МЕТОД ИНВАРИАНТА ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Остонов К.

(Самаркандский государственный университет)

При решении некоторых математических задач применяется совокупность преобразований искомого объекта и требуется, используя данные преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью перебора вариантов в многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Таким математическим методом решения таких задач считается метод инвариант. Прежде всего определим что такое инвариант?

Определение 1. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях.

К примеру, инвариантом могут быть число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое.

Свойство 1 . Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого.

Во многих математических задачах инвариантом считаются четность (нечетность) чисел и остаток от деления.

Здесь прежде всего основывается на определения четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел имеющие “разную четность”, а также на свойство о том, что при прибавлении единицы четность чисел изменяется. Использование принципа четности и нечетности требует применение следующих утверждений:

Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение. Предлагается выполнить данную операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), отмечается закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (- 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+ 1).

Задача 4. Имеется набор чисел Данный набор чисел меняется на тройку чисел:
,
,
. Дан набор чисел 2016, 2018, 2019. Можно ли из него получить набор из чисел 2017, 2018, 2019?

Решение. Ответ: нельзя. Так как
и
+
+
равны, а сумма 2016+ 2018+ 2019 и сумма 2017+ 2018+ 2019 различны.

Задача 5. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение. Ответ: нет. Пусть и
– полученные числа, S(a ) и S(b ) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a ) + S(b ) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.

Задача 6. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.

Задача 7. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 - 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.

Решения задач головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснован-ностью выводов, которые требует знание на простейших свойств арифме-тических операций сложения и вычитания

Здесь действует следующие основные правила четности:

Сумма четных слагаемых - четна.

Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.

Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Задача 8 . Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.

Задача 9. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 10 . .Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

Задача 11 . Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2? Ответ: нет, число 625 не делится на2.

Задача 12 . Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог? Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

Задача 13 . Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

Задача 14 . Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий? Ответ: нет, 15х15 нечетно.

Задача 15 . Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333? Ответ: нет, произведение должно быть четно, т.к. один из множителей четное число.

В заключении можно сказать, что применение идеи четности и нечетности позволяет учащимся опровержения тех фактов о которых спрашивается, и понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить почему именно этого не может быть. Если он говорит: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых задач на четность и нечетность может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу.

Литература

Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001.

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. - М.: Просвещение, 2003.

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2004.

4. Медников Л.Е.Четность.-М.:МЦНМО,2009.

5. Бабич О.А. Сценарий внеурочного занятия по математике(в рамках предметной лаборатории).7 класс.«Инвариант»,г.Холмск, 2015.

6. www.strategy48.ru/sites/default/files/fomina1.pdf

Аннотация

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач – метод инварианта, основанной на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Ключевые слова : инвариант, задача, идея, четность, число, правила, закномерность.

Продолжаем знакомство с аналитическими способами решения сложных задач с параметрами, предлагающихся на различных пробниках и в настоящих вариантах ЕГЭ. В сегодняшнем материале будет рассмотрена новая группа задач, связанных с поиском значений параметра(ов), при которых имеется единственное решение задачи. Слово « единственное» в данной теме является ключевым. Один из самых распространённых методов решения таких задач – так называемый метод симметричных корней или, более научно, метод инвариантностей .

Типичные формулировки таких задач следующие: а , при которых система уравнений имеет единственное решение.» Или: «Найдите все значения параметра а , при которых уравнение имеет единственный корень.»

Итак, пора познакомиться с инвариантностью. Что это за понятие? В переводе на русский язык слово «инвариантность» означает «неизменяемость» . Неизменяемость чего-то по отношению к чему-то.)

В математике под инвариантностью понимается неизменяемость каких-либо выражений с переменными или функций по отношению к каким-либо преобразованиям над этими самыми переменными . Это может быть замена одной переменной на другую, смена знака и т.п. На словах, быть может, звучит не совсем понятно, но на деле всё гораздо проще.

Рассмотрим простой пример. Все мы с начальной школы знаем (я верю!) переместительное свойство сложения двух чисел:

a + b = b + a .

Кто бы спорил, верно? От перестановки слагаемых сумма не меняется.) По-научному этот факт означает, что выражение a + b инвариантно относительно замены а на b и b на а. Можно сколько угодно менять буквы местами, а суть всего выражения от наших перестановок не изменится.)

Другой классический пример инвариантности – чётность . Если функция f(x) чётная, то, как мы знаем,

F(-x) = f(x),

И тогда можно сказать, что функция f(x) инвариантна относительно замены x на – x .

Посмотрим на инвариантность в жизни?

Допустим у нас есть вот такое крутое уравнение:

x + y = 10

Как нетрудно заметить, решений у него бесконечно много. Это, например, пары чисел (1;9), (5;5), (0;10), (-37;47), ну и так далее, можно писать до посинения.) Зачем, спрашивается? Пока – незачем. Бестолковое занятие, прямо скажем. Но, поскольку, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется, все эти решения объединяет одна важная особенность: если какая-то пара чисел (x 0 ; y 0) удовлетворяет данному уравнению, то автоматически и пара чисел (y 0 ; x 0) также обязательно ему удовлетворяет. Или в таких случаях говорят, что уравнение

x + y=10

инвариантно относительно замены x на y и y на x . Например, если пара (1;9) – решение, то автоматически и (9;1) – тоже решение. Понятно, я думаю.)

Кто умеет решать системы и в курсе, как раскрываются модули, тот без труда получит восемь её решений. Это пары:

(1; 2), (2; 1), (-1; 2), (2; -1), (1; -2), (-2; 1), (-1; -2); (-2; -1).

Чем красива эта система? А тем, что она обладает сразу тремя типами инвариантностей!

Смотрите сами.

Во-первых, суть системы не изменится от замены x на y и y на x . Это значит, что, помимо пары (x 0 ; y 0), система имеет своим решением и пару (y 0 ; x 0). Например, это пары (1; 2) и (2; 1) или (-1; -2) и (-2; -1). И так далее.

Во-вторых, квадрат и модуль - чётные функции. Это значит, что суть системы не изменится от замены, например, x на -х . Поэтому, помимо пары (x 0 ; y 0) решением системы будет являться и пара (-x 0 ; y 0). Что выражается, например, парами (1; 2) и (-1; 2). Или (2; 1) и (-2; 1).

