Гистограмма (столбчатый график)

Она применяется для наглядного изображения распределения конкретных значений параметра по частоте повторения за определенный период времени. Она может использоваться при нанесении на график допустимых значений. Можно определить как часто он попадает в допустимый диапазон или выходит за его пределы. Порядок построения гистограммы:

• 1. проводят наблюдения за случайной величиной и определяют ее числовые значения. Число экспериментал точек должно не менее 30
• 2. определяют размах случ величины, он определяет ширину гистограммы R и равен Xmax - Xmin
• 3. полученный размах делят на k интервалов, ширина интервала h = R/k.
• 4. распределяют полученные данные по интервалам - границы первого интервала, - границы последнего интервала. Определяют количество точек, попавших в каждый интервал.
• 5. по полученным данным строят гистограмму. По оси ординат откладывают частоты, по оси абсцисс - границы интервалов.
• 6. по форме получившейся гистограммы выясняют состояние партии изделий, технологического процесса и принимают управленческие решения.

Типичные виды гистограмм:

• 1) Типичный или (симметричный). Такая гистограмма указывает на стабильность процесса
• 2) Мультимодальный вид или гребенка. Такая гистограмма говорит о нестабильности процесса.
• 3) Распределение с обрывом слева или справа
• 4) Плато (равномерное прямоугольное распределение, такая гистограмма получается в случае объединения нескольких объединений, которых средние значения различаются незначительно) анализируют такую гистограмму методом расслаивания
• 5) Двухпиковый (бимодальный) - здесь смешиваются два симметричных с далеко стоящими средними значениями (макушками). Проводят расслоение по 2 факторам. Данная гистограмма указывает на появление ошибки измерения
• 6) С изолированным пиком - данная гистограмма указывает на появление ошибки измерения

Людмила Прокофьевна Калугина (или просто “Мымра”) в замечательном фильме «Служебный роман» поучала Новосельцева: «Статистика - это наука, она не терпит приблизительности». Чтобы не попасть под горячую руку строгой начальнице Калугиной (а заодно и запросто решать задания из ЕГЭ и ГИА с элементами статистики), постараемся разобраться с некоторыми понятиями статистики, которые могут пригодиться не только в тернистом пути покорения экзамена по ЕГЭ, но и просто в повседневной жизни.

Так что же такое Статистика и зачем она нужна? Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» (статус), что означает «состояние и положение дел/вещей». Статистика занимается изучением количественной стороны массовых общественных явлений и процессов в числовой форме, выявляя особые закономерности. На сегодняшний день статистика применяется практически во всех сферах общественной жизни, начиная от моды, кулинарии, садоводства и заканчивая астрономией, экономикой, медициной.

Перво-наперво, при знакомстве со статистикой необходимо изучить основные статистические характеристики, применяемые для анализа данных. Ну вот, с этого и начнем!

Статистические характеристики

К основным статистическим характеристикам выборки данных (какая еще такая «выборка»!? Не пугайся, все под контролем, это непонятное слово лишь для запугивания, на самом деле, под словом «выборка» подразумевается просто данные, которые ты собираешься исследовать) относятся:

1. объем выборки,
2. размах выборки,
3. среднее арифметическое,
4. мода,
5. медиана,
6. частота,
7. относительная частота.

Стоп-стоп-стоп! Сколько новых слов! Давай обо всем по порядку.

Объем и Размах

Например, в таблице ниже приведен рост игроков сборной по футболу:

Данная выборка представлена элементами. Таким образом, объем выборки равен.

Размах представленной выборки составляет см.

Среднее арифметическое

Не очень понятно? Давай смотреть на наш пример .

Определите средний рост игроков.

Ну что, приступим? Мы уже разбирались, что; .

Можем сразу смело все подставлять в нашу формулу:

Таким образом, средний рост игрока сборной составляет см.

