Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен. Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис.). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х - абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим: (2.6.1) Так как, то (2.6.2) Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х,удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при, получим Теорема доказана.

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Цилиндр конус шар.ppt» можно в zip-архиве размером 397 КБ.

Цилиндр

«Объём цилиндра» - Объём цилиндра. Конусы из жизни. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Ведро – пример усечённого конуса. Объём усечённого конуса. Башня в Гёреме (Иран) Туманность конуса. Конус: история. Водовзводная башня (Москва) Собственный дом архитектора К.Мельникова (Москва) Замок Сфорца (Милан).

«Цилиндр геометрия 11 класс» - 4. 3. Теоретический материал Задачи. 4. Радиус основания. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 3.Ось цилиндра. 2. Образующие. 1. 1. Основание цилиндра. Осевое сечение. Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку. Геометрия 11 класс. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр.

«Урок Объём цилиндра» - Цилиндрическая поверхность. A. О. «Вычисление объёма цилиндра». Н. A1. C. План урока. Самостоятельная работа. C1. Х. 0. B.

«Поверхность цилиндра» - Algebra & Geometria Entertainment. A. Shevchenko R. Trushenkov. Ось цилиндра. Образующие. Основания цилиндра. L. Film by: «Понятие цилиндра». Осевое сечение. L1.

«Цилиндр» - А. Цилиндрическая поверхность. В. Основания цилиндра. Образующие цилиндра параллельны друг другу. Ось цилиндра. Радиус цилиндра.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Объём шара и его частей

140. Определение. Тело, получаемое от вращения (черт. 146) кругового сектора (COD) вокруг диаметра (АВ), не пересекающего ограничивающую его дугу, называется шаровым сектором . Это тело ограничено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового пояса; последняя называется основанием шарового сектора . Один из радиусов кругового сектора может совпадать с осью вращения; например, сектор АОС, вращаясь вокруг АО, производит шаровой сектор ОСАС 1 , ограниченный боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью. Для нахождения объёма шарового сектора и целого шара мы предварительно докажем следующую лемму.

141. Лемма. Если /\ ABC (черт. 147) вращается вокруг оси ху, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину А, но не пересекает стороны ВС, то объём тела, получаемого при этом вращении, равен произведению поверхности, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть высоты h, опущенной на эту cторону.

При доказательстве рассмотрим три случая:

1) Ось совпадает со стороной АВ (черт. 148).

В этом случае искомый объём равен сумме объёмов двух конусов, получаемых вращением прямоугольных треугольников BCD и DCA.
Первый объём равен 1 / 3 π CD 2 DB, а второй 1 / 3 π CD 2 DA; поэтому объём, образованный вращением ABC, равен 1 / 3 π CD 2 (DB+DA) = 1 / 3 π CD CD BA

Произведение CD BA равно ВС h , так как каждое из этих произведений выражает двойную площадь /\ ABC ; поэтому

объём ABC = 1 / 3 π CD BC h .

Но произведение π CD BC равно боковой поверхности конуса BDC; значит,

объём ABC = (поверхность BC) 1 / 3 h .

2) Ось не совпадает с АВ и не параллельна ВС (черт. 149).

В этом случае искомый объём равен разности объёмов тел, производимых вращением треугольников АМС и АМВ. По доказанному в первом случае

объём AMС = 1 / 3 h (поверхность МС),
объём AMB = 1 / 3 h (поверхность MB);

следовательно,

объём ABC = 1 / 3 h (поверхность МС-поверхность МВ) = 1 / 3 h (поверхность ВС).

3) Ось параллельна стороне ВС (черт. 150).

Тогда искомый объём равен объёму, производимому вращением DEBC, без суммы объёмов, производимых вращением треугольников АЕВ и ACD;
первый из них равен π DC 2 ED;
второй 1 / 3 π EB 2 EA
и третий 1 / 3 π DC 2 AD.

Приняв теперь во внимание, что ЕВ = DC, получим:

объём АВС = π DC 2 = π DC 2 (ED - 1 / 3 ED) = 2 / 3 π DC 2 ED.

Произведение 2π DC ED выражает боковую поверхность цилиндра, образуемую стороной ВС; поэтому

объём АBС = (поверхность BC) 1 / 3 DC = (поверхность BC) 1 / 3 h .

142. Определение. За величину объёма шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра (ЕF, черт. 151) кругового сектора (AOD), принимается предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольного сектора, который ограничен крайними радиусами (ОА и OD) и правильной ломаной линией (ABCD), вписанной в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается.

143. Теорема. Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или соответствующей сегментной поверхности) на треть радиуса.