То же самое можно сказать и про переменную игрек: суть системы не изменяется от замены y на -y , так как квадрат и модуль сжигают минус. И, помимо пары (x 0 ; y 0), решением нашей системы будет и пара (x 0 ; -y 0). Например пары (1; 2) и (1; -2).

Идея ясна?

А теперь представим, что у нас есть какая-нибудь ооочень страшная система. И мы каким-то чудом установили, что эта система инвариантна относительно, скажем, замены x на y. При этом в задаче требуется, чтобы решение было единственным . Тогда обязательно должно выполняться равенство x = y . То есть, таким единственным решением может быть только пара чисел (x 0 ; x 0) (или (y 0 ; y 0), что в данном случае одно и то же).

И теперь во всей задаче мы всюду можем смело заменить игрек на икс (или наоборот) и перейти к одной переменной, что, скорее всего, сильно упростит дальнейшие выкладки.)

Или если в какой-то задаче аргумент x всюду стоит под знаком чётной функции – квадрата, модуля, косинуса и т.п., а при этом требуется, чтобы решение задачи было единственным , то это будет возможно только в случае, когда

x = - x ,

То есть,

x = 0 .

Почему? Да потому, что при всех остальных x, отличных от нуля, число –x автоматически тоже будет решением, т.е. задача заведомо будет иметь более одного решения . И теперь можно подставить x = 0 в исходную задачу и существенно упростить её. Таким образом, в случае чётности имеет место так называемая симметрия относительно нуля .

Но симметрия бывает не только относительно нуля. Если, скажем, уравнение не меняется относительно замены x на 2- x и должно иметь единственный корень, то обязательно должно выполняться равенство

x = 2 – x

Или

x = 1.

То есть, этим единственным корнем может быть только единица. И теперьуже можно подставить x = 1 в исходное уравнение и определить все значения параметра, при которых единица является корнем.

А бывают и менее очевидные инвариантности. Например, относительно замены x на 1/x, откуда кандидатами на единственное решение могут быть только числа ±1. И так далее. Поиск таких закономерностей – порой процесс творческий и весьма интересный, и задачи такого типа предназначены для претендентов на высокие баллы.)

Сам процесс решения таких задач состоит из четырёх ключевых шагов.

1) Осмотр задачи и выявление инвариантных конструкций. Например, выражения x и -x , y и y-1 и т.п.

2) Нахождение решений-кандидатов на единственность. Делается это путём приравнивания этих самых инвариантных конструкций друг другу и решения получившегося уравнения.

3) Подстановка решений-кандидатов в исходную задачу и поиск соответствующих этим решениям значений параметра.

4) Проверка каждого найденных значений параметра на удовлетворение условий задачи.

Четвёртый шаг очень (ОЧЕНЬ! ) важен в решении таких задач! Пояснения - ниже. На примерах.

Ну ладно, длинное вступительное повествование закончено, перейдём теперь к конкретным задачам (в т.ч. и из ЕГЭ) и будем решать их по мере возрастания сложности. Начнём с малого - с уравнений. :)

Пример 1

Итак, речь идёт о единственном корне. Это явный призыв поискать в уравнении инвариантные конструкции.)

От икса зависит только левая часть. Выпишем её отдельно:

3 х + 3 2-х .

А теперь рассуждаем примерно так:

«У нас слева стоит сумма двух показательных выражений. Основания у них одинаковые – тройка. Что очень хорошо.) А вот показатели – разные. «Икс» и «два минус икс». Но! Если в первом слагаемом показатель х заменить на 2-х , а во втором – наоборот, 2-х заменить на х , то слагаемые просто поменяются местами, а суть всего выражения при этом не изменится.»

Совершенно верно! Данное уравнение инвариантно относительно замены х на 2-х ! Другими словами, если какое-то число х 0 является корнем этого уравнения, то автоматически и число 2-х 0 также будет его корнем.)

У нас же, по условию, корень должен быть единственным. Поэтому это возможно в том и только в том случае, когда

х 0 = 2-х 0

Или

Х 0 = 1.

Здесь выявлена так называемая симметрия относительно единицы .

Это означает, что если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только единица . И теперь уже можно подставить х = 1 в исходное уравнение и определить, при каких же значениях параметра а оно будет выполняться. Подставляем:

Решаем данное квадратное уравнение. Проще всего по теореме Виета:

Получили два значения параметра – единицу и пятёрку. Но (внимание!) это пока что ещё не ответ , а лишь два возможных кандидата на ответ.) Теперь нам ещё предстоит сделать последний шаг - проверить каждое значение параметра а на выполнение условия единственности корня.

Специально акцентирую внимание на этом последнем шаге решения. Пропускать его ни в коем случае нельзя. Почему?

Казалось бы, всё классно: параметры найдены, и на этом решение задачи следовало бы закончить и записать ответ. Но… Вынужден открыть горькую правду. Всё дело в том, что найденные на третьем шаге значения параметра представляют собой лишь так называемое необходимое условие единственности решения. Но, к сожалению, не достаточное! Поясняю.

Найденные два числа (1 и 5) - это значения параметра, необходимые для того, чтобы единица только лишь была корнем данного уравнения . И всё! Единственный это корень будет или нет – совершенно не факт!

Поэтому последним (и обязательным!) шагом решения является проверка достаточности . Делается это так. Берётся каждое из найденных значений параметра и подставляется в исходную задачу. После чего решаем исходную задачу для каждого такого кандидата и устанавливаем, сколько решений в каждом случае получается. Тех кандидатов, при которых задача имеет более одного решения, безжалостно отсеиваем.)

Следует сказать, что последний шаг в подобных задачах зачастую наиболее трудоёмкий, потому что далеко не всегда при этом получаются уравнения и системы, решаемые стандартными алгебраическими преобразованиями – разложением на множители, приведением подобных, формулами тригонометрии, логарифмов и т.п. А требующие порой значительной изобретательности и искусства, я бы даже сказал. В чём мы лично убедимся на дальнейших примерах.)

Поэтому берём сейчас наши найденные значения параметра и подставляем в исходное уравнение .