Ну или вот такой пример:

Ученикам 9 класса на неделю было задано решить как можно больше примеров из задачника. Количество примеров, решенных учениками за неделю, приведены ниже:

Найдите среднее количество решенных задач.

Итак, в таблице нам представлены данные по ученикам. Таким образом, . Ну что ж, найдем для начала сумму (общее количество) всех решенных задач двадцатью учениками:

Теперь можем смело приступать к расчету среднего арифметического решенных задач, зная, что, а:

Таким образом, в среднем ученики 9 класса решили по задач.

Вот еще один пример для закрепления.

Пример.

На рынке помидоры реализуются продавцами, причем цены за кг распределены следующим образом (в руб.): . Какова средняя цена килограмма помидоров на рынке?

Решение.

Итак, чему в данном примере равно? Все верно: семь продавцов предлагают семь цен, значит, ! . Ну вот, со всеми составляющими разобрались, теперь можем приступить к расчету средней цены:

Ну что, разобрался? Тогда посчитай самостоятельно среднее арифметическое в следующих выборках:

Ответы: .

Мода и медиана

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке? Все верно, это число, так как два игрока имеют рост см; рост же остальных игроков не повторяется. Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?

Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») - отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Ключевое слово СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.

Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?

Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»! Наведем порядок в ряду? Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому). Вот, что у меня получилось:

Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке. Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить - сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное? Все верно - игроков, значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке. Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

Ну вот, чисел у нас, значит, по краям остается по пять чисел, а рост см будет медианой в нашей выборке. Не так уж и сложно, правда?

А теперь разберем пример с нашими отчаянными ребятами из 9 класса, которые решали примеры в течение недели:

Готов искать в этом ряду моду и медиану?

Для начала, упорядочим этот ряд чисел (расположим от самого маленького числа к самому большому). Получился вот такой вот ряд:

Теперь можно смело определить моду в данной выборке. Какое число встречается чаще других? Все верно, ! Таким образом, мода в данной выборке равна.

Моду нашли, теперь можем приступать к нахождению медианы. Но прежде, ответь мне: каков объем рассматриваемой выборки? Посчитал? Все верно, объем выборки равен. А - это четное число. Таким образом, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов. То есть нам надо в нашем упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Какие два числа располагаются посередине? Все верно, и!

Таким образом, медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел и:

- медиана рассматриваемой выборки.

Частота и относительная частота

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Частота - это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост? Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Сколько игроков имеет рост? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки). То есть в нашем примере:

Перейдем к следующей характеристике - относительная частота.

Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем. Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.

Графическое изображение данных

Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм/графиков. Остановимся на рассмотрении основных из них:

1. столбчатая диаграмма,
2. круговая диаграмма,
3. гистограмма,
4. полигон

Столбчатая диаграмма

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Например, у нас есть вот такие данные об оценках написанной контрольной работы в одном классе:

Количество получивших такую оценку - это у нас и есть частота . Зная это, мы можем составить вот такую вот табличку:

Теперь мы можем построить наглядные столбчатые графики на основе такого показателя как частота (на горизонтальной оси отражены оценки на вертикальной оси откладываем количество учеников, получивших соответствующие оценки):

Или же можем построить соответствующий столбчатый график на основе относительной частоты:

Рассмотрим пример по типу задания В3 из ЕГЭ.

Пример.

На диаграмме показано распределение добычи нефти в странах мира (в тоннах) за 2011 год. Среди стран первое место по добыче нефти занимала Саудовская Аравия, седьмое место - Объединенные Арабские Эмираты. Какое место занимали США?

Ответ: третье.

Круговая диаграмма

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.

По нашей табличке с относительными частотами распределения оценок в классе мы можем построить круговую диаграмму, разбив круг на секторы, пропорциональные относительным частотам.

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности. В нашем случае, таких частей четыре (в соответствии с возможными оценками), поэтому применение такого типа диаграммы достаточно эффективно.

