Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рассматриваются линейные системы нормального вида где а{- - любые числа, а /,(*) - известные функции. В векторной записи неизвестная, а /(*) - известная вектор-функции, А - любая постоянная матрица. Такие системы часто встречаются и в теории дифференциальных уравнений, и в приложениях. Общее решение такой системы в случае f(t) = 0 всегда выражается через элементарные функции. Поэтому такие системы часто применяются для исследования более сложных систем вблизи положения равновесия. В приложениях они появляются, например, при изучении движений в механических системах с несколькими степенями свободы и при описании токов в разветвленных электрических цепях. Путем исключения неизвестных систему можно свести к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравнения системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных. С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Линейные системы с постоянными коэффициентами I Пример 20. Решить систему Решение примера. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = х" - t. Подставляя во второе уравнение, получаем. Решаем это уравнение методом § 11. Находим. Значит, 1 2. | Решение системы х" = Ах (х 6 Rn) в случае, когда матрица А порядка п имеет п линейно независимых собственных векторов. Так будет в случаях, когда или уравнение det (А-ХЕ) = 0 не имеет кратных корней А, или для каждого кратного корня Л ранг г матрицы А - \Е равен п - к, где к - кратность этого корня (так как уравнение (А - XE)v = 0 для собственных векторов v имеет п - г линейно независимых решений). Пусть А - собственное значение, a v - собственный вектор матрицы А. Тогда х = eMv - частное решение уравнения х1 = Аху так как. Если собственные векторы Vх,..., vn линейно независимы, то имеем решения. Они линейно независимы, так как их вронскиан W Ф 0 при t = 0 (его столбцы vl,..., vn линейно независимы). Следовательно, общее решение системы х* = Ах имеет вид - произвольные постоянные. Лемма 9. Если А{ = а + pi (fi Ф 0) - собственное значение вещественной матрицы A, a vl = (»{,... - собственный вектор для А1# то Aj = Х{ = а - pi - собственное значение, a v2 = v1 = (v},..., - собственный вектор для А2. Для вещественных Хр собственный вектор можно взять вещественным. Доказательство. Имеем Av{ = А^1. Равенство не нарушится, есдй в нем Х{ и координаты вектора v1 заменить сопряженными: Avl = Ajt;1, то есть Для вещественного Хр координаты собственного вектора определяются из системы и вещественными коэффициентами, поэтому вектор v можно взять вещественным Общее решение системы х" = Ах с вещественной матрицей А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить каждую пару комплексных сопряженных решений х1 = eAlV, х2 = eXltv2 парой вещественных решений как в. Получим вещественную фундаментальную систему решений и через нее выразим общее рёшение. I Пример 21. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое уравнение Линейные системы с постоянными коэффициентами Для находим собственный вектор (^j Можно взять Получаем частное решение Решениями данной системы являются вещественная и мнимая части этого частного решения: J Решение в общем случае. Упростим систему, приведя матрицу А к простейшей форме - жордановой. Известно, что для любой квадратной матрицы А существует такая неособая матрица С, что матрица В = С~[ АС - жорданова, то есть Клетки Ki могут быть любых размеров; в каждой клетке на всей диагонали стоит одно и то же число Af , а в разных клетках А(могут быть различны или одинаковы. Так как Поэтому матрицы С"1 АС и Л имеют одно и то же характеристическое уравнение, значит, одни и те же корни А^ с теми же кратностями. К системе ж" = Ах применяем линейное преобразование координат х = Су у то есть где матрица С та же, что выше. Получаем Умножая слева на С"1, имеем, то есть где матрица Б - жорданова. Если первая клетка имеет размер к х к, вторая - 1x1 и т.д., то в первые к уравнений системы у" = By входят только неизвестные у р..., у*, в следующие I уравнений - только неизвестные yt+1,..., ук+1, и т.д. Значит, система распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать отдельно. Первая подсистема имеет вид (где А = Х{) Другие подсистемы отличаются только числами X и к. Сделав в замену, получаем Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, находим Умножая на ex,t, получаем решение первой подсистемы Это решение - общее, так как получается из уравнений (73) с помощью тождественных преобразований. Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь числа к = к- и произвольные постоянные cf- будут другими (Лу - число А в j-ft клетке, к - ее размер). Собрав вместе решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы у" = By. Возвращаясь от у к ж в силу (72) получаем такой результат. Теорема 16* Общее решение системы х" = Ах есть вектор-функция; у которой каждая координата xi имеет вид где Ар .., Ат - различные собственные значения матрицы А, - алгебраический многочлен, степень которого на 1 меньше размера наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Коэффициенты многочленов ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) зависят от n произвольных постоянных. Решение конкретной системы х" = Ах можно получить и без приведения матрицы А к жордановой форме. Для этого надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения det (А - АЕ) - 0. Для каждого А надо найти число т линейно независимых собственных векторов по формуле т = п - г, где п - порядок матрицы А - ХЕ9 г - ее ранг. В случае т = ку где к - кратность корня А, этому корню соответствует решение где Ь!,...,Ь* - линейно независимые