Начнём с а = 1 . Просто берём и подставляем в уравнение уже вместо «а » (а не икс!) единичку:

По правилам действий со степенями:

Перепишем наше уравнение с учётом данного факта:

Умножим обе части на знаменатель 3 х (это вполне безобидно, поскольку выражение 3 х положительно при любом x и никогда не равно нулю) и перенесём всё влево:

Получили квадратное уравнение относительно 3 х .

Здесь даже не нужно делать замену 3 х = t , а достаточно заметить, что слева стоит полный квадрат разности:

Значит,

Итак, при a = 1 исходное уравнение действительно имеет своим единственным корнем единицу. Значит, a = 1 нас полностью устраивает и идёт в ответ.

Теперь разбираемся с пятёркой a = 5 . Берём и подставляем в исходное уравнение пятёрку вместо a:

Получили уравнение, в точности эквивалентное случаю a = 1 , имеющее, как уже установлено, единственный корень единицу. Значит, пятёрка нас также устраивает: a = 5 .

Итак, мы полностью обосновали, что оба найденных значения параметра удовлетворяют условию достаточности, т.е. исходное уравнение действительно имеет единственный корень, и этот корень x = 1. И вот теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.)

Ответ: a=1; a=5 .

Кстати, эту же задачу можно, конечно же, решить и через упомянутую выше замену переменной 3 х = t , выйти на квадратное (уже относительно t) уравнение с параметром и составить условие единственности корня. Какое? Конечно же, равенство нулю дискриминанта. ) Но, поскольку темой данного урока является инвариантность , то и решили мы её, используя именно инвариантность.) Всё же хорошо иметь несколько способов решения одной и той же задачи, согласитесь.)

Здесь проверка достаточности никак не сказалась на ответе. Повезло, хороший пример.) Но, ещё раз повторю, что этот шаг является обязательной частью решения таких задач. На примерах ниже мы воочию в этом убедимся.)

Пример 2

Здесь в нагрузку добавились ненавистные многими модули, но и мы тоже поднялись на следующий уровень.) Поскольку в задаче снова речь идёт о единственном корне, поищем инвариантности. Замечаем, что икс везде стоит внутри чётных функций – либо под модулем, либо в квадрате.

Напрашивается чётность. То есть, инвариантность относительно х и –х.)

Ну, с x 2 всё ясно – тут чётность очевидна. А вот с суммой модулей, стоящей в правой части, всё не так очевидно. Попробуем в выражение

Вместо «икс» подставить «минус икс» и посмотрим, что из этого выйдет:

Как известно, модуль – тоже функция чётная и «сжигает» минус:

Итак, что мы видим? Мы видим, что от замены x на –x правая часть уравнения также не изменилась (просто модули поменялись местами:)). А это значит, что уравнение действительно инвариантно относительно х и –х . И, если оно имеет какой-то корень х 0 , то и число –х 0 автоматически также будет корнем этого уравнения.

Поэтому для единственности эти два корня должны совпадать , т.е. необходимо выполнение условия

Значит, если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только ноль. Подставляем число 0 в исходное уравнение вместо икса:

Для дальнейших упрощений воспользуемся чётностью квадрата и модуля:

Перепишем наше уравнение с учётом этих фактов:

Выносим один модуль за скобку:

Итак, получены три кандидата на ответ. При этих значениях параметра a исходное уравнение обязательно будет иметь одним из своих корней число 0 . А вот будет ли число 0 единственным корнем или нет, нам и предстоит сейчас проверить. Проверяем теперь достаточность: устраиваем нашим кандидатам конкурсный отбор. :)

Порядок здесь роли не играет. Давайте начнём с четвёрки: a = 4 . Подставляем вместо а в исходное уравнение четвёрку:

Все четвёрки благополучно посокращались и осталось лишь:

x 2 = |x| + |x| или x 2 - 2|x| = 0

Снова заменяем x 2 на |x| 2 и выносим один модуль за скобку:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Итак, что мы видим? Мы видим, что при a = 4 наше уравнение имеет не только корень x = 0 , но и ещё два корня – два и минус два! О чём это говорит? О том, что при a = 4 уравнение имеет более одного корня (а именно – целых три) . Стало быть, первый кандидат a = 4 не прошёл наш кастинг, поэтому с треском вылетает из дальнейшей борьбы и в ответ не идёт. :)

Эстафета передаётся следующему претенденту a = 6. Подставляем в наше уравнение шестёрку вместо параметра a . Получаем:

Получили типовое уравнение с модулями, решаемое путём раскрытия модулей по промежуткам. Предполагается, что народ, интересующийся нестандартными задачами с параметрами, решать такие уравнения уже умеет, поэтому здесь я опущу подробное описание решения этого уравнения (что, как, зачем и почему) и оформлю его достаточно сжато.

Как обычно, разбиваем числовую ось на промежутки, границами которых являются нули подмодульных выражений. В нашем случае это 2 и -2.

Раскроем модули на каждом промежутке и для наглядности подпишем их на рисунке.

1) x ≤ -2 . Оба модуля раскрываются со знаком «минус»:

Тогда имеем следующее:

Очевидно, левая часть положительна при любых икс, а значит, данное уравнение действительных корней не имеет. Итак, на интервале (-∞; -2] корней у нашего уравнения нет.

2) -2 < x < 2 . В этом случае первый модуль раскрывается по-прежнему с минусом, а вот второй - уже с плюсом:

В этом случае наше уравнение станет таким:

Ноль принадлежит рассматриваемому интервалу (-2; 2) и, стало быть, является первым корнем нашего уравнения.

И, наконец, на очереди третий случай.

3) x ≥ 2 . В этом случае оба модуля раскрываются с плюсом:

Тогда

Понятно, что левая часть всегда положительна, а значит, как и в первом случае, корней при x ≥ 2 у нашего уравнения также нет.

Итак, все случаи разобраны, и единственным корнем нашего уравнения является x = 0 .

А теперь вспоминаем, что это уравнение мы получили и решили для a = 6 . А это значит, что при a = 6 исходное уравнение действительно имеет единственный корень x = 0, а других корней, кроме нуля, не имеет (мы только что это доказали). Всё, a = 6 нас полностью устраивает, и шестёрка пошла прямиком в ответ.)

