Существует довольно очевидная теорема: "Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)" . На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией , т.е. делением отрезка на две части . Обобщенный алгоритм выглядит так:

Пока не будет достигнута нужная точность.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд .

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции . В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции - и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое - метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента .
2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции , определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум , максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до 0" alt=" \eps >0">, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором и вычислить . Тогда можно взять .

Реализация метода на С++ и числовой пример

Решим уравнение методом половинного деления. Графическим методом находим отрезок , которому принадлежит искомый корень. Так как , то принимаем .

Ниже приведен пример программы на Си++ , которая решает поставленную задачу.

Программа 1. Корень уравнения

#include #include using namespace std; const double epsilon = 1e-2 ; double f(double x) { return 4 - exp (x) - 2 * x^ 2 ; } int main() { double a, b, c; a = 0 ; b = 2 ; while (b - a > epsilon) { c = (a + b) / 2 ; if (f(b) * f(c) < 0 ) a = c; else b = c; } cout << (a + b) / 2 << endl; return 0 ; }

Искомый корень . Вычисления проводились с точностью .

Промежуточные вычисления представлены в таблице ниже.

Метод половинного деления как метод оптимизации

Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача - поиск экстремума функции многих переменных.

Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска . В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

Запишем словесный алгоритм метода.

Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

Метод хорд

Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название "метод хорд" происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка - хорды - с осью абцисс.)

Изложение метода

Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

• для случая а):

• для случая б):

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

Метод обеспечивает быструю сходимость, если %200" alt="f(z)\cdot f""(z) > 0">, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

Комбинация метода хорд и метода половинного деления

Метод хорд можно применить в качестве "последнего штриха" после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность - это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

Метод основан на делении текущего отрезка [а , b ], где содер­жится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется минимум (максимум) в качестве следующего текущего отрезка. Экстремум локализуется путем сравнения двух значений критерия оптимальности в точках, отстоящих от середины отрезка на ε /2, где ε –погрешность решения задачи оптимизации.

Если R (x + ε /2) > R (x – ε /2), то максимум располагается на правой половине текущего отрезка [а, b ], в противном случае – на левой.

Процесс поиска завершается при достижении отрезком [а, b ] величины заданной погрешности е ε .

К недостаткам метода относится его работоспособность только для одноэкстремальных функций R (x ) (т.е. таких, которые содержат один экстремум того типа, который мы ищем в задаче), так как в других случаях при сравнении двух критериев в соседних точках невозможно правильно выбрать следующий интервал, где находится минимум (максимум).

На рис. 2 приведены три этапа метода половинного деления. Сплошными вертикальными линиями отмечены середины отрезков, а пунктирными – вычисляемые значения критерия оптимальности слева и справа на ε /2 от середин.

Рис. 2. Иллюстрация метода половинного деления: 1 – интервал, включающий в себя искомый максимум функции после первого этапа (первого деления пополам); 2, 3 – то же соответственно после второго и третьего этапов

Существует и другой вари­ант алгоритма, заключающийся в следующем. После нахожде­ния середины отрезка (например, точка с 1) в одной из половинок (допустим, в левой) находят среднюю точку (точка с 2 и, сравнивая значения функции в этих точках, определяют, в какой из половинок находится экстремум. Если R (с 1)< R (с 2), то в качестве следующего отрезка выбираем отрезок [а, с 1 ], если же R (с 1)> R (с 2), то берут новую точку в середине правой половины (точка с 3) и в ней вычисляют функцию. В зависимости от сравнения зна­чений функции в точках с 3 и с 1 выбирают новый отрезок [с 1 , b ] или [с 2 , с 3 ] и т.д.

Второй вариант метода не имеет с точки зрения эффективности принципиального отличия от первого, так как эффективность принято оценивать по наихудшему варианту (т.е. по двум вычислениям R (x ) на каждом шаге). В первом варианте метода есть одна особенность, которая его делает очень эффективным при экспериментальном отыскании экстремума (например, при автоматической настройке технических систем или при практическом поиске наилучших условий деятельности экономического объекта). Малые отклонения от текущей точки обеспечивают в процессе поиска отсутствие "шараханий", сопровождающихся резкими отклонениями состояния системы.

Алгоритм метода дихотомии для минимизации функции.