Рассмотрим пример по типу задания 18 из ГИА.

Пример.

На диаграмме показано распределение расходов семьи во время отдыха на море. Определите, на что семья потратила больше всего?

Ответ: проживание.

Полигон

Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами - соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.

Вот, к примеру нам даны среднемесячные температуры воздуха в Москве.

Сделаем приведенные данные более наглядными - построим полигон.

На горизонтальной оси отражены месяцы, на вертикальной - температура. Строим соответствующие точки и соединяем их. Вот, что получилось:

Согласись, сразу стало наглядней!

Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Вот построенный полигон на основе нашего примера с распределением оценок:

Рассмотрим типовое задание В3 из ЕГЭ.

Пример.

На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с по августа года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена алюминия на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

Ответ: .

Гистограмма

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота - частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Вот, к примеру, у нас есть следующие данные о росте игроков, вызванных в сборную:

Итак, нам дана частота (количество игроков с соответствующим ростом). Мы можем дополнить табличку, рассчитав относительную частоту:

Ну вот, теперь можем строить гистограммы. Сначала построим на основании частоты. Вот, что получилось:

А теперь на основании данных об относительной частоте:

Пример.

На выставку по инновационным технологиям приехали представители компаний. На диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала. По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали - количество компаний, имеющих данное число сотрудников.

Какой процент составляют компании с общим числом сотрудников больше человек?

Ответ: .

Краткие итоги

Объем выборки - количество элементов в выборке.

Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.

Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество (объем выборки).

Мода ряда чисел - число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Медиана упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов - число, которое окажется посередине.

Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов - среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Частота - число повторений определенного значения параметра в выборке.

Относительная частота

Для наглядности удобно представлять данные в виде соответствующих диаграмм/графиков

• ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ.

Статистическая выборка - выбранное из всего числа объектов конкретное число объектов для исследования.

Объемом выборки - количество элементов, попавших в выборку.

Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.

Или, размах выборки

Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

Относительная частота - это отношение частоты к общему числу данных в ряду.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Столбчатые графики

Столбчатый график представляет количественную зависимость, выраженную высотой столбика. Например, зависимость себестоимости от вида изделия, сумма потерь в результате брака в зависимости от процесса и так далее. Обычно столбики показывают на графике в порядке убывания высоты справа налево. Если в числе факторов имеется группа «Прочие», то соответствующий столбик на графике показывают крайним справа.

Круговые графики

Круговым графиком выражают соотношение составляющих какого-то целого параметра и всего параметра в целом, например: соотношение сумм выручки от продажи отдельно по видам деталей и полную сумму выручки; соотношение типов используемых стальных пластин и общее число пластин; соотношение тем работы кружков качества (отличающихся содержанием) и общее число тем; соотношение элементов, составляющих себестоимость изделия, и целое число, выражающее себестоимость, и так далее. Целое принимается за 100% и выражается полным кругом. Составляющие выражаются в виде секторов круга и располагаются по кругу в направлении движения часовой стрелки, начиная с элемента, имеющего наибольший процент вклада, в целое, в порядке уменьшения процента вклада. Последним ставится элемент «прочие». На круговом графике легко видеть сразу все составляющие и их соотношение.

Ленточные графики

Ленточный график используют для наглядного представления соотношения составляющих какого-то параметра и одновременно для выражения изменения этих составляющих с течением времени, например: для графического представления соотношения составляющих суммы выручки от продажи изделий по видам изделий и их изменения по месяцам (или годам); для представления содержания анкет при ежегодном анкетировании и его изменении от года к году; для представления причин дефектов и изменения их по месяцам и так далее. При построении ленточного графика прямоугольник графика делят на зоны пропорционально составляющим или в соответствии с количественными значениями и по длине ленты размечают участки в соответствии с соотношением составляющих по каждому фактору. Систематизируя ленточный график так, чтобы ленты располагались в последовательном временном порядке, можно оценить изменение составляющих с течением времени.

