n^k) для некоторого k>0 , так что U(n)=cn^k+o(n^k) . Это делает уравнение

Cn^k+o(n^k) = c(n-1)^k+o((n-1)^k) + c(n/2)^k+o((n/2)^k)

Теперь (n-1)^k=n^k+Θ(n^{k-1}) , так что выше это будет

Cn^k+o(n^k) = cn^k+Θ(cn^{k-1})+o(n^k+Θ(n^{k-1})) + cn^k/2^k+o((n/2)^k)

Абсорбируя члены младшего порядка и вычитая общий cn^k , мы приходим к

O(n^k) = cn^k/2^k

Но это неверно, потому что правая сторона растет быстрее, чем левая. Следовательно, U(n-1)+U(n/2) растет быстрее, чем U(n) , что означает, что U(n) должен расти быстрее, чем наш предполагаемый Θ(n^k) . Так как это верно для любого k , U(n) должно расти быстрее, чем любой многочлен.

Хорошим примером того, что растет быстрее любого полинома, является экспоненциальная функция. Следовательно, предположим, что U(n)∈Θ(c^n) для некоторого c>1 , так что U(n)=ac^n+o(c^n) . Это делает уравнение ac ^ n + o (c ^ n) = ac ^ {n-1} + o (c ^ {n-1}) + ac ^ {n/2} + o (c ^ {n/2}) Переупорядочивая и используя некоторый порядок роста математики, это становится

C^n = o(c^n)

Это ложь (снова), потому что левая сторона растет быстрее, чем правая. Следовательно, U(n) растет быстрее, чем U(n-1)+U(n/2) , что означает, что U(n) должен расти медленнее, чем предполагаемый Θ(c^n) . Так как это верно для любого c>1 , U(n) должно расти медленнее любой экспоненты.

Это ставит нас в область квазиполиномов, где ln U(n)∈O(log^c n) и субэкспоненциальности, где ln U(n)∈O(n^ε) . Любой из них означает, что мы хотим посмотреть L(n):=ln U(n) , где предыдущие параграфы подразумевают, что L(n)∈ω(ln n)∩o(n) . Взяв естественный логарифм нашего уравнения, имеем

Ln U(n) = ln(U(n-1) + U(n/2)) = ln U(n-1) + ln(1+ U(n/2)/U(n-1))

L(n) = L(n-1) + ln(1 + e^{-L(n-1)+L(n/2)}) = L(n-1) + e^{-(L(n-1)-L(n/2))} + Θ(e^{-2(L(n-1)-L(n/2))})

Итак, все сводится к: как быстро растет L(n-1)-L(n/2) ? Мы знаем, что L(n-1)-L(n/2)→∞ , так как в противном случае L(n)∈Ω(n) . Вероятно, что L(n)-L(n/2) будет таким же полезным, поскольку L(n)-L(n-1)∈o(1) намного меньше L(n-1)-L(n/2) .

К сожалению, это настолько далеко, насколько я способен решить эту проблему. Я не вижу хорошего способа контролировать, как быстро растет L(n)-L(n/2) (и я смотрел на это в течение нескольких месяцев). Единственное, что я могу закончить, это процитировать еще один ответ: "очень странная рекурсия для CS-класса".