собственные векторы. Если матрица А - вещественная, то надо воспользоваться леммой 9 и сказанным после нее. В случае т надо искать решение х = (жр..., хп)Т в виде где 8 = к - пг. Подставляя эти выражения с буквенными коэффициентами а, Ь,... в данную систему, сокращая на е^ и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систему линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее от к произвольных постоянных. (Заметим, что в случае к ^ 4 все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав это для каждого А и сложив найденные решения, получим общее решение системы. Если матрица А вещественная, то достаточно проделать описанное только для вещественных корней и для одного из каждой пары комплексных сопряженных корней А = а ± pi {РФ 0), и от полученного решения взять вещественную и мнимую части. Например, из решения х1 = (cj +C2t)elt получаются два решения: u1 = Re хх - (cj + cjt) cos t и u2 = (C3 + cAt) sin t с новыми постоянными Cj,c4. (Обоснование такого метода требует детального анализа и изложено в , § 34.) I Пример 22. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав- нение Для простого корня А = -2 находим собственный вектор (а, р,7) Можно взять а = р = 2, 7 = -2. Имеем частное решение Для кратного корня Л2 3 = 1 находим ранг матрицы А - ХЕ, число m собственньЯТ векторов и степень в многочлена: Ищем решение в виде Подставляем это в данную систему и сокращаем на е*. Приравниваем коэффициенты при подобных членах, начиная со старших: Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня Л = 1 равна 2, поэтому все неизвестные а,Ь,... должны выразиться через два из них (пока не знаем, через какие). Из первых трех уравнений имеем Ь = д = 2d. Подставляя в остальные уравнения, получаем Все неизвестные можно выразить через end. Имеем. Полагая d = Cj, с = Cj, получаем. Подставляя это в (77) и прибавляя частное решение (76), умноженное на су получаем общее решение системы: Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Решение такой системы всегда можно получить методом вариации постоянных (п. 5 §9). При этом используется интегрирование. Однако в случае, когда неоднородности f{(t) в системе (70) выражаются только через суммы и произведения функций atm, е7*, cos/3*, sin fit, частное решение системы можно найти без интегрирования - методом неопределенных коэффициентов, как показывается ниже. Так как решение системы х" = Ах + fl(t) +... + fr(t) равно сумме решений систем (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1,..., г), а синусы и косинусы по формулам Эйлера выражаются через показательные функции, то достаточно указать вид частного решения системы х" = Ах + рфе7*, где p(t) - amtm + am_xtm~x +... + а0; ао» »ат - векторы. Сделав с этой системой те же преобразования, что в п. 3 с системой х1 = Ах, получаем вместо (74) систему где р*(£) - многочлены степени не выше т. Из этой сибтемы последовательно находим zk, zk_v..., zx. Возможны два случая. Если 7 - А Ф 0, то Jpl(t)eb-»dt = q где ql(t) - многочлен той же степени, что Здесь и далее постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как ищется частное решение. Аналогично отыскиваются zk_v... ,z{. Получаем * где q*(t) - многочлены степени не выше т. Если же 7 - Л = 0, то £ 1, и каждый раз интегрируется только многочлен. От этого его степень повышается на 1. После к интегрирований степень повышается на к. Значит, в этом случае где q*(t) - многочлены степени не выше т + к. Возвращаясь от функций z- к у(и затем к х-, получаем, что система имеет частное решение вида где q^t) - многочлен степени не выше т, если 7 не совпадает ни с одним из корней и степени не выше m + fy, если 7 совпадает с корнем А^.; число к-, равно размеру наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Следовательно, kj на 1 больше наибольшей степени многочленов, умножаемых на ех"г в общем решении однородной системы. I Пример 23. Решить систему I L Решение примера. Общее решение однородной системы получено в примере 21, здесь А. 2 = 2 ± i. Для неоднородностей 4еи cos* числа 7 = 2и7 = 2 +t различны, поэтому надо решить две системы Для системы (79) 7 = 2^ А;, поэтому частное решение. Подставляя в (79), находим a = Ь = с = 1, d = 0. Значит В системе (80) заменяем 4e2*cos$ на 4е*2+|^. Число 4 рассматриваем как многочлен степени 0. Так как 7 = 2 + i = А, к = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и Подставляя в систему с отброшенным Re получаем Уравнения зависимы, решений много. Берем частное решение, например Общее решение системы х = х0 + х{ + ж2, у = у0 + у! + у2* где ж0, у0 - решение однородной системы (пример 21), а х{, у, х2, у2 найдены здесь. Задачи для упражнений: Линейные системы с постоянными коэффициентами I Системы уравнений, не приведенные к нормальному виду обладают свойствами, отличными от свойств систем вида (70). Согласно , § 11 все решения являются линейными комбинациями решений вида х = r(t)ext, у = s(f)eM, где Л - любой корень характеристического уравнения - многочлены, степень которых меньше кратности к корня А (если Л=1,тоги* - числа), Многочлены могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. См. задачи в , § 14, б» Известно много способов решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Если известны не только числа А, но и базис, в котором матрица А имеет жорданову форму, то решение системы х" = Ах пишется в явном виде (, теорема 11; , § 14, п.З). Операционный метод решения линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами изложен в , §24. Известны условия существования периодического решения системы х1 = Ах 4- f{t) с периодической вектор-функцией f(t) (, гл. 4, §7, п.З).