Z-образные графики

Z-образный график используют для оценки общей тенденции при регистрации по месяцам фактических данных, таких как объем сбыта, объем производства и так далее. График строится следующим образом: 1) откладываются значения параметра (например, объем сбыта) по месяцам (за период одного года) с января по декабрь и соединяются отрезками прямой - получается график, образуемый ломаной линией; 2) вычисляется кумулятивная сумма за каждый месяц и строится соответствующий график; 3) вычисляются итоговые значения, изменяющиеся от месяца к месяцу (меняющийся итог), и строится соответствующий график, образуемый ломаной линией. За меняющийся итог принимается в данном случае итог за год, предшествующий данному месяцу. Общий график, включающий три построенных указанным образом графика, имеет вид буквы Z, отчего он и получил свое название. Z-образный график применяют, помимо контроля объема сбыта или объема производства, для уменьшения числа дефектных изделий и суммарного числа дефектов, для снижения себестоимости и уменьшения случаев невыхода на работу и так далее. По меняющемуся итогу можно определить тенденцию изменения за длительный период. Вместо меняющегося итога можно наносить на график планируемые значения и проверять условия достижения этих значений.

Радиальные графики (радиационные диаграммы)

Радиальный график: из центра круга к окружности проводят по числу факторов прямые (радиусы). На эти радиусы наносят деления градуировки и откладывают значения данных (отложенные точки соединяют отрезками). Эта радиационная диаграмма представляет собой комбинацию кругового и линейного графика. Числовые значения, относящиеся каждому из факторов сравнивают со стандартными значениями, достигнутыми другими фирмами. Его используют для анализа управления предприятием, для оценки качества и так далее.

Стратификация данных

Расслоение (стратификация) данных является одним из наиболее простых статистических методов. В соответствии с этим методом производят расслоение данных, то есть группируют данные в зависимости от условий их получения и производят обработку каждой группы в отдельности.

Например, расслоение можно провести по следующим признакам:

Расслоение по исполнителям - по работающим, по полу, по стажу работы и так далее;

Расслоение по машинам и оборудованию - по новому и старому оборудованию, по марке оборудования, по конструкции и так далее;

Расслоение по материалу - по месту производства, по фирме-производителю, по партии, по качеству сырья и так далее;

Расслоение по способу производства - по температуре, по технологическому приему, по месту производства работ.

При расслоении данных следует стремиться к тому, чтобы различие внутри группы было как можно меньше, а различие между группами - как можно больше.

Расслоение позволяет получить представление о скрытых причинах дефектов, а также помогает выявить причину появления дефекта, если обнаруживается разница в данных между «слоями». Например, если расслоение проведено по фактору «исполнитель», то при значительном различии в данных можно определить влияние того или иного исполнителя на качество изделия; если расслоение проведено по фактору «оборудование» - влияние использования разного оборудования.

Если после расслоения данных невозможно определить наглядно решающий фактор в решении проблемы, то необходимо проводить более глубокий анализ данных.

На практике стратификация используется для расслаивания статистических данных по различным признакам и анализа выявленной при этом разницы в диаграммах Парето, схемах Исикавы, гистограммах, диаграммах рассеивания и так далее.

Для оценки удовлетворенности студентов будем использовать столбчатый, круговой, линейный, радиационный и ленточный графики.

1. График, выраженный ломаной линией

2. Столбчатый график

3. Круговой график

4. Ленточный график

5. Z-образный график

6. Лепестковая диаграмма

Графическое представление числовых данных позволяет выявить закономерности, которым подчиняется рассматриваемая группа данных. График дает возможность не только оценить состояние на данный момент, но и спрогнозировать более отдаленный результат по тенденции процесса, которую можно в нем обнаружить, а следовательно, наметить меры, которые могут предупредить ухудшение состояния или усилить положительный результат.

