Решение уравнений методом секущих. Пример решения задачи методом секущих. Метод деления отрезка пополам

Метод секущих (метод хорд)

В этом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона.

Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка. Если производную заменить ее приближением:

f "(x n ) ,

то вместо формулы (2.13) получим

x n +1 = x n -. . (2.20)

Это означает, что касательные заменены секущими. Метод секущих является двухшаговым методом, для вычисления приближения x n +1 необходимо вычислить два предыдущих приближения x n и x n - 1 , и, в частности, на первой итерации надо знать два начальных значения x 0 и x 1 .

Формула (2.20) является расчетной формулой метода секущих . На рис. 2.9 приведена геометрическая иллюстрация метода секущих.

Очередное приближение x n +1 получается как точка пересечения с осью OX секущей, соединяющей точки графика функции f (x ) с координатами (x n -1 , f (x n - 1)) и (x n , f (x n)).

Сходимость метода . Сходимость метода секущих устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.4 Пусть x * - простой корень уравнения f (x ) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема, причем f" (x ) 0. Тогда найдется такая малая -окрестность корня x * , что при произвольном выборе начальных приближений x 0 и x 1 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.20) сходится и справедлива оценка:

|x n + 1 - x * | C |x n - x * | p , n 0, p = 1.618. (2.21)

Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает, что p < 2, и метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих - только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать примерно вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

Так же, как и метод Ньютона, при неудачном выборе начальных приближений (вдали от корня) метод секущих может расходиться. Кроме того применение метода секущих осложняется из-за того, что в знаменатель расчетной формулы метода (2.20) входит разность значений функции. Вблизи корня эта разность мала, и метод теряет устойчивость.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода секущих такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности >

|x n - x n - 1 | < . (2.22)

Пример 2.4.

Применим метод секущих для вычисления положительного корня уравнения 4(1 - x 2) - e x = 0 с точностью = 10 -3 .

Корень этого уравнения находится на отрезке , так как f (0) = 3 > 0, а f (1) = -e < 0. Подсчитаем вторую производную функции: f "(x ) = -8 - e x . Условие f (x )f " (x ) 0 выполняется для точки b = 1. В качестве начального приближения возьмем x 0 = b = 1. В качестве второго начального значения возьмем x 1 = 0.5. Проведем вычисления по расчетной формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

	x n

Метод ложного положения

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона.

Пусть известно, что простой корень x * уравнения f (x ) = 0 находится на отрезке [a, b ] и на одном из концов отрезка выполняется условие f (x )f" (x ) 0. Возьмем эту точку в качестве начального приближения. Пусть для определенности это будет b . Положим x 0 = a. Будем проводить из точки B = (b, f (b )) прямые через расположенные на графике функции точки B n с координатами (x n , f (x n ), n = 0, 1, … . Абсцисса точки пересечения такой прямой с осью OX есть очередное приближение x n+ 1 .

Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис. 2.10.

Прямые на этом рисунке заменяют касательные в методе Ньютона (рис. 2.8). Эта замена основана на приближенном равенстве

f "(x n ) . (2.23)

Заменим в расчетной формуле Ньютона (2.13) производную f "(x n ) правой частью приближенного равенства (2.23). В результате получим расчетную формулу метода ложного положения :

x n +1 = x n -.. (2.24)

Метод ложного положения обладает только линейной сходимостью. Сходимость тем выше, чем меньше отрезок [a, b ].

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода ложного положения такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

|x n - x n - 1 | < . (2.25)

Пример 2.5.

Применим метод ложного положения для вычисления корня уравнения x 3 + 2x - 11 = 0 с точностью = 10 -3 .

Корень этого уравнения находится на отрезке , так как f (1) = -8 < 0, а f (2) = 1 > 0. Для ускорения сходимости возьмем более узкий отрезок , поскольку f (1.9) < 0, а f (2) > 0. Вторая производная функции f (x ) = x 3 + 2x - 11 равна 6x. Условие f (x )f" (x ) 0 выполняется для точки b = 2. В качестве начального приближения возьмем x 0 = a = 1.9. По формуле (2.24) имеем

x 1 = x 0 -. = 1.9 + 1.9254.

Продолжая итерационный процесс, получим результаты, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5

	x n

Метод хорд (метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось - Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов - умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации () .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить, ;

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1:

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2:

Метод секущих

При нахождении нулей функции f , для которой вычисление f"(x) затруднено, часто лучшим выбором, чем метод Ньютона, является метод секущих. В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами x 1 и х 2 . На каждом шаге x k+1 получают из x k и x k-1 как единственный нуль линейной функции, принимающей значения f(x k) в x k и f(x k-1) в x k-1 . Эта линейная функция представляет секущую к кривой у = f(х), проходящую через ее точки с абсциссами x k и x k-1 - отсюда название метод секущих.

Пусть -- абсциссы концов хорды, -- уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты и из системы уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Затем найдем коэффициенты и:

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

Теперь возьмем координаты и и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

Повторять операцию следует до тех пор, пока не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Пример решения задачи методом секущих

В Delphi напишем программу для расчета корней уравнений методом секущих:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var ck1, x0, x1, x2, eps:real;

x1:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

x2:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Form1.Edite.Text);

{уточнения корня по итерационной форме}

x2:=x1-(x0-x1)*f(x1)/(f(x0)-f(x1));

until abs(x2-x1)

{Заключительные вычисления}

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

{Вывод результатов в поле Memo}

Form1.Memo2.clear ;

Form1.Memo2.Lines.Add ("Метод деления пополам");

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck1 =" + FloatToStr(ck1));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck2 =" + FloatToStr(ck2));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck3 =" + FloatToStr(ck3));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck4 =" + FloatToStr(ck4));

Этот метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );

2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).

Первое приближение корня находится по формуле: .

Для следующего приближения из отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

, если или , если .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

Геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд:

При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка . Из двух точек А и В выбирается х0. Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.

Формула для n-го приближения имеет вид(х0=а, xn-1=b,xn=x):

В методе хорд условием окончания итераций является:

Условие близости двух последовательных приближений: ;

Условие малости невязки (величина F(xn) есть невязка, полученная на n-й итерации, а -число, с заданной точностью которого необходимо найти решение).

Описание алгоритма метода хорд
Шаг 1. Ввод a,b,ε.
Шаг 2. X:=a-f(a)×(b-a)/(f(b)-f(a)).
Шаг 3. Если dF2(b)×F(b)<0, то a:=x;
Если dF2(a)×F(a)<0, то b:=x;
Шаг 4. Пересчитать X по формуле шага 2.
Шаг 5. Выполнять шаг 3, пока abs(b-a)<=eps.
Шаг 4.Вывод результата – x.
Опишем назначение переменных и функций, используемых в процедуре Hord
dF2 – значение второй производной в точке Х
F – значение функции в точке Х
Х0 – начальное значение Х
А – левая граница
В – правая граница
Е – точность вычислений
Fa – значение функции в точке А
Fb - значение функции в точке В
Представим в виде структурной схемы.

Блок схема алгоритма метода хорд:

8.) Метод простых итераций (метод последовательных приближений)- метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

x i =φ(x i -1) , i=1,2,… где i − номер итерации.- последовательное вычисление значений x i по формуле называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула - формулой итерационного процесса метода.

Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций: