Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как = .Такое обозначение является общепринятым.

Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5 = 5 . Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника А В С 6 метрам: P А В С = 6 м.

Определение 1

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠ , т.е. по сути зачеркнутый знак равно.

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Составим равенство 7 = 7 . Числа 7 и 7 , конечно, являются равными, а потому 7 = 7 – верное равенство. Равенство 7 = 2 , в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Определение 2

• свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
• свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
• свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

• a = a ;
• если a = b , то b = a ;
• если a = b и b = c , то a = c .

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - двойное равенство, а | A B | = | B C | = | C D | = | D E | = | E F | - пример четвертного равенства.

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Например, записанное выше двойное равенство 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 обозначает равенства: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , и 4 + 2 = 6 , и 2 + 2 + 2 = 6 , а в силу свойства симметричности равенств и 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , и 6 = 4 + 2 , и 6 = 2 + 2 + 2 .

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

- (равенство устар.), равенства, ср. (книжн.). 1. только ед. отвлеч. сущ. к равный, одинаковость, полное сходство (по величине, качеству, достоинству и т.п.). «Без колхозов неравенство, в колхозах равенство прав.» Сталин. Равенство сил. Равенство… … Толковый словарь Ушакова

- (equality) Фактическое и/или нормативное утверждение равной компетенции или равного положения лиц, порождающее право на справедливое распределение (distributive justice). Квазиэмпирическое равенство индивидов относится к сугубо физическим… … Политология. Словарь.

Все люди рождаются свободными и равными в своем достоинстве и правах. Всеобщая декларация прав человека (1948 г.) Все люди рождаются равными и до самой смерти против этого борются. Лешек Кумор Люди рождаются свободными и неравными. Грант Аллен… … Сводная энциклопедия афоризмов

Одно из основных понятий социальной философии и самой социальной жизни. Основанием для всех видов Р. является формальное Р., которое в зависимости от сферы применения и выбора ценностной основы уравнивания формирует различные содержательные… … Философская энциклопедия

Социальное, характеристика определенного общественного состояния, составная часть многих социальных идеалов. Требования политического и социального равенства играли активную, часто революционную роль в историческом процессе. Стоицизм выработал… … Современная энциклопедия

Социальное характеристика определенного общественного состояния, составная часть многих социальных идеалов. Требования политического и социального равенства играли активную, часто революционную роль в историческом процессе. Стоицизм выработал… …

- (equality) Обладание одинаковым значением. Обозначается знаком равенства (=) и применимо к числам или алгебраическим выражениям. Если х и у являются действительными числами, выражение х=у означает, что х и у одинаковы. Если х и у – комплексные… … Экономический словарь

Равенство - Равенство ♦ Égalité Два существа равны, когда они одной величины или обладают одним и тем же количеством чего либо. Таким образом, понятие обретает смысл только относительно и предполагает наличие некой эталонной величины. Так, мы говорим … Философский словарь Спонвиля

См … Словарь синонимов

равенство - 1. Полное сходство, подобие (по величине, качеству, достоинству). 2. Качественное понятие, используемое в экономической науке в смысле "равенство доходов", "имущественное равенство", "равенство возможностей", чтобы… … Справочник технического переводчика

В логике и математике отношение взаимной заменяемости объектов, которые именно в силу этой заменяемости и считаются равными (а = b). Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности (каждый объект равен самому себе), симметричности (если а … Большой Энциклопедический словарь

Книги

• Равенство , Дэнни Дорлинг. Книга Дэнни Дорлинга `Равенство` богата очень интересными идеями. Большая степень равенства улучшает реальное качество жизни для подавляющего большинства населения. Она улучшает ка чество…

50. Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений . Возьмем какое-нибудь уравнение, не очень сложное, например:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

Мы видим в каждом уравнении знак равенства: все то, что написано слева от знака равенства, называется левою или первою частью уравнения (в первом уравнении 7x – 24 является левою или первою частью, а во втором x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 есть первая, или левая, часть); все то, что написано справа от знака равенства, называется правою или второю частью уравнения (15 – 3x есть правая часть первого уравнения, 1 является правою, или вторю, частью 2-го уравнения).

Каждая часть любого уравнения выражает собою некоторое число. Числа, выражаемые левою и правою частью уравнения, должны быть равны между собою. Нам ясно: если мы к каждому из этих чисел прибавим по одинаковому числу, либо вычтем из них по одинаковому числу, либо каждое из них умножим на одинаковое число, либо, наконец, разделим на одно и то же число, то результаты этих действий должны также быть равными между собою. Другими словами: если a = b, то a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc и a/c = b/c. По поводу деления следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется деления на нуль - мы не умеем, например, число 5 разделить на нуль. Поэтому в равенстве a/c = b/c число c не может быть равным нулю.

1. К обеим частям уравнения можно прибавить или из них вычесть по одинаковому числу.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, исключая случай, когда это число может оказаться равным нулю.

Пользуясь этими свойствами уравнения, мы можем найти удобный способ решать уравнения. Выясним этот случай на примерах.