1. График, выраженный ломаной линией

Таким графиком представляют, например, изменение с течением времени какого-либо параметра, например объема производства или доли дефектных изделий. По оси ординат на таком графике откладывают значение соответствующей величины, а по оси абсцисс – время. Нанесенные на график точки соединяют прямыми отрезками. Эффективность полученной информации возрастет, если при анализе данные расслоить по таким факторам, как продавец, изделие, станок и т.д. Эффективность полученной информации возрастет, если на график нанести линию тренда.

Пример графика снижения бракованных пьезо-сенсоров в датчиках давления по месяцам показан ниже.

Рис. Снижения брака пьезо-сенсоров датчиков давления: 1 – график; 2 – линия тренда

2. Столбчатый график

С помощью столбчатого графика представляют количественную зависимость, выражаемую высотой столбика, таких факторов, как себестоимость изделия от вида изделия, сумма потерь в результате брака от процесса, сумма выручки от магазина и т.д. Разновидности столбчатого графика – диаграмма Парето и гистограмма. При построении столбчатого графика по оси ординат откладывают количество, по оси абсцисс – факторы; каждому фактору соответствует столбик.

В качестве примера показан столбчатый график зависимости числа неисправных датчиков давления в зависимости от их марки выявленный во время ремонтных работ в одной из котельных города Энск. Из графика видно, что ремонт или замена на новые необходимы для датчиков фирмы Корунд.

Рис. Число неисправных датчиков давленияв зависимости от их марки:
К – Корунд ; С – Сапфир; М – Метран; Х – Ханивел; Й – Йокогава

3. Круговой график

Круговым графиком выражают соотношение составляющих какого-то целого параметра и всего параметра в целом, например: соотношение изделий по их видам, изготовителям или др. факторам. Целое принимается за 100 % и выражается полным кругом. Составляющие выражаются в виде секторов круга и располагаются по кругу в направлении движения часовой стрелки, начиная с элемента, имеющего наибольший процент вклада в целое, в порядке уменьшения процента вклада. Последним ставится элемент «прочие». На круговом графике легко видеть сразу все составляющие и их соотношение.

В качестве примера показано соотношение времени на различные стадии при производстве датчика перемещения ФГ-5.

Рис. Соотношение времени при изготовлении нового датчика перемещения ФГ-5:
1 – разработка электронной схемы датчика, 5 %; 2 – закупка необходимых материалов и компонентов, 10 %; 3 – изготовление электронной платы датчика, 15 %; 4 – отладка опытного образца и запуск его в производство, 70 %

4. Ленточный график

Ленточный график используют для наглядного представления соотношения составляющих какого-то параметра и одновременно для выражения изменения этих составляющих с течением времени, например: для графического представления соотношения составляющих суммы выручки от продажи изделий по видам изделий и их изменения по месяцам или годам: для представления содержания анкет при ежегодном анкетировании и его изменении от года к году; для представления причин дефектов и изменения их по месяцам и т.д.

При построении ленточного графика прямоугольник графика делят на зоны пропорционально составляющим или в соответствии с количественными значениями и по длине ленты размечают участки в соответствии с соотношением составляющих по каждому фактору. Систематизируя ленточный график так, чтобы ленты располагались в последовательном временном порядке, можно оценить изменение составляющих с течением времени.

Порядок построения ленточного графика:

1. постройте горизонтальную и вертикальную оси;

2. на горизонтальную ось нанесите шкалу с делениями от 0 до 100 %;

3. вертикальную ось разделите на интервалы времени, в течение которых производилось измерение показателя. Рекомендуется откладывать интервалы времени сверху вниз, т.к. человеку легче воспринять изменение информации именно в этом направлении;

4. для каждого интервала времени постройте ленту, которая обозначает рассматриваемый показатель. При построении оставьте небольшое пространство между лентами;

5. составляющие показателя пересчитайте в процентные доли от самого показателя, для чего величину каждой составляющей показателя разделите на величину самого показателя и умножьте на 100. Величина показателя может быть вычислена как сумма значений всех составляющих показателя;

6. разделите ленты графика на зоны таким образом, чтобы ширина зон соответствовала размеру процентной доли составляющих показателя;

7. соедините границы зон каждой составляющей показателя всех лент между собой отрезками прямых;

8. нанесите название каждой составляющей показателя и ее доли в процентах на график. Обозначьте зоны различными цветами или штриховкой, чтобы они четко различались между собой.

