Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f (x )Q [x ] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f (x )Z [x ] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.

Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.

Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если – рациональный корень многочлена f (x ) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 с целыми коэффициентами, причем (p , q ) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а 0 , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а 0 .

Теорема 6.2. Если Q ( где (p , q ) = 1) является рациональным корнем многочлена f (x ) с целыми коэффициентами, то
–целые числа.

Пример. Найтивсе рациональные корнимногочлена

f (x ) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 х+ 1.

1. По теореме 6.1: если – рациональный корень многочлена f (x ), (где(p , q ) = 1), то a 0 = 1 p , a n = 6 q . Поэтому p { 1}, q{1, 2, 3, 6}, значит,

.

2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f (x ) тогда и только тогда, когда f (x ) делится на (х – а ).

Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f (x ) можно воспользоваться схемой Горнера:

f (1) = 60,f (–1) = 120, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочленаf (x ).

3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел
, воспользуемся теоремой 6.2. Если выраженияили
принимает целые значения для соответствующих значений числителяp и знаменателя q , то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.

4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа
корнямиf (x ). Вначале разделим f (x ) на (х – ).

В результате имеем: f (x ) = (х – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2) и – кореньf (x ). Частное q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).

Так как q (–) = 30, то (–) не является корнем многочленаq (x ), а значит и многочлена f (x ).

Наконец, разделим многочлен q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 х – 2 на (х – ).

Получили: q () = 0, т.е.– кореньq (x ), а значит, – кореньf (x ). Таким образом, многочлен f (x ) имеет два рациональных корня: и.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.

Примеры. 1.t =
.

Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

t =
. Выражение – неполный квадрат разности чисела =
иb = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а 3 – b 3 = (а + b ) · (a 2 – ab + b 2 ), можно определить множитель m = (а + b ) =
+ 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дробиt , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t . Таким образом,

В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.

Определение 6.1. Число z называется алгебраическим над полем F , если существует многочлен f (x ) F [x ], корнем которого является z , в противном случае число z называется трансцендентным над полем F .

Определение 6.2. Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p (x )F [x ], корнем которого является число z .

Пример. Покажем, что числоz =
является алгебраическим над полемQ и найдем его степень.

Найдем неприводимый над полем Q многочлен p (х ), корнем которого является x =
. Возведем обе части равенстваx =
в четвертую степень, получимх 4 = 2 или х 4 – 2 = 0. Итак, p (х ) = х 4 – 2, а степень числа z равна deg p (х ) = 4.

Теорема 6.3 (об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби). Пусть z – алгебраическое число над полем F степени n . Выражение вида t = ,где f (x ), (x )F [x ], (z)0

единственным образом может быть представлено в виде:

t = с n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F .

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.

Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

t =

1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х ) = х 2 – х +1 при х =
. В предыдущем примере показано, что
– алгебраическое число над полемQ степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p (х ) = х 4 – 2.

2. Найдем линейное разложение НОД ((х ), p (x )) с помощью алгоритма Евклида.

_ x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x )

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x )

_–3x + 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x )

Итак, НОД ((х ), p (x )) = r 2 = 7. Найдем его линейное разложение.

Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.

p (x ) = (x ) · q 1 (x ) + r 1 (x )
r 1 (x ) = p (x ) – (x ) · q 1 (x )

Доказано, что для разложения многочлена на множители, нужно найти его корни. Формулы корней квадратного многочлена. Метод нахождения целых корней. Метод разложения на множители биквадратного многочлена и приводящихся к квадратным. Возвратные многочлены.

Основа метода

Пусть

- многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами a i . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Уравнение P n (z) = 0 имеет хотя бы один корень.

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Пусть P n (z) - многочлен степени n , z 1 - корень уравнения:
P n (z 1) = 0 .
Тогда P n (z) можно представить единственным способом в виде:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) ,
где P n-1 (z) - многочлен степени n - 1 .

Доказательство

Для доказательства, применим теорему (см. Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком), согласно которой для любых двух многочленов P n (z) и Q k (z) , степеней n и k , причем n ≥ k , существует единственное представление в виде:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) ,
где P n-k (z) - многочлен степени n-k , U k-1 (z) - многочлен степени не выше k-1 .

Положим k = 1 , Q k (z) = z - z 1 , тогда
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c ,
где c - постоянная. Подставим сюда z = z 1 и учтем, что P n (z 1) = 0 :
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c ;
0 = 0 + c .
Отсюда c = 0 . Тогда
P n ,
что и требовалось доказать.

Итак, на основании теоремы 1, многочлен P n (z) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z 1 , P n (z 1) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) .
Далее, если n > 1 , то многочлен P n-1 (z) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z 2 , P n-1 (z 2) = 0 . Тогда
P n-1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z) ;
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z 1 , z 2 , ... , z n таких, что
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z) .
Но P 0 (z) - это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z n , находим что она равна a n . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1) P n (z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) .

Числа z i являются корнями многочлена P n (z) .

В общем случае не все z i , входящие в (1) , различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k ;
.
Здесь z i ≠ z j при i ≠ j . Если n i = 1 , то корень z i называется простым . Он входит в разложение на множители в виде (z-z i ) . Если n i > 1 , то корень z i называется кратным корнем кратности n i . Он входит в разложение на множители в виде произведения n i простых множителей: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i .

