Формула 2 космической скорости. Что удерживает Луну на околоземной орбите

Самые первые источники письменности, устные легенды и сказания, передаваемые из уст в уста, свидетельствуют о желании человека летать, подобно птице. И вот летательные аппараты легко обгоняют любых птиц. Но человек не только освоил воздушное пространство, этого ему показалось мало.

Активно осваивается ближний космос, на Земной орбите находятся целые комплексы, состоящие из жилых, научных, технических модулей. По красной планете - Марсу - вовсю колесят исследовательские автоматические аппараты, по поверхности Луны делаются «огромные шаги человечества», а миссии «Вояджер» вообще навсегда покидают свою родную звезду. С какой скоростью летят аппараты в космосе? "Вторая космическая скорость" - что означает это словосочетание?

Как оторваться от Земли и как её покинуть

Для начала рассмотрим, как вообще летают наши космические аппараты. Представим, что на поверхности Земли построена некая фантастическая башня. Настолько высокая, что её вершина расположена там, где уже совсем нет воздуха. На верхней площадке сооружения ставим пушку, способную выпускать снаряды с разными начальными скоростями.

Первый снаряд выпускается с небольшим количеством пороха в заряде. Снаряд, падает недалеко от башни. Если каждый последующий выстрел производить, последовательно увеличивая мощность заряда, снаряды, выпускаемые из пушки, будут падать всё дальше, огибая земной шар.

При условии, что наша пушка установлена так высоко, что снаряды будут лететь вне атмосферы, и воздух не станет тормозить их движение, в определённый момент снаряд (под номером 6 на рисунке) вообще не упадёт на поверхность планеты. Обогнув её, он пролетит рядом с выпустившей его пушкой и пойдёт на второй, третий круг и т. д. Такой эффект мы сможем наблюдать, когда начальная скорость снаряда будет 7,91 километров в секунду - это и есть первая космическая скорость.

А что будет, если скорость повышать дальше? Если выпустить снаряд из пушки так, чтобы летел он быстрее 11 км/с, траектория его превратится из эллипса в параболу (линия 7 на рисунке) и он, преодолев силу притяжения, навсегда покинет нашу планету. Это в небесной механике вторая космическая скорость.

Кто был первым

Кто же сумел первым придать технике такие скорости? Обе - первая и вторая космические скорости - были достигнуты аппаратами, изготовленными руками советских инженеров.

Осенью 57 года прошлого века советская ракета-носитель P-7, развив первую космическую скорость, выводит на орбиту Земли первый в истории человечества искусственный спутник. Но человек не был бы самим собой, если бы его удовлетворила участь кружиться вокруг своей колыбели.

Спустя буквально два года, опять же советским, космическим кораблём была достигнута вторая космическая скорость ракет, позволившая миссии преодолеть земное притяжение и направиться в сторону Луны.

Как рассчитать

А от чего зависит величина космических скоростей? Очевидно, во первых, от мощности гравитационного поля, которое создаёт космическое тело. Одно дело оторваться от астероида, где придать мячу вторую космическую скорость можно просто - посильнее размахнувшись, швырнуть его в космос. Другое дело - покинуть пределы Земли, с её массой.

Есть ещё один нюанс. Рассмотрим две планеты, вращающиеся вокруг Солнца: Меркурий и малую планету , открытую недавно, Эриду. Оба космических тела вращаются вокруг одного и того же светила с одной и той же массой. Но вот 1 космическая скорость у Меркурия составляет около 50 км/с, Эрида же летит по своей орбите намного медленнее - около 3,5 км/с. В чём же дело? А в том, что Эрида в 200 раз дальше от светила чем Меркурий и сила притяжения Солнца там в 200 в кубе раз слабее. Отсюда ещё один фактор - расстояние от центра космического тела. То есть чем ближе к нему мы находимся, тем выше будет вторая космическая скорость. Формула первой космической скорости известна из школьного курса физики.

G - константа гравитации, принимается в расчётах 6,67 ∙ 10 -11 м 3 ∙с -2 ∙кг;
M - масса космического тела;
R - расстояние от центра планеты до орбиты (радиус вращения).

Не сложно вычисляется и вторая космическая скорость. Формула ее приведена ниже.