Третий пошёл!) Подставляем теперь a = 2 :

Кандидата a = 2 можно сразу принять на работу в ответ без предварительного собеседования решения полученного уравнения. Почему? А потому, что, если взглянуть на получившееся уравнение, то можно увидеть, что оно отличается от уравнения, полученного для a = 6 только порядком слагаемых в правой части. То есть, по своей сути – ничем .) И, ясное дело, оно также имеет своим единственным корнем число 0.

Итак, a = 2 тоже подходит.)

Всё, задача полностью решена! :)

Ответ: a = 2; a = 6.

Так, с уравнениями более-менее потренировались. Двигаемся на следующий уровень и переходим теперь к системам.)

Пример 3

«Так-с… Модуль, тригонометрия – всё намешано в одну кучу, что как-то не особо обнадёживает. Можно, конечно, напрямую выразить из первого уравнения игрек

и подставить во второе, только что это даст? Всю эту белиберду ведь ещё и в квадрат возводить придётся!

Ну, хорошо. Подставляем теперь всё это барахло во второе уравнение вместо «игрек квадрат»:

И что тут можно сделать? О-па! Да тут же основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1 , которое можно сократить с единичкой справа.)

Останется:

Ну, а потом что? Можно левую часть разложить на множители, отправив, к примеру, одну из скобок за скобки (да простит меня русский язык за тавтологию). Но что-то уж больно запутанно получается… Не факт, что удастся добраться до истины, совсем не факт… Стоп! Но у нас же говорится о единственном решении! А может, тут тоже есть что-то симметричное или инвариантное, что сделает решение куда проще?»

Немного присмотревшись к системе, можно снова заметить, что икс везде тусуется внутри чётных функций – модуль, косинус, квадрат синуса....

А это означает, что вместе с какой-то парой (x 0 ; y 0) данная система автоматически будет иметь своим решением и пару (-x 0 ; y 0) . Что при требовании единственности решения означает, что

Получили два необходимых значения параметра a . Необходимых для чего? Для того, чтобы пара чисел (0; y 0 ) была решением нашей системы . И не более того. Сколько этих решений окажется на самом деле, ещё непонятно. Что ж, снова тестируем наших кандидатов, подставляя каждого в исходную систему.)

Итак, проверяем a = 0 .

Ну,и что тут видно? Видно, что второе уравнение, после подстановки в него y = -cos x из первого уравнения, благополучно превратилось в основное тригонометрическое тождество , верное при любых значениях икса. О чём это говорит? Да! Система имеет бесконечно много решений : какой бы икс мы ни взяли, по нему всегда можно будет определить игрек из первого уравнения, а второе уравнение будет выполняться автоматически. Это значит, что при a = 0 наша система имеет бесконечно много решений . То есть, a = 0 нас заведомо не устраивает . Отметаем этого кандидата.)

Следующий клиент, a = 2 .

Здесь уже так просто не выкрутиться (а я предупреждал, что проверка достаточности – очень часто самая сложная часть решения задач). В таких нестандартных ситуациях, когда в уравнении слева и справа стоят какие-то разнородные (и обычно ограниченные) конструкции (в нашем случае это модуль и косинус), чаще всего применяется метод оценок или, более научно и красиво, метод мажорант . Что ж попробуем оценить каждое из уравнений.

Ну, во-первых, про модуль мы знаем, что он всегда неотрицателен :

Значит, про левую часть первого уравнения можно сказать следующее:

Итак, левая часть первого уравнения в любом случае не меньше двойки .

Что ещё в первом уравнении можно оценить? Ну, очевидно, косинус:

.

А вот всю правую часть первого уравнения мы пока оценить не можем: у нас ещё нет никакого ограничения на игрек. Ничего, сейчас получим.)

Для этого переключимся на второе уравнение:

Смотрим на него и прикидываем: слева стоит сумма квадратов – двух неотрицательных слагаемых. И эта сумма квадратов даёт единицу.

А теперь подумаем: какие такие два неотрицательных числа в сумме могут давать единицу? Как нетрудно догадаться, это могут быть либо какие-то дроби от нуля до единицы (например, 0,5 или 1/3), либо же когда одно из слагаемых равно в точности нулю, а другое – в точности единице. Значит, по-любому

0 ≤ sin 2 x ≤ 1 и 0 ≤ y 2 ≤ 1 .

Раз 0 ≤ y 2 ≤ 1 , то тогда про сам игрек можно сказать, что -1 ≤ y ≤ 1 .

Итак, мы установили ограничения на косинус и на игрек. Они таковы:

-1 ≤ cos x ≤ 1 ;

-1 ≤ y ≤ 1 .

А это значит, что их сумма (т.е. вся правая часть первого уравнения) ограничена вот так:

-2 ≤ y + cos x ≤ 2 .

А теперь смотрим на первое уравнение системы

И на наши ограничения.

Для левой части: 2(|x|+1) ≥ 2 , т.е. левая часть не меньше двойки .

Для правой части: -2 ≤ y + cos x ≤ 2 , т.е. правая часть не больше двойки .

Как вы думаете, когда возможно равенство обеих частей уравнения? Да! Когда каждая из них одновременно в точности равна двойке !

Значит, первое уравнение системы распадается на два условия:

Вместе со вторым уравнением системы получим:

Нетрудно убедиться (а это достаточно просто), что единственным решением этой системы (а значит, и исходной) является пара чисел (0; 1). Это значит, что значение параметра a = 2 нас полностью устраивает. Всё, задача полностью решена, можно записывать окончательный ответ.

Ответ: a = 2.

Кстати, стандартный способ подстановки (размышления синим цветом в самом начале решения этого примера), который был нами прерван, здесь со скрипом, но тоже действует.) Кому интересно, попробуйте довести решение до конца, продолжив разложение на множители и приравняв каждый к нулю. :) А вот следующий пример уже куда серьёзнее будет.

Пример 4

Уже при первом взгляде на систему видно, что ничего никуда не преобразуется, переменные друг через друга «красиво» не выражаются – ни y через x , ни x через y . Значит, стандартные приёмы не катят. Но! Переменная икс у нас снова везде стоит под модулем или в квадрате, т.е. под чётными функциями! А это означает, что единственным решением данной системы может быть только пара вида (0; y 0 ) . Почему это именно так, объяснять, думаю, уже не нужно.) Если всё же непонятно, просмотрите ещё раз хотя бы предыдущий пример.

