Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества. Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному). Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением, при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной.

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить 5*7*10 =350 Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

Пример. В столовой предлагают два различных первых блюда а1 и а2, три различных вторых блюда b1, b2, b3 и два вида десерта с1 и с2. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая? Решение. Пусть А – множество первых блюд, В – множество вторых блюд, а С – множество третьих блюд. По условию известно, что

Пример. "Команда космического корабля" Рассмотрим задачу о формировании команды космического корабля. Известно, что возникнет вопрос психологической совместимости. Предположим, надо составить команду из 3-х человек: командира, инженера и врача. На место командира есть четыре кандидата: a1, a2, a3, a4, на место инженера три - b1, b2, b3, на место врача три – c1, c2, c3. Проведенная проверка показала, что a1 совместим с b1, b2, c2,c3; a2 совместим с b1, b2,c1,c2,c3; a3 совместим с b1 и b2, c1, c3; a4 совместим с b1, b2, b3, c2 ; b1 не совместим с c3 ; b2 не совместим с c1 ; b3 не совместим с c2.

Расположение n различных элементов в определенном порядке называется перестановкой без повторений из n элементов. Например, на множестве из трех элементов {a,b,c} возможны следующие перестановки: abc, acb, bca, bac, cab, cba. Число различных перестановок без повторений из элементов обозначается P n и равно n!, т.е.

Таблица вариантов КБСКСБ БСКБКС СБКСКБ Дерево вариантов Правило умножения 1 полоса 3 способа 2 полоса 2 способа 3 полоса 1 способ = 6 Ответ: 6 способов Подсчет перестановок

Сочетанием без повторений из n элементов по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. Число сочетаний без повторений из элементов по равно: Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений: Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.

Задача. У одного меломана есть 6 дисков известной поп-группы, у другого 8. Сколькими способами они могут обменяться тремя дисками? Решение: Каждый меломан должен выбрать из своих дисков три, которые он будет менять. Первый может сделать это C63 способами, а второй C83 способами. Так как выбор независим, то все вариантов C63*C83. Посчитаем: C 6 3 = 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C 8 3 = 8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. Ответ: 20*56=1120.

Рассмотрим выборку с повторениями Пусть имеется выборка из n элементов, причем k элементов из них - одинаковые. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно: - число перестановок с k повторениями на множестве из n элементов Сочетание с повторениями из элементов по - неупорядоченная выборка элементов с возвращением из множества, содержащего элементов: - число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k Размещения с повторениями из элементов по - расположение различных шаров по различным ячейкам - число различных размещений с повторениями

Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА? Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: буква К повторяется 2 раза; буква О повторяется 3 раза; буква Л повторяется 2 раза буква А повторяется 1 раз. Таким образом,

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида? Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900. Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает комбинаций. Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

1. 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Курс лекций Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Экономический факультет 1
2. 2. Лекция 4 Комбинаторика 2
3. 3. Комбинаторика 3 В этой лекции мы узнаем, как подсчитывать элементы конечных множеств, удовлетворяющих определенным свойствам. Мы познакомимся с типичными ситуациями, в каждой из которых можно для упрощения расчетов использовать определенную свою формулу. Мы познакомимся также с главной областью приложения комбинаторики - расчетом вероятностей, полная теория которых изучается на втором курсе.
4. 4. Основная задача комбинаторики 4 С элементами конечных множеств можно производить различные действия: упорядочивать их, объединять в группы, отбирать подмножества по дополнительным признакам и свойствам, и т.д. При этом возникают новые, более сложные (комбинированные) множества, элементы которых тоже нужно уметь пересчитывать. . Иногда комбинаторику определяют также как науку о подсчете числа подмножеств, удовлетворяющих определенным свойствам. Предмет комбинаторики: подсчет числа способов выполнить определенные действия.
5. 5. Основные принципы комбинаторики. 5 Большинство задач комбинаторики можно решить, используя один из двух простых принципов, интуитивно очевидных, легко проверяемых на примерах, и используемых в качестве аксиом. Практически гораздо чаще применяется принцип умножения, поскольку очень часто сложные действия приходится разлагать на последовательность простых. Принцип сложения применим к ситуациям, когда есть выбор между двумя альтернативными действиями (когда два действия исключают друг друга). Принцип умножения, напротив, применяется к действиям, которые выполняются совместно (последовательно или одновременно)
6. 6. Принцип сложения 6 Принцип сложения: если действие 1 можно выполнить n способами, а действие 2 можно выполнить m способами, то сложное действие, состоящее в выполнении одного из действий 1 или 2 (но не обоих), можно выполнить n+m способами. Пример: как провести вечер: куда пойти? В кино В гости «Она» «Помпеи 3D» Миша Маша Леша Всего 2 + 3 = 5 способов провести вечер.
7. 7. Принцип умножения 7 Принцип умножения: если действие A можно выполнить n способами, а действие B можно выполнить m способами, то сложное действие, состоящее в выполнении обоих действий A и B (одновременно или последовательно) можно выполнить nm способами. В кино!!! (но с кем?) Наташа Таня Оля «Академия вампиров» «В спорте только девушки» Всего: 2*3=6 способов сходить в кино.
8. 8. Вероятность 8 Вероятность - мера уверенности в том, что некоторое событие произойдет (измеряется числом от 0 до 1). В простейшем случае вероятность вычисляется комбинаторно. Практически, вычисление всегда начинают со знаменателя, разбираются с тем, что считать действием, какие действия считать различными, вычисляют общее количество таких действий, и только после этого переходят к числителю. Разбивают сложный благоприятный исход на простейшие или стандартные, и используют принципы комбинаторики. Определение вероятности для простейшего случая равновероятных исходов – отношение числа благоприятных действий (или их исходов) к общему числу действий (их исходов): n m p 
9. 9. 9 Один из студентов каждую минуту задумывает одну из цифр (от 0 до 9), и записывает ее, а другой, находящийся в другом месте, пытается ее «принять телепатически», и также записывает (часы синхронизированы). В предположении, что телепатии не существует, какова вероятность, что задуманная цифра будет угадана правильно? Какова вероятность, что три задуманные подряд цифры будут угаданы правильно? Телепатия. Потусторонняя задача…
10. 10. Применение принципа умножения 10 ПРИМЕР: камера хранения. Для того, чтобы открыть камеру хранения, используется комбинация из 4 цифр (от 0 до 9), набираемая на 4 колесиках. а) Найти вероятность наугад открыть камеру хранения. РЕШЕНИЕ: Устанавливаем цифры на каждом из колесиков по очереди; каждый раз у нас есть 10 вариантов (цифры от 0 до 9), по принципу умножения они перемножаются: 10101010 = 10000 вариантов. Открывает дверцу из них только один, так что вероятность наудачу открыть ее равна 1/10000 = 0,0001. Довольно безнадежное занятие. Даже в простейших случаях удобно раскладывать сложные действия на простейшие, например, представляя себе, что они выполняются поочередно.
11. 11. Ценность информации 11 В результате использования дополнительной информации в сообщении перебор сократился вдвое, отсюда можно в принципе подсчитать, сколько стоит сообщенная информация, если ее можно было бы купить. Продолжение: б) Найти вероятность наугад открыть камеру хранения, если дополнительно стало известно, что все цифры на правильном номере разные. РЕШЕНИЕ: Теперь на втором колесике нужно не повторить цифру, набранную на первом, так что число вариантов сокращается до 9, далее уже две цифры становятся запрещенными, так что всего вариантов остается 8, а на последнем – уже 7 вариантов: 10987 = 5040 вариантов. Открывает дверцу по-прежнему только один, откуда вероятность открыть дверцу становится 1/5040  0,0002.
12. 12. Задачка на дом 12 1. N человек становятся случайным образом в очередь на концерт известной группы. Какова вероятность того, что два определенных человека (назовем их A и B) будут стоять рядом (и будут иметь шанс как бы случайно познакомиться). 2. N человек приглашены в гости и располагаются за круглым столом. Какова вероятность того, что те же A и B случайно окажутся на соседних местах. А и B сидели …и стояли.
13. 13. Задачка на дом 13 В ночной электричке, состоящей из 8 вагонов, едут 6 человек. При посадке каждый человек выбирает свой вагон наугад и далее в другой вагон не переходит. Найти вероятность того, что: 1. все едут в разных вагонах 2. не менее двух человек оказываются в одном вагоне. 3. все набьются в один вагон и будут дрожать вместе. Последняя электричка
14. 14. Стандартные действия комбинаторики 14 Основных правил для решения комбинаторных задач в принципе достаточно. Но практически их используют только в нестандартных задачах. Большинство же решаемых в комбинаторике задач являются типовыми, стандартными. Для них удобнее прямо использовать готовые формулы, каждая из которых ассоциируется с определенным стандартным действием. Стандартные действия комбинаторики: Перестановки Размещения Выборки Разбиения (на группы)
15. 15. Перестановки 15 Две перестановки отличаются друг от друга только порядком элеметов, все элементы у них общие. Первый элемент можно поставить на любое из n мест, следующий – на любое из (n-1) мест, и так далее. Последний элемент занимает единственное оставшееся место. Это приводит к формуле n!=n(n-1)(n-2)...1 (n-факториал). ПРИМЕР: Число перестановок 5 книг на полке равно 5!.
16. 16. Размещения 16 Два размещения отличаются друг от друга составом и порядком элементов. k nA – число размещений k элементов по n местам. Для первого элемента есть n мест, далее– (n-1) мест, и так далее. Для последнего k-го элемента остается (n–k+1) мест. Это приводит к формуле)1)...(2)(1( knnnnAk n . ("недоделанный факториал"). По сути это перестановка k элементов на n местах k
