Что означает тождество. Тождества, определение, обозначение, примеры. Примеры употребления слова тождество в литературе

Рассмотрим две равенства:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.

Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

5. a*b = b*a;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

8. a + 0 = a;

9. a*0 = 0;

10. a*1 = a;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называюттождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a 2) 4 и a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

4. a-b = b-a.

Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.

А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:

5 - 2 = 2 - 5;

3 = -3.

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

- это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Тождество - это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у », «х то же самое, что и y »), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Тождество - это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Тождество дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Тождество , второй - основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Тождество связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Тождество восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Тождество как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Тождество исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, - путём предположений (гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Тождество предметов в точности совпадает с Тождество в логическом смысле.

Важность понятия Тождество обусловила потребность в специальных теориях Тождество Самый распространённый способ построения этих теорий - аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х ,

2. х = у É у = х ,

3. x = y & y = z É x = z ,

4. А (х ) É (х = у É А (у )),

где А (х ) - произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у , а А (х ) и А (у ) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y .

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Тождество В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Тождество , к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Тождество , основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Тождество Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Тождество как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Тождество , удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Тождество Она утверждает, что суперпозиция Тождество также есть Тождество и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Тождество - это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Тождество : неразличимость гарантирует только Тождество в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Тождество как эквивалентности .

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Тождество предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» - по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым - основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ - конгруентных ей «содержательных» аксиом Тождество Например, в аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y ),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z ),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1-3, определяющих Тождество как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся к так называемым законам Тождество Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Тождество не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Тождество Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Тождество необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новосёлов.

Статья про слово "Тождество " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8309 раз

Рассмотрим две равенства:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Понятие тождества

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a 2) 4 и a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

тождество

А и ТОЖЕСТВО. -а, ср.

Полное сходство, совпадение. Г. взглядов.

(тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. || прил. тождественный, -ая, -ое и тожественный, -ая, -ое (к 1 знач.). Тождественные алгебраические выражения. ТОЖЕ [не смешивать с сочетанием местоимения "то" и частицы "же"].

нареч. Равным образом, так же, как и кто-что-н. Ты устал, я т.

союз. То же, что также. Ты уезжаешь, а брат? - Т.

частица. Выражает недоверчивое или отрицательное, ироническое отношение (прост.). *Т. умник нашелся! Он поэт. - Поэт т. (мне)!

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

тождество

ср. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв (в математике).

Энциклопедический словарь, 1998 г.

тождество

отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства. В математике тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т.е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

Тождество

основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем. В математике Т. ≈ это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т. ≈ это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у», «х то же самое, что и y»), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т. ≈ это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли. Логические и философские аспекты Т. дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Т., второй ≈ основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления. Различение логических и философских аспектов Т. восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Т. как понятие ≈ это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, ≈ путём предположений (гипотез) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Т. предметов в точности совпадает с Т. в логическом смысле. Важность понятия Т. обусловила потребность в специальных теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий ≈ аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

х = у É у = х,

x = y & y = z É x = z,

А (х) É (х = у É А (у)),

где А (х) ≈ произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А (х) и А (у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т. В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Т., к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой ≈ и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат ≈ в данном случае равновесие ≈ один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т. как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте ≈ от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т. ≈ это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности.

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т. предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» ≈ по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым ≈ основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ ≈ конгруентных ей «содержательных» аксиом Т. Например, в аксиоматической теории множеств Цермело ≈ Френкеля ≈ аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1≈3, определяющих Т. как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1≈4 относятся к так называемым законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосёлов.

Википедия

Тождество (математика)

То́ждество (в математике) - равенство , выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:

a − b = (a + b )(a − b ) (a + b ) = a + 2a b + b

и т. п. Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 25 = 625.

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом « ≡ ».

Тождество

То́ждество , тожде́ственность - многозначные термины.

Тождество - равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.
Тождество - полное совпадение свойств предметов.
Тождественность в физике - характеристика объектов, при которой замена одного из объектов другим не изменяет состояние системы при сохранении данных условий.
Закон тождества - один из законов логики.
Принцип тождественности - принцип квантовой механики, согласно которому состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте, и такие состояния должны рассматриваться как одно физическое состояние.
«Тождественность и действительность» - книга Э. Мейерсона.