Соотношение (в математике) - это взаимосвязь между двумя или более числами одного рода. Соотношения сравнивают абсолютные величины или части целого. Соотношения вычисляются и записываются по-разному, но основные принципы одинаковы для всех соотношений.

Шаги

Часть 1

Использование соотношений. Соотношения используются как в науке, так и в повседневной жизни для сравнения величин. Простейшие соотношения связывают только два числа, но есть соотношения, сравнивающие три или более значения. В любой ситуации, в которой присутствует более одной величины, можно записать соотношение. Связывая некоторые значения, соотношения могут, например, подсказать, как увеличить количество ингредиентов в рецепте или веществ в химической реакции.

1. Определение соотношений. Соотношение - это взаимосвязь между двумя (или более) значениями одного рода. Например, если для приготовления торта необходимы 2 стакана муки и 1 стакан сахара, то соотношение муки к сахару равно 2 к 1.

   • Соотношения могут быть использованы и в тех случаях, когда две величины не связаны друг с другом (как в примере с тортом). Например, если в классе учатся 5 девочек и 10 мальчиков, то соотношение девочек к мальчикам равно 5 к 10. Эти величины (число мальчиков и число девочек) не зависят друг от друга, то есть их значения изменятся, если кто-то уйдет из класса или в класс придет новый ученик. Соотношения просто сравнивают значения величин.

2. Обратите внимание на разные способы представления соотношений. Соотношения могут быть представлены словами или при помощи математических символов.

