Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

• использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
• использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.

Под четким множеством или просто множеством, обычно понимают некоторую совокупность определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта мыслимую как единое целое. В данном высказывании отметим следующий момент: множество A есть совокупность определенных объектов. Это означает, что относительно любого х можно однозначно сказать, принадлежит ли он множеству A или нет.

Условие принадлежности элемента х множеству A можно записать, используя понятие функции принадлежности m(х), a именно

Следовательно, множество можно задать в виде совокупности пар: элемента и значения его функции принадлежности

A = {(х|m(х)} (1)

Пример 1. Кафедра предлагает пять элективных курсов x 1 , x 2 , x 3 , x 4 и x 5 . В соответствии с программой необходимо сд три курса. Студент выбрал для изучения курсы x 2 , х 3 и x 5 . Запишем этот факт с помощью функции принадлежности

где первый элемент каждой пары означает название курса, а второй - описывает факт принадлежности его к подмножеству выбранному данным студентом ("да" или "нет").

Примеров четких множеств можно привести бесконечно много: список студентов учебной группы, множество домов на данной улице города, множество молекул в капле воды и т.д.

Между тем, огромный объем человеческих знаний и связей с внешним миром включают такие понятия, которые нельзя назвать множествами в смысле (1). Их следует скорее считать классами с нечеткими границами, когда переход от принадлежности одному классу к принадлежности другому происходит постепенно, не резко. Тем самым предполагается, что логика человеческого рассуждения основывается не на классической двузначной логике, а на логике с нечеткими значениями истинности, - нечеткими связками и нечеткими правилами вывода . Вот несколько тому примеров: объем статьи примерно 12 страниц, большая часть территории, подавляющее превосходство в игре, группа из нескольких человек.

Остановимся на последнем примере. Ясно, что группа людей из 3, 5, или 9 человек принадлежит к понятию: "группа людей, состоящее из нескольких человек". Однако для них будет неодинаковой степень уверенности в принадлежности к этому понятию, которая зависит от различных, в том числе и от субъективных, обстоятельств. Формализовать эти обстоятельства можно, если предположить, что функция принадлежности может принимать любые значения на отрезке . Причем крайние значения предписываются в том случае, если элемент безусловно не принадлежит или однозначно принадлежит данному понятию. В частности, множество людей A из нескольких человек может быть описано выражением вида:

A = {(1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

Приведем определение нечеткого множества, данное основателем теории нечетких множеств Л.А.Заде. Пусть х есть элемент конкретного универсального (так называемого базового) множества E. Тогда нечетким (размытым) множеством A заданным на базовом множестве E называют множество упорядоченных пар

A = {xúm A ((x)}, "x Î E,

где m A (х) - функция принадлежности , отображающая множество E в единичный интервал , т.е. m A (х): E ® .

Очевидно, что если область значений m A (х) ограничить двумя числами 0 и 1, то данное определение будет совпадать с понятием обычного (четкого) множества.

Функция принадлежности нечеткого множества может задаваться не только перечислением всех ее значений для каждого элемента базового множества, но и в виде аналитического выражения. Например, множество вещественных чисел Z очень близких к числу 2, может быть задано так:

Z = {xúm Z (x)}, "x Î R,

где m Z (x) = .

Множество же вещественных чисел Y, достаточно близких к числу 2, есть

Y = {xúm Y (x)}, "x Î R,

M Y Z (x) = .

Графическое изображение этих двух функций принадлежности дано на рис.3.9.

Определение. Нечеткое множество A называется нечетким подмножеством B , если и A и B заданы на одном и том же базовом множестве E и "x Î E: m A (x) £ m B (x), что обозначают как A Ì B .

Условия равенства двух нечетких множеств A и B , заданных на одном и том же базовом множестве E, имеет следующий вид

A = B или "х Î E: m A (x) = m B (x).

Замечание . Между разными по своей сути понятиями "нечеткости" и "вероятности" чувствуется некоторое сходство. Во-первых, эти понятия используются в задачах, где встречается неопределенность либо неточность наших знаний или же принципиальная невозможность точных предсказаний результатов решений. Во-вторых, интервалы изменения и вероятности и функции принадлежности совпадают:

и P Î и m A (x) Î .

Вместе с тем вероятность является характеристикой объективной и выводы, полученные на основе применения теории вероятностей, в принципе могут быть проверены на опыте.

Функция же принадлежности определяется субъективно, хотя обычно она отражает реальные соотношения между рассматриваемыми объектами. Об эффективности применения методов, основанных на теории нечетких множеств, обычно судят после получения конкретных результатов.

Если в теории вероятностей предполагается, что вероятность достоверного события равна единице, т.е.

то соответствующая сумма всех значений функции принадлежности может принимать любые значения от 0 до ¥.

Итак, чтобы задать нечеткое множество A необходимо определить базовое множество элементов E, и сформировать функцию принадлежности m A (х), являющуюся субъективной мерой уверенности, с которой каждый элемент x из E принадлежит данному нечеткому множеству A .

Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество - понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения 0 или 1.

Определение : нечеткое множество (a fuzzy set)

Пусть C есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество A в C определяется как упорядоченное множество пар

где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству A .

ФП приписывает каждому элементу из C значение из интервала , которое называется степенью принадлежности х к A или нечеткой мерой.

Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит A .

Определение : основа нечеткого множества (a support of a fuzzyset)

Основой нечеткого множества A является множество всех точек таких, что .

Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум C может быть дискретным или непрерывным множеством.

Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.

Типовые представления ФП

Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами {a, b, c }, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:

Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами {a,b,c,d }, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:

Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП

Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .

Рис. 2.3. Гауссовская ФП

Лингвистические переменные

Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.

Определение : лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где – имя переменной, – терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы , M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X .

Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:

(возраст) = {очень молодой , молодой , более или менее молодой , средних лет , старый , очень старый }.

Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.

Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:

x – расстояние между машинами;

y – скорость впереди едущей машины;

z – ускорение управляемого автомобиля.

ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.

Определим для нашего примера следующие универсумы:

[м], [км/час],

[км/час 2 ].

На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.

Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля

Различия между классическим и нечетким представлением множества

Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).

На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества A для данного примера.

Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A

Определим классическое представление множества A так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:

Нечеткое представление множества A показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:

Зададим теперь следующий вопрос : принадлежит ли точка м или точка м множествуA ?

С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».

Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.

С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.

Основные операции в теории нечетких множеств

Определим основные нечеткие операции следующим образом.

Определение : нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество A содержится в нечетком множестве B (или, эквивалентно, A является подмножеством B ) тогда и только тогда, когда для всех . В символьной форме:

Определение :эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств A и B определяется следующим образом:

Для каждого .

Определение :нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union).Объединение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме пишется как или A OR B или A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение :нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection).Пересечение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме записывается как , или C = A AND B , или C = A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение :нечеткое дополнение. Дополнение A (в символьной форме пишется как или ) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:

На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.

Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами

Особенности нечетких множеств

Отметим важные особенности теории нечетких множеств.

1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции , где - пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются .

Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и .

2) В классической теории множеств точка из множества A может иметь одну из двух возможностей: or . В нечеткой теории точка может принадлежать множеству A и одновременно не принадлежать A (т.е. принадлежать множеству ) с различными значениями функций принадлежности и , как показано на рис. 2.7.

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

• использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
• использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.