В качестве примера показано соотношение оценок по пятибалльной шкале на экзамене по УКП за период с 2008 по 2012 года.

Рис. Соотношение оценок на экзамене по УКП за 2008 – 2012 гг

5. Z-образный график

Z-образный график используют для оценки общей тенденции при регистрации по месяцам фактических данных, таких как объем сбыта, объем производства, число внештатных ситуаций и т. д.

График строится следующим образом.

1. Постройте вертикальную и горизонтальную оси.

2. Горизонтальную ось нужно разделить на 12 месяцев исследуемого года.

3. На оси ординат откладываются значения исследуемого параметра по месяцам за период одного года с января по декабрь и соединяются отрезками прямой, в результате получается график, образуемый ломаной линией.

5. Также вычисляют итоговые значения параметра, изменяющиеся от месяца к месяцуи строится соответствующий график, образуемый ломаной линией. За меняющийся итог принимается в данном случае итог за год, предшествующий данному месяцу. Общий график, включающий три построенных указанным образом графика, имеет вид буквы Z, отчего он и получил свое название.

Z-график применяют, помимо контроля объема сбыта или объема производства, для уменьшения числа дефектных изделий и суммарного числа дефектов, для снижения себестоимости и уменьшения случаев невыхода на работу и т. д.

По меняющемуся итогу можно определить тенденцию изменения за длительный период. Вместо меняющегося итога можно наносить на график планируемые значения и проверять условия достижения этих значений.

В качестве примера показан Z -образный график зависимостичисла отказов автомата защиты при работе со сварочным аппаратом в течение года по месяцам. На графике нанесены три кривые: число отказов, их кумулятивная кривая и итоговые годовые значения.

Рис. Число отказов автомата защиты при работе со сварочным аппаратом:
1 – отказы автомата по месяцам; 2 – кумулятивная сумма отказов; 3 – итоговые значения отказов автомата защиты за год

6. Лепестковая диаграмма

Данный тип графика отличается высокой наглядностью, его используют для анализа управления предприятием, для оценки кадров, для оценки качества и т. д.

Этот график строится следующим образом.

1. Из центра круга к окружности проводятся по числу факторов прямые линии (радиусы), которые напоминают лучи.

2. На эти радиусы наносят деления градуировки и откладывают значения анализируемых данных.

3. Точки, которыми обозначены отложенные значения, соединяют прямыми отрезками.

Таким образом, полученная ломаная линия представляет собой лепестковую диаграмму, которая является комбинацию кругового и линейного графиков. Числовые значения, относящиеся к каждому из факторов, сравнивают со стандартными значениями и со значениями, построенными по другим признакам или категориям.

Рис. Шаблон лепестковой диаграммы на 4 фактора

В качестве примера показана лепестковая диаграмма внештатных ситуаций на нефтеперерабатывающем заводе в течение года по цехам. Для анализа внештатных ситуаций были выбраны три цеха, ситуация в которых могла негативно повлиять на работу предприятия в целом.

Рис. Внештатные ситуации на нефтеперерабатывающем заводе по месяцам

Из графика следует что наиболее опасным в плане возникновения внештатных ситуаций является цех № 1, а самым безопасным цех № 3. Таким образом, зная о характере внештатных ситуаций на предприятии руководство может принимать меры по их предупреждению и уменьшению их числа.

