Соединения WiFi работает в полудуплексном режиме, а проводная часть локальной сети в полном дуплексе. Узнайте больше прочитав эту статью.

Дуплекс против симплекса

В сети термин «дуплекс» означает возможность для двух точек или устройств связываться друг с другом в оба направления, в отличие от «симплекса», который относится к однонаправленной коммуникации. В системе дуплексной связи, обе точки (устройства) могут передавать и получать информацию. Примерами дуплексных систем являются телефоны и рации.

С другой стороны, в симплекс системе одно устройство передает информацию, а другое получает. Пульт дистанционного управления является примером системы симплекс, где пульт дистанционного управления передает сигналы, но не получает их в ответ.

Полный и полудуплекс

Полная дуплексная связь между двумя компонентами означает, что оба могут передавать и получать информацию друг другу одновременно. Телефоны являются полными дуплексными системами, так как обе стороны могут говорить и слушать одновременно.

В полудуплексных системах передача и прием информации должны происходить поочередно. Во время передачи одной точки, остальные должны только получать. Рации являются полудуплексными системами, в конце передачи участник должен сказать «Прием», это означает, что он готов получать информацию.

WiFi роутеры (маршрутизаторы) - это устройства, которые модулируют и планируют потоки информации из и от любого WiFi-совместимого электронного устройства (например, ноутбук или смартфон) к сети Интернет, используя определенный стандарт или протокол, называемый IEEE 802.11, который работает в полудуплексном режиме. WiFi это только торговая марка для определенного стандарта IEEE.

WiFi устройства подключаются к маршрутизатору с помощью радиоволн частотой 2,4 ГГц или 5 ГГц. Маршрутизатор гарантирует правильное распределение информационных потоков между подключенным устройством и Интернетом; с помощью процесса вызова с временным разделением каналов (TDD) который работает в режиме полного дуплекса.

TDD эмулирует полную дуплексную связь путем создания или деления периодов времени, которые чередуются между передачей и приемом. Пакеты данных идут в обоих направлениях, как продиктовано расписанием. Путем точного разбития этих периодов времени, подключенные устройства, могут осуществлять передачу и прием одновременно.

Самой большой проблемой для достижения полнодуплексного контроля над радиосвязью являются внутрисистемные помехи. Это помехи или шум более интенсивный, чем сам сигнал. Проще говоря, помехи в полнодуплексной системе возникают тогда, когда одна точка осуществляет передачу и прием одновременно, и также получает свою собственную передачу, следовательно, происходит само-интерференция.

Практически полнодуплексная беспроводная связь возможна в сферах исследований и научных сообществах. Во многом это достигается за счет устранения собственных помех на двух уровнях. Первый способ-инверсия самого шумового сигнала и тогда процесс шумоподавления дополнительно усиливается в цифровом виде.

Что насчет проводной сети?

Проводная часть локальной сети обменивается данными в режиме полного дуплекса с помощюю двух пар крученных проводов, образующих кабельное подключение Ethernet. Каждая пара предназначена для передачи и приема пакетов информации одновременно, поэтому нет столкновения данных и передача осуществляется без помех.

Прогресс в области WiFi-связи

В рамках протокола IEEE 802.11, были внесены изменения для достижения лучшего диапазона или лучшей пропускной способности, или то и другое. От своего основания в 1997 году до 2016, беспроводные стандарты были скорректированы от 802.11, 802.11b/a, 802.11g, 802.11n, 802.11ac, и наконец последний 802.22. Какими бы прогрессивными они ни стали, они по-прежнему принадлежат семье 802, который будет постоянно работать в режиме полудуплекса. Хотя были сделаны многие улучшения, особенно с включением технологии MIMO, работа в полудуплексном режиме снижает общую спектральную эффективность в два раза.

Интересно отметить, что MIMO поддерживаемая маршрутизаторами (со многими входами и многими выходами) рекламирует гораздо более высокие скорости передачи данных. Эти маршрутизаторы используют несколько антенн для передачи и приема одновременно нескольких потоков данных, которые могут увеличить общую скорость передачи. Это часто встречается и в маршрутизаторах 802.11 N, которые рекламируют скорости от 600 мегабит в секунду и выше. Однако, так как они работают в полудуплексном режиме, 50 процентов (300 мегабит в секунду) пропускная способность резервируется для передачи в то время как другие 50 процентов используют для получения.