Многочлены с действительными коэффициентами

Лемма 2

Если - комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, , то комплексно сопряженное число также является корнем многочлена, .

Доказательство

Действительно, если , и коэффициенты многочлена - действительные числа, то .

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
,
где , - действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3) ;
.

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения P n (z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3) .

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1. Находим корень z 1 уравнения P n (z 1) = 0 .
2.1. Если корень z 1 действительный, то в разложение добавляем множитель (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1 (z) , начиная с пункта (1) , пока не найдем все корни.
2.2. Если корень комплексный, то и комплексно сопряженное число является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель

,
где b 1 = - 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 .
В этом случае, в разложение добавляем множитель (z 2 + b 1 z + c 1) и делим многочлен P n (z) на (z 2 + b 1 z + c 1) . В результате получаем многочлен степени n - 2 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена P n-2 (z) , начиная с пункта (1) , пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена

Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени - это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
.

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0 .
Если дискриминант , то уравнение имеет два действительных корня:
, .
Тогда разложение на множители имеет вид:
.
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
;
.
Если дискриминант D < 0 , то корни уравнения комплексные,
.

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты - целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
,
коэффициенты a i которого - целые числа, имеет целый корень z 1 . Тогда этот корень является делителем числа a 0 .

Доказательство

Перепишем уравнение P n (z 1) = 0 в виде:
.
Тогда - целое,
M z 1 = - a 0 .
Разделим на z 1 :
.
Поскольку M - целое, то и - целое. Что и требовалось доказать.

Поэтому, если коэффициенты многочлена - целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a 0 и, подстановкой в уравнение P n (z) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание . Если коэффициенты многочлена - рациональные числа, , то умножая уравнение P n (z) = 0 на общий знаменатель чисел a i , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена - целые числа и целых корней нет, то при a n ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/a n
и умножить уравнение на a n n-1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень y i , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
z i = y i /a n .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
P n (z) = z n - a 0 ,
где a 0 - комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
z n = a 0 .
Это уравнение легко решается, если выразить a 0 через модуль r и аргумент φ :
.
Поскольку a 0 не изменится, если к аргументу прибавить 2 π , то представим a 0 в виде:
,
где k - целое. Тогда
;
.
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, ... n-1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
.

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
.
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

При , имеем:

,
где .

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
.
Его корни определяются из уравнения:
.
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t 1 , t 2 . После чего находим разложение в виде:
.
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители z n - t 1 и z n - t 2 . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен называется возвратным , если его коэффициенты симметричны:

Пример возвратного многочлена:
.

Если степень возвратного многочлена n - нечетна, то такой многочлен имеет корень z = -1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n - 1 .
Если степень возвратного многочлена n - четна, то подстановкой , он приводится к многочлену степени n/2 . См.

Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.

При этом можно довольно быстро "натолкнуться" на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа невозможно, так как их бесконечно много.

Другое дело, если бы нам удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных чисел. А для тридцати чисел можно и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.

Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1.

В самом деле, если f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, где an, an-1,...,a1, a0 - целые числа, то f (l/m) =0, т.е аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Умножим обе части этого равенства на mn. Получим anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Отсюда следует:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m.

Доказанная тема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Продемонстрируем это на конкретном примере. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a0=8, а m - делитель старшего коэффициента a4=6. при этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ±1, ±2, ±4, ±8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби.

Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. Но опять-таки придется сделать довольно много проверок. А вот следующая теорема упрощает эту работу.

Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km?0.

Для доказательства этой теоремы разделим f (x) на x-k с остатком. Получим f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Так как f (x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s (x), а f (k) - целое число. Пусть s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тогда f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Положим в этом равенстве x=l/m. Учитывая, что f (l/m) =0, получаем

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0).

Умножим обе части последнего равенства на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Отсюда следует, что целое число mnf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mn и l-km тоже взаимно просты, а значит, f (k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся теперь к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков рациональных корней. Применим указанную теорему при k=1 и k=-1, т.е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x), то f (1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко находим, что в нашем случае f (1) =-5, а f (-1) =-15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ±1.

Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь lm=- (1/2) = (-1) /2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь - 1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера:

Таблица 10

Получили, что остаток при делении g (x) на x-2/3 равен - 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).

Далее легко находим, что - 2/3 - корень многочлена g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогда f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x2+2x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются.

Итак, многочлен f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3.

Напомним, что описанный выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±v5 (это корни многочлена х2+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

Теперь дадим несколько советов.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f (x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=±1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f (1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f (1) =0, т.е.1 - корень, а тогда f (1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f (x) на x-1, т.е. получить f (x) = (x-1) s (x), и проводить испытания для многочлена s (x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f (x) - x1=1 - мы уже нашли. Если при проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f (x) = (x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s (x), что сокращает вычисления.

Таким образом, мы научились находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты - целые числа. Докажем, например, что sin100 - число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3?=3sin?-4sin3?. Отсюда sin300=3sin100-4sin3100. Учитывая, что sin300=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin3100-6sin100+1=0. Следовательно, sin100 является корнем многочлена f (x) =8x3-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin100 не является рациональным числом, т.е. sin100 - число иррациональное.