В течение этого урока мы познакомимся со столбчатыми диаграммами, научимся ими пользоваться. Определим, в каких случаях удобнее использовать круговые диаграммы, а в каких - столбчатые. Научимся применять диаграммы в реальной жизни.

Рис. 1. Круговая диаграмма площадей океанов от общей площади океанов

На рисунке 1 мы видим, что Тихий океан не только самый большой, но и занимает почти точную половину всего мирового океана.

Рассмотрим другой пример.

Четыре ближайшие планеты к Солнцу называются планетами земной группы.

Выпишем расстояние от Солнца до каждой из них.

До Меркурия 58 млн км

До Венеры 108 млн км

До Земли 150 млн км

До Марса 228 млн км

Мы опять можем построить круговую диаграмму. Она будет показывать, какой вклад расстояние для каждой планеты имеет в сумме всех расстояний. Но сумма всех расстояний не имеет для нас смысла. Полный круг не соответствует никакой величине (см. Рис. 2).

Рис. 2 Круговая диаграмма расстояний до Солнца

Так как сумма всех величин не имеет для нас смысла, то и нет смысла строить круговую диаграмму.

Но мы можем изобразить все эти расстояния, используя простейшие геометрические фигуры - прямоугольники, или столбики. Каждой величине будет соответствовать свой столбик. Во сколько раз больше величина, во столько раз выше столбик. Сумма величин нас не интересует.

Чтобы удобно было видеть высоту каждого столбика, начертим декартову систему координат. На вертикальной оси сделаем разметку в миллионах километров.

И теперь построим 4 столбика высотой, соответствующей расстоянию от Солнца до планеты (см. Рис. 3).

До Меркурия 58 млн км

До Венеры 108 млн км

До Земли 150 млн км

До Марса 228 млн км

Рис. 3. Столбчатая диаграмма расстояний до Солнца

Сравним две диаграммы (см. Рис. 4).

Столбчатая диаграмма здесь более полезна.

1.На ней сразу видно наименьшее и наибольшее расстояние.

2.Мы видим, что каждое следующее расстояние увеличивается примерно на одну и ту же величину - 50 млн км.

Рис. 4. Сравнение видов диаграмм

Таким образом, если вы задумались, какую лучше диаграмму вам построить - круговую или столбчатую, то нужно ответить:

Нужна ли вам сумма всех величин? Имеет ли она смысл? Хотите ли видеть вклад каждой величины в общее, в сумму?

Если да, то вам нужна круговая, если нет - то столбчатая.

Сумма площадей океанов имеет смысл - это площадь Мирового океана. И мы строили круговую диаграмму.

Сумма расстояний от Солнца до разных планет не имела для нас смысла. И для нас полезнее оказалась столбчатая.

Построить диаграмму изменения средней температуры за каждый месяц в течение года.

Температура приведена в таблице 1.

Табл. 1

Если сложить все температуры, то полученное число не будет иметь для нас большого смысла. (Смысл будет, если мы ее разделим на 12 - получим среднегодовую температуру, но это не тема нашего урока.)

Итак, будем строить столбчатую диаграмму.

Минимальное значение у нас - -18, максимальное - 21.

Теперь изобразим 12 столбиков для каждого месяца.

Столбики, соответствующие отрицательной температуре, рисуем вниз (см. Рис. 5).

Рис. 5. Столбчатая диаграмма изменения средней температуры за каждый месяц в течение года

Что показывает эта диаграмма?

Легко увидеть самый холодный месяц и самый теплый. Видно конкретное значение температуры за каждый месяц. Видно, что самые теплые летние месяцы отличаются друг от друга меньше, чем осенние или весенние.

Итак, чтобы построить столбчатую диаграмму, нужно:

1) Начертить оси координат.

2) Посмотреть на минимальное и максимальное значение и сделать разметку вертикальной оси.

3) Изобразить столбики для каждой величины.

Посмотрим, какие неожиданности могут возникать при построении.