Пусть шаровой сектор производится вращением вокруг диаметра ЕF (черт. 151) сектора AOD.

Определим его объём V. Для этого впишем в дугу AD правильную ломаную линию ABCD с произвольным числом сторон. Многоугольный сектор OABCD образует при вращении некоторое тело, объём которого обозначим буквой V 1 . Объём этот есть сумма объёмов тел, получаемых вращением треугольников ОАВ, ОВС, OCD вокруг оси ЕF.

Применим к этим объёмам лемму, доказанную в § 141, причём заметим, что высоты треугольников равны апофеме а вписанной ломаной. Согласно этой лемме будем иметь:

V 1 = (поверхность АВ) a / 3 + (поверхность ВС) a / 3 + .. . = (поверхность ABCD) a / 3 .

Вообразим теперь, что число сторон ломаной линии неограниченно увеличивается. При этом условии поверхность ABCD стремится к пределу, именно к поверхности шарового пояса AD, а апофема а имеет пределом радиус R; следовательно,

V= пределу V 1 = (поверхность пояса AD) R / 3 .

Замечание. Теорема и её доказательство не зависят от того, будет ли один из радиусов кругового сектора совпадать с осью вращения или нет.

144. Теорема. Объём шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса.

Разбив полукруг ABCD (черт. 152), производящий шар, на какие-нибудь круговые секторы АОВ, ВОС, COD, мы заметим, что объём шара можно рассматривать как сумму объёмов шаровых секторов, производимых вращением этих круговых секторов.

Так как согласно предыдущей теореме

объём АОВ = (поверхность АВ) 1 / 3 R,
объём ВОС = (поверхность BC) 1 / 3 R,
объём COD = (поверхность CD) 1 / 3 R,

объём шара = (поверхность АВ+поверхность ВС+поверхность CD) 1 / 3 R =
= (поверхность ABCD) 1 / 3 R.

Замечание. Можно и непосредственно рассматривать объём шара как объём тела, образованного вращением вокруг диаметра кругового сектора, центральный угол которого равен 180°.

В таком случае объём шара можно получить как частный случай объёма шарового сектора, у которого шаровой пояс составляет всю поверхность шара.

В силу предыдущей теоремы объём шара будет при этом равен его поверхности, умноженной на одну треть радиуса.

145. Следствие 1. Обозначим высоту шарового пояса или сегментной поверхности через H, радиус шара-через R, а диаметр - через D; тогда поверхность пояса или сегментная поверхность выразится, как мы видели (§ 137), формулой 2πRH, а поверхность шара (§ 188)-формулой 4πR 2 ; поэтому

объём шарового сектора = 2πRH 1 / 3 R= 2 / 3 πR 2 H;
объём шара = 4πR 2 1 / 3 R= 4 / 3 πR 3 1)
или
объём шара = 4 / 3 π (D / 2) 3 = 1 / 6 πD 3 .

Отсюда видно, что объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.

1) Объём шара может быть выведен (не вполне, впрочем, строго) следующим простым рассуждением. Вообразим, что вся поверхность шара разбита на очень малые участки и что все точки контура каждого участка соединены радиусами с центром шара. Тогда шар разделится на очень большое число маленьких тел, из которых каждое можно рассматривать как пирамиду с вершиной в центре шара. Так как объём пирамиды равен произведению поверхности основания на третью часть высоты (которую можно принять равной радиусу шара), то объём шара, равный, очевидно, сумме объёмов всех пирамид, выразится так:

объём шара = S 1 / 3 R,

где S-сумма поверхностей оснований всех пирамид. Но эта сумма поверхностей оснований должна составить поверхность шара, и, значит,

объём шара = 4πR 2 1 / 3 R = 4 / 3 πR 3 .

Таким образом, объём шара может быть найден посредством формулы его поверхности. Обратно, поверхность шара может быть найдена с помощью формулы его объёма из равенства:

S 1 / 3 R = 4 / 3 πR 3 откуда S = 4πR 2 .

146. Следствие 2. Поверхность и объём шара соответственно составляют 2 / 3 полной поверхности и объёма цилиндра, описанного около шара .

Действительно, у цилиндра, описанного около шара, радиус основания равен радиусу шара, а высота равна диаметру шара; поэтому для такого цилиндра

полная поверхность описанного цилиндра = 2πR 2R + 2πR 2 = 6πR 2 ,
объём описанного цилиндра = πR 2 2R = 2πR 3 .

Отсюда видно, что 2 / 3 полной поверхности этого цилиндра равны 4πR 2 , т. е. равны поверхности шара, а 2 / 3 объёма цилиндра составляют 4 / 3 πR 3 , т. е. объём шара.

Эго предложение было доказано Архимедом (в III в. до н. э.). Архимед выразил желание, чтобы чертёж этой теоремы был изображён на его гробнице, что и было исполнено римским военачальником Марцеллом (Ф. Кэджори, История элементарной математики).

Предлагаем учащимся как полезное упражнение доказать, что поверхность и объём шара составляют 4 / 9 соответственно полной поверхности и объёма описанного конуса, у которого образующая равна диаметру основания. Соединяя это предложение с указанным в следствии 2, мы можем написать такое равенство, где Q обозначает поверхность или объём:

Q шара / 4 = Q цилиндра / 6 = Q конуса / 9

147. Замечание. Формулу для объёма шара можно весьма просто получить, основываясь на принципе Кавальери (§ 89), следующим образом.

Пусть на одной и той же плоскости H (черт. 153) помещены шар радиуса R и цилиндр, радиус основания которого равен R, а высота 2R (значит, это такой цилиндр, который может быть описан около шара радиуса R).

Вообразим далее, что из цилиндра вырезаны и удалены два конуса, имеющие общую вершину на середине а оси цилиндра, а основания - у одного верхнее основание цилиндра, у другого нижнее. От цилиндра останется тогда некоторое тело, объём которого, как мы сейчас увидим, равен объёму нашего шара. Проведём какую-нибудь плоскость, параллельную плоскости Н и которая пересекалась бы с обоими телами. Пусть расстояние этой плоскости от центра шара будет d , а радиус круга, полученного в сечении плоскости с шаром, пусть будет r .
Тогда площадь этого круга окажется равной πr 2 = π(R 2 - d 2). Та же секущая плоскость даст в сечении с телом, оставшимся от цилиндра, круговое кольцо (оно на чертеже покрыто штрихами), у которого радиус внешнего круга равен R, а внутреннего d (прямоугольный треугольник, образованный этим радиусом и отрезком ат , равнобедренный, так как каждый рстрый угол его равен 45°).
Значит, площадь этого кольца равна πR 2 - πd 2 = π(R 2 - d 2). Мы видим, таким образом, что секущая плоскость, параллельная плоскости Н, даёт в сечении с шаром и телом, оставшимся от цилиндра, фигуры одинаковой площади, следовательно, согласно принципу Кавальери объёмы этих тел равны. Но объём тела, оставшегося от цилиндра, равен объёму цилиндра без удвоенного объёма конуса, т. е. он равен:

πR 2 2R -2 1 / 3 πR 2 R = 2πR 3 - 2 / 3 πR 3 = 4 / 3 πR 3 ,

значит, это и будет объём шара.

148. Определения. 1) Часть шара (АСС", черт. 154), отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (СС"), называется шаровым сегментом . Круг сечения называется основанием сегмента, а отрезок Ат радиуса, перпендикулярного к основанию, - высотой сегмента.

2) Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (СС" и DD"), называется шаровым слоем . Круги параллельных сечений называются основаниями слоя , а расстояние тп между ними-его высотой .

Оба эти тела можно рассматривать как происходящие от вращения вокруг диаметра АВ части круга Ат С или части СтпD .

149. Теорема. Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента , т. е.

V = πH 2 (R - 1 / 3 H)

где H есть высота сегмента, а R - радиус шара.

Объём шарового сегмента, получаемого вращением вокруг диаметра АD (черт. 155) части круга АСВ, найдётся, если из объёма шарового сектора, получаемого вращением кругового сектора АОВ, вычтем объём конуса, получаемого вращением /\ СОB.

Первый из них равен 2 / 3 πR 2 H, а второй 1 / 3 πCB 2 .

Так как СВ есть средняя пропорциональная между АС и СD, то СВ 2 = H(2R-H), поэтому

СВ 2 СО = H(2R-H)(R-H) = 2R 2 H - RН 2 - 2RН 2 + Н 3 = 2R 2 H -3Н 2 R+ Н 3 ;

следовательно,

объём АВВ 1 = объёму ОВАВ 1 - объём ОВВ 1 = 2 / 3 πR 2 H - 1 / 3 πCB 2 СО =
= 2 / 3 πR 2 H - 2 / 3 πR 2 H + πRH 2 - 1 / 3 πH 3 = πH 2 (R - 1 / 3 H) .

Ар-хи-мед До-си-фея при-вет-ству-ет! Неза-дол-го пе-ред сим я пре-про-во-дил к те-бе неко-то-рые пред-ме-ты мо-их иcсле-до-ва-ний, вме-сте с най-ден-ны-ми мною до-ка-за-тель-ства-ми […] Ныне я кон-чил и дру-гие неко-то-рые мне на мысль при-шед-шие тео-ре-мы, из ко-их до-сто-при-ме-ча-тель-ней-шие суть сии: […] Ци-линдр, име-ю-щий ос-но-ва-ни-ем наи-боль-ший круг ша-ра, а вы-со-ту, рав-ную по-пе-реч-ни-ку оно-го, есть по-лу-тор-ный ша-ра ; и его по-верх-ность есть по-лу-тор-ная же по-верх-но-сти ша-ра. Свой-ства сии без со-мне-ния су-ще-ство-ва-ли в ска-зан-ных фигу-рах, но до-се-ле не бы-ли ещё за-ме-че-ны ни-кем из за-ни-мав-ших-ся Гео-мет-ри-ей…

Ар-хи-мед. О ша-ре и ци-лин-дре.

На-хож-де-ние со-от-но-ше-ния меж-ду объ-ё-ма-ми ша-ра и опи-сан-но-го око-ло него ци-лин-дра Ар-хи-мед (Ар-хи-мед Си-ра-куз-ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. - 212 до н. э.) счи-тал сво-им глав-ней-шим ма-те-ма-ти-че-ским от-кры-ти-ем. Не слу-чай-но на над-гро-бии Ар-хи-ме-да бы-ли изоб-ра-же-ны шар и ци-линдр.

Ко-гда я был кве-сто-ром, я отыс-кал в Си-ра-ку-зах его <Ар-хи-ме-да> мо-ги-лу, со всех сто-рон за-рос-шую тер-нов-ни-ком, слов-но из-го-ро-дью, по-то-му что си-ра-ку-зяне со-всем за-бы-ли о ней, слов-но ее и нет. Я знал несколь-ко стиш-ков, со-чи-нен-ных для его над-гроб-но-го па-мят-ни-ка, где упо-ми-на-ет-ся, что на вер-шине его по-став-ле-ны шар и ци-линдр. И вот, осмат-ри-вая мест-ность близ Ак-ра-гант-ских во-рот, где очень мно-го гроб-ниц и мо-гил, я при-ме-тил ма-лень-кую ко-лон-ну, чуть–чуть воз-вы-шав-шу-ю-ся из за-ро-с-лей, на ко-то-рой бы-ли очер-та-ния ша-ра и ци-лин-дра. Тот-час я ска-зал си-ра-ку-зя-нам - со мной бы-ли пер-вей-шие граж-дане го-ро-да, - что это-го–то, ви-ди-мо, я и ищу. Они по-сла-ли ко-са-рей и рас-чи-сти-ли ме-сто. Ко-гда до-ступ к нему от-крыл-ся, мы по-до-шли к ос-но-ва-нию па-мят-ни-ка. Там бы-ла и над-пись, но кон-цы её стро-чек стёр-лись от вре-ме-ни по-чти на-по-ло-ви-ну. Вот до ка-кой сте-пе-ни слав-ней-ший, а неко-гда и учё-ней-ший гре-че-ский го-род по-за-был па-мят-ник ум-ней-ше-му из сво-их граж-дан: по-на-до-бил-ся че-ло-век из Ар-пи-на, чтобы на-пом-нить о нём.

Ци-це-рон. Туску-лан-ские бе-се-ды.

Рас-смот-рим ры-чаж-ные ве-сы. Пред-ста-вим, что с од-ной сто-ро-ны ве-сов рас-по-ло-жен ци-линдр, вы-со-той рав-ной ра-ди-у-су ос-но-ва-ния, а с дру-гой сто-ро-ны, на том же рас-сто-я-нии от под-ве-са что и ци-линдр, - ко-нус и по-ло-ви-на ша-ра . При-чём та-кие, что ра-ди-ус ос-но-ва-ния ко-ну-са и вы-со-та рав-ны ра-ди-у-су ци-лин-дра, ра-ди-ус ша-ра ра-вен ра-ди-у-су ци-лин-дра.

Ар-хи-мед. Со-чи-не-ния / Пе-ре-вод, всту-пи-тель-ная ста-тья и ком-мен-та-рии И. Н. Ве-се-лов-ско-го. - М.: ГИФМЛ, 1962.

Объём шара

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема . Объём шара радиуса R равен .

Доказательство . Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х -- абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как , то

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , получим

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен, то получаем для объема сегмента

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой. Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой. Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

Заменим здесь h через 2R-h 1 :

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 12 h=AB ), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при, получим

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.