Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Общая теория решения задач при помощи уравнений

Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:

• Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
• Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
• Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
• Получаем окончательный ответ.

Пример задачи в алгебре

Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.

Пример 1

Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.

Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:

$\cases{x^2+y^2=5,\\x+y=3.}$

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Первый корень

$y=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$

Второй корень

$y=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

$x=3-\frac{3+\sqrt{17}}{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$

Для второго корня:

$x=3-\frac{3-\sqrt{17}}{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$

Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.

Ответ: $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ и $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Пример задачи в физике

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.

Пример 2

Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.

Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.

$t_1=\frac{70}{250-v}$

$t_2=\frac{70}{250+v}$

Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь

$\frac{70}{250-v}-\frac{70}{250+v}=1$

Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:

$\frac{17500+70v-17500+70v}{(250-v)(250+v)}=1$

$140v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.

Будем решать его с помощью дискриминанта:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Уравнение имеет два корня:

$v=\frac{-140-519}{2}=-329.5$ и $v=\frac{-140+519}{2}=189.5$

Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.

Ответ: $189.5$

Пример задачи в геометрии

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.

Пример 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.

Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)

Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь

$S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 15=150$

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ:

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Теперь мы вводим замену переменной:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

Урок-исследование по теме "Уравнения, приводимые к квадратным"

«Ценить людей надо по тем целям, которые они перед собой ставят”

Н.Н.Миклухо-Маклай.

Цели:

Обучающая: привести в систему знания учащихся по данной теме (повторить теорию, выработать умение определять вид уравнения и выбирать рациональный способ решения данного уравнения);

Развивающая: интенсивное и творческое мышление, желание поиска решения;

Воспитывающая: привитие интереса к устной работе, воспитание навыков сознательного усвоения материала.

показать способ решения уравнений методом введения новой переменной.

Ход урока

Сегодня на уроке мне хотелось бы вас пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Чтоб математику учить,
Её сперва нужно любить.

Посмотрим, как у нас в действительности обстоят дела в этом плане по отношению ко всем изученным уравнениям.

Но для начала давайте проверим домашнее задание

Интерактивная доска. Слайд с решением (поменяйтесь тетрадями)

Вторичное погружение в тему

Чтоб математику понять,
Её детально нужно знать.

Насколько мы знаем тему в деталях, попробуем разобраться в ходе следующей работы :

Слайд.И вспомним, а что такое уравнение? («занавеска» открывает правильный ответ)

(Равенство, содержащее неизвестное).

А что значит решить уравнение?

(Значит найти все его корни или доказать, что их нет).

А что является корнем уравнения?

(Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство).

Какие виды уравнений, вы знаете и умеете решать? (Линейные, квадратные, дробно-рациональные, биквадратные).

Все способы решений, известных вам уравнений, можно образно представить в виде “ключей”. Символ урока – связка ключей –

“Линейные уравнения”, “Квадратные уравнения”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения, приводимые к квадратным”.«Биквадратные уравнения»

(на доску вывешиваем ключи)

Слайд (рожицы) и виды уравнений

найти корни уравнений.

Решение на доске

х 4 – 10 х 2 + 9 = 0, уравнение биквадратное

(х-10) 2 -3(х-10)-4=0

Подведём итог нашей исследовательской работы.

Вывод: Итак, два различных по виду уравнения мы решили одним и тем же методом – методом введения новой переменной, где первоначальное уравнение приводится к квадратному.

А теперь давайте попробуем составить алгоритм решения

И наша задача состоит в том, чтобы попробовать "отточить" этот ключ, научиться открывать тайну уравнений таким ключом.

Собственно творческая часть

Чтоб математикой увлечь,
Вниманье нужно к ней привлечь.

Попробуем убедиться, насколько удастся привлечь внимание

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя
разложение на множители.

Ответ : -1; -0,5; 1.

Чтоб с математикой дружить,
Во всем логичным нужно быть.

Нет сомнения в том, что уравнения, которые предложат без логики осилить практически невозможно. Сейчас мы в этом убедимся.

Какую подстановку можно выполнить в каждом уравнении.

А теперь попробуйте свести данное уравнение к квадратному, подстановку мы уже определили (выберите по желанию для себя любое уравнение) и проверим.

Подведение итогов.

Рефлексия

Сегодня на уроке мы только попробовали с вами слегка "отточить" наш "ключик", вам предстоит ещё большая работа, чтобы этот ключ работал в совершенстве.

Дома: Сборник ГИА-2010г стр. 151 №128,129,№130,131. Благодарю вас за урок. Мне было интересно работать с вами. Желаю удачи вам, новых поисков и открытий.

4. Подведение итогов урока.

Что нового узнали на уроке?

Какие задания были сложными? Что запомнилось?

Как работал класс на уроке?

Кто работал лучше всех?

Оценить ответы учащихся у доски.

Поставить отметки за урок, обосновав их выставление.

Открытый урок по алгебре в 9 классе.

Тема: Уравнения, приводимые к квадратным .

Цели урока: 1) обобщение и углубление знаний учащихся по решению квадратных уравнений;

2) способствовать формированию умений применять различные способы решения уравнений;

3) развить творческие способности учащихся путем решения заданий, содержащих модули и параметры.

Ход урока:

Вводная беседа.

При решении уравнений учащиеся нередко совершают ряд преобразований, которые приводят к ошибочным выводам.

Например:

1. РУ х(х+3)=2х

Делим обе части уравнения на х:

При этом решении потеряли корень Х=0. В чем ошибка?

Разделили на Х, а переменная Х может быть равной 0. А на нуль делить нельзя.

Ответ: -1; 0.

Т.к. знаменатели обеих частей одинаковы, то

При таком решении появился посторонний корень Х=1. Где ошибка?

Общий знаменатель не может равняться 0.

Ответ: Х=2.

Чтобы не допустить подобные ошибки, нужно знать правила равносильных переходов при решении уравнений.

Устный опрос.

Какие уравнения называются уравнениями 1 степени?

Как решить линейные уравнения?

Сколько решений может иметь линейное уравнение?

Какое уравнение называется уравнением второй степени?

Приведенное квадратное уравнение?

Как решается квадратные уравнения?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

если Д 0, то квадратное уравнение имеет 2 корня.

если Д = 0, то один корень.

10.Как разложить на множители квадратный трехчлен?

3. Объяснение новой темы.

Сегодня мы будем решать уравнения, приводимые к квадратным, и уравнения 3 и 4 степеней. В их решении большой вклад внесли итальянские математики 16 века.

Сципион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори

Николо Тарталья (1499-1557)

Историческая справка об этих ученых.

Рассмотрим одно из уравнений итальянских математиков:

Это уравнение можно решить по формуле Кардано для решения уравнений вида , что чревато сложными вычислениями.

Можно решить методом разложения на множители левой части уравнения.

Ответ: 1; -4; 3.

Решим это уравнение различными способами:

метод разложения на множители.

оба значения удовлетворяют условию

Не удовлетворяет условию

Ответ: 0; -2; 2.

графический способ

Строим график функции

и ищем абсциссы точек пересечения графика с осью oх.

3) Метод введения новой переменной.

Пусть , тогда

Это уравнение тоже можно решить несколькими способами.

Введем новую переменную