Начальный этап. Выбрать константу различимости 2ε > 0 и допустимую конечную длину интервала неопределённости l > 0. Пусть [а 1 , b 1 ] – начальный интервал неопределённости. Положить k = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Если b ­ k – a k < l , то остановиться; точка минимума принадлежит интервалу [а k , b k ]. В противном случае вычислить
и
и перейти к шагу 2.

Шаг 2. Если R(p k ) < R(q k ), положить a k +1 = a k и b k +1 = q k . В противном случае положить a k +1 = p k и b k +1 = b k . Заменить k на k + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Дана функция R (x ) = D sin(Ах B + С), где коэффициенты имеют следующие значения: А = 1,0, В = 1,0, С = 1,0, D = 1,0. Найти максимум на интервале: [-1, 2]. Ошибка задается по х: ε =0,05.

Результаты расчетов. Середина отрезка x 0 = 0,5000, значение критерия R 0 = 0,9975, значение R (0,5 – ε /2) = R (0,475) = 0,97922273, значение R (0,5 + ε /2) = R (0,525) = 0,9989513. Следо­вательно, искомый максимум лежит в правой половине отрезка, т.е. теперь отрезком является .

x 1 = 1,25000000 R 1 = 0,77807320 левый

х 2 = 0,87500000 R 2 = 0,95408578 левый

x 3 = 0,68750000 R 3 = 0,99319785 левый

x 4 = 0,59375000 R 4 = 0,99973658 левый

x 5 = 0,54687500 R 5 = 0,99971390

|х 4 – x 5 | < ε , поэтому в качестве решения можно принять лю­бое из этих значений или середину между ними.

Всего восемь раз (4·2 = 8) вычислялся критерий оптимально­сти (не считая вычислений непосредственно в середине отрезка, которые не используются в алгоритме метода).

Этот метод ещё называется методом вилки.

Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке . Рассмотрим отрезок : . Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) 0, т. е. на отрезке [х0, х1] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0+х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие f (х2) f(хгран.) 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1).

Если требуется найти корень с точностью Е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надёжна. К простому корню она сходится для любых непрерывных функций в том числе и не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости не велика; за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т.е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций.

Зато точность ответа гарантируется рис. 1.1.

Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень.

Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка отрицательное значение, а на правом - положительное:

f(a) < 0, f(b) > 0.

Возьмём среднюю точку отрезка , h=(a+b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h) 0, тогда из отрезков и выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его . По построению: f(a1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка где бы по построению f(a2)<0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков , , ,… Эти отрезки вложены друг в друга - каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

an an+ 1 < bn+ 1 bn (1.2)

f(an) < 0, f(bn) > 0

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {an}. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1:

Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:

Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {bn}, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 с2. Итак, an с1 < с2 bn, и следовательно:

с2-с1 bn - an=(b-a)/2n.

Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0.

Мы знаем, что f(an)<0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах, имеем:

f(c)=lim f(an)0 (3.2)

Аналогично, учитывая, что f(bn)0, получаем, что:

f(c)=lim f(bn) 0 (4.2)

Из (3.2) и (4.2) следует, что f(c)=0. т. е. с - корень уравнения.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки (дихотомии) является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На n-ом шаге процесса получаем:

Это двойное неравенство показывает, что число an определяет корень с недостатком, а число bn с избытком, с ошибкой не превышающей длину отрезка n=bn-an=(b-a)/2n. При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Если задана требуемая точность >0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов N, не превышающее log2[(b-a)/]: N>log2[(b-a)/].

Метод половинного деления (дихотомия)

Дихотомия применяется, когда требуется надежность счета, а скорость сходимости не имеет значения.

х n х cр2 х * х cр1 х n+1 Х

Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация метода дихотомии

Пусть дано уравнение f(x)=0 и отделен простой корень х * , то есть найден такой отрезок [х n , х n +1 ], х * принадлежит [х n , х n +1 ] и на концах интервала функция имеет значения, противоположные по знаку. Отрезок

[х n , х n +1 ] называется начальным интервалом неопределенности,потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Алгоритм метода дихотомии.

1. Вычисляют значения функции через равные интервалы значений х до смены знака, при переходе от f(x n) к f(x n +1)

2. Вычисляют среднее значение аргумента x ср и находят f(x ср).

3. Если знак f(x ср) совпадает со знаком f(x n), то в дальнейших расчетах вместо x n используют x cp . Если f(x cp) совпадает с f(x n+1), то вместо x n+1 берут x cp .

