Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Решение задач и некоторых выражений не всегда приводит к чистым числовым ответам. Даже в случае тривиальных расчетов, можно прийти к определенной конструкции, именуемой выражением с переменной.

Например, рассмотрим две практические задачи. В первом случае у нас есть некий завод, вырабатывающий 5 тонн молока каждый день. Необходимо найти, сколько молока вырабатывается заводом за р дней.

Во втором случае есть прямоугольник, ширина которого равна 5 см, а длина р см. Найти площадь фигуры.

Разумеется, если завод вырабатывает пять тонн в день, то за р дней, по простейшей математической логике, он выдаст 5р тонн молока. С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его сторон - то есть, в данном случае, это 5р. Иными словами, в двух тривиальных задачах с разными условиями, ответом является одно целое выражение - 5р. Подобные одночлены именуются выражением с переменной, так как помимо числовой части они содержат некоторую букву, именуемую неизвестной, или переменной. Обозначается такой элемент строчными буквами латинского алфавита, чаще всего, х или у, хотя это не принципиально.

Особенностью переменной является то, что она может принимать любые значения на практике. Подставляя разные числа, мы будем получать итоговое решение для наших задач, например, для первой:

р = 2 дня, завод выдает 5р = 10 тонн молока;

р = 4 дня, завод выдает 5р = 20 тонн молока;

Или для второй:

р = 10 см, площадь фигуры равна 5р = 50 см2

р = 20 см, площадь фигуры равна 5р = 100 см2

Важно понимать, что р - это не набор некоторых отдельных значений, а все множество, которое будет математически соответствовать условию задачи. Основная роль переменной - это заменить недостающий элемент в условии. Любая математическая задача должна включать некоторые конструкции и отображать взаимосвязь между этими конструкциями в условии. Если значения какого-либо объекта не хватает, то вместо него и вводится переменная. При этом она является абстрактной заменой именно самого элемента условия (количества чего-либо, представленного числом, или выражением), а не функциональных связей.

Если рассматривать выражение вида 5р, как нейтральный и независимый объект, то значение р в нем может принимать какие угодно значения, фактически р тут равен множеству всех действительных чисел.

Но в наших задачах на ответ в виде 5р накладываются определенные математические ограничения, которые вытекают из условий. Например, дни и сутки не могут быть отрицательными, поэтому р в обеих задачах всегда равен нулю или больше его. Кроме того, дни не могут быть дробными - для первой задачи действительны только те значения р, которые являются целыми положительными числами.

В первой задаче: р равно конечному множеству всех положительных целых чисел;

Во второй задаче: р равно конечному множеству всех положительных чисел.

Выражения могут включать и сразу две переменные, например:

В данном случае, бином представлен двумя одночленами, каждый из которых имеет переменную в составе, причем эти переменные являются разными, то есть - независимыми друг от друга. Значение этого выражения может быть рассчитано полностью только при наличии значения обеих переменных. Например, если х = 2, а у = 4, то:

2х + 3у = 4 + 12 = 16 (при х = 2, у = 4)

Стоит отметить, что в этом выражении нет математических, или логических ограничений на значения переменной - и х, и у принадлежат всему множеству действительных чисел.

В общем плане, множество всех чисел, при подстановке которых вместо переменной выражение сохраняет смысл и действительность, называется областью определения (или значения) переменной.

В абстрактных примерах, не связанных с реальными задачами, область определения переменной чаще всего либо равна всему множеству действительных чисел либо ограничивается некоторыми конструкциями, например, дробью. Как известно, при нулевом значении делителя вся дробь теряет смысл. Поэтому переменная в выражении вида:

не может быть равна пяти, так как тогда:

7х/(х - 5) = 7х/0 (при х = 5)

И дробь потеряет смысл. Поэтому для этого выражения переменная х имеет область определения - множество всех чисел за исключением 5.

В нашем видеоуроке отмечен также особый случай применения переменных, когда они обозначают число одного порядка. Например, числа 54, 30, 78 можно задать через переменную а, либо же через конструкцию аb (с горизонтальной чертой сверху, для отличия от произведения), где b задает единицы (соответственно 4, 0, 8), а - десятки (соответственно, 5, 3, 7).

Рассмотрим небольшую задачу, которая часто встречаются в различных журналах и фокусах.

Фокусник предлагает загадать вам некоторое число. Далее просит умножить его на три, а к полученному результату прибавить шесть. Затем он просит разделить полученную сумму на три и вычесть из результата полученное число. Далее он говорит вам верный ответ.

Как же так происходит, неужто это магия?

Нет, на самом деле все проще. Пускай мы задумали число 5. Теперь выполним все действия которые предлагал нам фокусник.

• 1. 5*3=15.
• 2. 15+6=21.
• 3. 21:3=7.
• 4. 7-5=2.

Получили в ответе двойку. Это же решение мы могли бы записать в виде числового выражения (5*3+6):3 - 5. А его значением было бы число 2.

Теперь, допустим мы задумали число 3. Получилось бы числовое выражение (3*3+6):3 - 3. А его значением было бы число 2.

Снова двойка. Возникает мысль, что никакого фокуса тут нет, и в любом случае будет получаться число 2. Попытаемся это проверить. Обозначим число, задуманное нами, буквой х, и запишем все действия, которые просил сделать фокусник в необходимом порядке.

• Получим (х*3+6):3 -х.

• (х*3+6):3 –х = х+2-х=2.

Получается, что задуманное нами число вообще не играет никакой роли, оно в любом случае сократится.

В разборе задачи мы получили выражение (х*3+6):3 –х, которое записано с помощью буквы, обозначающей любое число, чисел 3 и 6, скобок и знаков действий. Такое выражение называется алгебраическим выражением или выражением с переменной.

Определение выражения с переменным

• Алгебраическое выражение или выражение с переменной называется, любая имеющая смысл запись, состоящая из букв, обозначающих любое число, чисел и знаков действий.

Например, следующие записи будут алгебраическими выражениями:

• 2*(х+у),
• 34*а-13*а*х,
• (123-65*а):3 +4.

Если вместо каждой буквы, которая входит в алгебраическое выражение подставить некоторое числовое значение, а потом выполнить все действия, то в результате получится некоторое число. Это число называют значением алгебраического выражения.

Например, значением алгебраического выражения 5*а+2*х-7 при а=2 и х=3 будет являться число 9, так как 5*2+2*3 -7 = 9.

В задаче, которую мы рассматривали в начале, значением алгебраического выражения (х*3+6):3 – х будет являться число 2, при любом значении переменной х.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: познакомить с понятиями выражение с переменными, значение выражения с переменными, формула, учить различать выражения, которые не имеют смысла.

Вид урока: комбинированный урок.

Оборудование: карточки для индивидуального опроса, карточки для игры «Математическое лото», презентация.

Ход урока

I. Инициация.

А) Проверка готовности к уроку.

Б) Приветствие.

II. Домашнее задание.

с.7 № 25, 31, 44.

III. Актуализация знаний.

А) Проверка домашнего задания.

840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31

НОД (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040.

Ответ: 26040.

НОД (120, 280, 320)=23*5=40

40>30, 40 (уч.) – в первом классе.

Ответ: 40 учащихся.

1 способ

х=3,2*200/1000; х=0,64.

0,64 (%) – жира

х=2,5*200/1000; х=0,5.

0,5 (%) – белка

х=4,7*200/1000; х=0,94.

0,94 (%) – углеводов

2 способ

1000/200=5 (раз) – уменьшился объем молока

1. 3,2:5=0,64 (%) – жира
2. 2,5:5=0,5 (%) – белка
3. 4,7:5=0,94 (%) – углеводов

Ответ: 0,64 %,0,5 %, 0,94 %.

а) 28+15; б) 6*3; в) 3-8,7; г) 0,8:0,4.

Б) Индивидуальные карточки.

1. Найти НОД чисел 24 и 34.
2. Найти значение выражения: а) 69,95+27,8; б) 54,5-6,98.

1. Найти НОД чисел 27 и 19.
2. Вычислить: а) 85-98,04; б) 65,7*13,4.