Полнодуплексный WiFi в будущем

К полнодуплексной беспроводной связи растет все больший коммерческий интерес. Основная причина, состоит в том, что прогресс в полудуплексном FDD и TDD не насыщен. Усовершенствования программного обеспечения, модуляции достижений и улучшений технологии MIMO становятся все сложнее и сложнее. Поскольку все больше новых устройств имеют беспроводное подключение, необходимость повышения эффективности использования спектра в конечном итоге имеет первостепенное значение. Появление полнодуплексной беспроводной связи мгновенно удвоит спектральную эффективность.

(то есть не лежат в texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (n-1) -мерном подпространстве). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

• Симплекс называется правильным , если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Стандартный n -симплекс - это подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{R}^{n+1} , определяемое как:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {\left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.

Его вершинами являются точки:

e 0 =(1, 0, …, 0), e 1 =(0, 1, …, 0), … e n =(0, 0, …, 1).

Свойства

• n -мерный симплекс имеет Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc вершин, любые Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k+1 из которых образуют k -мерную грань.
  • В частности, число k -мерных граней в n -симплексе равно биномиальному коэффициенту Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tbinom{n+1}{k+1}.
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n+1 .
• Ориентированный объём n -симплекса в n -мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)
  • Определитель Кэли - Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): d_{ij}=|v_i - v_j| - расстояние между i -й и j -й вершинами, n - размерность пространства . Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n -симплекса с единичной стороной равен Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.

• Радиус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R описаной n -мерной сферы удовлетворяет соотношению Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (R{\cdot}V)^2=T,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V -объем симплекса и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix} 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\ d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\ d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\ \vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\ d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}

Построение

Если размерность пространства равна n , то через любые n его точек можно провести гиперплоскость , и существуют множества из n +1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 - минимальное число таких точек n –мерного пространства , которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n –мерного многогранника .

Доказательство

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудаленные от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a /2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s 0 радиусом a /2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром . Если точка С находится за пределами окружности s 0 , то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s 0 , то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера S n-1 радиуса r , описанная вокруг некоторой (n – 1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1)

Построим n -сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h S ) и радиусом R , причём

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R^2=r^2+h_S^2.

Уравнение этой сферы

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2+(x_n-h_S)^2 = r^2+h_S^2 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2-x_n^2+2x_nh_S. \qquad (2)

Подставив в уравнение (2) x n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h S сфера S n-1 является подмножеством сферы S n , а именно – её сечением плоскостью x n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Преобразуем уравнение (2) к виду

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2+2x_nh_S

и подставим в него координаты точки С:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_1^2+X_2^2+X_3^2+ ... + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2+2X_nh_S.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_C^2 = r^2+2X_nh_S,

откуда можно выразить параметр h S:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): h_S = \frac{R_C^2-r^2}{2X_n}.

Очевидно, что h S существует при любых R C , X n и r , кроме X n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S n–1 , всегда можно найти такой параметр h S , что на сфере S n c центром (0, 0, 0, ..., h S) будет лежать и сфера S n -1 , и точка С. Таким образом, вокруг любых n +1 точек можно описать n –сферу, если n из этих точек лежат на одной (n -1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n -1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n –сферу можно описать вокруг любых n +1 точек, если они не лежат в одной (n –1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L –мерную грань, и эта грань сама является L –симплексом. Тогда для симплекса число L -мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К (L , n ) число L –мерных граней в n –многограннике, тогда для n -симплекса

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C^m_n – число сочетаний из n по m .

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.

Соотношения в правильном симплексе

В правильном n -мерном симплексе со стороной a обозначим:

• H n - высоту;
• V n - объём;
• R n - радиус описанной сферы;
• r n - радиус вписанной сферы;
• α n - двугранный угол.