При подстановке x = 0 вся наша термоядерная система существенно упрощается:

Если y = 1 , то: Если y = -1 , то:

3 = 5·1 - 5a 3 = 5·(-1) - 5a

5a = 2 5a = -8

a = 2/5 a = -8/5

Итак, наши кандидаты – это две пятых и минус восемь пятых. Всего два.) Это - необходимые значения параметра «a » для того, чтобы пара (0; y ) была одним из решений исходной системы . Теперь, как водится, проверяем достаточность, т.е. чтобы наша пара (0; y) была не просто одним из решений системы, а единственным её решением.

Поехали, подставляем в систему a = 2/5. В этом случае вся система примет вид:

В первом уравнении я, во-первых, сократил двойки, а во-вторых, все члены с пятёркой собрал слева, а с тройкой – справа. Зачем – станет ясно ниже.)

«Перед нами страшная система, которую как-то необходимо решить . Точнее не столько решить, сколько выяснить, сколько именно решений она имеет – единственное или нет. Или, возможно, вообще не имеет решений.) Но есть одна проблемка. Как к ней подступиться?

Если традиционно выразить y через x из второго уравнения, то будет

И что потом с этим плюс/минусом делать?! Непонятно…

А если выразить игрек из первого уравнения? Тогда вообще кошмар получится:

А если икс через игрек из второго? Тоже не фонтан. Значит, стандартные приёмы здесь явно не работают. Так… Но у нас в обоих уравнениях фигурируют модули и квадраты – ограниченные (снизу) конструкции. А что, если попробовать оценить левую и правую части первого (самого страшного) уравнения?»

Верные мысли! Итак, наша цель на данный момент – оценить обе части первого уравнения. Затяните потуже ремни на брюках, поскольку сейчас нам предстоит решать много неравенств . Точнее, не столько решать, сколько их выписывать, складывать, преобразовывать и т.д. Итак, перед оцениваем первое уравнение:

Но для начала обратим наш взор на второе уравнение:

Снова, как и в примере 3 , видим сумму квадратов, равную единице. О чём это говорит? О том, что каждый из этих квадратов сам по себе не превосходит 1 .

То есть, 0 ≤ x 2 ≤ 1 и 0 ≤ y 2 ≤ 1 .

То же самое можно сказать и про модули икса и игрека:

0 ≤ |x| ≤ 1 и 0 ≤ |y| ≤ 1 .

Поэтому про сами x и y можно сказать, что -1 ≤ x ≤ 1 и -1 ≤ y ≤ 1 .

А теперь с помощью данных неравенств оцениваем левую часть первого уравнения, равную сумме выражений 5·2 |x| и -5y:

Раз 0 ≤ |x| ≤ 1 , то 2 0 ≤ 2 |x| ≤ 2 1 или 1 ≤ 2 |x| ≤ 2 .

Здесь мы воспользовались монотонным возрастанием функции f(x) = 2 x .

Если теперь все три части последнего неравенства помножить на 5, то получим:

2 ≤ 5·2 |x| ≤ 10

-1 ≤ 5y ≤ 1

И, следовательно,

-5 ≤ -5y ≤ 5 .

Возможно, кому-то непонятно, как именно из неравенства -1 ≤ 5y ≤ 1 получилось неравенство -1 ≤ -5y ≤ 1 . Поясняю.

-1 ≤ 5y ≤ 1 |·(-1) (умножаем обе части на -1);

1 ≥ -5y ≥ -1 (все знаки изменились на противоположные);

-5 ≤ -5y ≤ 5 (переписываем неравенство в привычной форме).

Всё!

Итак, мы установили ограничения на выражения 5 ·2 |x| и -5y:

2 ≤ 5·2 |x| ≤ 10

-5 ≤ -5y ≤ 5

Теперь, сложив почленно эти два неравенства, получим ограничение на всю левую часть целиком:

Запомним этот факт.) Обратимся теперь к правой части уравнения: 3x 2 - 3|x| .

А вот её будем оценивать немного иначе.

Как нами уже установлено, 0 ≤ x 2 ≤ 1 .

x 2 ≤ |x| при 0 ≤ |x| ≤ 1 .

Откуда я его взял? Как фокусник из рукава вытащил?)

Чтобы разобраться, почему это именно так, нарисуем графики модуля («уголок») и параболы у = x 2 . На отрезке [-1; 1] картинка будет вот такой:

Видно, что на отрезке [-1; 1] «уголок» везде, кроме точек 0 и ±1 лежит выше параболы.

Итак, x 2 ≤ |x| при 0 ≤ |x| ≤ 1 .

Тогда x 2 - |x| ≤ 0 (я просто перенёс модуль влево).

Значит, если это неравенство умножить на 3, то получим:

Таким образом, вся правая часть не больше нуля .

А теперь вспоминаем, что же у нас с левой частью:

Таким образом, левая часть не меньше нуля .

Значит, равенство левой и правой частей возможно лишь в одном случае – когда каждая из них отдельно равна нулю :

Решаем эту системку.)

Отсюда легко получаем три пары: (0; 1), (-1; 2), (1; 2).

Однако, решения этой системы – это на самом деле лишь решения первого уравнения нашей глобальной системы.) Вспоминаем про её второе уравнение: x 2 + y 2 = 1 .

Нетрудно убедиться, что из этих трёх пар ему удовлетворяет лишь пара (0; 1). А что это означает? В дебрях долгих выкладок и рассуждений, неволей, и про основной вопрос забываешь…) Да! При a = 2/5 наша исходная система и вправду имеет единственное решение .

Всё, a = 2/5 обводим как часть ответа.)

А что же с a = -8/5 ? Делать нечего, подставляем его в нашу систему:

А вот здесь так красиво провести оценку уже не получится: десятка справа всё испортила.(Как быть? В таких ситуациях, как правило, приходится прибегать к самой крайней мере – попытаться тупо подбором угадать два каких-нибудь решения и таким образом доказать, что система имеет более одного решения .) Как угадывать? Ну, тут уже всё от конкретного задания зависит. И немного от интуиции и иногда от везения. В нашем случае попробуем зацепиться за второе уравнение:

x 2 + y 2 = 1 .