1. Найти НОД чисел 17 и 36.
2. Вычислить: а) 0,48*5,6; б) 67,89-23,3.

В) Математическое лото.

Выполнить действия и получить изображение.

IV. Формирование новых понятий и убеждений.

1. Новый материал.

Выражения с переменными

Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за 3 ч пройдет 70*3 км, за 4 ч – 70*4 км, за 5 ч – 70*5 км, за 5,5 ч – 70*5,5 км.

– А какое расстояние пройдет автомобиль за t часов? Вообще за t ч он пройдет 70t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 70t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 70t называют переменной, а само выражение 70t – выражением с переменной.

Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и в см. Тогда его площадь равна ав см2. Выражение ав содержит две переменные а и в. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и в. Например:

если а = 8 и в = 11, то ав = 8-11 = 88;

если а = 25 и в = 4, то ав = 25-4=100.

Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и 6=11, чис­ло 100 есть значение этого выражения при а = 25 и 6 = 4.

Некоторые выражения не имеют смысл при некоторых значениях переменной, а другие имеют смысл при всех значениях перемен­ных. Примерами могут служить выражения

х(х + 1), ау – 4.

Выражения с переменными используются для записи формул. Рассмотрим примеры.

Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е. m=2n.

Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значе­ниями переменной m будут четные числа. Формулу m= 2n называют формулой четного числа.

Формулу m= 2n + 1, где n – целое число, называют формулой не­четного числа.

Аналогично формуле четного числа можно записать формулу чис­ла, кратного любому другому натуральному числу.

Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: m=3n, где n – целое число.

V. Применение полученных знаний на практике.

Выполнение №№ 19-24 по учебнику.

Резерв №26.

VI. Рефлексия.

1. Что называется выражением c переменными?
2. Что такое значение выражения с переменной?
3. Приведите примеры выражения с переменными.

Выражения, составленные из чисел, знаков действий и скобок, называются числовыми выражениями . Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения . О числовых выражениях, которые не имеют значения, говорят, что они не имеют смысла .

Для сравнения чисел используют знаки ,,,,,. При этом могут использоваться двойные неравенства вида
и т.п. Неравенства, в которых используются знакии, называютстрогими , в которых используют знаки и, –нестрогими .

Выражения, составленные из чисел, букв, знаков действий и скобок, называются буквенными выражениями или выражениями с переменной или с переменными . Множество значений переменной, при которых выражение с переменной имеет числовое значение (имеет смысл), называют областью допустимых значений переменной данного выражения.

Выражения с переменными используются для записи чисел определенного вида. Например, запись
означает любое трехзначное число, у которогосотен,десятков иединиц, т.е.
. С помощью буквенных выражений удобно записывать математические правила, законы, определения. Например,определение модуля (абсолютной величины) числа можно записать так:
.

Элементы статистики

Ряд чисел, полученных в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто выборкой , а каждое число этого ряда – вариантой выборки . Количество чисел в ряду называют объемом выборки. Запись выборки, когда последующая варианта не меньше предыдущей, называется упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом ).

Средним арифметическим выборки называется частное суммы всех вариант выборки и количества вариант (т.е. частное суммы всех вариант и объема выборки). Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, называется модой выборки . Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом выборки . Если в упорядоченном ряду данных нечетное число вариант, то средняя по счету варианта называется медианой . Если в упорядоченном ряду четное число вариант, то среднее арифметическое двух средних по счету вариант называется медианой .

Подготовительный вариант

При изучении темы числовые, буквенные выражения и выражения с переменными необходимо уделить внимание понятию значение выражения . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое значение числового выражения, и что называют значением буквенного выражения и выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Для разъяснения этих определений приведем примеры.

Навигация по странице.

Что называют значением числового выражения?

Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с первых уроков математики в школе. Практически сразу вводится и понятие «значение числового выражения». Его относят к выражениям, составленным из чисел, соединенных знаками арифметических действий (+, −, ·, :). Дадим соответствующее определение.

Определение.

Значение числового выражения – это число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении.

Для примера рассмотрим числовое выражение 1+2 . Выполнив , получаем число 3 , оно и является значением числового выражения 1+2 .