Построить столбчатую диаграмму расстояний от Солнца до ближайших 4-х планет и ближайшей звезды.

Про планеты мы уже знаем, а ближайшая звезда - Проксима Центавра (см. Табл. 2).

Табл. 2

Все расстояния снова указаны в миллионах километров.

Строим столбчатую диаграмму (см. Рис. 6).

Рис. 6. Столбчатая диаграмма расстояния от солнца до планет земной группы и ближайшей звезды

Но расстояние до звезды так огромно, что на его фоне расстояния до четырех планет становятся неразличимы.

Диаграмма потеряла всякий смысл.

Вывод такой: нельзя строить диаграмму по данным, которые отличаются друг от друга в тысячи или более раз.

А что делать?

Нужно разбить данные на группы. Для планет построить одну диаграмму, как мы делали, для звезд - другую.

Построить столбчатую диаграмму для температур плавления металлов (см. Табл. 3).

Табл. 3. Температуры плавления металлов

Если построить диаграмму, то мы почти не видим разницу между медью и золотом (см. Рис. 7).

Рис. 7. Столбчатая диаграмма температур плавления металлов (градировка с 0 градусов)

У всех трех металлов температура достаточно высокая. Область диаграммы ниже 900 градусов нам неинтересна. Но тогда эту область лучше и не изображать.

Начнем градуировку с 880 градусов (см. Рис. 8).

Рис. 8. Столбчатая диаграмма температур плавления металлов (градуировка с 880 градусов)

Это позволило нам более точно изобразить столбики.

Теперь нам хорошо видны эти температуры, а также какая больше и на сколько. То есть мы просто отрезали нижние части столбиков и изобразили только верхушки, но в приближении.

То есть если все значения начинаются с достаточно большого, то и градуировку можно начать с этого значения, а не с нуля. Тогда диаграмма окажется более наглядной и полезной.

Ручное рисование диаграмм - достаточно долгое и трудоемкое занятие. Сегодня, чтобы быстро сделать красивую диаграмму любого типа, используют электронные таблицы Excel или аналогичные программы, например Google Docs.

Нужно внести данные, а программа сама построит диаграмму любого типа.

Построим диаграмму, иллюстрирующую для какого числа людей какой язык является родным.

Данные взяты из Википедии. Запишем их в таблицу Excel (см. Табл. 4).

Табл. 4

Выделим таблицу с данными. Посмотрим на типы предлагаемых диаграмм.

Здесь есть и круговые, и столбчатые. Построим и ту и другую.

Круговая (см. Рис. 9):

Рис. 9. Круговая диаграмма долей языков

Столбчатая (см. Рис. 10)

Рис. 10. Столбчатая диаграмма, иллюстрирующая, для какого числа людей какой язык является родным

Какая нам диаграмма нужна - необходимо будет решать каждый раз. Готовую диаграмму можно скопировать и вставить в любой документ.

Как видите, сегодня создавать диаграммы не составляет никакого труда.

Посмотрим, как в реальной жизни диаграмма помогает. Вот информация по количеству уроков по основным предметам в шестом классе (см. Табл. 5).

Табл. 5

Не очень удобно для восприятия. Ниже изображена диаграмма (см. Рис. 11).

Рис. 11. Количество уроков за год

А вот она же, но данные расположены по убыванию (см. Рис. 12).

Рис. 12. Количество уроков за год (по убыванию)

Теперь мы прекрасно видим, каких уроков больше всего, каких меньше всего. Видим, что количество уроков английского языка в два раза меньше русского, что логично, ведь русский - наш родной язык и говорить, читать, писать на нем, нам приходится намного чаще.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

http://ppt4web.ru/geometrija/stolbchatye-diagrammy0.html

Домашнее задание

1. Построить столбчатую диаграмму выпадения осадков (мм) за год в Чистополе.

2. Изобразите столбчатую диаграмму по следующим данным.

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 1437.