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left(\frac{n+1}{n} \right)^n}
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_n = H_n \frac{n}{n-1}
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}
Высота	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_n = R_n \frac{n+1}{n}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}
Объём	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left(\frac{n+1}{n} \right)^n}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}
Радиус описанной сферы	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}
Радиус вписанной сферы	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_n = \frac{R_n}{n}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}
Двугранный угол	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \cos \alpha = \frac{1}{n}

Напишите отзыв о статье "Симплекс"

Литература

• Александров П. С. Комбинаторная топология, М. - Л., 1947
• Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии, М. - Л., 1947, с. 23-31.

См. также

Ссылки

• Симплекс - статья из Большой советской энциклопедии .

Отрывок, характеризующий Симплекс

– А можно тебя спросить – сколько тебе лет?.. Конечно, если не хочешь – не отвечай, – чуть смутившись, спросила я.
– По земному исчислению, наверное это будет около двух миллионов лет, – задумчиво ответила «малышка».
У меня от этого ответа ноги почему-то вдруг стали абсолютно ватными... Этого просто не могло быть!.. Никакое существо не в состоянии жить так долго! Или, смотря какое существо?..
– А почему же тогда ты выглядишь такой маленькой?! У нас такими бывают только дети... Но ты это знаешь, конечно же.
– Такой я себя помню. И чувствую – это правильно. Значит так и должно быть. У нас живут очень долго. Я, наверное, и есть маленькая...
У меня от всех этих новостей закружилась голова... Но Вея, как обычно, была удивительно спокойна, и это придало мне сил спрашивать дальше.
– А кто же у вас зовётся взрослым?.. Если такие есть, конечно же.
– Ну, разумеется! – искренне рассмеялась девочка. – Хочешь увидеть?
Я только кивнула, так как у меня вдруг с перепугу полностью перехватило горло, и куда-то потерялся мои «трепыхавшийся» разговорный дар... Я прекрасно понимала, что вот прямо сейчас увижу настоящее «звёздное» существо!.. И, несмотря на то, что, сколько я себя помнила, я всю свою сознательную жизнь этого ждала, теперь вдруг вся моя храбрость почему-то быстренько «ушла в пятки»...
Вея махнула ладошкой – местность изменилась. Вместо золотых гор и ручья, мы оказались в дивном, движущемся, прозрачном «городе» (во всяком случае, это было похоже на город). А прямо к нам, по широкой, мокро-блестящей серебром «дороге», медленно шёл потрясающий человек... Это был высокий гордый старец, которого нельзя было по-другому назвать, кроме как – величественный!.. Всё в нём было каким-то очень правильным и мудрым – и чистые, как хрусталь, мысли (которые я почему-то очень чётко слышала); и длинные, покрывающие его мерцающим плащом, серебристые волосы; и те же, удивительно добрые, огромные фиолетовые «Вэины» глаза... И на его высоком лбу сиявшая, дивно сверкающая золотом, бриллиантовая «звезда».
– Покоя тебе, Отец, – коснувшись пальчиками своего лба, тихо произнесла Вея.
– И тебе, ушедшая, – печально ответил старец.
От него веяло бесконечным добром и лаской. И мне вдруг очень захотелось, как маленькому ребёнку, уткнуться ему в колени и, спрятаться от всего хотя бы на несколько секунд, вдыхая исходящий от него глубокий покой, и не думать о том, что мне страшно... что я не знаю, где мой дом... и, что я вообще не знаю – где я, и что со мной в данный момент по-настоящему происходит...
– Кто ты, создание?.. – мысленно услышала я его ласковый голос.
– Я человек, – ответила я. – Простите, что потревожила ваш покой. Меня зовут Светлана.
Старец тепло и внимательно смотрел на меня своими мудрыми глазами, и в них почему-то светилось одобрение.
– Ты хотела увидеть Мудрого – ты его видишь, – тихо произнесла Вея. – Ты хочешь что-то спросить?
– Скажите пожалуйста, в вашем чудесном мире существует зло? – хотя и стыдясь своего вопроса, всё же решилась спросить я.
– Что ты называешь «злом», Человек-Светлана? – спросил мудрец.
– Ложь, убийство, предательство... Разве нет у вас таких слов?..
– Это было давно... уже никто не помнит. Только я. Но мы знаем, что это было. Это заложено в нашу «древнюю память», чтобы никогда не забыть. Ты пришла оттуда, где живёт зло?
Я грустно кивнула. Мне было очень обидно за свою родную Землю, и за то, что жизнь на ней была так дико несовершенна, что заставляла спрашивать подобные вопросы... Но, в то же время, мне очень хотелось, чтобы Зло ушло из нашего Дома навсегда, потому что я этот дом всем своим сердцем любила, и очень часто мечтала о том, что когда-нибудь всё-таки придёт такой чудесный день, когда:
человек будет с радостью улыбаться, зная, что люди могут принести ему только добро...
когда одинокой девушке не страшно будет вечером проходить самую тёмную улицу, не боясь, что кто-то её обидит...
когда можно будет с радостью открыть своё сердце, не боясь, что предаст самый лучший друг...
когда можно будет оставить что-то очень дорогое прямо на улице, не боясь, что стоит тебе отвернуться – и это сразу же украдут...
И я искренне, всем сердцем верила, что где-то и вправду существует такой чудесный мир, где нет зла и страха, а есть простая радость жизни и красоты... Именно поэтому, следуя своей наивной мечте, я и пользовалась малейшей возможностью, чтобы хоть что-то узнать о том, как же возможно уничтожить это же самое, такое живучее и такое неистребимое, наше земное Зло... И ещё – чтобы уже никогда не было стыдно кому-то где-то сказать, что я – Человек...
Конечно же, это были наивные детские мечты... Но ведь и я тогда была ещё всего лишь ребёнком.
– Меня зовут Атис, Человек-Светлана. Я живу здесь с самого начала, я видел Зло... Много зла...
– А как же вы от него избавились, мудрый Атис?! Вам кто-то помог?.. – с надеждой спросила я. – Можете ли вы помочь нам?.. Дать хотя бы совет?
– Мы нашли причину... И убили её. Но ваше зло неподвластно нам. Оно другое... Так же, как другие и вы. И не всегда чужое добро может оказаться добром для вас. Вы должны найти сами свою причину. И уничтожить её, – он мягко положил руку мне на голову и в меня заструился чудесный покой... – Прощай, Человек-Светлана... Ты найдёшь ответ на свой вопрос. Покоя тебе...
Я стояла глубоко задумавшись, и не обратила внимания, что реальность меня окружавшая, уже давно изменилась, и вместо странного, прозрачного города, мы теперь «плыли» по плотной фиолетовой «воде» на каком-то необычном, плоском и прозрачном приспособлении, у которого не было ни ручек, ни вёсел – вообще ничего, как если бы мы стояли на большом, тонком, движущемся прозрачном стекле. Хотя никакого движения или качки совершенно не чувствовалось. Оно скользило по поверхности на удивление плавно и спокойно, заставляя забыть, что двигалось вообще...
– Что это?.. Куда мы плывём? – удивлённо спросила я.
– Забрать твою маленькую подружку, – спокойно ответила Вэя.
– Но – как?!. Она ведь не сможет?..
– Сможет. У неё такой же кристалл, как у тебя, – был ответ. – Мы её встретим у «моста», – и ничего более не объяснив, она вскоре остановила нашу странную «лодку».
Теперь мы уже находились у подножья какой-то блестящей «отполированной» чёрной, как ночь, стены, которая резко отличалась от всего светлого и сверкающего вокруг, и казалась искусственно созданной и чужеродной. Неожиданно стена «расступилась», как будто в том месте состояла из плотного тумана, и в золотистом «коконе» появилась... Стелла. Свеженькая и здоровенькая, будто только что вышла на приятную прогулку... И, конечно же – дико довольная происходящим... Увидев меня, её милая мордашка счастливо засияла и по-привычке она сразу же затараторила:
– А ты тоже здесь?!... Ой, как хорошо!!! А я так волновалась!.. Так волновалась!.. Я думала, с тобой обязательно что-то случилось. А как же ты сюда попала?.. – ошарашено уставилась на меня малышка.
– Думаю так же, как и ты, – улыбнулась я.
– А я, как увидела, что тебя унесло, сразу попробовала тебя догнать! Но я пробовала, пробовала и ничего не получалось... пока вот не пришла она. – Стелла показала ручкой на Вэю. – Я тебе очень за это благодарна, девочка Вэя! – по своей забавной привычке обращаться сразу к двоим, мило поблагодарила она.
– Этой «девочке» два миллиона лет... – прошептала своей подружке на ушко я.
Стеллины глаза округлились от неожиданности, а сама она так и осталась стоять в тихом столбняке, медленно переваривая ошеломляющую новость...
– Ка-а-ак – два миллиона?.. А что же она такая маленькая?.. – выдохнула обалдевшая Стелла.
– Да вот она говорит, что у них долго живут... Может и твоя сущность оттуда же? – пошутила я. Но Стелле моя шутка, видимо, совсем не понравилась, потому, что она тут же возмутилась:
– Как же ты можешь?!.. Я ведь такая же, как ты! Я же совсем не «фиолетовая»!..
Мне стало смешно, и чуточку совестно – малышка была настоящим патриотом...
Как только Стелла здесь появилась, я сразу же почувствовала себя счастливой и сильной. Видимо наши общие, иногда опасные, «этажные прогулки» положительно сказывались на моём настроении, и это сразу же ставило всё на свои места.
Стелла в восторге озиралась по сторонам, и было видно, что ей не терпится завалить нашего «гида» тысячей вопросов. Но малышка геройски сдерживалась, стараясь казаться более серьёзной и взрослой, чем она на самом деле была...
– Скажи пожалуйста, девочка Вэя, а куда нам можно пойти? – очень вежливо спросила Стелла. По всей видимости, она так и не смогла «уложить» в своей головке мысль о том, что Вэя может быть такой «старой»...
– Куда желаете, раз уж вы здесь, – спокойно ответила «звёздная» девочка.
Мы огляделись вокруг – нас тянуло во все стороны сразу!.. Было невероятно интересно и хотелось посмотреть всё, но мы прекрасно понимали, что не можем находиться здесь вечно. Поэтому, видя, как Стелла ёрзает на месте от нетерпения, я предложила ей выбирать, куда бы нам пойти.
– Ой, пожалуйста, а можно нам посмотреть, какая у вас здесь «живность»? – неожиданно для меня, спросила Стелла.
Конечно же, я бы хотела посмотреть что-то другое, но деваться было некуда – сама предложила ей выбирать...
Мы очутились в подобии очень яркого, бушующего красками леса. Это было совершенно потрясающе!.. Но я вдруг почему-то подумала, что долго я в таком лесу оставаться не пожелала бы... Он был, опять же, слишком красивым и ярким, немного давящим, совсем не таким, как наш успокаивающий и свежий, зелёный и светлый земной лес.

