Тригонометрические неравенства как решать. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности. Равенство одноименных тригонометрических функций

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств.

Учителя высшей квалификационной категории:

Ширко Ф.М. п. Прогресс, МОБУ-СОШ №6

Санкина Л.С. г. Армавир, ЧОУ СОШ «Новый путь»

Не существует универсальных приемов преподавания дисциплин естественно-математического цикла. Каждый учитель находит свои, приемлемые только для него способы преподавания.

Наш многолетний опыт преподавания показывает, что учащиеся легче усваивают материал, требующий концентрации внимания и сохранения в памяти большого объема информации, если они научены использовать в своей деятельности алгоритмы на начальной стадии обучения сложной темы. Такой темой на наш взгляд, является тема решение тригонометрических неравенств.

Итак, перед тем, как мы приступим с учащимися к выявлению приемов и способов решения тригонометрических неравенств, отрабатываем и закрепляем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

Отмечаем на соответствующей оси точки (для sin x – ось ОУ, для cos x – ось ОХ )

Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который пересечет окружность в двух точках.

Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений аркфункции по определению.

Начиная от подписанной точки, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обращаем особое внимание на направление обхода. Если обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), то вторая точка на окружности будет отрицательной, если против часовой стрелки – положительной.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Рассмотрим работу алгоритма на примерах.

1) sin ≥ 1/2;

Решение:

Изображаем единичную окружность.;

Отмечаем на оси ОУ точку ½.

Восстанавливаем перпендикуляр к оси,

который пересечет окружность в двух точках.

По определению арксинуса первой отмечаем

точку π/6.

Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует

данному неравенству, выше точки ½.

Заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обход совершается против часовой стрелки, получили точку 5π/6.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции;

Ответ: x ;[π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n  Z.

Простейшее неравенство решается по тому же алгоритму, если в записи ответа нет табличного значения.

Учащиеся, на первых уроках решая неравенства у доски, проговаривают каждый шаг алгоритма вслух.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

Решение: у

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Изображаем единичную окружность.

Отмечаем на оси ОХ точку с координатой 1/5.

Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который

пересечет окружность в двух точках.

Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений арккосинуса по определению (0;π).

Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

Начиная от подписанной точки arccos 1/5, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), значит, вторая точка на окружности будет отрицательной -arccos 1/5.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции, от меньшего значения к большему.

Ответ: x  [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n  Z.

Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «» стоял знак «

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание.

Учащимся предлагаются неравенства, которые необходимо решить на уроке.

Вопрос: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Ответ 1, 3, 5.

Вопрос: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Ответ: 2, 3, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Ответ: 6.

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

На практическом занятии мы повторим основные типы заданий из темы «Тригонометрия», дополнительно разберем задачи повышенной сложности и рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и их систем.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3.

Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.

Задача №1 . Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку .

Ответ. а) ; б) .

Задача №2 . Вычислить: а) ; б) .

а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т.к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б) .

Задача №3 . Вычислить , если .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т.к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Задача №4 . Упростить выражение .

Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:

Т.к. , то функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение:

Задача №5 . Упростить выражение .

Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:

Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.

Задача №6 . Вычислить .

Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.

Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.

Задача №7 . Решить уравнение .

При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т.к. на ноль делить нельзя.

Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т.е. корней нет.

Ответ. Корней нет.

Задача №8 . Решить уравнение .

Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:

Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:

Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.

Решим отдельно последнее уравнение:

Данное уравнение не имеет корней, т.к. значение синуса не могут выходить за пределы .

Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:

Это семейство всех половин , т.е.

Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.

Задача №9 . Решить неравенство .

Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.

Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т.е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т.к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.

Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка - это указать сразу, что правой точке соответствует угол , левой и дать ответ . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.

Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т.е. по часовой стрелке и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:

Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса :

Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.

Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.

Ответ..

Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.

Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

Задача №10 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

Получаем в нашем случае:

Ответ.

Задача №11 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:

Ответ..

Задача №12 . Решить неравенства: а) ; б) .

В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.

а) Поскольку , то неравенство не имеет смысла. Следовательно, решений нет.

б) Т.к. аналогично , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента .

Ответ. а) решений нет; б) .

Задача 13 . Решить неравенство .

Неравенства, содержащие тригонометрические функции, при решении сводятся к простейшим неравенствам вида cos(t)>a, sint(t)=a и подобным. И уже простейшие неравенства решаются. Рассмотрим на различных примерах способы решения простейших тригонометрических неравенств.

Пример 1 . Решить неравенство sin(t) > = -1/2.

Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l.. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. В итоге получаем для t следующее неравенство:

Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: -pi/6+2*pi*n < = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Пример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t1 и t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Получили неравенство для t: pi/3

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: pi/3+2*pi*n

Пример 3. Решить неравенство tg(t) < = 1.

Период тангенса равняется pi. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-pi/2;pi/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча - дуга l. Причем, точка P(-pi/2) не принадлежит этой дуге.

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида , , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1. Строим графики и у = а, считая, что .

Затем записываем уравнение и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство .

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде:

Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения , при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале () выполняется неравенство , в интервале () – неравенство

Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ;

а во втором: .

Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его:

Найдём значения и .

При n = 1

При n = 2

Записываем окончательный ответ данного неравенства:

В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.

Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.

Рассмотрим его сущность.

Комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями...

Проведении исследования были решены следующие задачи: 1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном...

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
Отметить точки пересечения двух графиков.
Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

Сначала стоит начертить единичную окружность.
Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика: