Пример 1: Определить при каких значениях параметра а уравнение (а 2 -4) соsх=а+2 имеет решения. Решение: а 2 -4=0 а 2 =4.а=±2. а) Если а=2, то данное уравнение имеет вид: 0 cos=4 0=4 – не имеет решений. б) Если а=-2,то то данное уравнение имеет вид: 0 cos=0 0=0 – верно при х R. Следовательно при а = -2, х - любое. в) Если а ±2, то запишем уравнение в виде Так как, то уравнение имеет решения, если Ответ: а (- ;1] . Конкурирующая группа учащихся построила тут же этот график с соответствующими горизонтальными направляющими, и, увеличив масштаб, продемонстрировала, что касания с линией t = -2 нет. Поскольку увеличение масштаба не привело к изменению ситуации с касанием с верхней горизонтальной линией, первая группа настаивала на том, чтобы решение задачи было зачтено хотя бы частично.

Единственным значимым аргументом конкурентов стало отсутствие возможности на ЕГЭ воспользоваться какими-либо графопостроителями. Тем не менее, остался открытым вопрос, при каких реальных обстоятельствах можно опираться на результаты численных расчетов и почему по большей части на экзаменах не допускаются в ответах округления числовых величин.

Рисунок 1

Рисунок 2

Верного решения задания 9 нет. Поступает предложение выполнить замену переменных sinx + cosx = p, учащиеся озвучивают “противоречие”: 1 +sin2x = p 2 .

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, построенный график t(x) дает совершенно иное множество значений функции t.

Рисунок 3

Противоречие снимается требованием аккуратной замены: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 только при sinx +cosx 0

Полосы, внутри которых координаты точек удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой.

Рисунок 4

При sinx +cosx <0:

t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

Полосы, внутри которых координаты точек к удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой

Рисунок 5

Урок стремительно близится к окончанию . Задачи 1, 6, 8, 10 не нашли своих почитателей. Во время представления алгоритмов решения задач, выбранных группами, учитель просмотрел классификацию заданий, проведенную учащимися в начале урока. Судя по информации в таблицах, задания 1, 8, 10 оцениваются учащимися как особо сложные и идей по их решению не возникает. Задание 6 вызвало на предварительном этапе расхождение в ответах, потому его для презентации учащиеся не выбирали.

Домашнее задание: модифицируйте рассмотренные задачи и предложите свой вариант их решения. Возможные пути модификации: превратите заданные уравнения в неравенства; измените числовые коэффициенты, сформулируйте иные вопросы к условию задачи.

Учитель также предлагает рассмотреть его аналитическое решение выбранных учащимися задач и к следующему занятию прокомментировать достоинства и недостатки решений.

Рефлексия.

Учащиеся требуют в качестве внешнего атрибута рефлексии “ШЕСТЬ ШЛЯП”.

Поскольку их в наличии нет, договариваемся, что каждая из 5 групп мысленно выбирает цвет шляпы, любой, за исключением красного (так как эмоций хватало во время споров), и высказывает свое отношение к прошедшему занятию.

“Белая шляпа”: из предложенных десяти заданий успели рассмотреть только 6. Во многих задачах были недочеты в решениях. Использование компьютера в качестве помощника на стадии подготовки переросло в неверное доказательство. Тригонометрические неравенства мы решать не умеем.

“Черная шляпа”: уровень задач явно превышает наши возможности. На ЕГЭ тригонометрия только в простейшей задаче с полным решением, нам не нужны подобные модели к задаче ЕГЭ с параметром. У нас есть ошибки в отборах корней тригонометрических уравнений на промежутках, этому надо уделять время учебных занятий. Состав групп неравноценен. Жребий позволял первым группам выбирать более простые задания, это никак не учитывалось в оценках. Можно было не предлагать специально ошибиться в решениях, и без этого ошибок хватало.

“Желтая шляпа” Хорошо, что сейчас, а не в конце 11 класса мы увидели сложные задачи. У рассмотренных задач есть алгоритмы решения, просто к ним нужно приучить свои мозги. В учебнике все подпункты параграф 11 представляют собой семейства “задач с параметрами”, так как их решение строится по похожим алгоритмам.

Есть время определиться с “потолком” компетентностей. А может кто-то захочет принять участие в конкурсах или олимпиадах? Можно считать, что начало дорожки к ним мы уже увидели.

“Зеленая шляпа” Мне представляется, что решение подобных задач более всего подходит программистам. Им необходимо делать условные переходы, обходить критические значения, чтобы программы не повисли, наверняка, существует банк программ, рассматривающих вопросы тригонометрии. Нужно только принять позицию программиста, и дело стронется.

“Синяя шляпа” - учитель. Хочется согласиться со всеми замечаниями и высказываниями, кроме совсем уж прагматических. Да и прагматикам, стоит иметь ввиду, что никогда не можешь знать, что от тебя потребует жизнь в той или иной ситуации.

Есть предложение провести консультацию по решению оставшихся нерешенными задач, участие в консультации добровольное, задач подобного уровня сложности в ближайшее время на контрольных и диагностических работах не будет.

Подведение итогов.

Ребята, сегодня мы вместе сделали шаг, пусть небольшой, на пути творческого поиска решений в тригонометрии. Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения.

При выполнении письменной зачетной работы вы будете иметь возможность выбора определенного типа заданий. Я надеюсь, что и задачи с параметрами не будут обойдены Вашим вниманием.

Спасибо вам за активную работу на уроке. Занятие окончено. До свидания!

В Приложении 1 содержатся комментарии и краткое решение предложенных задач.

В Приложении 2 приведен список литературы, использованной при построении занятия и необходимое материально – техническое оборудование.

В Приложении 3 представлены графики, использованные при подготовке к уроку, построенные в программе Advanced Grapher.

Сергиев-Посад, 2012 год

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,γ ; при всякой допустимой системе значений параметров α 0 ,β 0 , ..., γ 0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение ( Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащему параметры, и устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ), Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф )

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

1. Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Имеет решение.

Решение .

Введем новую переменную: x, t . Тогда данное уравнение принимает вид: t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t 1,2 = = ;

t 1 =

t 2 =

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение имеет решение при а .

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней.

Решение:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Находим производную:

Определяем критические точки функции:

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin 3 x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение:

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как cos 2 x + sin 2 х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t 2 + at + 5 = 0.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а 2 – 40, а 2 – 40 ≥ 0, а 2 ≥ 40,

а ] ; ).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 а 2 40,

A ; ).

Ответ. Выражение 2+cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a ; ).

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

Имеет единственное решение?

Решение:

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

А так как

то приходим к рассмотрению систем

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение

cos2x + asinx = 2 a – 7 имеет решение.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 х + asinx = 2 a – 7;

sin 2 х - a sinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
дает:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

Решений нет, или .

При ≤ 1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

Пример 6. Применение классических формул

Решить уравнение

Решение:

Уравнение легко преобразуется к виду:

Если то и уравнение корней не имеет.

Если Последнее уравнение имеет корни, если

тогда

Ответ: при

при корней нет.

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решение:

При уравнение решений не имеет.

При

Ответ:

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решить уравнение