При решении симплекс-методом могут возникать следующие ситуации:

1. Вырожденность;
2. Симплекс-метод в виде симплексной таблицы;
3. Модифицированный симплекс-метод;
4. Симплекс-метод в столбцовой форме;
5. Симплексный метод в строчечной форме.

Вырожденность

Если нет однозначной идентификации переменной (в случае одинаковых отношений), которая подлежит исключению из базиса, то выбор такой переменной можно сделать произвольно. Однако на следующей итерации по крайней мере, одна из базисных переменных должна быть равна нулю. В этом случае говорят, что новое решение является вырожденным. Появление вырожденного решения объясняется присутствием в модели, по крайней мере, одного избыточного ограничения. Для устранения подобной ситуации применяется правило Креко .

Зацикливание

Данная ситуация возникает в случае ухудшения значения целевой функции по сравнению с предыдущими итерацией. В общем случае может возникнуть зацикливание (циклическое повторение одинаковых операций, не улучшающих значение целевой функции, и не приводящих к завершению вычислительного процесса). Имеются специальные приемы, которые предотвращают зацикливание.

Альтернативные оптимальные решения

Если линия уровня целевой функции параллельна прямой (или гиперплоскости), соответствующей связывающему ограничению, то могут возникнуть альтернативные оптимальные планы X * . В этом случае целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение в некоторой совокупности точек пространства решений.