4. Интервал, в котором заключено значение корня, сужается. Если f(x cp k) ≤ 0 + ε, где ε положительное наперед заданное достаточное малое число – точность расчета, то процесс заканчивается за k итераций, при этом ширина интервала уменьшается в 2 k раз. Если f(x cp k) >

Метод имеет линейную, но безусловную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза.

Метод не применим к корням четной кратности, т.е. тогда когда, f(x)=g(x)(x-x 1) m , где x 1 корень кратности m.

Метод хорд

В основе этого метода, как и в методе дихотомии, лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеющим противоположные знаки, но он обеспечивает более быстрое нахождение корня.

x 1 * x 2 * x 3 * x 4 * x *

Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация метода хорд

Алгоритм метода хорд.

1. Вычисляют значения функции через равные интервалы значений х до смены знака при переходе от f (x n) к f (x n +1).

х * = x n – f (x n)(x n +1 - x n)/ (f (x n +1) – f (x n)) (5.1)

3. Находят значение f (x k *), которое сравнивают с известными f (x n),

f (x n +1). Если знак f(x к *) совпадает со знаком f(x n), то в дальнейших расчетах вместо x n используют x k * . Если f(x k *) совпадает с f(x n+1), то вместо x n+1 берут x k * .

4. Проверяют близость f(x k *) к нулю c заданной точностью ε. Если f(x k *) ≤ 0 + ε, то процесс заканчивается за k итераций. Если f(x k *) > 0 + ε, повторяют пп.2-3 алгоритма.

В знаменателе формулы (5.1) стоит разность значений функций. Вдали от корня она несущественна, но вблизи корня эти значения близки и малы. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счета. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень. Для простых корней это ограничение невелико, а для кратных – существенно. Можно использовать метод Гарвика. Выбирают не очень малое ε, ведут итерации до выполнения условия |x n +1 - x n | < ε и затем продолжают расчет до тех пор, пока |x n +1 - x n | убавает.

Метод Ньютона

Метод последовательных приближений, разработанный Ньютоном, используется наиболее часто среди всех итерационных алгоритмов.

Функция f(x), дважды дифференцируемая на отрезке , который содержит корень х * . При этом f(x *)=0. Для определения интервала, в котором заключен корень, в методе Ньютона не требуется находить значения функции с противоположными знаками. Вместо интерполяции по двум значениям функции будем проводить экстраполяцию с помощью касательной в данной точке.

М 0

Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Алгоритм метода:

1. Находят значение x n+1 , которое соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке x n пересекает ось х

x n+1 = x n - f(x n)/f ′(x n) (5.2)

2. Процедуру повторяют до выполнения условия близости функции к нулю с заданной точностью f(x n) ≈ ε

Быстрота сходимости метода Ньютона в большой мере зависит от выбора исходной точки. Если в процессе итераций тангенс угла наклона касательной f ′(x n) обращается в ноль, то применение метода усложняется. В случае бесконечно больших f ′′(x) метод также недостаточно эффективен. При кратности корней (условие f (x)=f ′(x)=0) метод Ньютона не обеспечивает сходимости.

Метод секущих

Одним из недостатков метода Ньютона является необходимость дифференцирования заданной функции f(x). Если нахождение производной затруднено, можно воспользоваться некоторым приближением, которое положено в основу метода секущих. Заменим производную f ′(x n) для расчета

x n+1 = x n - f(x n)/f ′(x n) разностью последовательных значений функции, отнесенных к разности последовательных значений аргумента, т.е. разделенной разностью первого порядка

F*(x n)= (f(x n)- f(x n-1))/(x n - x n-1),

x n+1 = x n - f(x n)/ F*(x n). (5.3)

Схема алгоритма остается, как и в методе Ньютона, изменяется только вид итерационной формулы (5.3).

5.6 Метод простой итерации (последовательных приближений)

Для применения этого метода уравнение f(x)=0 приводится к виду

х = g(х). Задаются начальным значением х 0 , а последующие приближения вычисляются с помощью итерационной процедуры

x n+1 = g(х n). (5.4)

Для сходимости метода необходимо выполнение условия

0< g′ (х n)<1

x

Пример

Объём понятия «человек » можно разделить на два взаимоисключающих класса: мужчины и не мужчины . Понятия «мужчины » и «не мужчины » являются противоречащими друг другу, поэтому их объёмы не пересекаются. От дихотомии следует отличать обычное деление, приводящее к тому же самому результату. Например, объём понятия «человек » можно разделить по признаку пола на мужчин и жен­щин . Но между понятиями мужчина и женщина нет логичес­кого противоречия, поэтому здесь нельзя говорить о дихотомичес­ком делении.

Преимущества и недостатки

Дихотомическое деление привлекательно своей простотой. Дей­ствительно, при дихотомии мы всегда имеем дело лишь с двумя классами, которые исчерпывают объем делимого понятия. Таким образом, дихотомичес­кое деление всегда соразмерно; члены деления исключают друг друга, так как каждый объект делимого множества попадает только в один из классов а или не а ; деление проводится по одному основа­нию - наличие или отсутствие некоторого признака. Обозначив делимое понятие буквой а и выделив в его объёме некоторый вид, скажем, b , можно разделить объем а на две части - b и не b .

Дихотомическое деление имеет недостаток: при делении объё­ма понятия на два противоречащих понятия каждый раз остаётся крайне неопределённой та его часть, к которой относится части­ца «не». Если разделить учёных на историков и не историков , то вторая группа оказывается весьма неясной. Кроме того, если в начале дихотомического деления обычно довольно легко устано­вить наличие противоречащего понятия, то по мере удаления от первой пары понятий найти его становится все труднее.

Применение

Дихотомия обычно используется как вспомогательный приём при установлении клас­сификации.

Также она известна благодаря достаточно широко используемому методу поиска, так называемому методу дихотомии . Он применяется для нахождения значений действительно-значной функции , определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум , максимум или конкретное число). Рассмотрим метод дихотомии условной одномерной оптимизации (для определённости минимизации).

Метод дихотомии

Метод дихотомии несколько схож с методом двоичного поиска , однако отличается от него критерием отбрасывания концов.

Пускай задана функция .

Разобьём мысленно заданный отрезок пополам и возьмём две симметричные относительно центра точки и так, что:

где - некоторое число в интервале

Отбросим тот из концов изначального интервала, к которому ближе оказалась одна из двух вновь поставленных точек с максимальным значением (напомним, мы ищем минимум), то есть:

Src="/pictures/wiki/files/54/6dfd1fa5bf638302d7bbb4016d0ed760.png" border="0">

Процедура повторяется пока не будет достигнута заданная точность, к примеру, пока длина отрезка не достигнет удвоенного значения заданной погрешности.

На каждой итерации приходится вычислять новые точки. Можно добиться того, чтобы на очередной итерации было необходим высчитывать лишь одну новую точку, что заметно способствовало бы оптимизации процедуры. Это достигается путём зеркального деления отрезка в золотом сечении , в этом смысле метод золотого сечения можно рассматривать, как улучшение метода дихотомии с параметром .

Литература

1. Ананий В. Левитин Глава 11. Преодоление ограничений: Метод деления пополам // [= 0-201-74395-7 Алгоритмы: введение в разработку и анализ] = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. - М.: «Вильямс» , 2006. - С. 476-480.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. пец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.
3. Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Мир, 1998.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. - 8-е изд.. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
5. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Физматлит, 2003.
6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - С. 575-576.
8. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. - Энергоатомиздат, 1972.
9. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. - М.: МИФИ, 1982.
10. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. - М.: МИФИ, 1980.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Метод дихотомии" в других словарях:

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном… … Википедия

Последовательные симплексы в методе Нелдера Мида для функции Розенброка (англ.) (вв … Википедия

Итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на… … Википедия

Может означать: Двоичный поиск метод поиска в структурах данных. Метод бисекции метод поиска корней непрерывной функции на отрезке. Метод дихотомии Разделяй и властвуй парадигма разработки алгоритмов … Википедия

Последовательные симплексы в методе Нелдера Мида для функции Розенброка (англ.) (вверху) и функции Химмельблау (англ.) (внизу) Не путать с «симплекс методом» из линейного программирования методом оптимизации линейной системы с ограничениями.… … Википедия

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Не следует путать с … Википедия

Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды. Метод хорд итерационный численный метод приближённого нахождения … Википедия

Метод дихотомии, 1) Один из методов численного решения уравнений с одним неизвестным. Пусть имеется уравнение f(x) = 0 с непрерывной на отрезке [а, b]функцией f(х), принимающей на концах отрезка значения разных знаков и имеющей внутри [а,… … Математическая энциклопедия

Стилостатистический метод анализа текста - – это применение инструментария математической статистики в области стилистики для определения типов функционирования языка в речи, закономерностей функционирования языка в разных сферах общения, типах текстов, специфики функц. стилей и… … Стилистический энциклопедический словарь русского языка