Часто в словосочетании «значение числового выражения» слово «числового» опускают, и говорят просто «значение выражения», так как все равно понятно, о значении какого выражения идет речь.

Данное выше определение значения выражения распространяется и на числовые выражения более сложного вида, которые изучаются в старших классах. Здесь нужно заметить, что можно столкнуться с числовыми выражениями, указать значения которых нет возможности. Это связано с тем, что в некоторых выражениях невозможно выполнить записанные действия. Например, поэтому мы не можем указать значение выражения 3:(2−2) . Подобные числовые выражения называют выражениями, не имеющими смысла .

Часто на практике интерес представляет не столько числовое выражение, как его значение. То есть, встает задача, заключающаяся в определении значения данного выражения. При этом обычно говорят, что нужно найти значение выражения . В указанной статье подробно разобран процесс нахождения значения числовых выражений различного вида, и рассмотрена масса примеров с детальными описаниями решений.

Значение буквенного выражения и выражения с переменными

Помимо числовых выражений изучают буквенные выражения, то есть выражения, в записи которых вместе с числами присутствует одна или несколько букв. Буквы в буквенном выражении могут обозначать различные числа, и если буквы заменить этими числами, то буквенное выражение станет числовым.

Определение.

Числа, которыми заменяют буквы в буквенном выражении, называют значениями этих букв , а значение полученного при этом числового выражения называют значением буквенного выражения при данных значениях букв .

Итак, для буквенных выражений говорят не просто о значении буквенного выражения, а о значении буквенного выражения при данных (заданных, указанных и т.п.) значениях букв.

Приведем пример. Возьмем буквенное выражение 2·a+b . Пусть заданы значения букв a и b , например, a=1 и b=6 . Заменив буквы в исходном выражении их значениями, получим числовое выражение вида 2·1+6 , его значение равно 8 . Таким образом, число 8 есть значение буквенного выражения 2·a+b при заданных значениях букв a=1 и b=6 . Если бы были даны другие значения букв, то мы бы получили значение буквенного выражения для этих значений букв. Например, при a=5 и b=1 имеем значение 2·5+1=11 .

В старших классах при изучении алгебры буквам в буквенных выражениях позволяют принимать различные значения, такие буквы называют переменными, а буквенные выражения – выражениями с переменными. Для этих выражений вводится понятие значения выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Разберемся, что это такое.

Определение.

Значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных называется значение числового выражения, которое получается после подстановки выбранных значений переменных в исходное выражение.

Поясним озвученное определение на примере. Рассмотрим выражение с переменными x и y вида 3·x·y+y . Возьмем x=2 и y=4 , подставим эти значения переменных в исходное выражение, получаем числовое выражение 3·2·4+4 . Вычислим значение этого выражения: 3·2·4+4=24+4=28 . Найденное значение 28 является значением исходного выражения с переменными 3·x·y+y при выбранных значениях переменных x=2 и y=4 .

Если выбрать другие значения переменных, например, x=5 и y=0 , то этим выбранным значениям переменных будет соответствовать значение выражения с переменными, равное 3·5·0+0=0 .

Можно отметить, что иногда для различных выбранных значений переменных могут получаться равные значения выражения. К примеру, для x=9 и y=1 значение выражения 3·x·y+y равно 28 (так как 3·9·1+1=27+1=28 ), а выше мы показали, что такое же значение это выражение с переменными имеет при x=2 и y=4 .

Значения переменных можно выбирать из соответствующих им областей допустимых значений . В противном случае при подстановке в исходное выражение значений этих переменных получится числовое выражение, не имеющее смысла. К примеру, если выбрать x=0 , и подставить это значение в выражение 1/x , то получится числовое выражение 1/0 , которое не имеет смысла, так как деление на нуль не определено.

Остается лишь добавить, что существуют выражения с переменными, значения которых не зависят от значений входящих в них переменных. Например, значение выражения с переменной x вида 2+x−x не зависит от значения этой переменной, оно равно 2 при любом выбранном значении переменной x из области ее допустимых значений, которая в данном случае является множеством всех действительных чисел.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.