Первообразная функции и общий вид. Решение более сложных примеров
Вариант 1
а) f(x) = 3x – 1; б) f(x) = x5 + cos x; в) f(x) = 15x4 + 5.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 3x2 + 2x – 1, проходящую через точку А(-1;10).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x2dx; б) -10x2+ 4x-1dx;
в) -223x3- 2xdx; г)-π3π2sinxdx.
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 4х – х2 и осью Ох;
б) у = х2 + 2 и у = х + 4. Вариант 2
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2 - x; б) f(x) = x4 - sin x; в) f(x) = 13x5 - 7.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 3x2 – 1, проходящую через точку А(2;-8).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x3dx; б) 01x2- 2x+1dx;
в) -443x3+ 4xdx; г)-π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
а) у = 6х – х2 и осью Ох;
б) у = х2, у = 4 и осью Оу.
Вариант 3
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 8x – 3; б) f(x) = x6 - 2cos x; в) f(x) = 14x2 + 1.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 2x + 5, проходящую через точку А(-2;-20).
3. Вычислите интеграл:
а) 136x2dx; б) 022x3- x-1dx;
в) -10x2+ 2xdx; г)π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 1 – х2 и осью Ох;
б) у = 4 + 3x - х2 и у = х + 1. Вариант 4
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 4x + 4; б) f(x) = x5 - 1cos2x; в) f(x) = 12x6 - 8.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 5x4 - 6x2 + 1, проходящую через точку А(-1;2).
3. Вычислите интеграл:
а) 01x4dx; б) -112x2- 5x-7dx;
в) -20-x2+ 3xdx; г)π4π21sin2xdx .
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут
Зачетная работа по теме «Первообразная. Интеграл»
Вариант 5
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x – 5; б) f(x) = x7 – 2sin x; в) f(x) = 15x3 + 2.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 4x + 1, проходящую через точку А(1;5).
3. Вычислите интеграл:
а) 142x2d ; б) -103x2- 4x+2dx;
в) -11x3+ 2xdx; г)0π4cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 2х – х2 и осью Ох;
б) у = - х2 + 4 и у = 2 - х. Вариант 6
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 7x - 2; б) f(x) = 1sin2x + 5x4; в) f(x) = 13x3 - 9.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 7x6 + 4x – 8, проходящую через точку А(2;4).
3. Вычислите интеграл:
а) -11x2dx; б) -20x2+ 2x+1dx;
в) 02-x2+ 2xdx; г)0π41cos2xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 – 2x и осью Ох;
б) у = 6x - х2 и у = 5.
Вариант 7
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x2 + 3х; б) f(x) = x3 – 3sin x; в) f(x) = 12x3 + 4.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - 3x2 + 1, проходящую через точку А(2;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 12x4dx; б) -11x2- 5x-6dx;
в) 022x+x2+ 2dx; г)π2πsin xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – 2х2 + 8 и осью Ох;
б) у = 3х2 + 1 и у = -х + 3. Вариант 8
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 3x2 - 4; б) f(x) = 1cos2x + 6x; в) f(x) = 13x2 – 7x.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - x2 + 2, проходящую через точку А(1;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 03x3dx; б) -20x2+ 5x+6dx;
в) 122x+x2+ x3dx; г)0π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут
Проверочный тест:
1. Верно ли, что функция y= sinx + x4 -7 первообразная для функции y = cosx + 4x3 на промежутке (-?; ?)?
2. Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).
3. Найдите первообразную функции а) f(x) = x 10 ; б) f(x) = x 8 - cosx;
в) f(x) = 3sinx; г) f(x) = sin(7x+2);
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = x 2 +4, y=0, x = 2, x =4.
5. Вычислите определенный интеграл: а) б); в) .
3. a);б)F(x) =; в)F(x)=-3cosx+c; г) F(x) = -
4. 26? ;5. а)2?; б) 0; в) -1;
Улучшите свои знания
1. Понятие первообразной функции
Функция F(x)(например,5x 2) называется первообразной для функции f(x) (10x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)= f(x)((5x 2)" =10x).
Верно ли, что функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?)
Решение: Проверим, будет ли функция Y= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразной для функции y = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).
Для этого:
1. Найдем область определения функцииY: D(Y)= (-?; ?).
2. Найдем производную функции Y= 0,5sin2x + x 5 -3:(0,5sin2x + x 5 -3)" = cos2x + 5x 4 ;
3. Получили: Y"(x) =y(x) для всех x из промежутка (-?; ?), значит, функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).
2. Основное свойство первообразной
Если функция F(x) первообразна для функции f(x)на некотором промежутке, то любая другая первообразная для функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная величина.
Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).
Общий вид первообразных функции f(x) = x 2 - это F(x) =, так как график функции F(x) = проходит через точку(3; 6), то F(3) =6, т.е. 6=9+С, откуда С=-3.
Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку (3;6) имеет вид F(x) =.
3. Основные правила нахождения первообразной
а) Первообразная степени x n равна +С
Например первообразная x 6 равна +С.
б) Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных этих функций
Например, первообразная функции x 2 +sinx равна сумме первообразных функций x 2 и sinx, т. е.
в) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной
Например, первообразная 5 x 6 равна 5+С.
г) Первообразная функции f(kx+c) равна, где к?0.
Например, первообразная функции sin(5x+2) равна -cos(5x+2)+C.
4. Площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, надо:
1. Найти одну из первообразных функции f(x), например, F(x);
2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке b ,т.е. F(b);
3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке a, т.е. F(a);
4. Найти разность (приращение первообразной) F(b)- F(a)=S -это и будет площадь криволинейной трапеции.
Например,
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = x 2 +4, x = 2, x =4,у=0.
Построим фигуру, ограниченную линиями
у = x 2 +4 - парабола, x = 2, x =4 - - прямые, параллельные оси OY, у=0 - ось OX. Фигура, ограниченная этими линиями, является криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.
2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке 4, т.е.
3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке 2, т.е.
4. Найдем S=21? - 10? =10?.
5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл функции f(x), непрерывной на отрезке , записывается в виде, читается « интеграл от a до b функции f(x)dx».
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
Обычно для удобства вычисления записывают так:
символ читается: « двойная подстановка от a до b», f(x) - называется подинтегральной функцией, f(x)dx- подинтегральным выражением.
Чтобы вычислить определенный интеграл, надо
1. Проверить, является ли функция f(x) непрерывной на отрезке;
2. Для непрерывной функции найти ее первообразную F(x);
3. Вычислить значения первоообразной в точках a и b: F(b)и F(a);
4. Вычислить разность F(b)- F(a).
Например,
1. Функция f(x)=x 2 непрерывна на отрезке ;
Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Правило 1
Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.
По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2
Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.
Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).
Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:
Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5*sin(x).
Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5
Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решениеРешение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решениеРешение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решениеРешение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Мы знаем такую формулу:
\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Считается эта производная элементарно:
\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]
Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:
\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
- Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
- Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
- Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]
Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:
\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]
Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:
\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
- Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
- Для константы — $=const\to \cdot x$
- Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
Посчитаем:
Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]
\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]
\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
- умножать (степени складываются);
- делить (степени вычитаются);
- умножать на константу;
- и т.д.
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]
Следовательно, мы получим:
\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:
\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]
Перепишем:
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]
Давайте перепишем нашу функцию:
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]
\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]
\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]
\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.
Еще раз переписываем наши конструкции:
В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И последняя:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:
Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:
\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]
Выражаем $C$:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
Исходя из этого, мы можем записать:
Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:
\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Вот наша конструкция
Подставим координаты точки $M$:
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!