Тождество (философия)

Тождество - философская категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, если и только если все свойства. Это означает, что тождество неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое тождество вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно . В точных науках, однако, абстрактное, то есть отвлекающееся от развития вещей, тождество в соответствии с законом Лейбница, используется потому, что в процессе познания возможны и необходимы в известных условиях идеализация и упрощение действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический закон тождества.

Тождество следует отличать от сходства, подобия и единства.

Сходными мы называем предметы, обладающие одним или несколькими общими свойствами; чем больше у предметов общих свойств, тем ближе их сходство подходит к тождеству. Два предмета считаются тождественными, если их качества совершенно сходны.

Однако, следует помнить, что в мире предметном тождества быть не может, так как два предмета, сколь бы ни были они сходны по качествам, всё же отличаются числом и занимаемым ими пространством; только там, где материальная природа возвышается до духовности, появляется возможность тождества.

Необходимое условие тождества - это единство: где нет единства, не может быть и тождества. Материальный мир, делимый до бесконечности, единством не обладает; единство появляется с жизнью, в особенности с духовной жизнью. Мы говорим о тождестве организма в том смысле, что его единая жизнь пребывает, несмотря на постоянную смену частиц, образующих организм; где есть жизнь, там есть единство, но в настоящем значении слова ещё нет тождества, поскольку жизнь убывает и прибывает, оставаясь неизменной лишь в идее.

То же самое можно сказать и о личности - высшем проявлении жизни и сознания; и в личности нами лишь предполагается тождество, в действительности же его нет, так как самое содержание личности постоянно меняется. Истинное тождество возможно только в мышлении; правильно образованное понятие имеет вечную ценность независимо от условий времени и пространства, в которых оно мыслится.

Лейбниц своим principium indiscernibilium установил мысль, что не могут существовать две вещи совершенно сходные в качественном и количественном отношениях, поскольку такое сходство было бы ни чем иным, как тождеством.

Философия тождества выступает центральной идеей в работах Фридриха Шеллинга.

Примеры употребления слова тождество в литературе.

Именно в том и заключается великая психологическая заслуга как древнего, так и средневекового номинализма, что он основательно расторгнул первобытное магическое или мистическое тождество слова с объектом - слишком основательно даже для того типа, основа которого заложена не в том, чтобы крепко держаться за вещи, а в том, чтобы абстрагировать идею и ставить ее над вещами.

Это тождество субъективности и объективности и составляет как раз достигнутую теперь самосознанием всеобщность, возвышающуюся над обеими упомянутыми сторонами, или особенностями, и растворяющую их в себе.

На этой стадии соотнесенные друг с другом самосознающие субъекты возвысились, следовательно, через снятие их неодинаковой особенности единичности до сознания их реальной всеобщности - всем им присущей свободы - и тем самым до созерцания определенного тождества их друг с другом.

Полтора столетия спустя в них изумленно вглядывалась Инта, прапраправнучка женщины, которой уступил место в космическом корабле Сарп, пораженный ее необъяснимым тождеством с Веллой.

Но когда обнаружилось, что перед смертью своей хороший писатель Каманин читал рукопись именно КРАСНОГОРОВА и при этом того самого, чья кандидатура обсуждалась свирепым физиком Шерстневым за секунду до его, Шерстнева, ПОДОБНОЙ ЖЕ гибели, - тут, знаешь ли, пахнуло на меня уже не простым совпадением, тут запахло ТОЖДЕСТВОМ !

Заслуга Клоссовски в том, что он показал: эти три формы теперь связаны навеки, но не благодаря диалектической трансформации и тождеству противоположностей, а благодаря их рассеянию по поверхности вещей.

В этих своих работах Клоссовски развивает теорию знака, смысла и нонсенса, а также дает глубоко оригинальную интерпретацию идеи вечного возвращения Ницше, понятого как эксцентрическая способность утверждать расхождения и дизъюнкции, не оставляющая места ни тождеству Я, ни тождеству мира, ни тождеству Бога.

Как и в любом другом виде идентификации человека по признакам внешности, в фотопортретной экспертизе идентифицируемым объектом во всех случаях является конкретное физическое лицо, тождество которого устанавливается.

