Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка АВ. Решение было уже дано на стр. 174-175. Далее, на стр. 175-176 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности АВ с центром О. Вот описание этого построения (рис. 47). Радиусом АО проводим две дуги с центрами A и В. От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги ОР и OQ, что OP = OQ = АВ . Затем находим точку R пересечения дуги с центром Р и радиусом РВ и дуги с центром Q и радиусом QA. Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок OR, опишем дугу с центром Р или Q до пересечения с дугой AВ - точка пересечения и является искомой средней точкой дуги АВ. Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы ее центр и радиус.
2. Найти точки пересечения двух окружностей.
3. Найти точки пересечения прямой и окружности.
4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данного круга С с прямой, проходящей через данные точки А и В. Проведем дуги с центрами А и В и радиусами, соответственно равными АО и ВО, кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку Q, обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 174). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с С): ее точки пересечения Х и Х" окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X" находится на одинаковых расстояниях от О и P (что касается точек А и В, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и Х" на расстояние, равное радиусу круга С (см. стр. 173). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X" и О, является обратной прямой АВ в инверсии относительно окружности С, так как эта окружность и прямая АВ пересекаются с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.) Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая АВ проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 178, как середины дуг С, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках В 1 и В 2 .

Метод проведения окружности, обратной прямой," соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками А, В и A", В" (рис. 50) Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым АВ и А"В". Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Y, Точка X, обратная точке Y, и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что Y есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым АВ и А"В", следовательно, точка X, обратная Y, должна лежать одновременно и на АВ, и на А"В".

Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.

Пусть Л- произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки В, С, D, что АВ = ВС = CD = 60° (рис. 51). Проводим дуги с центрами А и D радиусом, равным АС; пусть они пересекаются в точке X. Тогда, если О есть центр K, дуга с центром А и радиусом ОХ пересечет К в точке F, являющейся серединой дуги ВС (см. стр. 178). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F, пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и Н равны ОХ и которая отделена от X центром О. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.

В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus , опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это просто один из вариантов евклидовых "Начал", снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но по внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.

Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони?

Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796-1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании. Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении - пользоваться циркулем только один раз. Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром. Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 228).

* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 252): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, b) всякая прямая линия переходит в прямую, с) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью. Представим себе теперь, что вся фигура в целом - окружность, а все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра, подвергнуты преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебник: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.) – 16 изд. – М.: Просвещение, 2011.

Цели урока:

1. дать представление о новом классе задач на построение;
2. рассмотреть наиболее простые задачи на построение;
3. научить учащихся решать такие задачи.

Задачи:

Образовательный аспект:

• дать представление о новом классе задач – построение геометрических с помощью циркуля и линейки без масштабных делений;
• формировать практические умения работы;
• расширить знания об истории геометрии.

Развивающий аспект:

• развитие навыков самоконтроля;
• формирование ИКТ – компетентности;
• формирование логического мышления.

Воспитательный аспект:

• воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;
• воспитание интереса к истории математики, как науки.

Тип урока: комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная.

Этапы урока:

• подготовка к активной учебной деятельности;
• применение знаний;
• подведение итогов и рефлексия;
• информация о домашнем задании.

Оборудование:

• Учебное пособие, тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, циркуль, раздаточный материал (КИМ);
• Компьютер, с минимальными техническими требованиями: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Муьтимедийный проектор, экран.

Ресурсы урока:

• тестовые задания (КИМ) приложение 1 ;
• презентация;
• оценка степени усвоения материала приложение 3 .

План урока:

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

Тема сегодняшнего урока - «Примеры задач на построение» (слайд 1).

Цель урока – рассмотреть наиболее простые задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки без делений; научиться решать их (слайд 2).

2. Повторение. Проверка домашнего задания:

Мы с вами изучили тему « Окружность» и сегодня проверим с помощью теста ваши знания. Выполнить задание теста (каждому раздаются КИМы с тестовым заданием). Для каждого вопроса выберите правильный вариант ответа. Самостоятельно оцените свои знания, подсчитав количество верных ответов. Если верных ответов 6 - оценка «5», если верных ответов 5 – оценка «4», если верных ответов 4 – оценка «3», меньшее количество верных ответов – оценка « 2».

(Верные ответы на слайде 3 презентации).

3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала:

Вводная беседа учителя:

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. При построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры – транспортир.

В домашней работе у вас была такая задача:

Начертите треугольник АВС такой, что АВ = 3,6 см, АС = 2,7 см, А = 48°. Какие инст рументы вы использовали для решения этой задачи?

Итак, мы использовали линейку с миллиметровыми делениями и транспортир. Но есть такие задачи, в которых бывает оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить предлагаемую геометрическую фигуру (слайд 4-5).

Задача 1. С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Чертёж на экране.

(Учащиеся предлагают варианты решений).

А теперь проверим ваше решение (см. слайд 6)

Таким образом, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений (слайд 7).

В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения.

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей (посмотреть с. 95–96 учебника). Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом . Она дает возможность составить план решения задачи.

Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.

После этого нужно доказать , что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

И наконец, необходимо исследовать , при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить (слайд 8).

В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах будем решать более сложные задачи.

4. Изучение нового материала:

И так, наша задача – выполнить задачи на построение только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку (слайд 9).

Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение (слайд 10):

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка.
5. Построить середину данного отрезка.

Мы уже решили задачу № 1.

Теперь с помощью компьютера рассмотрим решение задачи № 2. Выполняйте соответствующие построения в тетради (слайды 11-12).

А теперь рассмотрим задачи № 3 – 5 (слайд 13-18).

(выполняются соответствующие построения и описания задач в тетради)

После выполнения работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что такие задачи рассматривались в древности (слайд 19).

А теперь обратимся к истории геометрии. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Они доказали, что угол можно разделить и на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем построить биссектрису каждой половинки. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить угол на три равные части? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Однако она не поддавались их усилиям. Лишь в прошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Есть и другие задачи на построение, про которые известно, что они неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Я предлагаю вам самостоятельно найти материал, содержащий информацию для ознакомления с этими задачами.

5. Подведение итогов урока:

Мы изучили много нового, узнали какие задачи можно решить только с помощью циркуля и линейки. У вас у каждого лежит лист с вопросами. Оцените свою работу на сегодняшнем уроке, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

1. Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:
   • легко;
   • обычно;
   • трудно
2. Оцените степень вашего усвоения материала:
   • усвоил полностью, могу применить;
   • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
   • усвоил частично;
   • не усвоил.

Собрать листочки для оценки степени усвоения материала сегодняшнего урока, чтобы на следующем уроке правильно организовать работу. Сообщаются оценки за урок, включая оценки за тест по теме « Окружность».

6. Домашнее задание:

• ответить на вопросы 17–21 на стр. 50;
• решить задачи №№ 153, 154 (слайд 20).

Геометрические задачи на построение

С помощью циркуля и линейки

учащаяся 8-А класса

Руководитель: Москаева В.Н.,

учитель математики

Нижний Новгород

Введение

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.

А. Д. Александров

Собираясь в школу, мы не забываем положить в портфель циркуль, линейку и транспортир. Эти инструменты помогают выполнить грамотно чертежи и красиво нарисовать. Данные инструменты используют инженеры, архитекторы, рабочие, конструкторы одежды, обуви, строители, ландшафтные дизайнеры. Хотя существуют компьютеры, но на стройке, в саду их пока не используешь.

Машина рисует мгновенно в течение нескольких секунд. Математик должен потратить довольно много времени, чтобы на языке, понятном машине объяснить ей то, что она должна сделать - написать программу и ввести её в машину, поэтому конструкторы нередко предпочитают работать с простейшими и древнейшими инструментами – циркулем и линейкой.

Что может быть проще? Гладкая дощечка с ровным краем - линейка, две заостренные палочки, связанные на одном конце - циркуль. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса, отложить отрезок, равный данному.

Циркуль и линейка известны более 3 тысячи лет были уже известны, 200-300 лет назад их украшали орнаментами и узорами. Но, несмотря на это они и сейчас исправно служат нам. Простейших инструментов достаточно для огромного количества построений. Древние греки думали, что возможно любое разумное построение выполнить этими инструментами, пока не обнаружили три знаменательные задачи древности: «квадратуру круга», «трисекцию угла», «удвоение куба».

Поэтому считаю тему моей работы современной и важной для деятельности человека во многих сферах деятельности человека.

Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач.

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.

Программа по геометрии предполагает изучение лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Поэтому, объектом моего исследования являются геометрические фигуры, построенные с помощью циркуля и линейки.

Цель моей работы: рассмотреть различные способы построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Методы исследования:

ü Анализ уже существующих способов построений

ü Поиск новых способов, простых в применении (ГМТ и построения Штейнера)

Задачи:

ü получить более полное представление о различных способах построений

ü проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики

ü продолжить развитие исследовательских умений.

Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.

Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки-математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.

Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.

Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.

Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки .

Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности, привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.

3. Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.

Построение 1. Построение отрезка, равного данному.

Дано: отрезок длины а.

Построить: отрезок АВ длины а.

Построение:

Построение 2. Построение угла, равного данному.

Дано: ∟AOB.

Построить: ∟ KMN, равный ∟ АОВ.

Построение:

Построение 3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).

Дано: отрезок АВ.

Построить: точку О – середину АВ.

Построение:

Построение 4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).

Дано: ∟ АВС.

Построить: ВD – биссектрису ∟АВС.

Построение:

Построение 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.

а) Дано: прямая а, точка A а.

Построить:

прямой а.

Построение :

б) Дано: прямая а, точка A a.

Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к

прямой а.

Построение:

Построение 6 . Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

Дано: прямая а, точка A a.

Построить: прямую, проходящую через точку А, параллельно прямой а.

I способ (через два перпендикуляра).

Построение:

II способ (через параллелограмм).

Построение:

Построение 7. Построение треугольника по трем сторонам.

Дано: отрезки длины a, b, c.

Построить: Δ ABC.

Построение:

Построение 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано: отрезки длины b, c, угол α.

Построить: треугольник ABC.

Построение:

Построение 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

Дано: отрезок длины c, углы α и β.

Построить: ΔABC.

Построение:

Построение 10. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.

Дано: окружность (О), точка А вне ее.

Построить: касательную к окружности ω(О), проходящую через точку А.

Построение:

Рассмотренные задачи входят в качестве составных частей в решение более сложных задач, поэтому в дальнейшем, этапы основных построений не описываются.

Решение задач на построение состоит из четырех частей:

1. Предположив, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры и затем, внимательно рассматриваем начерченную фигуру, стремясь найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу на другие, известные ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа.

2. Когда таким образом план решения найден, выполняют сообразно ему построение.

3. Доказательство - для проверки правильности плана на основании известных теорем доказывают, что полученная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.

4. Исследование - задаются двумя вопросами:

1) При всяких ли данных возможно решение?

2) Сколько существует решений?

Рассмотрим применение данных этапов на примере решения следующей задачи.

Задача: Построить треугольник, зная его основание b, угол A, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон.

Анализ: Предположим, что задача решена, т.е. найден такой ΔAВС, у которого основание AС=b, ∟ВАС=A и AВ+ВС=s . Рассмотрим теперь полученный чертеж. Сторону AС, равную b , ∟ВАС=A , мы строить умеем. Значит, остается найти на другой стороне ∟A такую точку В , чтобы сумма AВ+ВС равнялась s . Продолжив AВ , отложим отрезок AD , равный s . Теперь вопрос приводится к тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В , которая была бы одинаково удалена от С и D . Такая точка как мы знаем, должна лежать на перпендикуляре, проведенном к отрезку СD через его середину. Точка В найдется в пересечении этого перпендикуляра с АD .

Построение:

1. Строим ∟А , равный данному углу

2. На его сторонах откладываем AС=b и AD=s

3. Через середину отрезка прямой СD проводим перпендикуляр ВЕ

4. ВЕ пересекает AD в точке В

5. Соединяем точки В и С

6. ΔAВС - искомый.

Доказательство:

Рассмотрим полученный ΔAВС, в нем ∟А равен данному углу (по пункту №1 построения). Сторона AС=b (пункт №2) и стороны АВ и ВС в сумме составляют s (пункты №2,3,4). Следовательно по 1-му признаку равенства треугольников ΔAВС - искомый.

Исследование:

1. При всяких ли данных возможно решение?

Рассматривая построение, мы замечаем, что задача возможна не при всяких данных. Действительно, если сумма s задана слишком малой сравнительно с b, то перпендикуляр ВЕ может не пересечь отрезка AD (или пересечет его продолжение за точку D), в этом случае задача окажется невозможной.

И, независимо от построения, можно видеть, задача невозможна, если s < b или s =b , потому что не может быть такого треугольника, у которого сумма двух сторон была бы меньше или равна третьей стороне.

2. Сколько существует решений?

В том случае, когда задача возможна, она имеет только одно решение, т.е. существует только один треугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, так как пересечение перпендикуляра ВЕ с прямой AD может быть только в одной точке.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27

Материал данного параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может быть представлен ученикам, как в форме лекции, так и в форме докладов учеников.

Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как "знаменитые задачи древности". Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:

1) квадратура круга,

2) трисекция угла,

3) удвоение куба.

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:

1) построить квадрат, равновеликий данному кругу;

2) разделить данный угол на три равные части;

3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба.

Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.

Простота формулировок этих задач и "непреодолимые трудности", встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые "попутно" получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).

Задача об удвоении куба.

Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба.

Пусть а - длина ребра данного куба, х - длина ребра искомого куба. Пусть - объем данного куба, а - объем искомого куба, тогда согласно формуле вычисления объема куба имеем, что: =, а так как, согласно условию задачи, то приходим к уравнению.

Из алгебры известно, что рациональные корни приведенного уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержаться среди делителей свободного члена уравнения. Но делители числа 2 служат только числа +1, - 1, +2, - 2, и ни одно из них не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это значит, что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда, отсюда.

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной. Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной.

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной. Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Относительная погрешность этого приближения не превышает 0,227%.

Задача о трисекции угла.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла состоит в следующем : разделить данный угол на три равные части.

Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90. Если - тупой угол, то =180-, где <90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла (90) равносильна задаче о построении отрезка х=соs . В самом деле, если угол построен, то построение отрезка х=соs сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

Обратно. Если построен отрезок х, то построение такого угла, что х=соs , сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Пусть - данный угол, - искомый угол, так что =. Тогда cos=cos 3. Известно, что cos 3= 4cos-3cos . Поэтому, полагая cos =, а cos =, приходим к уравнению:

cos =4cos-3cos ,

Отрезок, а следовательно, и угол могут быть построены лишь в том случае, когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком, и поэтому задача о трисекции угла, вообще говоря не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например. При =60 получим =1 и найденное уравнение принимает вид: . Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60 на три равные части с помощью циркуля и линейки. Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из способов приближенного решения задачи с помощью циркуля и линейки, предложенный Альбертом Дюрером (1471-1528).

Пусть дан угол ASB. Из вершины S произвольным радиусом описываем окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках R и R (А R= R R= RВ). из точек А и В, как из центров, радиусами А R= RВ описываем дуги, пересекающие окружность в точках Т и Т. Проведем RSAB. Радиусами А S= BS проводим дуги, пересекающие АВ в точках U и U. Дуги АТ, SS и TB равны между собой, так как стягиваются равными хордами.

Чтобы найти точки трисекции угла X и X, Дюрер делит на три равные части отрезки RU и RU точками PV и PV. Затем радиусами AV и BV проводим дуги, которые пересекают окружность в точках X и X. Соединив эти точки с S, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.

2. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен
:
количество сторон (в нашем случае 8.
Получаем точки А1, А2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
n-
угольника
3. Соединим центры окружности и одну из точек их пересечения

Мы получаем правильный треугольник

1
. Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга.

2
. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника.

3. Соединим точки пересечения окружностей.

5 . Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.

Мы получаем правильный шестиугольник
Доказательство существования правильного
n-
угольника
Если
n
(число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует.
Пробуем построить 8ми угольник и докажем это.
1. Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке « О »

Построение треугольника при помощи циркуля и линейки
«
O
» .

2. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящая через точку «О».

4. Соединим точки, лежащие на окружности.

Получаем правильный восьмиугольник.
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных
n-
угольников, если равенство
n =
+ 1
, где
n –
количество углов, а
k
– любое натуральное число
.
Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, равных частей
.
В 1836 году
Ванцель
доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя.

Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью

ЛИТЕРАТУРА
Атанасян
Л. С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов образовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.
Б. И. Аргунов, М. Б.
Балк
. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М.,
Учпедгиз
, 1957 – 268 с.
И. Ф.
Шарыгин
, Л. Н.
Ерганжиева
. «Наглядная геометрия».
Еще
одним
великим математиком изучавшим правильные многоугольники был
Евклид
или
Эвклид
(др. греч.
Εὐκλείδης
, от «добрая слава»
ок
. 300 г. до н. э.)
–
автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
.
Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряды вопросов теории чисел
;
в ней он подвёл итог дальнейшего развития математики. В
IV
книге он описал построение правильных многоугольников при
n
равном
3
, 4, 5, 6, 15

и определил первый критерий построения многоугольников.
Построение правильного восьмиугольника.
1. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника.
2. Соединим противоположные вершины четырёхугольника
3. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями

Треугольники
, сторонами которых являются ближайшие радиусы и
стороны получившегося восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними, соответственно стороны восьмиугольника равны и он является правильным. Данное доказательство применимо не только к восьмиугольникам
,
но и к многоугольникам с количеством углов
больше 2-х
. Что и требовалось доказать
.
Доказательство существования правильного
n-
угольника

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3

4 . Проводим прямые через точки пересечения окружностей
5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности

Получаем правильный четырёхугольник.
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника.
7. Достроим до пятиугольника

Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одним из них был
Архимед.
Архимед
– известный древнегреческий математик, физик и инженер. Он сделал множество открытий в геометрии, ввёл основы механики, гидростатики, создал множество важных изобретении. Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его открытия послужили для современных изобретений.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.

1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем прямую линию через центр окружности.
3. Проведем дугу окружность того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

Презентация на тему: «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки»
Подготовил:
Гурома
Денис
ученик 10 класса МБОУ школы №3
Учитель:
Наимова
Татьяна Михайловна
2015 год
3. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник.
Доказательство существования правильного
n-
угольника

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
Построение правильного четырёхугольника.

1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем 2 взаимно перпендикулярные диаметра.
3. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.

4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей.

5. Проведем 2 отрезка.