Пример 1. Пусть надо решить уравнение

5x – 7 = 4x + 15.

Мы видим, что первая часть уравнения содержит два члена; один из них 5x, содержащий неизвестный множитель x, можно назвать неизвестным членом, а другой –7 – известным. Во второй части уравнения также 2 члена: неизвестный 4x и известный +15. Сделаем так, чтобы в левой части уравнения оказались только неизвестные члены (а известный член –7 уничтожился бы), а в правой части оказались бы только известные члены (а неизвестный член +4x уничтожился бы). Для этой цели прибавим к обеим частям уравнения одинаковые числа: 1) прибавим по +7 (чтобы уничтожился член –7) и 2) прибавим по –4x (чтобы уничтожился член +4x). Тогда получим:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Сделав в каждой части уравнения приведение подобных членов, получим

Это равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число 22.

Пример 2. Решить уравнение:

8x + 11 = 7 – 4x

Опять прибавим к обеим частям уравнения по –11 и по +4x, получим:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Выполнив приведение подобных членов, получим:

Разделим теперь обе части уравнения на +12, получим:

x = –4/12 или x = –1/3

(первую часть уравнения 12x разделить на 12 – получим 12x/12 или просто x; вторую часть уравнения –4 разделить на +12 – получим –4/12 или –1/3).

Последнее равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число –1/3.

Пример 3. Решить уравнением

x – 23 = 3 · (2x – 3)

Раскроем сначала скобки, получим:
x – 23 = 6x – 9

Прибавим к обеим частям уравнения по +23 и по –6x, – получим:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Теперь, для того, чтобы впоследствии ускорить процесс решения уравнения, не будем сразу выполнять приведение всех подобных членов, а только заметим, что члены –23 и +23 в левой части уравнения взаимно уничтожаются, также члены +6x и –6x в первой части взаимно уничтожаются – получим:

x – 6x = –9 + 23.

Сравним это уравнение с начальным: вначале было уравнение:

x – 23 = 6x – 9

Теперь получили уравнение:

x – 6x = –9 + 23.

Мы видим, что в конце концов оказалось, что член –23, находившийся сначала в левой части уравнения, теперь как бы перешел в правую часть уравнения, причем у него переменился знак (в левой части начального уравнения был член –23, теперь его там нет, но зато в правой части уравнения имеется член + 23, которого там раньше не было). Так же точно в правой части уравнения был член +6x, теперь его там нет, но появился зато в левой части уравнения член –6x, которого раньше там не было. Рассматривая с этой точки зрения примеры 1 и 2, мы придем к общему заключению:

Можно любой член уравнения перенести из одной части в другую, меняя знак у этого члена (в дальнейших примерах мы будем этим пользоваться).

Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы получили уравнение

x – 6x = –9 + 23

Разделим обе части уравнения на –5. Тогда получим:

[–5x: (–5) получим x] – это и есть решение нашего уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

Сделаем так, чтобы в уравнении не было дробей. Для этой цели найдем общего знаменателя для наших дробей – общим знаменателем служит число 24 – и умножим на него обе части нашего уравнения (можно, ведь, чтобы равенство не нарушалось, умножить на одно и то же число только обе части уравнения). В первой части 3 члена, причем каждый член является дробью - надо, следовательно, каждую дробь умножить на 24: вторая часть уравнения есть 0, а нуль умножить на 24 - получим нуль. Итак,

Мы видим, что каждая из наших трех дробей, благодаря тому, что она умножена на общее наименьшее кратное знаменателей этих дробей, сократится и сделается целым выражением, а именно получим:

(3x – 8) · 4 – (2x – 1) · 6 + (x – 7) · 3 = 0

Конечно, желательно все это выполнить в уме: надо вообразить, что, например, числитель первой дроби заключается в скобки и умножается на 24, после чего воображение поможет нам увидеть сокращение это дроби (на 6) и конечный результат, т. е. (3x – 8) · 4. Тоже имеет место и для остальных дробей. Раскроем теперь в полученном уравнении (в его левой части) скобки:

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(обратим внимание, что здесь понадобилось двучлен 2x – 1 умножить на 6 и полученное произведение 12x – 6 вычесть из предыдущего, благодаря чему знаки членов этого произведения должны перемениться - выше и написано –12x + 6). Перенесем известные члены (т. е. –32, +6 и –21) из левой части уравнения в его правую часть, причем (как мы уже знаем) знаки этих членов должны перемениться - получим:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Выполним приведение подобных членов:

(при навыке должно сразу выполняться и перенесение нужных членов из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов), разделим, наконец, обе части уравнения на 3 - получим:

x = 15(2/3) - это и есть решение уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Здесь две дроби, и их общий знаменатель равен 35. Умножим, чтобы освободить уравнение от дробей, обе части уравнения на общего знаменателя 35. В каждой части нашего уравнения 2 члена. При умножении каждой части на 35 должно каждый член умножить на 35 - получим:

Дроби сократятся - получим:

175 – (3x + 1) · 5 = 35x + (2x – 3) · 7

(конечно, можно было бы при навыке написать сразу это уравнение).