17. 17. Задачка на дом 17 Студентка садится в лифт вместе с другими 6 студентами (до этого момента они не были знакомы). Лифт идет на любой из 7 этажей (не считая нижнего). Выйдя из лифта на своем этаже, девушка заметила, что вместе с ней вышел юноша. Следует ли ей рассматривать это как нечто большее, чем случайность? А может это… .
18. 18. Задачка на дом 18 Будем считать, что день рождения наугад выбранного человека может прийтись на любой день из 365 дней в году. Какова вероятность того, что в группе из 23 человек у двух или более человек день рождения придется на один и тот же день? Гулянка по крупному.
19. 19. 19 Один человек придумал, как ему кажется, способ наверняка выиграть в рулетку. Он рассуждает так: шарик может остановиться на любом из 36 чисел: 1, 2, …36 (для простоты будем игнорировать 0). Если я буду ставить на определенное число 36 раз, я наверняка выиграю хотя бы раз. Прав ли он? Какова на самом деле вероятность хотя бы одного выигрыша? Найдите способ оценить ее приближенно без калькулятора). Утешительный приз Задачка на дом
20. 20. Выбор 20 Две выборки отличаются друг от друга только составом элементов, их порядок безразличен (поэтому в знаменателе появляется факториал числа элементов). Число способов выбора k элементов из имеющихся n элементов ввиду стандартности и широкой распространенности задачи выбора носит специальное название – число сочетаний из n элементов по k. ПРИМЕР: Число способов распределить 5 флаеров на дискотеку в компании из 7 человек равно 21 12345 345675 7    C . Число выборок, обозначаемое k nC , равно!)1)...(2)(1(k knnnn Ck n  
21. 21. Вывод формулы для числа сочетаний 21 Для получения формулы для числа выборок сводим задачу к уже изученному случаю (размещение с учетом порядка). Таким образом, мы исходим из числа размещений, но которое теперь (поскольку порядок k элементов безразличен) требуется разделить на число перестановок k элементов: !)1)...(2)(1(! k knnnn k A C k nk n   . Обратите внимание, что в числителе всего k сомножителей, столько же, сколько и в знаменателе.
22. 22. Свойство симметрии сочетаний 22 Выбранные и оставшиеся с точки зрения разбиения на группы равноправны, поэтому число способов выбрать k элементов равно числу способов оставить невыбранными n-k элементов kn n k n CC   ПРИМЕР: В задаче о распределении флаеров получаем гораздо более удобную формулу 21 12 672 7 5 7     CC .
23. 23. Вероятность для учебы 23 Каждый студент получает на экзамене 3 вопроса, случайно выбранных из 25 вопросов программы. Студент получит «5», если ответит правильно на все вопросы, «4» – только на два, «3» – только на один, и «2» - ни на один. Каковы вероятности получения пятерки, четверки, тройки и двойки? Экзаменационная ловушка.
24. 24. Математика риска 24 Лет двадцать назад в России была популярна лотерея «Спортлото», где нужно было, купив билет, зачеркнуть 6 названий видов спорта из 45. В еженедельном тираже объявлялись 6 выигрышных видов. Призовой фонд делился между угадавшими. Какова вероятность угадать три вида спорта? Все шесть? Счастливый билетик
25. 25. Выбор как разбиение на две группы 25 Можно придать формуле для сочетаний удобный для запоминания симметричный вид. Умножим числитель и знаменатель на (n-k)!, дополняющий числитель до полного факториала.)!(! ! 123)...(! 123)...()1)...(2)(1(knk n knk knknnnn     Итак,)!(! ! knk n Ck n   Симметрия поученной формулы позволяет рассматривать выбор как ситуацию разбиения на две группы (выбранные – оставшиеся) Итак, число способов),(knkPn  разбить множество, состоящее из n элементов, на две группы, первая из которых содержит k элементов, а вторая – n-k элементов, равно)!(! !),(knk n knkPn  
26. 26. Сложная выборка из двух типов элементов 26 Сложная выборка – это выборка из неоднородной совокупности, которая включает элементы двух или более типов. Чтобы составить сложную выборку, нужно сначала выбрать m элементов из M, обладающих нужным свойством, а затем отдельно выбрать n-m элементов из N-M не обладающих нужным свойством: mn MN m M CC   Вероятность такого факта равна n N mn MN m M C CC p   Пусть совокупность содержит N элементов, из которых только M обладают некоторым свойством (а значит N-M им не обладают).
27. 27. Приложение сложной выборки 27 Практически удобно представлять себе, что действия по формированию составляющих частей сложной выборки производятся отдельно, например, различными людьми В курсе теории вероятностей эта формула получит гордое имя гипергеометрического распределения. ПРИМЕР: Покупка телевизора на Митинском рынке. В ларьке имеется 10 телевизоров, из которых только 6 работают. За день продано 7 телевизоров. Найти вероятность того, что из них 4 работают. Рассчитываем по формуле сложной выборки 2 1 123 8910 4 21 56 7 10 3 4 4 6        C CC p
28. 28. Сложная выборка. Общий случай. 28 Рассмотрим теперь случай k различных типов элементов. Пусть совокупность содержит n элементов, из которых только n1 обладают свойством 1, n2 обладают свойством 2, …, nk обладают свойством k. Действуя по аналогии с случаем двух групп, и набирая в выборке элементы разных типов по отдельности, получаем k k n nnn n nnn n nn n n CCCC 11 3 21 2 1 1 ......  Прямым подсчетом можно убедиться, что это равно!!...! ! 21 knnn n 
29. 29. Разбиения на группы 29 Два разбиения отличаются друг от друга составом элементов групп, порядок элементов в группах безразличен, порядок групп существенен. Для вывода формулы для числа разбиений на группы можно пойти и другим путем: обобщить на случай k групп симметричную формулу для сочетаний. Количество способов)...,(21 kn nnnP , которыми можно разбить множество из n предметов на k различимых групп, содержащих соответственно 1n , 2n , …, kn предметов, равно!!...! ! 21 knnn n  ПРИМЕР: руководитель отдела, состоящего из 10 сотрудников, составляет график дежурств по пяти дням недели (каждый день должны дежурить два сотрудника, каждый сотрудник дежурит один день). У нас пять групп. По стандартной формуле числа разбиений получаем 10!/(2!2!2!2!2!)=1134000.
30. 30. Задачка на дом 30 На карточках складной азбуки написаны буквы: две «М», три «А», две «Т», и по одной «Е», «И» и «К». Маленький ребенок играет с карточками, прикладывая их друг к другу. Какова вероятность того, что случайно с первого раза он получит слово «МАТЕМАТИКА»? . Юный математический гений
31. 31. Задачка на дом 31 Найти вероятность того, что при вытаскивании трех карт из колоды из 52 карт получатся тройка, семерка и туз. Бедный Германн.
32. 32. Основные формулы комбинаторики. 32 Подведем итог, соберем вместе полученные результаты. Перестановки различаются только порядком элементов. Число перестановок n элементов равно n!=n(n-1)(n-2)...1 Размещения различаются составом и порядком элементов. Число размещений k элементов по n местам равно)1)...(2)(1( knnnnAk n . Выборки отличаются друг от друга составом элементов, порядок безразличен. Число выборок по k элементов из n элементов равно!)1)...(2)(1(k knnnn Ck n   Число разбиений множества из n предметов на k групп, содержащих 1n , 2n , …, kn элементов, равно k k n nnn n nn n n k kn CCC nnn n nnnP 11 2 1 1 ... 21 21 ... !!...! !),...,(  
33. 33. Конец лекции

241kb. 22.05.2011 18:33 553kb. 22.05.2011 18:33

Лекция 7-8 - комбинаторика.doc

Лекции 7-8. Комбинаторика

История

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) - раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.

Начав с анализа головоломок и азартных игр (го, кости, магические квадраты и др.), комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

• 
  для числа перестановок из n элементов,
• 
  для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями,
• 
  для числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям .

Научно-техническая революция, в частности внедрение ЭВМ во все области жизни, вызвала подлинный расцвет дискретной математики. Ее методы должны были стать достоянием не только математиков, но и научно-технических работников - программистов, инженеров, вычислителей, экономистов и других, обеспечивающих успешное функционирование, а также дальнейшую разработку и совершенствование многочисленных систем управления и сложных вычислительных устройств. И комбинаторика, будучи важной составной частью дискретной математики, одним из ее краеугольных камней, также испытала подлинный подъем.
^

Некоторые задачи комбинаторики

1. Найти конфигурацию элементов, обладающую заранее заданными свойствами.

В некоторых случаях такую конфигурацию удается найти сразу. Например, если требуется расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки, то после недолгих размышлений мы вспоминаем фигуру пятиконечной звезды.

Конечно, если задача возникла из практики, то в большинстве случаев можно быть уверенным в существовании решения. Гораздо хуже в этом отношении положение шахматиста, рассчитывающего спасительную комбинацию, или специалиста по шифрам, придумывающего новый код с заранее заданными свойствами. Они не знают заранее, существует ли то, что они ищут, не являются ли их труды поисками черной кошки в темной комнате, где кошки и в помине не было. Таким образом, возникает вторая проблема комбинаторики.

^ 2. Доказать существование или отсутствие конфигурации с заданными свойствами.

Во многих случаях, однако, бывает недостаточно найти одну конфигурацию с заданными свойствами, а требуется описать все такие конфигурации и найти их число. Например, можно потребовать найти не одно, а все возможные расположения 10 точек на 5 отрезках, при которых на каждом отрезке лежат по 4 точки. Можно доказать, что кроме пятиконечной звезды есть еще пять расположений с таким свойством.

3. Найти общее число конфигураций с заданными свойствами.

4. Описать все способы решения данной комбинаторной задачи, дать алгоритм их перечисления.

5. Из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать оптимальное по тем или иным параметрам.

Одной из классических оптимизационных задач является «задача о коммивояжере», в которой требуется наметить путь бродячего торговца, объезжающего заданные η городов, причем он должен по одному разу побывать в каждом городе и проделать весь путь за наименьшее время. Несмотря на усилия многих специалистов, до сих пор нет достаточно общего и удовлетворительного решения этой задачи.
^

Структура и методы

Комбинаторика располагает столь многообразными методами, решает столь разнообразные задачи, что трудно чётко обозначить её границы. Условно в комбинаторной теории можно выделить следующие три большие части (см. схему):

Теория конфигураций является традиционным и наиболее разработанным разделом комбинаторики. Теория конфигураций рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами.

Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.

^ Правило суммы: Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.

Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A , через A B - объединение множеств A и B , через A xB - декартово произведение множеств A и B . Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство: | A B | = | A | + | B | .

Пример: В корзине находится 5 яблок и 7 груш. Сколькими способами можно взять из корзины 1 фрукт (1 яблоко или 1 грушу)? 5+7=12
Подобное правило выполняется тогда, когда множества не пересекается. Если же множества пересекаются, то используются принципы включения-исключения . Формула для двух множеств имеет следующий вид:

^ |AB| = |A| + |B| - |AB|

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы.

Пример: В группе учатся несколько студентов, каждый из которых имеет, по крайней мере, одну специализацию. На кафедре истории древнего мира и средних веков проходят специализацию 7 человек, на кафедре отечественной истории - 5 человек. Имеют две специализации 4 человека. Сколько студентов учится в группе.

|А|=7; |В|=5; |AB|=4; следовательно, конечная мощность множества |AB|=7+5-4=8.
Формула для двух множеств имеет следующий вид:

^ |ABС| = |A| + |B| + |С| - |AB| - |AС| - |ВС| + |ABС|

Пример: В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 12 человек знают английский, 10 - французский, 8 - немецкий, 6 знают английский и французский, 4 - немецкий и английский, 2 - французский и немецкий, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только французский? Только немецкий? Сколько человек знает ровно 1 язык?

Введем следующие множества:

А – множество сотрудников, знающих английский язык;

В – множество сотрудников, знающих французский язык;

С – множество сотрудников, знающих немецкий язык.

^ |А|=12; |В|=10; |С|=8; |AB|=6; |AС|=4; |ВС|=2; |ABС|=1

Тогда конечная мощность множества |ABС| = 12+10+8-6-4-2+1=19.
В классе учатся 50 школьников, в том числе 25 мальчиков. Учатся на хорошо и отлично 30 школьников, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, среди которых 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. Учатся на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом 15 мальчиков. Обозначим через м принадлежность к мужскому полу, через у - хорошую успеваемость и через с - увлечение спортом. Подсчитаем, сколько девочек не занимаются спортом и получают время от времени тройки (а быть может, и двойки), т. е. найдем, чему равно |неМнеУнеС|.

По условию задачи имеем

^ |U|=50; |М|=25; |У|=30; |С|=28; |МУ|=16; |МС|=18; |СУ|=17; |МУС|=15
При такой постановке задачи, когда из известного множества, элементы которого обладают какими-либо свойствами, нужно найти мощность неизвестного подмножества, которые этими свойствами не обладают, используется следующая модификация формулы включения-исключения :

|неAнеBнеС| = |U |-|A|-|B|-|С|+|AB|+|AС|+|ВС|-|ABС|

Ответ задачи:

Конечная мощность множества |неМнеУнеС| = 50-25-30-28+16+18+17-15=3

^ Правило произведения: Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A , B ) можно выбрать m*k способами.

На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так:

|A хB| = | A | | B | .

Пример: В магазине продаются розы, лилии, гвоздики четырех цветов: красного, белого, розового, чайного. Сколько различных цветов по виду и цвету продается в магазине?
Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x 1 ,x 2 ,…,x n ) произвольной конечной длины n .

Пример: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза?

Шаг 1 - выбор первой цифры - 5-ю способами, т.к. 0 первым быть не может;

Шаг 2 - выбор второй цифры - 5-ю способами, т.к. цифры не повторяются, а одну мы уже выбрали;

Шаг 3 - выбор третьей цифры - 4-мя способами;

Шаг 4 - выбор четвертой цифры - 3-мя способами.

Следовательно, по правилу произведения, 5*5*4*3=300 способами можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 четырехзначные числа, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза.
Проверка:

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? Хватит ли этих наборов на всех англичан (57 млн чел.) или непременно найдутся англичане с одинаковыми именами?

Ребенок может получить либо 1, либо 2, либо 3 имени. Следовательно всего вариантов: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600

^

Размещения, сочетания, перестановки

Мы рассмотрели некоторые общие правила решения комбинаторных задач. С их помощью можно решать задачи самых разных типов. Однако как в геометрии неудобно всегда сводить решение задачи к аксиомам, а удобнее пользоваться теоремами, так и в комбинаторике вместо решения задачи по общим правилам часто удобнее пользоваться готовыми формулами. Дело в том, что некоторые типы задач встречаются значительно чаще других. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены особые названия - размещения, перестановки и сочетания. Для числа таких комбинаций выведены особые формулы, которыми и пользуются при решении различных комбинаторных задач.
^

Размещения с повторениями

размещен один из предлагаемых видов элементов, причем он может повториться в нескольких местах.

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «секретный замок ». Для запирания сейфов и автоматических камер хранения багажа применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово» или тайный набор цифр. Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы или цифры.

Пусть число букв на каждом диске равно 12, а число дисков равно 5. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающим его наудачу?
Диски представляют собой вакантные места, в каждое из которых будет размещен один из предлагаемых видов элементов, т.е. одна из двенадцати букв, причем одна и та же буква может повторяться на нескольких дисках.

Подобные конфигурации принято обозначать

Так как по условию буква на каждом диске может быть выбрана 12 способами, а дисков 5, то по правилу умножения мы можем заключить, что максимальное число комбинаций будет А 5 12 = 12*12*12*12*12*12 или 12 5 = 248 832. Значит, неудачных попыток может быть 248 831. Считая по 6 секунд на одну попытку, получаем, что для открытия сейфа понадобится более 400 часов непрерывной работы. Впрочем, обычно сейфы делают так, чтобы после первой же неудачной попытки раздавался сигнал тревоги.
Опираясь на этот пример, мы можем записать формулу:

Проверка:

1. Единицей цифровой информации в двоичной системе является байт – это «слово», состоящее из 8 бит (каждый бит – это двоичный разряд, состоящий из 0 или 1). Почему кодовая таблица для шрифтов содержит именно 256 знаков?

Количество мест для заполнения (т.е. k) по условию у на 8, видов элементов для заполнения мест (т.е. n) всего 2. Следовательно, А 8 2 = 2 8 = 256
2. Азбука Морзе предполагает кодирование символами «.» и «-». При этом самые часто встречаемые буквы обозначаются одним символом (например, Е – «.»), а менее всего встречаемые - пятью символами (например, Э – «..–..»). Сколько букв, цифр, знаков препинания закодировано одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью символами? Почему именно пять символов стало максимальной длиной для кодирования?

А 1 2 = 2 1 =2

А 2 2 = 2 2 =4

А 3 2 = 2 3 =8

А 4 2 = 2 4 =16

А 5 2 = 2 5 =32

По правилу сложения 2+4+8+16+32=62 символа можно закодировать с помощью подобных комбинаций, что достаточно для букв, цифр и знаков препинания.

^

Размещения без повторений

Подобные задачи должны содержать в условии некоторый упорядоченный набор вакантных мест, в каждое из которых будет размещен один из предлагаемых видов элементов, причем он не может повториться в нескольких местах и как только занимает определенное место, автоматически исключается из списка элементов.

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «первенство по футболу».

В первенстве страны по футболу участвовали 16 команд. Перед началом первенства был объявлен конкурс знатоков, в котором требовалось предсказать распределение медалей. Сколько различных ответов можно дать на этот вопрос?

Эта задача решается на основе правила произведения. Комплект золотых медалей может получить любая из 16 команд. Иными словами, здесь у нас 16 возможностей. Но если золотые медали уже завоеваны какой-то командой, занявшей 1 место, то остается лишь 15 претендентов на второе место и серебряные медали. Повторения здесь не может быть - одна и та же команда не может завоевать и золотые, и серебряные медали. Значит, после вручения чемпиону золотых медалей остается 15 возможностей получения серебряных медалей. Точно так же, если уже вручены и золотые, и серебряные медали, то на третье место и бронзовые медали претендует лишь одна из оставшихся 14 команд. По правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены 16*15*14 = 3 360 способами.
Во многих комбинаторных задачах, которые рассматривают комбинации без повторений, встречается подобные произведения числа. Допустим, что условие предполагает некоторое число nN. Обозначим произведение всех натуральных чисел от 1 до n как n! (читается, как «эн-факториал»). 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24; удобно считать, что 0!=1.

Число размещений из n элементов по k может быть записано в виде:

Приведенную выше задачу можно вписать в эту формулу:

А 3 16 = 16! / (16-3)! = 16! / 13! =

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16

/ 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 = после сокращения =

14*15*16 = 3360.

Проверка:

1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост!

В этом случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4. Поэтому ответ дается формулой А 4 25 = 25! / (25-4)! = 25! / 21! = 22*23*24*25.
2. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Четверо судей должны независимо друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающем их выступление в соревновании. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев победитель соревнований будет определен?

Четыре судьи могут выбрать победителя 10 4 =10000 способами. Трех различных кандидатов они назовут в А 4 10 = 5040 случаях. Поэтому совпадение хотя бы у двух судей будет в 4960 случаях.

^

Перестановки без повторений

Подобные задачи должны содержать в условии набор n-элементов, равный числу k-мест (n=k). В таком случае искомые комбинации будут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов . Такие размещения из n элементов по n называют перестановками из n элементов . На теоретико-множественном языке перестановки без повторений определяются как задачи, выявляющие всех возможные варианты создания упорядоченных множеств из исходного множества.

Число перестановок из n элементов обозначают через Ρ n . Формула для P n сразу получается из формулы для числа размещений без повторений.

Р n = A n n = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

P n = n!

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «Чайник за рулем!».

Сколько аварийных ситуаций создаст начинающий водитель, если нарушит правильную последовательность следующих операций.

1. 
   Сесть в кресло водителя.
2. 
   Пристегнуть ремень.
3. 
   Завести двигатель.
4. 
   Убедиться в отсутствии препятствия.
5. 
   Указать направление собственного движения.
6. 
   Пропустить все транспортные средства, для которых твой транспорт может стать препятствием.
7. 
   Вырулить на полосу движения.

Все n-элементы важны и их нельзя «выкинуть» из списка. Т.е. n=k. Следовательно всего возможных перестановок предложенных инструкцией операций = 7! = 5040. Одна из последовательностей правильная, следовательно количество аварийных ситуаций 5039.
Число перестановок трехэлементного множества {а,b,c} = 3! = 1*2*3 = 6. Действительно, {a,b,c};{b,c,a};{c,a,b};{a,c,b};{c,b,a};{b,a,c}
Проверка:

1. На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?

Разделение мест на «мужские» и «женские» можно провести двумя способами: Р 2 =2!=2. Мужчин можно рассадить 5! способами, также как и женщин 5! способами. Следовательно, таблички расставляются 2*5!*5! способами = 2*5! 2 способами = 28800 способами.
2. Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз?

На последнем месте может стоять либо цифра 3, либо 9, а остальные цифры можно переставлять P 3 = 3! способами. Всего получаем 12 нечетных чисел. Точно так же получаем, что количество четных чисел равно 12.

^

Перестановки с повторениями

Подобные задачи должны содержать в условии набор элементов, некоторые из которых повторяются. Обозначается как P(n 1, n 2, .., n i ) . При этом n=n 1 +n 2 +n i .

Если некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок т.к. некоторые перестановки совпадут друг с другом.

Например, в слове из 4-х неповторяющихся букв число перестановок = 4! = 24. В слове же «мама» имеется два элемента двух различных типов, т.е. 2 элемента буквы «м» и 2 элемента буквы «а». Здесь будет всего 6 перестановок: «мама», «амам», «маам», «амма», «аамм», «ммаа».
Сокращение количества перестановок происходит из-за того, что меняя повторяющиеся типы элементов, мы получаем один и тот же вариант.

Сколько перестановок можно сделать в слове «математика»?

Здесь у нас две буквы «м», три буквы «а», две буквы «т», по одной буквы «е», «и», «к», а всего 10 букв. Значит, по формуле число перестановок равно

Р (2,3,2,1,1,1) = 10! / 2!*3!*2!*1!*1!*1! = 3628800/2*6*2*1*1*1 = 3628800/24 = 151200
Проверка:

1. У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Р(2, 3, 4) = 1260.

2. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова: а) «парабола»; в) «ингредиент»?

А) Р(3, 1, 1, 1, 1, 1) = 8! / 3!*1!*1!*1!*1!*1! = 40320/6 = 6720;

Б) Р(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) = 10! / 2!*2!* 2!*1!*1!*1!*1! = 3628800/8 = 453600

3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Р(2, 2, 2, 1, 1) = 5040

4. На первые две линии шахматной доски произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (по два коня, два слона, две ладьи, ферзь и король каждого цвета). Сколькими способами можно это сделать? Сколькими способами можно расставить те же фигуры по всей доске? А если расставляются и все пешки (по 8 пешек каждого цвета)?

Р(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). На всей доске добавляется 48 пустых полей, поэтому ответ Р(48, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). С пешками ответ Р(32, 8, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1).

^

Сочетания без повторений

В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь состав частей, на которые мы ее разделили, говорят о сочетаниях. Сочетаниями из n элементов по k называют любой выбор k элементов из имеющихся различных n элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов - порядок их перечисления вообще не важен. На теоретико-множественном языке сочетания можно определить как все известные подмножества из k-элементов заданного множества из n-элементов.

Число сочетаний, которые можно составить из n элементов по k, обозначают через С k n или .

В классической задаче на размещение без повторений «первенство по футболу» нас интересовало, кто конкретно займет 1-ое, 2-ое и 3-е места. Но если нас будут интересовать только группа призеров и неважно будет, кто конкретно получил золото, серебро и бронзу (иными словами, из 16-тиэлементного множества мы должны составить все возможные 3-хэлементные множества), то вариантов распределения будет в 6 раз т.е. в 3! раз меньше. 3360 / 3! = 3360/6 = 560

1-Спартак 3-Торпедо

1-Спартак 2-Торпедо

1-Динамо 2-Спартак 3-Торпедо

1-Динамо 2-Торпедо 3-Спартак

1-Торпедо 2-Спартак

1-Торпедо 2-Динамо 3-Спартак

или

* Подобные коэффициенты еще называют биноминальными коэффициентами.
Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Прощай, высшая лига!»

В первенстве страны по футболу участвуют 16 команд, а по итогам первенства высшую лигу покидают команды, занявшие последние два места. Каково будет число различных «печальных» исходов футбольного первенства?

Для любой из двух команд не важно, какое место оно займет предпоследнее или последнее, - все равно придется перейти во второй эшелон. Поэтому из 16-тиэлементного множества, мы должны составить все возможные 2-хэлементные подмножества.

Следовательно, С 2 16 = 16! / 14! * 2! = 120
Проверка:

А) Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти различных красок? Б) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов? В) А если один из цветов должен быть красным? Г) А если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различимы)?

Так как порядок красок не играет роли, то С 3 5 = 5! / 2! * 3! = 10 способов.

Здесь порядок красок уже важен, поэтому имеем А 3 5 = 5! / 2! = 60 способов.

Если одна полоса красная, то имеем 3 * А 2 4 = 3 * 4! / 2! = 36 способов.

Если цвета могут повторяться, то, осуществляя выбор сверху вниз, имеем 5 * 4 * 4 = 80 способов.

^

Сочетания c повторениями

Подобные задачи должны содержать в условии предметы n различных типов. Сколькими способами можно сделать из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, при этом предметы одного типа могут повторяться! Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа.

Такие комбинации называют сочетаниями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают Č k n .

Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Булочная-кондитерская».

В кондитерском магазине продавались пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Č 7 4 = (7+(4-1))! / 7!*(4-1)! = 10! / 7! * 3!= С 7 10
Проверка:

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

В пособии излагаются основы комбинаторики и комбинаторных алгоритмов.
Предназначено для студентов I, II курсов математических специальностей.
Подготовлено на кафедре систем телекоммуникаций.

Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики.
Представителям самых различных специальностей и профессий приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр, объектов. Вот некоторые примеры:
задача составления расписания;
в химии: рассмотрение всевозможных связей между атомами и молекулами;
решение транспортных задач;
планы реализации какой-либо продукции;
задачи составления и декодирования шифров.

Определение 1. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных объектов, называется комбинаторикой.

Содержание
Лекция 1. Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики. Прямое произведение множеств. Правило суммы и правило произведения для конечных множеств. Принцип Дирихле. Размещения без повторений, размещения с повторениями, сочетания без повторений, сочетания с повторениями, перестановки. Мультимножество
Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики
Прямое произведение множеств
Правило суммы и правило произведения
Принцип Дирихле
Размещения, сочетания, перестановки
Мультимножество
Лекция 2. Основные тождества, связанные с числом сочетаний. Бином Ньютона. Следствия из теоремы о биноме Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
Основные тождества, связанные с числом сочетаний
Бином Ньютона
Следствия из теоремы о биноме Ньютона
Свойства биномиальных коэффициентов
Лекция 3. Треугольник Паскаля. Некоторые свойства треугольника Паскаля. Свойства шестиугольника для треугольника Паскаля. Разбиение множеств. Числа Стирлинга второго рода
Треугольник Паскаля
Некоторые свойства треугольника Паскаля
Свойства шестиугольника
Разбиения множества
Числа Стирлинга второго рода
Лекция 4. Числа Белла. Числа Стирлинга первого рода. Беззнаковое число Стирлинга первого рода
Число Белла
Числа Стирлинга первого рода
Беззнаковое число Стирлинга первого рода
Лекция 5. Формула включений и исключений. Задача о беспорядках
Формула включений и исключений
Задача о беспорядках
Лекция 6. Число элементов, обладающих ровно к свойствами. Задача о встречах. Число элементов, обладающих не менее чем к свойствами
Число элементов, обладающих ровно к свойствами
Задача о встречах
Лекция 7. Полиномиальная теорема. Методы в комбинаторном анализе. Метод производящих функций. Задача о взвешивании
Полиномиальная теорема
Методы в комбинаторном анализе. Метод производящих функций
Задача о взвешивании
Лекция 8. Производящие функции. Виды производящих функций. Свойства производящих функций. Таблица соответствий производящих функций и последовательностей
Производящие функции
Виды производящих функций
Свойства производящих функций
Таблица соответствий производящих функций и последовательностей
Лекция 9. Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Некоторые элементарные производящие функции. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и последовательность из единиц
Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Примеры использования
Некоторые элементарные производящие функции
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и последовательность из единиц
Лекция 10. Примеры нахождения производящих функций для заданной последовательности. Примеры нахождения для последовательности производящих функций
Примеры нахождения производящих функций для заданной последовательности
Примеры нахождения для последовательности производящих функций
Лекция 11. Решение однородных рекуррентных соотношений. Общий метод решения рекуррентного соотношения
Решение однородных рекуррентных соотношений
Общий метод решения рекуррентных соотношений
Лекция 12. Последовательность Фибоначчи. Примеры использования производящих функций. Вычисление корня числа через производящие функции
Последовательность Фибоначчи
Примеры использования производящих функций
Вычисление корня числа через производящие функции
Лекция 13. Числа Каталана. Последовательность Каталана и производящая функция Каталана. Алгоритм расстановки скобок
Числа Каталана
Последовательность Каталана и производящая функция Каталана
Алгоритм расстановки скобок
Лекция 14. Генерирование комбинаторных объектов. Перестановки. Сочетания. Разбиение чисел. Подмножества множеств
Перестановки
Сочетания
Разбиения чисел
Подмножества множества
Литература
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Комбинаторные алгоритмы»
1. Место дисциплины в структуре ООП
2. Цели и задачи дисциплины
3. Требования к результатам освоения дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
5. Содержание дисциплины
5.2. Лабораторный практикум
5.3. Практические занятия (семинары) не предусмотрены
6. Балльно-рейтинговая система оценки знаний, шкала оценок
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
I. Информация о преподавателях (ссылка на страницу)
II. Литература
III. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции по дискретной математике, Часть I, Комбинаторика, Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.