Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Мы использовали и другие аксиомы, хотя особо не выделяли их. Так, сравнение 2-ух отрезков мы проводили с помощью наложения. Возможность такого наложения вытекает из аксиомы «На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один»

Эти аксиомы не вызывают сомнений и с помощью них доказываются другие утверждения. Такой способ зародился очень давно и был изложен в сочинении «Начала» ученого Евклида. Некоторые из аксиом Евклида - постулаты сейчас используются в геометрии а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется Евклидовой геометрией.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными и секущей. Условие – это то, что дано. Заключение – то, что требуется доказать. Теорема, обратная данной –такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Замечание. Если доказана некоторая теорема, то отсюда еще не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Например, «вертикальные углы равны». Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные»- конечно же, неверно.

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» предполагает детальное рассмотрение важной аксиомы геометрии - аксиомы параллельных прямых, ее особенностей, следствий из данной аксиомы, широко применяющихся в практике решения геометрических задач. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание аксиомы и ее следствий, сформировать представление о ее особенностях, применении при решении задач.

Подача материала в форме видеоурока открывает новые возможности для учителя. Подача ученикам стандартного блока учебного материала автоматизируется. При этом улучшается качество подачи материала, так как он обогащен наглядным представлением, анимационными эффектами, приближающими построения к реальным, проводимым на доске. Исторические сведения подаются с рисунками и фото, вызывая интерес к изучаемой теме. Видео также освобождает учителя для углубления индивидуальной работы во время обучения.

Сначала на данном видео демонстрируется название темы. Рассмотрение аксиомы начинается с построения ее модели. На экране изображены прямая а, лежащая вне ее точка М. Далее описывается доказательство утверждения, что через заданную точку М можно построить прямую, параллельную данной. Проводится перпендикулярно прямой а прямая с, затем перпендикулярно прямой с в точке М проводится прямая b. Основываясь на утверждении, о параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей, отмечаем, что прямая b параллельна исходной прямой а. Учитывая это, указываем, что в точке М проведена прямая, параллельная данной. Однако необходимо еще проверить, есть ли возможность провести через М иную параллельную прямую. На экране показано, что любой поворот прямой b в точке М приведет к построению прямой, которая пересечет прямую а. Однако возможно ли доказать невозможность проведения другой прямой?

Вопрос доказательства невозможности проведения иной прямой, параллельной данной, имеет давнюю историю. Ученикам предлагается небольшой экскурс в историю вопроса. Отмечается, что в труде Евклида «Начала» данное утверждение приведено в виде пятого постулата. Попытки ученых доказать утверждение не привели к успеху. На протяжении многих веков математиков интересовала эта задача. Однако только в прошлом веке окончательно было доказано, что данное утверждение недоказуемо в евклидовой геометрии. Оно является аксиомой. Ученикам представляется один из знаменитых математиков, вложивших значительный вклад в математическую науку - Николай Иванович Лобачевский. Именно он сыграл важную роль в окончательном решении вопроса. Поэтому утверждение, рассматриваемое на данном уроке, является аксиомой, лежащей в фундаменте науки наряду с другими аксиомами.

Далее предлагается рассмотреть следствия из данной аксиомы. Для этого необходимо уточнить понятие «следствия». На экране отображается определение следствий как утверждений, выводящихся непосредственно из теорем или аксиом. Данное определение может быть предложено ученикам для записи в тетрадь. Понятие следствий демонстрируется на примере, который уже рассматривался в видеоуроке 18 «Свойства равнобедренного треугольника». На экране выведена теорема о свойствах равнобедренного треугольника. Напоминается, что после доказательства данной теоремы рассматривались не менее важные следствия из нее. Так, если основная теорема утверждала, что биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, то следствия имели близкое содержание, утверждая, что и высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, а также медиана равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.

Уточнив понятие следствий, рассматриваются непосредственно следствия, выходящие из данной аксиомы параллельности прямых. На экране отображается текст первого следствия аксиомы, утверждающий, что пересечение прямой одной из параллельных прямых означает пересечение ею и второй параллельной прямой. На рисунке под текстом следствия изображается прямая b и параллельная ей прямая а. Вторая прямая пересекает прямую с в точке М, принадлежащей прямой а. Приводится доказательство утверждения, что прямая с пересечет также прямую b. Доказательство производится от противного, используя аксиому о параллельных прямых. Если предположить, что прямая с не пересекает b, это означает, что через данную точку можно провести еще одну прямую, параллельную указанной. Но это невозможно, учитывая аксиому параллельных прямых. Следовательно, с пересекает также прямую b. Следствие доказано.