Для того чтобы, находясь в районе земной орбиты, навсегда покинуть Солнечную систему, необходимо разогнаться до скорости (относительно Солнца) 47 км/с, ее принято называть третьей космической.

Наше Солнце так же, как вокруг него планеты, само вращается вокруг центра галактики, именумой Млечным Путем, со скоростью около 250 километров в секунду. Для того чтобы навсегда распрощаться с галактикой, ему понадобилась бы скорость порядка 650 км/с (космическая скорость № 4).

Вторая космическая скорость для небольшого астероида составляет около 30-60 м/с. Улететь от такого объекта в космосе несложно. Другое дело - нейтронные звёзды или ещё чего похуже - чёрные дыры. Вторая космическая скорость для чёрной дыры - свыше 300 тысяч километров в секунду - выше скорости света. Именно поэтому ни один объект, даже свет, не в состоянии покинуть объятия этого космического монстра.

Мы – земляне – привыкли, что твердо стоим на земле и никуда не улетаем, а если подкинем какой-нибудь предмет в воздух, то он обязательно упадет на поверхность. Всему виной создаваемое нашей планетой гравитационное поле, которое искривляет пространство-время и заставляет брошенное в сторону, например, яблоко лететь по искривленной траектории и пересечься с Землей.

Гравитационное поле создает вокруг себя любой объект, и у Земли, обладающей внушительной массой, это поле довольно сильно. Именно поэтому строятся мощные многоступенчатые космические ракеты, способные разгонять космические корабли до больших скоростей, которые нужны для преодоления гравитации планеты. Значение этих скоростей и получили названия первая и вторая космические скорости.

Понятие первой космической скорости очень простое – это скорость, которую необходимо придать физическому объекту, чтобы он, двигаясь параллельно космическому телу, не смог на него упасть, но в то же время оставался бы на постоянной орбите.

Формула нахождения первой космической скорости не отличается сложностью: где V G M – масса объекта; R – радиус объекта;

Попробуйте подставить в формулу необходимые значения (G – гравитационная постоянная всегда равна 6,67; масса Земли равна 5,97·10 24 кг, а её радиус 6371 км) и найти первую космическую скорость нашей планеты.

В результате мы получим скорость, равную 7,9 км/с. Но почему, двигаясь именно с такой скоростью, космический аппарат не будет падать на Землю или улетать в космическое пространство? Улетать в космос он не будет из-за того, что данная скорость пока еще слишком мала, чтобы преодолеть гравитационное поле, а вот на Землю он как раз и будет падать. Но только из-за высокой скорости он все время будет «уходить» от столкновения с Землей, продолжая в то же время свое «падение» по круговой орбите, вызванной искривлением пространства.

Это интересно: по такому же принципу «работает» и Международная Космическая Станция. Находящиеся на ней космонавты все время проводят в постоянном и непрекращающемся падении, которое не заканчивается трагически вследствие высокой скорости самой станции, из-за чего та стабильно «промахивается» мимо Земли. Значение скорости рассчитывается исходя из .

Но что делать, если мы захотим, чтобы космический аппарат покинул пределы нашей планеты и не был зависим от ее гравитационного поля? Разогнать его до второй космической скорости! Итак, вторая космическая скорость – это минимальная скорость, которую необходимо придать физическому объекту, чтобы он преодолел гравитационное притяжение небесного тела и покинул его замкнутую орбиту.

Значение второй космической скорости тоже, зависит от массы и радиуса небесного тела, поэтому для каждого объекта она будет своей. Например, чтобы преодолеть гравитационное притяжение Земли, космическому аппарату необходимо набрать минимальную скорость 11.2 км/с, Юпитера — 61 км/с, Солнца — 617,7 км/с.

Вторую космическую скорость(V2) можно рассчитать, используя следующую формулу:

где V – первая космическая скорость; G – гравитационная постоянная; M – масса объекта; R – радиус объекта;

Но если известна первая космическая скорость исследуемого объекта (V1), то задача облегчается в разы, и вторая космическая скорость (V2) быстро находится по формуле:

Это интересно: вторая космическая формула черной дыры больше 299 792 км/ c , то есть больше скорости света. Именно поэтому ничто, даже свет не может вырваться за ее пределы.

Помимо первой и второй комических скоростей существуют третья и четвертая, достичь которых нужно для того, чтобы выйти за пределы нашей Солнечной системы и галактики соответственно.

Иллюстрация: bigstockphoto | 3DSculptor

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter .

Подробности Категория: Человек и небо Опубликовано 11.07.2014 12:37 Просмотров: 9512

Человечество давно стремилось в космос. Но как оторваться от Земли? Что мешало человеку взлететь к звёздам?

Как мы уже знаем, мешало этому земное притяжение, или гравитационная сила Земли - главное препятствие для космических полётов.

Земное притяжение

Все физические тела, находящиеся на Земле, подчиняются действию закона всемирного тяготения . Согласно этому закону все они притягивают друг друга, то есть действуют друг на друга с силой, которая называется гравитационной силой, или силой тяготения .

Величина этой силы прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Так как масса Земли очень велика и значительно превышает массу любого материального тела, находящегося на её поверхности, то сила тяготения Земли значительно больше сил тяготения всех других тел. Можно сказать, что по сравнению с силой тяготения Земли они вообще незаметны.

Земля притягивает к себе абсолютно всё. Какой бы предмет мы ни бросили вверх, под действием силы тяготения он обязательно вернётся на Землю. Вниз падают капли дождя, вода стекает с гор, осыпается листва с деревьев. Любой предмет, который мы уронили, также падает на пол, а не на потолок.

Главное препятствие для полётов в космос

Земное тяготение не даёт возможности летательным аппаратам покинуть Землю. И преодолеть его нелегко. Но человек научился это делать.

Понаблюдаем за мячом, лежащим на столе. Если он скатится со стола, то сила притяжения Земли заставит его упасть на пол. Но если мы возьмём мяч и с силой бросим вдаль, то упадёт он не сразу, а спустя некоторое время, описав траекторию в воздухе. Почему же он смог преодолеть земное притяжение хотя бы на короткое время?

А произошло вот что. Мы приложили к нему силу, тем самым сообщив ускорение, и мяч начал двигаться. И чем большее ускорение получит мяч, тем выше будет его скорость и тем дальше и выше он сможет улететь.

Представим себе установленную на вершине горы пушку, из которой выпущен снаряд А с большой скоростью. Такой снаряд способен пролететь несколько километров. Но, в конце концов, снаряд всё равно упадёт на землю. Его траектория под действием земного притяжения имеет изогнутый вид. Снаряд В вылетает из пушки с большей скоростью. Траектория его полёта более вытянутая, а сам он приземлится намного дальше. Чем большую скорость получает снаряд, тем прямее становится его траектория и тем большее расстояние он пролетает. И, наконец, при определённой скорости траектория снаряда С приобретает форму замкнутой окружности. Снаряд делает один круг вокруг Земли, другой, третий и уже не падает на Землю. Он становится искусственным спутником Земли.

Конечно, пушечные снаряды в космос никто не отправляет. А вот космические аппараты, получившие определённую скорость, спутниками Земли становятся.

Первая космическая скорость

Какую же скорость должен получить космический аппарат, чтобы преодолеть земное притяжение?

Минимальная скорость, которую нужно сообщить объекту, чтобы вывести его на околоземную круговую (геоцентрическую) орбиту, называется первой космической скоростью .

Вычислим значение этой скорости относительно Земли.

На тело, находящееся на орбите, действует сила тяготения, направленная к центру Земли. Она же является центростремительной силой, пытающейся притянуть это тело к Земле. Но тело на Землю не падает, так как действие этой силы уравновешивается другой силой – центробежной, которая пытается вытолкнуть его. Приравнивая формулы этих сил, вычислим первую космическую скорость.

где m – масса объекта, находящегося на орбите;

M – масса Земли;

v 1 – первая космическая скорость;

R – радиус Земли

G – гравитационная постоянная.

M = 5,97·10 24 кг, R = 6 371 км. Следовательно, v 1 ≈ 7,9 км/с

Значение первой земной космической скорости зависит от радиуса и массы Земли и не зависит от массы тела, выводимого на орбиту.

По этой формуле можно вычислить первые космические скорости и для любой другой планеты. Конечно, они отличаются от первой космической скорости Земли, так как небесные тела имеют различные радиусы и массы. К примеру, первая космическая скорость для Луны равна 1680 км/с.

На орбиту искусственный спутник Земли выводит космическая ракета, разгоняющаяся до первой космической скорости и выше и преодолевающая земное притяжение.

Начало космической эры

Первая космическая скорость была достигнута в СССР 4 октября 1957 г. В этот день земляне услышали позывные первого искусственного спутника Земли. Он был запущен на орбиту с помощью космической ракеты, созданной в СССР. Это был металлический шар с усиками-антеннами, весивший всего 83,6 кг. А сама ракета обладала огромной для того времени мощностью. Ведь для того чтобы вывести на орбиту всего 1 дополнительный килограмм веса, вес самой ракеты должен был увеличиться на 250-300 кг. Но усовершенствование конструкций ракеты, двигателей и систем управления позволило вскоре отправить на земную орбиту гораздо более тяжёлые космические аппараты.

Второй космический спутник, запущенный в СССР 3 ноября 1957 г., весил уже 500 кг. На его борту была сложная научная аппаратура и первое живое существо – собака Лайка.

В истории человечества началась космическая эра.

Вторая космическая скорость

Под действием земного притяжения спутник будет двигаться над планетой по круговой орбите горизонтально. Он не упадёт на поверхность Земли, но и не перейдёт на другую, более высокую орбиту. А чтобы он смог это сделать, ему нужно придать другую скорость, которая называется второй космической скоростью . Эту скорость называют параболической , скоростью убегания , скоростью освобождения . Получив такую скорость, тело перестанет быть спутником Земли, покинет её окрестности и станет спутником Солнца.

Если скорость тела при старте с поверхности Земли выше первой космической скорости, но ниже второй, его околоземная орбита будет иметь форму эллипса. А само тело останется на околоземной орбите.

Тело, получившее при старте с Земли скорость, равную второй космической скорости, будет двигаться по траектории, имеющей форму параболы. Но если эта скорость даже немного превысит значение второй космической скорости, его траектория станет гиперболой.

Вторая космическая скорость, как и первая, для разных небесных тел имеет разное значение, так как зависит от массы и радиуса этого тела.

Вычисляется она по формуле:

Между первой и второй космической скорость сохраняется соотношение

Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.

Впервые ракета, преодолевшая земное притяжение, стартовала 2 января 1959 г. в СССР. Через 34 часа полёта она пересекла орбиту Луны и вышла в межпланетное пространство.

Вторая космическая ракета в сторону Луны была запущена 12 сентября 1959 г. Затем были ракеты, которые достигли поверхности Луны и даже осуществили мягкую посадку.

Впоследствии космические аппараты отправились и к другим планетам.

Вторая “земная” космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу относительно Земли, чтобы оно преодолело поле земного тяготения, т.е. оказалось способным удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.

Пренебрегая действием на тело Солнца, Луны, планет, звёзд и т.д. и полагая, что в системе Земля - тело отсутствуют неконсервативные силы (а таковые в действительности имеются - это силы сопротивления атмосферы), мы можем считать эту систему замкнутой и консервативной. В такой системе полная механическая энергия есть величина постоянная.

Если нулевой уровень потенциальной энергии выбрать в бесконечности, то полная механическая энергия тела в любой точке траектории будет равна нулю (по мере удаления тела от Земли кинетическая энергия, сообщенная ему на старте, будет превращаться в потенциальную. В бесконечности, где потенциальная энергия тела равна нулю,

обратится в нуль и кинетическая энергия E к =0. Следовательно, полная энергия E = E п + E к . = 0.)

Приравняв полную энергию тела на старте (на поверхности Земли) и в бесконечности, мы можем вычислить вторую космическую скорость. На старте тело обладает положительной кинетической энергией
иотрицательной потенциальной энергией
,m - масса тела; M з - масса Земли; II - скорость тела на старте (искомая космическая скорость);R з - радиус Земли (предполагаем, что необходимую космическую скорость тело приобретает в непосредственной близости от поверхности Земли).