Пример . Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x 1 + 4x 2 при следующих условиях-ограничений.
x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме ).
В 1-м неравенстве смысла (1x 1 + 2x 2 + 1x 3 + 0x 4 = 5
1x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 4

A =

1 2 1 0 1 1 0 1

Базисные переменные


x 3 , x 4 ,
Полагая, что свободные переменные
X1 = (0,0,5,4)
Базисное решение

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 3	5	1	2	1	0
x 4	4	1	1	0	1
F(X0)	0	-2	-4	0	0

Итерация №0 .
.

.

.
и из них выберем наименьшее:
min (5: 2 , 4: 1) = 2 1 / 2

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	min
x 3	5	1	2	1	0
x 4	4	1	1	0	1	4
F(X1)	0	-2	-4	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы .

Вместо переменной x 3 в план 1 войдет переменная x 2 .
Строка, соответствующая переменной x 2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x 3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2

В остальных клетках столбца x 2 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x 2 и столбец x 2 .


НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

B	x 1	x 2	x 3	x 4
5: 2	1: 2	2: 2	1: 2	0: 2
4-(5 1):2	1-(1 1):2	1-(2 1):2	0-(1 1):2	1-(0 1):2
0-(5 -4):2	-2-(1 -4):2	-4-(2 -4):2	0-(1 -4):2	0-(0 -4):2

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 2	2 1 / 2	1 / 2	1	1 / 2	0
x 4	1 1 / 2	1 / 2	0	-1 / 2	1
F(X1)	10	0	0	2	0

1. Проверка критерия оптимальности .
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 2	2 1 / 2	1 / 2	1	1 / 2	0
x 4	1 1 / 2	1 / 2	0	-1 / 2	1
F(X2)	10	0	0	2	0

Оптимальный план можно записать так:
x 2 = 2 1 / 2
F(X) = 4 2 1 / 2 = 10
Анализ оптимального плана .
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x 4 . Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 1 1 / 2
В индексной строке в 1-ом столбце нулевое значение. В столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент. Следовательно, задача имеет множество оптимальных планов.
Покажем это на примере. Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, вносим в базис (вместо x 2), выполнив соответствующие этапы алгоритма.
После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 1	5	1	2	1	0
x 4	-1	0	-1	-1	1
F(X)	10	0	0	2	0

В результате получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Неограниченные решения

Когда при решении задач линейного программирования значения переменных постоянно растет без нарушения ограничений, то это свидетельствует о том, что пространство допустимых решений, по крайней мере, в одном направлении, неограниченно. В таких случаях целевую функцию можно сделать бесконечно большой (при решении задачи на mах и бесконечно малой (при min). Тогда говорят, что оптимальное значение целевой функции не ограничено.

Пример . Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x 1 + 2x 2 при следующих условиях-ограничений.
x 1 - x 2 x 1 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме ).
В 1-м неравенстве смысла (1x 1 -1x 2 + 1x 3 + 0x 4 = 10
1x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 20
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =

1 -1 1 0 1 0 0 1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных : дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x 3 , x 4 ,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,10,20)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 3	10	1	-1	1	0
x 4	20	1	0	0	1
F(X0)	0	-1	-2	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0 .
1. Проверка критерия оптимальности .
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной .
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x 1 , так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной .
Вычислим значения D i по строкам как частное от деления: b i / a i1
и из них выберем наименьшее:
min (10: 1 , 20: 1) = 10
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	min
x 3	10	1	-1	1	0	10
x 4	20	1	0	0	1	20
F(X1)	0	-1	-2	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы .
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x 3 в план 1 войдет переменная x 1 .
Строка, соответствующая переменной x 1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x 3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x 1 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x 1 и столбец x 1 .
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4
10: 1	1: 1	-1: 1	1: 1	0: 1
20-(10 1):1	1-(1 1):1	0-(-1 1):1	0-(1 1):1	1-(0 1):1
0-(10 -1):1	-1-(1 -1):1	-2-(-1 -1):1	0-(1 -1):1	0-(0 -1):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4
x 1	10	1	-1	1	0
x 4	10	0	1	-1	1
F(X1)	10	0	-3	1	0

