Таблица сложения от 10 до 20 распечатать. Как научить ребенка считать? Советуют педагоги. Стихотворения-запоминалки для изучения счета
Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.
СодержаниеСтепенная функция, y = x p
,
с показателем p
имеет следующие свойства:
(1.1)
определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2)
имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »
Корни - определение, формулы, свойства
Корень из числа x степени n - это число , возведение которого в степень n дает x :.
Здесь n = 2, 3, 4, ... - натуральное число, большее единицы.
Также можно сказать, что корень из числа x
степени n
- это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .
Квадратный корень из числа x
- это корень степени 2: .
Кубический корень из числа x
- это корень степени 3: .
Четная степень
Для четных степеней n = 2
m
,
корень определен при x ≥ 0
.
Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x
:
.
Для квадратного корня:
.
Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.
Нечетная степень
Для нечетных степеней ,
корень определен для всех x
:
;
.
Свойства и формулы корней
Корень из x
является степенной функцией:
.
При x ≥ 0
имеют место следующие формулы:
;
;
,
;
.
Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.
Частные значения
Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .
Пример. Корень из корней
Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.
y = x p при различных значениях показателя p .
Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »
Обратная функция
Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .
Если ,
то .
Производная степенной функции
Производная n-го порядка:
;
Вывод формул > > >
Интеграл от степенной функции
P ≠ - 1
;
.
Разложение в степенной ряд
При - 1
< x < 1
имеет место следующее разложение:
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного переменного z
:
f(z)
= z t
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
(r = |z|
):
z = r e i φ
.
Комплексное число t
представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q
.
Имеем:
Далее учтем, что аргумент φ
определен не однозначно:
,
Рассмотрим случай, когда q = 0
,
то есть показатель степени - действительное число, t = p
.
Тогда
.
Если p
- целое, то и kp
- целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z
,
имеет только одно значение и поэтому является однозначной.
Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.
Если p
- рациональное, то его можно представить в виде:
,
где m, n
- целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n
величин, при k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
,
дают n
различных значений kp
:
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0
+ n
имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2
π
,
имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k
мы получаем те же значения z p
,
что и для k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
.
Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.
В частности, корень степени n
имеет n
значений. В качестве примера рассмотрим корень n
- й степени действительного положительного числа z = x
.
В этом случае φ 0 = 0
, z = r = |z| = x
,
.
.
Так, для квадратного корня, n = 2
,
.
Для четных k, (- 1
)
k = 1
.
Для нечетных k, (- 1
)
k = - 1
.
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Таблицы сложения и вычитания используются для обучения детей счету или для проверки их навыков в сложении и вычитании. Для двух этих задач используются разные таблицы. Оба варианта таблиц можно скачать распечатать на этой страницу
Таблица сложения до 20 распечатать и скачать
Таблица сложения используется для обучения детей. Вертикальный крайний левый столбец и горизонтальная верхняя строка представляют собой слагаемые. Для того что бы сложить два числа, нужно найти их в вертикальном столбце и в горизонтальной строке. Пересечение образует сумму этих двух слагаемых. Например, как показано на рисунке ниже, 6 + 5 = 11.
Вы можете распечатать таблицу сложения до 20 в формате Word или PDF. Если вам нужна таблица сложения до 10, её можно легко сделать, удалив ненужные ячейки в формате Word. Если вам нужна таблица сложения больше, чем до 20, то вы можете скачать таблицу сложения в формате Excel и добавить нужные столбцы и строки копированием.
Таблица вычитания до 20 распечатать и скачать
В качестве таблицы вычитания используется та же таблица сложения, которую можно распечатать выше. Предположим нам нужно решить пример 14 - 8 = 6. Используя, таблицу вычитания, находим в поле таблицы диагональ с уменьшаемым 14. На рисунке ниже эта диагональ выделена светло-зеленым цветом. Выбираем на этой диагонали число 14, которое находится напротив вычитаемого 8. Получившееся в верхнем ряду число 6 и есть ответ.
Как вы можете увидеть, для сложения и вычитания используется одна и та же таблица сложения и вычитания, распечатать или скачать которую вы можете по ссылкам выше в разных форматах.
Таблица вычитания без ответов распечатать и скачать
Таблицы сложения и вычитания используются для обучения детей счету или для проверки их навыков в сложении и вычитании. Для двух этих задач используются разные таблицы. Оба варианта таблиц можно скачать распечатать на этой страницу
Таблица сложения до 20 распечатать и скачать
Таблица сложения используется для обучения детей. Вертикальный крайний левый столбец и горизонтальная верхняя строка представляют собой слагаемые. Для того что бы сложить два числа, нужно найти их в вертикальном столбце и в горизонтальной строке. Пересечение образует сумму этих двух слагаемых. Например, как показано на рисунке ниже, 6 + 5 = 11.
Вы можете распечатать таблицу сложения до 20 в формате Word или PDF. Если вам нужна таблица сложения до 10, её можно легко сделать, удалив ненужные ячейки в формате Word. Если вам нужна таблица сложения больше, чем до 20, то вы можете скачать таблицу сложения в формате Excel и добавить нужные столбцы и строки копированием.
Таблица вычитания до 20 распечатать и скачать
В качестве таблицы вычитания используется та же таблица сложения, которую можно распечатать выше. Предположим нам нужно решить пример 14 - 8 = 6. Используя, таблицу вычитания, находим в поле таблицы диагональ с уменьшаемым 14. На рисунке ниже эта диагональ выделена светло-зеленым цветом. Выбираем на этой диагонали число 14, которое находится напротив вычитаемого 8. Получившееся в верхнем ряду число 6 и есть ответ.
Как вы можете увидеть, для сложения и вычитания используется одна и та же таблица сложения и вычитания, распечатать или скачать которую вы можете по ссылкам выше в разных форматах.
Таблица вычитания без ответов распечатать и скачать
Добрый день, дорогие читатели! Как много усилий приходится прикладывать взрослым, чтобы научить ребенка считать в пределах 10 и 20. И не только считать, но и решать примеры, вычитать и складывать! В то же время сделать это не так сложно, как кажется на первый взгляд. Предлагаем вам нестандартные игровые методики, как научить ребенка считать примеры в пределах 20.
С чего начать?
Этап 2
Если научились пересчитывать, знакомимся с графическим изображением цифр. С этой целью используем кубики с числовыми изображениями, карточки.
Этап 3
Следующий этап очень важный: он готовит основу для быстрого счета в уме. Это изучение состава числа. Если кроха будет твердо знать, как раскладываются числа, он легко будет решать примеры на сложение и вычитание.
Изучение состава числа традиционно проводят с помощью так называемых «домиков». На бумаге в клеточку рисуете домик. На одном «этаже» всегда по 2 комнаты-клетки. Этажность дома определяется в зависимости от количества числовых пар, на которые можно разложить цифру.
Например, 4 можно разложить на 3 и 1, 2 и 2. Значит, цифра 4 живет в двухэтажном дома и т.д. Ее мы и напишем на крыше. На примере хорошо видно, как правильно составить домики для чисел 3, 4 и 5.
Расселение «квартирантов» по этажам ребенку придется запоминать наизусть. Начинайте с небольших чисел. Просите кроху внимательно посмотреть, кто с каким соседом живет, а потом «заселить» числа самостоятельно.
Когда усвоены двойка и тройка, переходите к более сложным числам. Такая методика дает наиболее твердые результаты. Проверенно на собственном опыте.
Вот вы можете скачать вот такую таблицу и использовать ее для освоения методики состава числа:
Этап 4
Когда домики пройдены, настала очередь примеров в пределах 10. В первом классе эти примеры придется решать в первом полугодии, так что лучше подготовиться заранее. Теперь останется только ставить между «поселенцами» знаки + или — , предварительно объяснив малышу их предназначение.
Сначала преподнесите сложение или вычитание в форме игры. Например, от четверки с этажа ушла единичка. Кто из соседей останется на этаже? Ответ: тройка. Такие упражнения помогут крохе быстро освоиться в математических примерах. Постепенно слова «ушел», «пришел» меняем на «плюс» и «минус».
Так мы освоили с ребенком счет в пределах 10. Как видите, методика очень проста, но для ее действия требуется время и терпение. Старайтесь заставлять кроху сначала считать в уме: письменные упражнения затормаживают мышление.
Попутно тренируйте понятия «больше-меньше» (используйте сначала предметы, разложив их по разные стороны, затем сравнивайте цифры), соседи числа (пишите ряд чисел с пропущенными цифрами и просите кроху дополнить ряд, правильно разместив соседей).
Идем дальше…
Настала пора знакомить малыша со вторым десятком. Чтобы преодолеть арифметические трудности, предлагаем следующий алгоритм занятий:
Часть 1
Вводим понятие десятка. Для этого раскладываем перед ребенком 10 кубиков и прибавляем еще один. Объясняем, что это одиннадцать. Говорим о том, что Окончание слова «дцать» обозначает «десять». Чтобы образовать цифру от 11 до 19, нужно всего лишь прибавлять число к окончанию «дцать» и ставить между ними предлог «на».
Част 2
Поскольку малыш уже знаком с понятием десятка, вводим разряд единиц и при сложении оперируем этими понятиями. Например, 13+5. Складываем сначала единицы: 3+5=8. Теперь прибавляем оставшийся десяток и получаем 18.
Часть 3
Теперь переходим к примерам на минус: действуем точно так же. Вычитаем единицы, затем прибавляем десяток.
Часть 4
Самый сложный этап – вычитание, при котором первая единица меньше второй: 13-6. В таком примере мы не можем вычесть из 3 шесть. Приходится иметь дело с десятком. Один из путей – из шести вычесть три, оставшееся число вычесть из десятка, т.е. 6-3=3, 10-3=7. После нескольких тренировок малыш сможет производить вычитание в уме.
Ребенок должен четко усвоить описанные навыки: во 2 классе это понадобится ему для решения примеров с двузначными числами.
Чтобы скрасить процесс обучения, можно привлечь различные пособия:
- кубики;
- магниты;
- картинки (обучение с картинками особенно разнообразно: их можно просто пересчитывать, использовать раскраски с примерами для закрепления навыков счета);
- любые предметы, находящиеся под рукой;
- счетные палочки;
- счеты и т.д.
Чем больше вы проявите фантазии, тем скорее заинтересуете ребенка математикой.
Мы с вами рассмотрели последовательность обучения крохи решению примеров в пределах 20 поэтапно. Если статья была вам полезна, оставьте комментарий или поделитесь статьей со своими друзьями в соц. сетях.
До скорых встреч, дорогие друзья!