Теперь из ученика вышел учитель, и прежде всего как учитель справился он с великой задачей первой поры своего магистерства, одержав победу в борьбе за авторитет и полное тождество человека и должности.

Но в ранней классике это тождество мыслящего и мыслимого трактовалось только интуитивно и только описательно.

Для Шеллинга тождество Природы и Духа есть натурфилософский принцип, предшествующий эмпирическому познанию и детерминирующий понимание результатов последнего.

На основании этого тождества минеральных признаков и сделано заключение, что эта шотландская формация современна самым нижним формациям Валлиса, потому что количество имеющихся налицо палеонтологических данных слишком незначительно, чтобы с помощью его можно было подтвердить или опровергнуть подобного рода положение.

Теперь уже не первоначало дает место историчности, но сама ткань историчности выявляет необходимость первоначала, которое было бы одновременно и внутренним, и сторонним, наподобие некоей гипотетической вершины конуса, где все различия, все рассеяния, все прерывности сжимаются в единую точку тождества , в тот бесплотный образ Тождественного, способного, однако, расщепиться и превратиться в Иное.

Известно, что нередки случаи, когда объект, подлежащий отождествлению по памяти, не обладает достаточным числом заметных признаков, которые позволили бы установить его тождество .

Ясно, следовательно, что вечей, или восстаний, в Москве на людей, хотевших бежать от татар, в Ростове на татар, в Костроме, Нижнем, Торжке на бояр, вечей, созываемых всеми колоколами, не должно, по одному тождеству названия, смешивать с вечами Новгорода и других старых городов: Смоленска, Киева, Полоцка, Ростова, где жители, по словам летописца, как на думу, на веча сходились и, что старшие решали, на то пригороды соглашались.

Каждый школьник младших классов знает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, это утверждение верно и для множителей и произведения. То есть, согласно переместительному закону,
a + b = b + a и
a · b = b · a.

Сочетательный закон утверждает:
(a + b) + c = a + (b + c) и
(ab)c = a(bc).

А распределительный закон констатирует:
a(b + c) = ab + ac.

Мы вспомнили самые элементарные примеры применения данных математических законов, но все они распространяются на весьма широкие числовые области.

При любом значении переменной х значение выражений 10(х + 7) и 10х + 70 равны, так как для любых чисел выполняется распределительный закон умножения. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны на множестве всех чисел.

Значения выражения 5х 2 /4а и 5х/4 в силу основного свойства дроби равны при любом значении х, кроме 0. Такие выражения называют тождественно равными на множестве всех чисел. Кроме 0.

Два выражения с одной переменной называются тождественно равными на множестве, если при любом значении переменной, принадлежащем этому множеству, их значения равны.

Аналогично определяют тождественное равенство выражений с двумя, трёмя и т.д. переменными на некотором множестве пар, троек и т.д. чисел.

Например, выражение 13аb и (13а)b тождественно равны на множестве всех пар чисел.

Выражение 7b 2 c/b и 7bc тождественно равны на множестве всех пар значений переменных b и c, в которых значение b не равно 0.

Равенства, в которых левая и правая части – выражения, тождественно равные на некотором множестве, называются тождествами на этом множестве.

Очевидно, что тождество на множестве обращается в истинное числовое равенство при всех значениях переменной (при всех парах, тройках и т.д. значений переменных), принадлежащих этому множеству.

Итак, тождество – это равенство с переменными, верное при любых значениях входящих в него переменных.

Например, равенство 10(х + 7) = 10х + 70 является тождеством на множестве всех чисел, оно обращается в истинное числовое равенство при любом значении х.

Истинные числовые равенства также называют тождествами. Например, равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 – тождество.

В курсе математики приходится выполнять различные преобразования. Например, сумму 13х + 12х мы можем заменить выражением 25х. Произведение дробей 6а 2 /5 · 1/a заменим дробью 6а/5. Получается, что выражения 13х + 12х и 25х тождественно равны на множестве всех чисел, а выражения 6а 2 /5 · 1/a и 6а/5 тождественно равны на множестве всех чисел, кроме 0. Замену выражения другим выражением, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием выражения на этом множестве.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.