Полная энергия тела
(12.16)

откуда
(12.17)

Массу Земли можно выразить через ускорение свободного падения g 0 (вблизи поверхности Земли):
.

Подставив это выражение в (12.17), получим окончательно

(12.18)

так как
есть первая космическая скорость.

V. Условия равновесия механической системы.

Пусть на некоторое тело действуют только консервативная сила. Это значит, что данное тело вместе с телами, с которыми оно взаимодействует, образует замкнутую консервативную систему . Выясним,

при каких условиях рассматриваемое тело будет находиться в состоянии равновесия (сформулируем эти условия с энергетической точки зрения).

Условия равновесия с точки зрения динамики нам известны: тело находится в равновесии, если его скорость и геометрическая сумма всех действующих на него сил равны нулю:

(12.19)

(12.20)

Пусть консервативная сила, действующая на тело, такова, что потенциальная энергия тела зависит только от одной координаты, например, x . График этой зависимости приведён на рисунке 23. Из связи потенциальной энергии с силой следует, что в состоянии равновесия

производная от потенциальной энергии по x равна нулю.

(12.21)

т.е. в состоянии равновесия тело обладает экстремальным запасом потенциальной энергии. Убедимся в том, что потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия минимальная , а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальная .

3. Устойчивое равновесие системы характеризуется тем, что при отклонении системы из этого состояния возникают силы, возвращающие систему в первоначальное состояние.

При отклонении из состояния неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся отклонить систему ещёдальше от первоначального положения. Отклоним тело из положения A влево (см. рис.23). При этом появится сила , проекция которой на осьx равна:

(12.22)

Производная
в точке отрицательна (угол
- тупой). Из (12.22) следует, >0; направление силы совпадает с направлением оси x , т.е. сила направления к положению равновесия A . Тело самопроизвольно, без дополнительного воздействия вернётся в положение равновесия. Следовательно, состояние A – состояние устойчивого равновесия. Но в этом состоянии, как видно из графика, потенциальная энергия минимальна.

4. Отклоним тело из положения B также влево. Проекция силы
на осьx :

получается отрицательной (
>0, так как угол
острый).

Это значит, что направление силы
противоположно положительному направлению оси x , т.е. сила
направленаот положения равновесия. Состояние B , в котором потенциальная энергия максимальна, неустойчиво.

Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна , в состоянии неустойчивого равновесия – максимальна.

Если известно, что потенциальная энергия некоторой системы минимальна, то это ещё не значит, что система находится в равновесии. Необходимо ещё, чтобы в этом состоянии система не обладала кинетической энергией:
(12.23)

Итак, система находится в состоянии устойчивого равновесия, если E к =0, а E п минимальна. Если E к =0, а E п максимальна, то система находится в неустойчивом равновесии.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения
Момент инерции тела человека относительно оси вращения
В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой
каждая. Расстояние между гирями

Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным
Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (см. рис.24), составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса
этой системы должен иметь постоянное значение.

Следовательно, для нашего случая

где и- момент инерции человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками.и
- момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками. Отсюда
, заменив угловую скорость через частоту(
), получим

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека и момента инерции гирь в руках человека, который можно определить по формуле момента инерции материальной точки

Следовательно,

где
масса каждой из гирь,и
первоначальное и конечное расстояние между ними. С учетом сделанных замечаний имеем

Подставляя численные значения величин, найдем

Пример 2. Стержень длиной
и массой
может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис.25). В середину стержня ударяет пуля массой
, летящая в горизонтальном направлении со скоростью
, и застревает в стержне.

На какой уголотклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с некоторой угловой скоростью и сообщает ему некоторую кинетческую энергию
где
момент инерции стержня относительно оси вращения. Затем стержень поворачивается на некоторый угол, причем его центр тяжести поднимается на некоторую высоту
.

В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии, т.е.

, откуда

Для определения угловой скорости воспользуемся законом сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня
и поэтому момент импульса стержня
Пуля коснулась стержня, имея линейную скорость, и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси.

Начальный импульс пули
где
расстояние точки попадания пули от оси вращения.

В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля – линейную скоростьравную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянииот оси вращения.