Понадеемся на гуманизм составителей задания и начнём с самого простого - поищем какие-нибудь целые решения этого уравнения и подставим их в первое. Их совсем немного. Ну, например, (1; 0):

Что ещё можно проверить? Ха! У нас же симметрия по икс! Мы же как раз этот факт использовали для решения всей задачи! И думать не надо – тут же всплывает решение (-1; 0)!

Всё! Мы подобрали два различных решения системы, а это значит, что второе значение параметра a = -8/5 нас точно не устраивает . Всё, задача решена! :)

Ответ: a = 2/5 .

Что ж, мы уже набрались достаточно опыта, чтобы рассмотреть какую-нибудь откровенную жесть. Берём быка за рога! :)

Пример 5

Ничего не боимся и стараемся при виде подобных монстров мыслить примерно следующим образом:

«Ух, наворотили, ужас! Корень, тангенс, синусы… Точно не решить… Так, стоп! От нас хотят найти единственное решение. Значит, скорее всего, нас просят отыскать какую-нибудь инвариантную конструкцию и с её помощью решить всю задачу.

Что тут сильнее всего бросается в глаза? Ну, во-первых, во втором и третьем уравнениях везде тусуются xy и x+y , а от перестановки множителей (слагаемых) результат не меняется. Это неспроста.) Так, ещё тут внутри косинуса затесалась разность x-y , которая от перемены икса и игрека местами сменит знак:

y-x = -(x-y).

Плохо… Так, секундочку! Но ведь косинус - чётная функция и сжигает минус! Всё отлично, под косинусом тоже ничего не поменяется!)

Но есть ещё первое уравнение. В нём пока что никакой инвариантностью относительно перестановки икса и игрека и не пахнет. А вдруг, эту инвариантность и там удастся выявить? Ну-ка, посмотрим…

И что тут можно сделать? Можно хотя бы пораскрывать все скобки:

Вставляем всё в уравнение:

Кажется, уже что-то вырисовывается:

Ну, вот и выявилось то, чего мы так добивались: x 2 +y 2 и x+y – инвариантные конструкции. Относительно замены x на y и y на x . Ура!»

Итак, вся система инвариантна относительно замены x на y (и наоборот). Это значит, что, если какая-то тройка чисел (x; y; z) является решением этой злой системы, то автоматически и тройка (y; x; z) также будет её решением! И единственность решения системы возможна только при x = y . Теперь можно во всей системе смело исключить игрек , заменив его на икс: xy превратится в x 2 , x+y превратится в 2x. Ну, и так далее.)

Так, система стала немного попроще, но ещё пока что довольно громоздка. Но… Переменная z везде тусуется под чётными функциями - либо в квадрате, либо внутри синуса в квадрате. А это значит, что единственность решения возможна только при z = 0 . Прекрасно! Подставляем всюду ноль вместо z, и вся наша ужасная система ещё больше упростится и станет выглядеть вот так:

Из второго уравнения сразу ясно, что х = 0 . Третье уравнение при х = 0 , очевидно, выполняется. А из первого уравнения при х = 0 получим:

2a + 4 = 0, откуда a = -2 .

Ух ты, как интересно! Получено одно единственное допустимое значение параметра. Минус два. Но радоваться рано, т.к. это ещё не ответ: нам же ещё достаточность надо проверить (да-да!). Деваться некуда, подставляем минус двойку в исходную систему вместо «а»:

По максимуму упрощаем каждое из уравнений. В первом раскроем все скобки:

Во втором уравнении благополучно обнуляется самое ужасное слагаемое с корнем, сокращается двойка, оставшаяся от первой скобки, и остаётся лишь

Ну, а третье уравнение так и оставим, без изменений. Итого:

А теперь делаем такой финт ушами – подставляем в первое уравнение вместо x + y выражение 2sin 2 z из второго. Что получим:

Проанализируем полученное уравнение. Чем оно примечательно? Тем, что слева стоит сумма каких-то квадратов, т.е. неотрицательных слагаемых! А когда возможно равенство нулю суммы неотрицательных слагаемых ? Только в одном единственном случае – когда одновременно каждое слагаемое равно нулю ! То есть:

Итак, единственным решением первого уравнения является тройка чисел (0; 0; 0). Проверим эту тройку и по остальным уравнениям: вдруг, она там не пройдёт? Тогда ответом, очевидно, будет пустое множество.)

Все равенства выполнены. Итак, мы полностью обосновали, что при a = -2 наша система действительно имеет единственное решение, и это решение – «три бублика», т.е. (0; 0; 0).

Вот и всё! :)

Ответ: a = -2.

Разумеется, эти рассмотренные пять примеров далеко не исчерпывают всего многообразия параметрических задач на единственное решение и инвариантность.) Но в них я постарался максимально подробно и доходчиво изложить, как действовать в ситуации, если, вдруг, где-то (в пробнике или в настоящем ЕГЭ) вам попалась подобная задача. Итак, подытожим тему:

1) Как только видим словосочетание «единственный корень/единственное решение» - пробуем искать инвариантные конструкции или приходить к таковым путём предварительных преобразований. Чаще всего это чётность, симметрия относительно какого-нибудь числа , либо относительно перестановок (замен) переменных или выражений.

2) Выявив тип инвариантности, составляем необходимое условие единственности решения и ищем допустимые (необходимые) значения параметра. Как правило, вся задача при этом существенно упрощается, и их поиск не составляет особого труда.

3) Проверяем найденные допустимые значения параметра на достаточность . В случае, если получаемая задача не решается стандартными методами, применяем специальные приёмы – ограниченность, монотонность и т.п. Если и они не помогают – пробуем подобрать корень или решение. Чаще всего они лежат на поверхности и, как правило, являются целыми числами.

4) Не боимся. Пробуем различные варианты.) И побольше тренируемся.) Только так можно выработать необходимый опыт в решении таких (да и вообще любых) задач с параметрами.

Всем успехов и до новых встреч!

Синтез рекурсивных фильтров по аналоговому прототипу

При синтезе стандартных частотно-избирательных фильтров удобно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом расчета аналоговых фильтров. Наиболее широкое распространение получили следующие методы:

1. Метод инвариантности импульсной характеристики (метод стандартного - преобразования).

2. Метод билинейного - преобразования.

3. Метод замены производных конечными разностями.

