Сложение и вычитание сотен. Портал образования. IX. Логическая пауза

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Содержание ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле … Решение 5а); Решение 5б); Решение 5в); Решение 5г). Заметим, что… Во всей серии повторений важно знать … Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы … ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли). ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , p , q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn (k). Решение 6 а); Решение 6 б); Решение 6 в); Решение 6 г). Теорема Бернулли позволяет … ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений … Для учителя. Источники. 08.02.2014 2

3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. Часть 3. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок. Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; б) не будет поражена; в) будет поражена хотя бы раз; г) будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Решение примера 5а) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Решение примера 5б) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Решение примера 5в) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы раз; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Решение примера 5г) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Заметим Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Во всей серии повторений важно знать В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему. Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли) Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть P n (k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда P n (k)= С n k  p k  q n- k , где р - вероятность «успеха», a q=1 - р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании. Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

ПРИМЕР 6. Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Решение 6а) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Решение 6б) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Решение 6в) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Решение 6г) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит, p = q = 0,5; Р 7 (3) = С 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = С 7 3 ∙ 0,5 7 . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Теорема Бернулли позволяет … Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n , составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n , где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А). Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность | k/n - Р(А)| приближенного равенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологических опросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости. Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 23

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§54. Случайные события и их вероятности3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Слайд 2
Содержание
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле …Решение 5а);Решение 5б);Решение 5в);Решение 5г).Заметим, что…Во всей серии повторений важно знать …Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы…ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли).
ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, p, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).Решение 6а);Решение 6б);Решение 6в);Решение 6г). Теорема Бернулли позволяет…ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений…Для учителя.Источники.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 3
3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.
Часть 3.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 4
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок.Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:а) будет поражена трижды;б) не будет поражена;в) будет поражена хотя бы раз;г) будет поражена ровно один раз.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 5
Решение примера 5а)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды;
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 6
Решение примера 5б)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:б) не будет поражена;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 7
Решение примера 5в)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:в) будет поражена хотя бы раз;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 8
Решение примера 5г)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:г) будет поражена ровно один раз.Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 9
Заметим
Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 10
Во всей серии повторений важно знать
В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 11
Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы
Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли)
Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть Pn(k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда Pn(k)= Сnk pk qn-k, где р - вероятность «успеха», a q=1-р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании.Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 13
ПРИМЕР 6.
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 14
Решение 6а)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 15
Решение 6б)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 16
Решение 6в)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 17
Решение 6г)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит,p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 18
Теорема Бернулли позволяет…
Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n, составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n, где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А).Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность |k/n- Р(А)| приближенногоравенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологическихопросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости.Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 20
Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 21
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 22
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 23
Источники
Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014
*

Проводится серия независимых испытаний, в
каждом из которых возможно 2 исхода,
которые условно назовем Успех и Неудача.
Например, студент сдает 4 экзамена, в каждом
из которых возможно 2 исхода Успех: студент
сдал экзамен и Неудача: не сдал.

Вероятность Успеха в каждом испытании равна
p. Вероятность Неудачи равна q=1-p.
Требуется найти вероятность того, что в серии
из n испытаний успех наступит m раз
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
В каждом случае Успех происходит m раз, а
Неудача (n-m) раз.
Число
всех
комбинаций
равно
числу
способов из n испытаний выбрать те m, в
которых был Успех, т.е. C m
n

Вероятность каждой такой комбинации по
теореме
об
умножении
вероятностей
составит Pmqn-m.
Так как эти комбинации несовместны, то
искомая вероятность события Bm будет
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Известно, если монета упадет орлом, студент
идет в кино, если монета упадет решкой

студентов. Какова вероятность, что
1) трое из них окажутся на лекции
2) на лекции окажется не меньше 3 студентов
2) хотя бы один из студентов попадет на лекцию?

1) В данной задаче проводится серия из n=5
независимых испытаний. Назовем Успехом
поход на лекцию (выпадение решки) и
Неудачей – поход в кино (выпадение герба).
p=q=1/2.
По формуле Бернулли находим вероятность того,
что при 5 бросаниях монеты трижды случится
успех:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросаниях
хотя бы один раз монета выпадет решкой,
перейдем к вероятности противоположного
события - монета все 5 раз выпадет гербом:
Р5 (0).
Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р5(0).
По формуле Бернулли:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тогда вероятность искомого события составит
P 1 0.03125 0,96875

Бернулли
студент идет
в кино, если монета упадет решкой – студент идет на
лекцию. Монету бросило 5 студентов. Каково наиболее
вероятное число студентов, идущих на лекцию?
Вероятность
выигрыша по 1 билету равна 0,2. Каково наиболее
вероятное число выигравших билетов?

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли

np q k np p

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Формула для наиболее вероятного числа успехов
np q k np p
Если np-q– целое число, то в этом интервале лежит 2
целых числа. Оба равновероятны.
Если np-q – нецелое число, то в этом интервале лежит 1
целое число

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,

– студент идет на лекцию. Монету бросило 5

студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
вероятность, Pn(k)
Вероятности числа студентов, посетивших
лекцию
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
число студентов, k
4
5

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.

билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
Вероятности числа выигрышных билетов
вероятность, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
число билетов, k
7
8
9
10

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли

Заключено 10 договоров

выплатить страховую сумму

одному из договоров

чем по трем договорам
г) найти наиболее вероятное число договоров, по
которым придется выплатить страховую сумму

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
а) Найти вероятность того, что по трем придется
выплатить страховую сумму
0,201327

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
б) Страховую сумму не придется выплачивать ни по
одному из договоров
0,107374

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
в) страховую сумму придется выплатить не более,
чем по трем договорам
0,753297

Если n велико, то использование формулы
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
затруднительно
Поэтому применяются приближенные формулы

Теорема: Если вероятность p наступления события А
в каждом испытании близка к нулю,
а число независимых испытаний n достаточно велико,
то вероятность Pn(m) того, что в n независимых испытаниях
событие А наступит m раз, приближенно равна:
Pn (m)
m
m!
e
где λ=np
Эта формула называется формулой Пуассона (закон редких событий)

Pn (m)
m
m!
e , np
Обычно приближенную формулу Пуассона применяют,
когда p<0,1, а npq<10.

Пример Пусть известно, что при изготовлении некоторого препарата
брак (количество упаковок, не соответствующих стандарту)
составляет 0,2%. Оценить приближенно вероятность того, что
серди 1000 наугад выбранных упаковок окажутся три упаковки,
не соответствующие стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e ,
np

связано не более 5 договоров.

Пример В среднем по 1 % договоров страховая компания
выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из
100 договоров с наступлением страхового случая будет
связано не более 5 договоров.