Выполним все действия:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Перенесем все неизвестные члены из правой части (т. е. члены +35x и +14x) в левую, а все известные члены из левой части (т. е. члены +175 и –5) в правую - следует при этом не забывать у переносимых членов менять знак:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(член –15x, как раньше был в левой части, так и теперь в ней остался - у него поэтому отнюдь не следует менять знака; аналогичное имеет место и для члена –21). Сделав приведение подобных членов, получим:

–64x = –191.

[Возможно сделать так, чтобы не было знака минус в обеих частях уравнения; для этого умножим обе части уравнения на (–1), получим 64x = 191, но этого можно и не делать.]
Разделим затем обе части уравнения на (–64), получим решение нашего уравнения

[Если умножили обе части уравнения на (–1) и получили уравнение 64x = 191, то теперь надо обе части уравнения разделить на 64.]

На основании того, что пришлось выполнять в примерах 4 и 5, мы можем установить: можно освободить уравнение от дробей - для этого надо найти общего знаменателя для всех дробей, входящих в уравнение (или наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей) и на него умножить обе части уравнения - тогда дроби должны исчезнуть.

Пример 6. Решить уравнение:

Перенеся член 4x из правой части уравнения в левую, получим:

5x – 4x = 0 или x = 0.

Итак, решение найдено: для x надо взять число нуль. Если мы заменим в данном уравнении x нулем, получим 5 · 0 = 4 · 0 или 0 = 0, что указывает на выполнение требования, выражаемого данным уравнением: найти такое число для x, чтобы одночлен 5x оказался равен тому же самому числу, как и одночлен 4x.

Если кто-либо подметит с самого начала, что обе части уравнения 5x = 4x можно разделить на x и выполнит это деление, то получится явная несообразность 5 = 4! Причиною этого является то обстоятельство, что деление 5x/x в данном случае выполнить нельзя, так как, мы видели выше, вопрос, выражаемый нашим уравнением, требует, чтобы x = 0, а деление на нуль не выполнимо.

Заметим еще, что и умножение на нуль требует некоторой внимательности: умножая на нуль и два неравных числа, мы получим в результате этих умножений равные произведения, а именно - нули.

Если, например, мы имеем уравнение

x – 3 = 7 – x (его решение: x = 5)

и если кто-либо захочет к нему применить свойство «обе части уравнения можно умножить на одно и тоже число» и умножить обе части на x, то получит:

x 2 – 3x = 7x – x 2 .

После этого может обратить на себя внимание, что все члены уравнения содержат множителя x, из чего можно сделать заключение, что для решения этого уравнения можно взять число нуль, т. е. положить x = 0. И в самом деле, тогда получим:
0 2 – 3 · 0 = 7 · 0 – 0 2 или 0 = 0.

Однако, это решение x = 0, очевидно, не годится для данного уравнения x – 3 = 7 – x; заменяя в нем x нулем, получим явную несообразность: 3 = 7!

Пусть даны 2 числовых выражения А иВ . Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А =В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выраженияА иВ имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример . 1) 16: 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15: (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А =В иС =D , гдеА ,В ,С, D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А ) + (С ) = (В ) + (D ), (А ) – (С ) = (В ) – (D ), (А ) ∙ (С ) = (В ) ∙ (D ), (А ) : (С ) = (В ) : (D ), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А =А );

2) симметричности (А =В В =А );

3) транзитивности (А =В  В =С А =С ), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А =В (А ) + (С ) = (В ) + (С ));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А =В (А ) ∙ (С ) = (В ) ∙ (С ));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п А =В (А ) п = (В ) п ;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выраженийА иВ неотрицательны, тоА =В (А ) п = (В ) п . Если снять условие, что значения числовых выраженийА иВ неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликациюА =В  (А ) п = (В ) п .

§ 3. Числовые неравенства и их свойства

Пусть А иВ – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. НеравенствоА <В считается истинным, еслиА иВ имеют числовые значения, причем числовое значение выраженияА меньше числового значения выраженияВ .

Пример . 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤В является дизъюнкцией неравенстваА <В и равенстваА =В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А <В <С является конъюнкцией неравенствА <В иВ <С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а , b ,с ,d – соответствующие значения числовых выраженийА ,B ,C ,D .

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А <В (А ) + (С ) < (В ) + (С ));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А <В (А ) ∙ (С ) < (В ) ∙ (С ));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А <В (А ) ∙ (С ) > (В ) ∙ (С ));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А <В ,С <D (А ) + (С ) < (В ) + (D ));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А <В ,С <D , причема , b ,с ,d > 0, то (А ) ∙ (С ) < (В ) ∙ (D ));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, тоА <В (А ) п < (В ) п );

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число иа , b ≥ 0, тоА <В (А ) п < (В ) п );

8) если а , b < 0,А <В  > .