Итерация №1 .
1. Проверка критерия оптимальности .
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной .
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x 2 , так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной .
Вычислим значения D i по строкам как частное от деления: b i / a i2
и из них выберем наименьшее:
min (- , 10: 1) = 10
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	min
x 1	10	1	-1	1	0	-
x 4	10	0	1	-1	1	10
F(X2)	10	0	-3	1	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы .
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x 4 в план 2 войдет переменная x 2 .
Строка, соответствующая переменной x 2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x 4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.
В остальных клетках столбца x 2 плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x 2 и столбец x 2 .
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4
10-(10 -1):1	1-(0 -1):1	-1-(1 -1):1	1-(-1 -1):1	0-(1 -1):1
10: 1	0: 1	1: 1	-1: 1	1: 1
10-(10 -3):1	0-(0 -3):1	-3-(1 -3):1	1-(-1 -3):1	0-(1 -3):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Последняя строка содержит отрицательные элементы. Решения не существует. Пространство допустимых решений в одном направлении неограниченно.

Отсутствие допустимых решений

Если ограничения модели одновременно выполняться не могут, то ОДР пустое. Если модель содержит ограничения в виде равенств или в виде неравенств ≥, то обычно используются искусственные переменные, не гарантирующие получения допустимого решения задачи в ее первоначальной постановке. Несмотря на введение штрафа за использование в целевой функции искусственных переменных, если в оптимальном решении хотя бы одна из искусственных переменных будет иметь положительное решение, то задача не имеет допустимых решений.

Пример . Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x 1 + 2x 2 при следующих условиях-ограничений.
2x 1 + x 2 3x 1 + 4x 2 =>12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме ).
В 1-м неравенстве смысла () вводим базисную переменную x 4 со знаком минус.
2x 1 + 1x 2 + 1x 3 + 0x 4 = 2
3x 1 + 4x 2 + 0x 3 -1x 4 = 12
Введем искусственные переменные x: в 2-м равенстве вводим переменную x 5 ;
2x 1 + 1x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 2
3x 1 + 4x 2 + 0x 3 -1x 4 + 1x 5 = 12
Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:
F(X) = - Mx 5 → max
Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.
Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x 5 = 12-3x 1 -4x 2 +x 4

F(X) = - M(12-3x 1 -4x 2 +x 4) → max
или
F(X) = (3M)x 1 +(4M)x 2 +(-M)x 4 +(-12M) → max
Введем новую переменную x 0 = 3x 1 + 4x 2 .
Выразим базисные переменные через небазисные.
x 0 = -12+3x 1 +4x 2 -x 4
x 3 = 2-2x 1 -x 2
x 5 = 12-3x 1 -4x 2 +x 4
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x 0 .
1. Проверка критерия оптимальности .
В выражении для x 0 присутствуют отрицательные элементы. Следовательно, текущий план неоптимален
2. Определение новой базисной переменной .
max(3,4,0,-1,0) = 4
x 0 = -12+3x 1 +4x 2 -x 4
x 3 = 2-2x 1 -x 2
x 5 = 12-3x 1 -4x 2 +x 4
В качестве новой переменной выбираем x 2 .
3. Определение новой свободной переменной .
Вычислим значения D i по всем уравнениям для этой переменной: b i / a i2
и из них выберем наименьшее:
min (2: 1 , 12: 4) = 2
Вместо переменной x 3 в план войдет переменная x 2 .
4. Пересчет всех уравнений .
Выразим переменную x 2 через x 3
x 2 = 2-2x 1 -x 3
и подставим во все выражения.
x 0 = -12+3x 1 +4(2-2x 1 -x 3)-x 4
x 5 = 12-3x 1 -4(2-2x 1 -x 3)+x 4
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x 0 = -4-5x 1 -4x 3 -x 4
x 2 = 2-2x 1 -x 3
x 5 = 4+5x 1 +4x 3 +x 4
Полагая небазисные переменные x = (2, 5) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (5, 0, 4, 1, 0), x 0 = -4