4.2.1. Метод инвариантности импульсной характеристики (метод стандартного - преобразования)

Под инвариантностью импульсной характеристики понимается равенство отсчетов импульсной характеристики цифрового фильтра значениям импульсной характеристики аналогового прототипа, взятым с периодом дискретизации.

Для реализации метода необходимо:

Найти импульсную характеристику прототипа ;

Получить импульсную характеристику цифрового фильтра путем дискретизации с периодом с учетом масштабирующего множителя :

; (4.1)

Найти передаточную функцию фильтра, взяв - преобразование от :

. (4.2)

Рисунок 3.1 – дискретизация импульсной характеристики аналогового прототипа

Предположим, что передаточная функция аналогового прототипа записана в виде суммы простейших дробей:

. (4.3)

В этом случае в соответствии с обратным преобразованием Лапласа импульсная характеристика аналогового прототипа имеет следующий вид:

. (4.4)

После дискретизации получим требуемую импульсную характеристику ЦФ:

Передаточная функция синтезированного цифрового фильтра в результате применения - преобразования имеет следующий вид:

Полученная передаточная функция соответствует параллельной структуре цифрового фильтра. Структурная схема одного звена синтезированного цифрового фильтра с передаточной характеристикой имеет следующий вид: рисунок 3.2.

Рисунок 3.2 – структурная схема одного звена цифрового фильтра

Таким образом, процедура синтеза ЦФ методом инвариантности импульсной характеристики содержит следующие шаги:

1. Задать требования к цифровому фильтру.

3. Разложить на простейшие дроби.

4. Записать передаточную функцию цифрового фильтра на основе соотношений (4.3) и (4.6).

Частотная характеристика полученного фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа таким же образом, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром аналогового сигнала: периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов для данного метода коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Следовательно, метод подходит для создания ФНЧ и ПФ, но неприменим для разработки ФВЧ и РФ.

Пример использования метода инвариантности импульсной характеристики

Пусть передаточная функция аналогового прототипа имеет следующий вид:

.

Таким образом, в соответствии с выражением (4.3) можно записать следующие параметры аналогового прототипа:

,

.

В соответствии с выражением (4.6) получим следующее выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра:

.

Получим уравнение цифровой фильтрации. Для этого запишем передаточную функцию цифрового фильтра в виде:

,

где ,

.

В результате ряда математических преобразований последнего выражения можно получить:

,

После перехода от изображений z-преобразования к оригиналам, получим уравнение цифровой фильтрации:

4.2.2. Метод билинейного - преобразования

Преобразование Лапласа и - преобразование связаны между собой соотношением:

. (4.7)

Выражение (4.7) непосредственно не может быть использовано для расчета цифрового фильтра при известной передаточной характеристике аналогового прототипа, так как обратное соотношение является транцендентным:

. (4.8)

Это затруднение преодолевается использованием разложения в ряд:

.

Используя первый член разложения, можно получить:

. (4.9)

Данное преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию первого порядка от аргумента и называется билинейным z – преобразованием .

Передаточная функция цифрового фильтра получается из передаточной функции аналогового прототипа применением следующей замены:

. (4.10)

Рассмотрим свойства билинейного преобразования. Для этого получим:

. (4.11)

Таким образом, билинейное преобразование приводит к существенной деформации АЧХ аналога-прототипа при его пересчете в цифровую форму по сравнению с исходным соотношением . Связь между частотами АЧХ прототипа и частотами цифрового фильтра определяются из соотношения:

.

Окончательно связь между частотой аналогового прототипа и частотой цифрового фильтра имеет следующий вид:

. (4.12)

В соответствии с последним выражением вся ось бесконечная ось АЧХ аналогового прототипа полностью помещается в интервале Найквиста на оси цифровых частот от 0 до : рисунок 3.3. Следовательно, полностью исключается эффект наложения копий частотных характеристик, свойственный методу инвариантности импульсной характеристики. В области малых частот частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров совпадают:

. (4.13)

Рисунок 3.3 – трансформация частотной оси при билинейном преобразовании

Эффект деформации АЧХ легко учитывается для частотно-избирательных фильтров, характеризуемых границами полосы пропускания, с использованием последнего выражения связи частот.

Порядок расчета фильтра следующий:

1) АЧХ рассчитываемого фильтра задается в масштабе частот и в этом же масштабе отмечаются характерные точки АЧХ.

2) С помощью преобразующей функции определяются те же характерные точки в масштабе частот для аналогового прототипа и составляется выражение для его передаточной функции .

3) Методом билинейного преобразования передаточная функция пересчитывается в передаточную функцию цифрового фильтра.

Таким образом, устранен недостаток, связанный с деформацией ФЧХ аналогового прототипа.

Метод билинейного преобразования полностью исключает эффект наложения АЧХ, не требует повышения частоты дискретизации для уменьшения ошибок воспроизведения АЧХ. Метод используется, когда не требуется повышенная точность воспроизведения АЧХ аналогового прототипа.

Пример использования метода билинейного преобразования

Пусть передаточная функция аналогового прототипа описывается выражением:

.

С учетом выражения (4.10) можно получить следующее выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра:

,

где ;

При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам - хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.

В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f 2 . Если частота f 2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

{h k }=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового - периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):

Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ . При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ

откуда частотный коэффициент передачи

Пример

Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

()

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию

()

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).

Рис. . Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а - аналогового; 6 - цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а , относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

-π/Δ<ω ц < π/Δ

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (p) - передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р . Если воспользоваться связью между переменными z и р:

z = exp(pΔ) ,

то можно записать

p = (1/ Δ) ln z (чч)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной

z = exp(j ω ц Δ), .

откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:

(15.98)

Если частота дискретизации достаточно велика (ω ц Δ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω сц = 1500 с -1 . Частота дискретизации ω д = 10000 с -1 .

Прежде всего определяем шаг дискретизации

Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юо а, связанную с со 0 д следующим образом:

По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Передаточная функция аналогового ФНЧ

К а (р)

Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)

Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f 2 =1/T 2 к частоте среза фильтра f c . В данном случае f 2 /fс=10 . Если, например, выбрать f 2 /f c =20 , то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f n дискретного фильтра можно найти из равенства (330)

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам называется методом инвариантности импульсной характеристики.