   • Очень часто соотношения выражены словами (как показано выше). Особенно такая форма представления соотношений применяется в повседневной жизни, далекой от науки.
   • Также соотношения можно выразить через двоеточие. При сравнении двух чисел в соотношении вы будете использовать одно двоеточие (например, 7:13); при сравнении трех и более значений ставьте двоеточие между каждой парой чисел (например, 10:2:23). В нашем примере с классом вы можете выразить соотношение девочек и мальчиков так: 5 девочек: 10 мальчиков. Или так: 5:10.
   • Реже соотношения выражаются при помощи наклонной черты. В примере с классом оно может быть записано так: 5/10. Тем не менее это не дробь и читается такое соотношение не как дробь; более того, запомните, что в соотношении цифры не представляют собой часть единого целого.

   Часть 2

   Использование соотношений

   1. Упростите соотношение. Соотношение можно упростить (аналогично дробям), разделив каждый член (число) соотношения на . Однако при этом не упустите из виду исходных значений соотношения.

      • В нашем примере в классе 5 девочек и 10 мальчиков; соотношение равно 5:10. Наибольший общий делитель членов соотношения равен 5 (так как и 5, и 10 делятся на 5). Разделите каждое число соотношения на 5 и получите соотношение 1 девочка к 2 мальчикам (или 1:2). Однако при упрощении соотношения помните об исходных значениях. В нашем примере в классе не 3 ученика, а 15. Упрощенное соотношение сравнивает количество мальчиков и количество девочек. То есть на каждую девочку приходится 2 мальчика, но в классе не 2 мальчика и 1 девочка.
      • Некоторые соотношения не упрощаются. Например, соотношение 3:56 не упрощается, так как у этих чисел нет общих делителей (3 - простое число, а 56 не делится на 3).

   2. Используйте умножение или деление для увеличения или уменьшения соотношения. Распространены задачи, в которых необходимо увеличить или уменьшить два значения, пропорциональных друг другу. Если вам дано соотношение и нужно найти соответствующее ему большее или меньшее соотношение, умножьте или разделите исходное соотношение на некоторое данное число.

      • Например, пекарю нужно утроить количество ингредиентов, данных в рецепте. Если по рецепту соотношение муки к сахару составляет 2 к 1 (2:1), то пекарь умножит каждый член соотношения на 3 и получит соотношение 6:3 (6 чашек муки к 3 чашкам сахара).
      • С другой стороны, если пекарю необходимо уполовинить количество ингредиентов, данных в рецепте, то пекарь разделит каждый член соотношения на 2 и получит соотношение 1:½ (1 чашка муки к 1/2 чашке сахара).

   3. Поиск неизвестного значения, когда даны два эквивалентных соотношения. Это задача, в которой необходимо найти неизвестную переменную в одном соотношении при помощи второго соотношения, которое эквивалентно первому. Для решения таких задач пользуйтесь . Запишите каждое соотношение в виде обыкновенной дроби, поставьте между ними знак равенства и перемножьте их члены крест-накрест.

      • Например, дана группа учеников, в которой 2 мальчика и 5 девочек. Каково будет число мальчиков, если число девочек увеличить до 20 (пропорция сохраняется)? Во-первых, запишите два соотношения - 2 мальчика:5 девочек и х мальчиков:20 девочек. Теперь запишите эти соотношения в виде дробей: 2/5 и х/20. Перемножьте члены дробей крест-накрест и получите 5x = 40; следовательно, х = 40/5 = 8.

      Часть 3

      Распространенные ошибки

      1. Избегайте сложения и вычитания в текстовых задачах на соотношение. Многие текстовые задачи выглядят примерно так: «В рецепте необходимо использовать 4 клубня картофеля и 5 корнеплодов моркови. Если вы хотите добавить 8 клубней картофеля, то сколько понадобится моркови, чтобы соотношение осталось неизменным?» При решении подобных задач ученики часто допускают ошибку, прибавляя одинаковое количество ингредиентов к исходному числу. Однако, чтобы сохранить соотношение, нужно использовать умножение. Вот примеры правильного и неправильного решения:

         • Неверно: «8 - 4 = 4 - так мы добавили 4 клубня картофеля. Значит, нужно взять 5 корнеплодов моркови и к ним добавить еще 4... Стоп! Соотношения так не вычисляют. Стоит попробовать снова».
         • Верно: «8 ÷ 4 = 2 - значит, мы умножили количество картофеля на 2. Соответственно, 5 корнеплодов моркови тоже нужно умножить на 2. 5 x 2 = 10 - в рецепт нужно добавить 10 корнеплодов моркови».
         В текстовых задачах гораздо проще распознать ошибку, если записывать единицы измерения после каждого значения. Помните, что величины с одними и теми же единицами измерения в числителе и знаменателе сокращаются. Сократив выражение, вы получите верный ответ.
         • Пример: дано 6 коробок, в каждой третьей коробке находится 9 шариков. Сколько всего шариков?
         • Неверно: 6 коробок x 3 коробки/9 шариков = ... Стоп, ничего нельзя сократить. Ответ будет таким: «коробки x коробки / шарики». Он не имеет смысла.
         • Верно: 6 коробок x 9 шариков/3 коробки = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 * 3 шарика/1 = 18 шариков.

Относительные величины бывают четырех видов: интенсивные, экстенсивные, показатели соотношения, показатели наглядности.

Интенсивные показатели - показывают частоту явления в среде. В качестве среды обычно выступает некая совокупность объектов (населения, пациентов, случаев), у части которых происходит какое-то явление. Рассчитывается по следующей формуле:

И.п. = явление/среда*коэффициент.

Коэффициент используется для удобства представления показателя, представляет собой различные степени числа 10 и обычно принимает значения 100, 1000, 10 000, 100 000. Его величина зависит от частоты встречаемости явления: чем реже встречается, тем больше коэффициент. Так, показатели рождаемости, смертности, общей заболеваемости населения обычно рассчитываются на 1000 человек. При расчете материнской смертности, как значительно более редкого события, используется коэффициент 100 000. Наоборот, частота такого распространенного явления, как случай временной утраты трудоспособности, рассчитывается на 100 работающих.

Пример расчета интенсивного показателя:

За год в больнице Н. было выполнено 360 хирургических операций. В 54 случаях в послеоперационном периоде наблюдались различные осложнения. Найти частоту послеоперационных осложнений из расчета на 100 операций.

Решение: Частота послеоперационных осложнений - это интенсивный показатель, который может быть рассчитан как отношение явления к среде. Средой выступает совокупность выполненных операций (360), из числа которых в 54 случаях, как следует из условия задачи, происходило явление - отмечались послеоперационные осложнения. Таким образом:

Частота послеоперационных осложнений = (Число случаев послеоперационных осложнений) / (Число выполненных операций) * 100 = (54 / 360) * 100 = 15.

Значение коэффициента принято равным 100, так как в условии задачи спрашивается частота, рассчитанная на 100 выполненных операций.

Ответ: Частота послеоперационных осложнений в больнице Н. за год составила 15 случаев на 100 выполненных операций.

Экстенсивные показатели - характеризуют структуру явления, измеряются в процентах, реже - в промилле или долях единицы. Экстенсивные величины показывают, какую часть составляет отдельная группа единиц в структуре всей совокупности. Рассчитываются по формуле:

Э.п. = часть/целое*100%.

Пример расчета экстенсивного показателя:

В исследовании эффективности лечения пневмонии с использованием нового антибиотика приняли участие 200 пациентов, из них 90 - мужчины. Необходимо определить долю мужчин среди исследуемых, результат выразить в %.

Решение: Пациенты мужского пола представляют собой часть от всей совокупности исследуемых. Следовательно, мы должны воспользоваться формулой для расчета экстенсивных показателей:

Доля пациентов мужского пола среди всех исследуемых = (число мужчин) / (число всех пациентов) * 100% = (90 / 200) * 100% = 45%.

Ответ: Доля пациентов в структуре исследуемых составляет 45%.

Показатели соотношения - характеризуют отношение двух не связанных между собой совокупностей. Данные совокупности могут измеряться в одних величинах, главное условие, что их изменения должны происходить независимо друг от друга. Обычно в таком виде представляются различные индексы, коэффициенты, показатели обеспеченности населения. Рассчитываются по следующей формуле:

П.с. = (первая совокупность) / (вторая совокупность)*коэффициент

Коэффициент обычно принимает значения 1 (для индексов) или 10 000 (для показателей обеспеченности населения).

Пример расчета показателя соотношения:

В одном из районов Республики Татарстан проживает 40 000 населения. В лечебно-профилактических учреждениях данного района развернуты 384 стационарные койки. Какова обеспеченность населения койками в районе?

Решение: Мы имеем две совокупности: население и стационарные койки. Изменения числа населения не зависят от изменений числа стационарных коек и наоборот, в связи с чем делаем вывод о том, что представленные совокупности не связаны между собой. Рассчитаем показатель обеспеченности населения стационарными койками:

Обеспеченность населения койками = (число коек) / (численность населения) *10 000 = (384 / 40 000) * 10 000 = 96.

Ответ: Обеспеченность населения стационарными койками составляет 96 на 10 000 населения.

§2. Задачи на исследование решений линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными

Пример 1 . Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

имеет единственное решение.

Решение

Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при х неравно отношению коэффициентов при у:

.

Перейдем от сравнения отношений к сравнению произведений. Тогда в рассмотрение включаются и нулевые значения коэффициентов, зависящих от параметре m .

Решая полученное безразличное неравенство, найдем

3 + 8m + 4m 2 ≠ 4 + 5m ; 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0.

Если m 1 и m 2 корни многочлена 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0, то

m 1 = – 1; m 2 = position:absolute;z-index:1;left:0px;margin-left:11px;margin-top:2px; width:14px;height:74px">

m ≠

или в виде объединения промежутков:

m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).

Еще раз отметим, что при m = –EN-US">m = – или при m = –EN-US">m , так же как и при бесчисленном множестве других, удовлетворяющих полученному числовому множеству, данная система будет иметь единственное решение.

Ответ : Система имеет единственное решение, если

m (– ∞; – 1) (– 1; 0,25)EN-US">m и n система уравнений

имеет бесчисленное множество решений.

Решение

Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у и равно отношению свободных членов, то есть

Заменим полученную цепочку равенств системой уравнений

Переходя от дробных уравнений к целым. Включаем в рассмотрение и нулевые значения коэффициентов данной системы. (Следует отметить, что не все коэффициенты данной системы могут обращаться в нуль. Один из них EN-US">n ≠ 0. Очевидно, что искомый ответ должен этому условию удовлетворять.)

EN-US">n 2 + n – 6 = 0,

n (n 2 + m ) = 10.

Разрешая относительно и m 1-е и 2-е уравнения системы, получим

n 1 = – 3; n 2 = 2,

m = – n 2.

Откуда

Если n 1 = – 3; Если n 2 = 2,

то m 1 = –– 9 = –; то m 2 = EN-US">m и n в алфавитном порядке, имеем

Ответ: {(–; –3); (1; 2)}

Пример3 . Определить при каких значениях параметра m система уравнений

(2m – 3)x – my = 3m – 2,

(2m + 3)y – 5x + 5 = 0

не имеет решений.

Решение

Система уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у, но неравно отношению свободных членов. Это правило, как и предыдущие, предлагает, что в записи данных уравнений неизвестные находятся в одной (например левой) части равенств и чередуются одинаково. Предполагается так же, что и свободные члены находятся в одной (например правой) части равенств. Удовлетворяя эти требования

(2m – х)x – my = 3m – 2,

– 5x + (2m + 3)у = – 5

и используя признак несовместимости системы, получим

Система удовлетворяется при m = EN-US">m = 2,25.

Упражнения

1. Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

2х + my =5

имеет единственное решение.

Ответ: m (– ∞; – 1,5) position:absolute;z-index:9;left:0px;margin-left:59px;margin-top:23px; width:14px;height:62px"> При каких значениях параметра m система уравнений

(2m + 1)x +7y = 2m ,