x 0 = -4-5x 1 -4x 3 -x 4
x 2 = 2-2x 1 -x 3
x 5 = 4+5x 1 +4x 3 +x 4
На этом первый этап симплекс-метода завершен. Переходим ко второму этапу . Удаляем переменные с искусственными переменными.
x 2 = 2-2x 1 -x 3
x 5 = 4+5x 1 +4x 3 +x 4
Выразим базисные переменные:
x 2 = 2-2x 1 -x 3
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 3x 1 + 2(2-2x 1 -x 3)
или
F(X) = 4-x 1 -2x 3
Получаем новую систему переменных.
x 0 = 4-x 1 -2x 3
x 2 = 2-2x 1 -x 3
x 5 = 4+5x 1 +4x 3 +x 4
Переменных для включения в новый базис не найдено.
Выражение для x 0 не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.
Окончательный вариант системы уравнений:
x 0 = 4-x 1 -2x 3
x 2 = 2-2x 1 -x 3
x 5 = 4+5x 1 +4x 3 +x 4
Так как в оптимальном решении присутствуют искусственные переменные (x5 > 0), то задача не имеет допустимого решения.

Саб симплекс представляет собой лекарственный препарат, основным компонентом которого является вещество...

Саб Симплекс – особые... Саб симплекс – один из самых эффективных препаратов, которому, как и многим другим фармацевтическим средствам,...

Саб Симплекс – фармакология... Саб симплекс – это фармацевтическое средство, которое способствует уменьшению метеоризма, то есть он...

Симплекс Вряд ли на свете найдется хоть один человек, который бы не знал, что представляет собой чрезмерное вздутие...

Симплекс и другие препараты... Вздутие живота – достаточно частое явление в жизни каждого ребенка. Особенно часто кишечные колки наблюдаются...

Симплекс – достаточно известный лекарственный препарат, который очень важно использовать в правильных...

Симплекс – показания... Симплекс – один из лекарственных препаратов, который применяется в борьбе с чрезмерным газообразованием....

Кишечные колики время от времени беспокоят практически всех новорожденных.
Чем же помочь малышу?
Ответ...

Саб симплекс – один из самых эффективных препаратов, которому, как и многим другим фармацевтическим средствам, присущ целый ряд особых указаний к применению. В самую первую очередь стоит отметить, что данный лекарственный препарат необходимо принимать непосредственно во время приема пищи либо сразу же после этого. Если препарат нужно дать новорожденному, тогда в данном случае его прием осуществляется непосредственно перед приемом пищи. Перед тем как использовать данный медикамент очень важно тщательно встряхнуть флакончик, в котором он находится.

Чтобы симплекс начал поступать из пипетки как можно быстрее, флакон, в котором находится суспензия, следует перевернуть, после чего постучать по его дну. Кстати, в случае если данный препарат нужно принять перед исследованием желудочно-кишечного тракта , тогда пипетку с флакона следует удалить. Если кому-то интересны сведения относительно того, влияет ли суспензия данного медикамента на центральную нервную систему человека, то есть на его реакцию, отметим сразу же, что таких данных нет по сегодняшний день.

Несмотря на то, что по сегодняшний день не было отмечено ни одного случая передозировки саб симплексом, к использованию данного медикамента все же стоит отнестись с особым вниманием. Следует отметить еще и то, что данный медикамент можно принимать с любыми другими фармацевтическими средствами. Чтобы приобрести его в аптеке, рецепт от врача не требуется. Очень важно сказать и о том, что хранить данный медикамент нужно подальше от детей.

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Найти

Значение слова симплекс

симплекс в словаре кроссвордиста

Симплекс

(от лат. simplex ≈ простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным ≈ отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка.

n-мерный С. имеет n + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому (n ≈ 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный С. Обратно, всякие n + 1 точек евклидова n-мерного пространства Rm, m ³ n, не лежащие ни в каком подпространстве менее n измерений, однозначно определяют n-mepный С. с вершинами в заданных точках e0, e1,..., en, он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных n + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства Rm, содержащих эти точки. Если в пространстве Rm дана система декартовых координат x1, х2,..., хт, в которой вершина ei, i = 0, 1,..., n, имеет координаты x1(i), x2(i),..., xm (i), то С. с вершинами e0, e1,..., em состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:

K = 1,2,..., m, где m(0), m(1),..., m(n) ≈ произвольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем n £ З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из которых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы ≈ нулевые).

Любые r + 1 вершин, 0 £ r £ n ≈ 1, взятые из числа данных n + 1 вершин n-мерного С., определяют некоторый r-мерный С. ≈ r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.