Пропорциональное деление 6. "пропорциональное деление"
1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.
2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.
2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.
Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.
2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.
3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:
4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.
Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно
Методика обучения решению задач на нахождения четвертого пропорционального.
Задача на нахождение четвертого пропорционального – это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым.
Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального. Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
Основным способом решения задач такого вида в начальной школе – арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.
Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами – подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:
Цена, количество, стоимость;
Масса одного предмета, число предметов, общая масса;
Емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;
Выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;
Расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.
Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.
В НШ решаются задачи только на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин, решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида. Или составление задачи по записанной таблице. Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.
В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а несколько позднее третьего и четвертого видов. Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин.
При первоначальном ознакомлении применять чертеж нецелесообразно, т.к. учащиеся усваивают формальные рассуждения, т.е. происходит преждевременное сокращение рассуждений. Разбор задачи изображать в виде графической схемы тоже нецелесообразно, т.к. она начнется с двух вопросов и вызывает затруднение учащихся.
Для закрепления решения задач на пропорциональное деление в дальнейшем включаются задачи с другими величинами и другие задачи из этой группы. Используются упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.
Решение: х кг – масса одной части
Сережа – х кг, Наташа – 4х кг, Коля – 3х кг
х + 4х + 3х = 2,4
х = 0,3
Сережа – 0,3 кг, Наташа – 1,2 кг, Коля – 0,9 кг
Решение: пусть х
Тогда масса воды – 4х кг, масса ягод – 3х кг, сахара – 2х кг.
4х + 3х + 2х = 13,5
9х = 13,5
х = 1,5
Масса воды – 6 кг, масса ягод – 4,5 кг, сахара – 3 кг.
Решение: 1 способ. Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда длина первого отрезка 2х м, длина второго - 3х м.
2х + 3х = 1
х = 0,2
длины отрезков 0,4 м и 0,6 м
2 способ. Найдем длину одной части 2+3=5 частей
1:5=0,2 м – длина одной части
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
88=16+24+48
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
8х = 112
х = 14 – коэффициент пропорциональности
первое число – 42, второе – 70
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Первое число -
, второе - .
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Третье число -
, второе число -
.
Пусть у – коэффициент пропорциональности.
Первое число - .
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Тогда собственная скорость парохода – 36х км/ч, скорость течения - 5х км/ч, скорость против течения - 31х км/ч, скорость по течению - 41х км/ч.
Скорость по течению относится к скорости против течения, как 41:31.
Скорость
Время
5 ч 10 мин = ч
х ч
- время на обратный путь
х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.
Решение: х:у: z =3:4:5
Всего 3+4+5=12 частей
144:12=12 – одна часть
х=36, у=48, z =60.
х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.
Решение:
Всего 15+10+6=31 часть
310:31=10 – одна часть
х=150, у=100, z= 60.
Решение: пусть х, у, z – данные числа.
10x=15y, 15y=5z
Всего 3+2+6=11 частей
Первое число -
, второе -
, третье -
.
т, 2т, т-3. т можно решить эту задачу?
Решение: всего т + 2т + т-3 = 4т – 3 частей
Найдем длину одной части:
Длина первой части -
км, длина второй части -
км, длина третьей части -
км.
Задача имеет решение при
Пропорциональное деление
Сережа собрал 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части – брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограммов клубники получил каждый?
Для приготовления компота требуется вода, ягоды и сахар, массы которых должны быть пропорциональны числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько надо взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота?
Отрезок длиной 1 м разделили на две части, длины которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите длины этих отрезков.
Три числа относятся, как 3:5:8, третье число равно 112. Вычислите два первых числа.
Собственная скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36:5. Пароход двигался вниз по течению реки 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?
Разделите число 144 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.
Разделите число 310 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.
Сумма трех чисел равна 90. Произведения первого числа на 10, второго числа на 15 и третьего числа на 5 равны между собой. Найдите эти числа.
От станции до поселка 4 км. Турист решил это расстояние разделить на три части, пропорциональные числам т, 2т, т-3. Найдите, сколько километров составляет каждая часть пути. При любом ли значении т можно решить эту задачу?
В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.
К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:
а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;
б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.
Остановимся на рассмотрении задач первого типа.
"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"
Составим таблицу:
Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.
Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:
Найдем число метров ткани в двух кусках.
Узнаем цену 1 м ткани.
Вычислим стоимость первого куска ткани.
Вычислим стоимость второго куска ткани.
1). 5+7=12 (м) 2).36:12=3 (руб.) 3).3*5= 15 (руб.) 4).3*7=21 (руб.) |
12 м ткани стоят 36 руб. 3 руб. стоит 1 м ткани 15 руб. стоит первый кусок ткани. 21 руб. стоит второй кусок ткани |
Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.
Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.
§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.
По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:
“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”
Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:
Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:
1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);
2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);
3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);
4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).
При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.
Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.