Далее рассматривается второе следствие из данной аксиомы. На экране отображается текст следствия, утверждающего, что если две прямые являются параллельными третьей, то можно утверждать о параллельности их между собой. На рисунке, демонстрирующем данное утверждение, построены прямые а, b, с. При этом прямая с как параллельная обеим прямым, выделена синим цветом. Предлагается доказать данное утверждение. В ходе доказательства допускается, что параллельные прямой с прямые а, b не являются параллельными между собой. Это означает, что они имеют точку пересечения. Это означает, что проходящие через точку М, обе прямые параллельны данной, что вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых. Данное следствие верно.

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» может облегчить учителю задачу объяснить ученикам особенности аксиомы, доказательства ее следствий, облегчить запоминание материала школьниками на обычном уроке. Также данный видеоматериал может быть использован при дистанционном обучении, быть рекомендованным для самостоятельного изучения.

§ 1 Аксиома параллельных прямых

Выясним, какие утверждения называются аксиомами, приведем примеры аксиом, сформулируем аксиому параллельных прямых и рассмотрим некоторые её следствия.

При изучении геометрических фигур и их свойств возникает необходимость в доказательстве различных утверждений - теорем. При их доказательстве часто опираются на ранее доказанные теоремы. Возникает вопрос: а на чем основаны доказательства самых первых теорем? В геометрии приняты некоторые исходные положения, на их основе и доказываются далее теоремы. Такие исходные положения называются аксиомами. Аксиома принимается без доказательств. Слово аксиома происходит от греческого слова «аксиос», что означает «ценный, достойный».

С некоторыми аксиомами мы уже знакомы. Например, аксиомой является утверждение: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

При сравнении двух отрезков и двух углов мы накладывали один отрезок на другой, а угол накладывали на другой угол. Возможность такого наложения вытекает из следующих аксиом:

·на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один;

·от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Геометрия - древняя наука. Почти два тысячелетия геометрия изучалась по знаменитому сочинению «Начала» древнегреческого ученого Евклида. Евклид сначала формулировал исходные положения - постулаты, а затем на их основе путем логических рассуждений доказывал другие утверждения. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. В рукописях ученого есть утверждение, называемое пятым постулатом, вокруг которого очень долгое время разгорались споры. Многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т.е. вывести его из других аксиом, но каждый раз доказательства были неполными или заходили в тупик. Лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что пятый постулат не может быть доказан на основе остальных аксиом Евклида, и сам является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Итак, пятый постулат - аксиома параллельных прямых.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

§ 2 Cледствия из аксиомы параллельных прямых

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: прямые а и b параллельны, прямая с пересекает прямую а в точке А.

Доказать: прямая с пересекает прямую b.

Доказательство: если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку А проходили бы две прямые а и с, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямая с пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: прямые а и b параллельны прямой с. (а||с, b||с)

Доказать: прямая а параллельна прямой b.

Доказательство: допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке А. Тогда через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельна данной. Значит, наше предположение неверно, следовательно, прямые а и b параллельны.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения:

Немецкий физик Альберт Эйнштейн с помощью математических методов разработал теорию относительности, совершив переворот в физике ХХ в.

Считается, что основы современной математики заложены Эвклидом в его 13-томном труде «Элементы» около 300 г. до н. э. В отличие от предшественников, Евклид объясняет здесь геометрию не с помощью бесчисленных чертежей, но чисто логически. Вначале он описывает целый ряд фактов, которые он считает истинными и непреложными. Эти факты называются постулатами. Один из таких постулатов Евклида, например, гласит: «Из каждой точки можно провести одну прямую к любой другой точке». Затем, исходя из этих постулатов, он выводит все остальное. Тем самым Евклид впервые продемонстрировал современное математическое мышление: исходя из определенных предположений, однажды сделанных и не подвергавшихся больше пересмотру, доказал множество других утверждений.

Столетиями шли споры по поводу пятого постулата Евклида, так называемой аксиомы о параллельных прямых: через любую точку Р, лежащую вне прямой g, можно провести только одну прямую, которая не пересечет g. Такую прямую называют параллельной к прямой g, проходящей через точку Р. Многие ученые стремились не просто принять это положение, а вывести его из первых четырех. Но это оказалось невозможным. Математики стали создавать геометрию, которая основывалась на первых четырех аксиомах Евклида и отвергала пятую. То, что вначале выглядело математической игрой, в начале XX в. оказалось востребованным. Альберт Эйнштейн увидел в этих моделях геометрии основу для своей общей теории относительности.