Рис. 12.9. Процедура расчета по методу инвариантности импульсной характеристики. (см. скан)

Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

где Т - интервал дискретизации. Процедура проектирования по этому методу показана на рис. 12.9.

Для иллюстрации метода инвариантности импульсной характеристики

разложим передаточную функцию исходного аналогового фильтра на простые дроби

где полагаем, что а все полюсы различны. Кроме того, для каждого представляет собой полюс аналогового фильтра, а - вычет функции в полюсе Импульсную характеристику аналогового фильтра можно получить, осуществив обратное преобразование Лапласа уравнения (12.29), которое дает

где представляет собой единичную ступенчатую последовательность. Подставив выражение (12.30) в формулу (12.28), получаем импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра

где единичная ступенчатая последовательность. Передаточная функция результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения -преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (12.31), следующим образом:

Сравнивая выражения (12.29) и (12.32), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам для метода инвариантности импульсной характеристики, которое имеет вид

Полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра

Пример 12.2. Исходный аналоговый фильтр обладает следующей передаточной функцией:

Решение. Запишем функцию в виде простых дробей

Из уравнений (12.33) следует, что имеет вид

где Т - интервал дискретизации. Упрощая выражение (12.36 а), получаем

Пример 12.3. Нормированный фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ имеет передаточную функцию вида

Найти - передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

Решение. Записывая функцию в виде сомножителей, получаем

Применение уравнений (12.33) к полученному соотношению дает

Для с из уравнения (12.39) следует, что

Рис. 12.10. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Чебышева второго порядка с неравномерностью 3 дБ. аналоговый фильтр, - цифровой фильтр, цифровой фильтр

Амплитудно-частотные характеристики функций, заданных выражениями (12 40) и (12.41), приведены на рис. 12 10

Напомним, что периодическая функция переменной 0 с периодом - непериодическая Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в тех участках, где характеристическая кривая достигает точек или - интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к . В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Подходящий случай показан на рис. 12.10. Следует отметить, что частоты среза цифровых фильтров расположены в точках

где использована информация о частоте среза аналогового фильтра Эти частоты среза повторяются согласно следующему соотношению:

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, является фактически дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра частотная характеристика цифрового фильтра представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра, как установлено в соотношении (11.115), и для удобства приводится здесь еще раз:

Если скорость дискретизации достаточно высока, то эффект наложения минимален. На рис. 12.10 для с показано, что эффект наложения, который проявляется в виде отклонения частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров, при трудно различим. Однако при недостаточно высокой скорости дискретизации, например для случая (рис. 12.10), начинает оказывать влияние эффект наложения, так как видно, что заметно отличается от Подставляя в уравнения (12.43), получаем

Следует отметить, что уравнения (12.44) устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Для исследования характеристик при методе инвариантности импульсной характеристики на соответствие двум необходимым

условиям процедуры перехода (12.10) рассмотрим соотношение

и, следовательно,

Из рис. 12.11 следует, что горизонтальная полоса с шириной в s-плоскости отображается во всю -плоскость, т. е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части -плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось - в единичную окружность. Из рис. 12.11 можно установить, что источник эффекта наложения вызывается тем, что переход (12.45) не однозначен. Например, точки отображаются в одну точку Фактически соотношения (12.45) устанавливают, что аналоговая передаточная функция в каждой полосе шириной накладывается на всю -плоскость для формирования цифровой передаточной функции. Таким образом, метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным или подобным отображением из s-плоскости в -плоскость. Из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию

т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.

Как было показано, процедура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики задается уравнениями (12.33), которые устанавливают, что расположение полюсов аналогового фильтра отображается в следующее размещение:

Таким образом, соотношения (12.45) устанавливают связь между размещениями полюсов аналогового и цифрового фильтров. Однако абсолютно неверно утверждение, что соотношения

(кликните для просмотра скана)

Рис. 12.12. Диаграммы полюсов и нулей фильтра Лернера второго порядка: а - вариант аналогового фильтра, б - вариант цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики.

(12.45) определяют связь между расположениями нулей цифрового и аналогового фильтров при инвариантности импульсных характеристик. Подходящим примером является следящий.

Пример 12.4. Задана передаточная функция аналогового фильтра

где Найти расположение нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного на основе инвариантности импульсной характеристики. Решение. Разложение функции на простые дроби дает

Передаточная функция соответствующего цифрового фильтра задается согласно (12.33) в виде

Из уравнения (12.50) местоположение конечного нуля цифрового фильтра определяется как

где - расположение нуля аналогового фильтра. Однако полюсы цифрового фильтра расположены следующим образом:

где расположение полюсов аналогового фильтра. Диаграмма размещения полюсов и нулей аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров приведена на рис. 12.12.

Как было установлено, уравнения (12.33) применимы как к вещественным, так и к комплексным полюсам Однако для комплексного полюса более удобно рассматривать вместе пару полюсов где черта над переменной используется Для обозначения комплексно-сопряженной величины. Применяя соответственно уравнения (12.33), получим пары преобразований для следующих двух случаев второго порядка:

1. Если передаточная функция аналогового фильтра задана в виде

где полюсы расположены в точках

то передаточная функция соответствующего цифрового фильтра имеет вид

2. Если функция задана в виде

то из процедуры перехода (12.33) следует, что

Пример 12.5. Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот третьего порядка характеризуется следующей передаточной функцией:

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра Баттерворта третьего порядка с помощью метода инвариантности импульсной характеристики,

Решение. Функцию можно записать в виде

Из уравнений (12.33), (12.53)-(12.56) требуемый цифровой фильтр имеет следующую передаточную функцию:

Пример 12.6. Предположим, что цифр свой фильтр нижних частот должен удовлетворять следующим условиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет рад.

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ для рад.

в) Затухание в полосе задерживания больше 30 дБ для рад.

г) Амплитудно-частотная характеристика имеет монотонно спадающий вид для

д) Интервал дискретизации

Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.

Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии в аналоговые. Это можно осуществить, учитывая, что, если Т удовлетворяет критерию Найквиста, уравнения (12 43) приближенно приводятся к виду

и, следовательно,

Согласно соотношению (12.606), искомый аналоговый фильтр должен удовлетворять следующим требованиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет