​ (англ.)

Ватиканский манускрипт (XI, Предложения, 31-33 )

Содержание [ | ]

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно . Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2 » - второе определение первой книги. Всего в 13 книгах «Начал» 130 определений, 5 постулатов, 5 (в части изданий - 9) аксиом, 16 лемм и 465 теорем (включая задачи на построение) .

Первая книга [ | ]

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1-7 ) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия - длина без ширины.
3. Края же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ" ἑαυτῆς σημείοις κεῖται )
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности - линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Постулаты Евклида

За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1-5 ):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат . Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл ; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия . Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии , то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1-9 ), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4-5 (I, Постулаты, 4-5 ) в ряде списков выступают как аксиомы (I, Аксиомы, 10-11 ).

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них (I, Предложения, 2 ) предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3 ) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4 ), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I, Утверждения, 8 ) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат (I, Постулаты, 4 ) теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан Вольф , у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности .

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора .

Книги II-XIII [ | ]

II книга - теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга - предложения об окружностях , их касательных и хордах , центральных и вписанных углах .

V книга - общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским .

X книга - классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга - начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах , объём параллелепипеда и призмы , теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда - например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности , теория приближённых вычислений .

Взаимозависимости книг [ | ]

Критика [ | ]

Для своего времени и вплоть до (примерно) XIX века «Начала» считались образцом логического изложения математической теории. Структура трудов Декарта , Ньютона и даже Спинозы строилась по образцу «Начал». Однако уже в античные времена были критически отмечены некоторые недостатки евклидовского труда - например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда » (которую сформулировал ещё Евдокс , живший до Евклида). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Современные взгляды на обоснование, содержание и методы как геометрии, так и арифметики существенно отличаются от античных.

Прежде всего, следует отметить, что сейчас прямая понимается как линия бесконечной длины. Античные учёные полностью избегали понятия актуальной бесконечности , у Евклида всюду используются только конечные отрезки прямой . Видимо, по этой причине постулат параллельности Евклида сформулирован довольно громоздко - зато он имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла («через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной») утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой . Ещё одной архаичной особенностью «Начал» является ограничение только двумя видами кривых - прямыми и окружностями, которые греки считали единственно совершенными , а также чрезмерно узкое понятие числа, которое не включало иррациональных чисел и поэтому вынудило античных математиков без особой нужды ввести параллельное с арифметикой исчисление «геометрических величин» («геометрическая алгебра», книга II «Начал») .

Многие комментаторы Евклида отмечали, что данные им определения геометрических понятий бессодержательны и создают не более чем наглядный образ - например, «линия есть длина без ширины». Фактически подобные «определения» нигде далее в тексте не используются, ни одна теорема на них не опирается . Излишним оказался, как уже говорилось выше, и IV постулат Евклида о равенстве всех прямых углов , его можно доказать как теорему .

Далее, по замыслу все доказательства теорем должны вытекать из явно сформулированных аксиом. На самом деле многие факты у Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения , которое неявно используется во многих местах - например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал - возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности » .

Уже в доказательстве самого первого предложения («на любом отрезке можно построить равносторонний треугольник») Евклид подразумевает, что две окружности радиуса R , чьи центры находятся на расстоянии R , пересекаются в двух точках. Ни из каких аксиом это не следует ; для логической полноты следовало бы добавить аксиому непрерывности . Аналогичные упущения имеют место для пересечения прямой и окружности , в употреблении неопределяемого понятия «находиться между» (для точек) и в ряде иных мест. Аксиоматика Евклида не позволяет, например, доказать, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника.

Одним из важнейших открытий XIX века стало обнаружение и исследований непротиворечивых неевклидовых геометрий ; оно показало, что преимущественное использование на практике евклидовой геометрии не означает, что эта геометрия «абсолютно истинна».

Манускрипты и издания [ | ]

Греческий текст «Начал» [ | ]

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в - и содержит формулировку одного из утверждений второй книги с рисунком (II, Предложения, 5 ) .

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся Бодлианской библиотеке и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт) .

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом ) . Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX-XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона » или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный - концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший - двухтомный ватиканский манускрипт.

Латинский текст «Начал» [ | ]

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века , и в эпоху Возрождения , однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным Фолькертсом , разделившим манускрипты на следующие группы:

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом . Первое печатное издание «Начал» было осуществлено Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году и воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание не копировало первое, было осуществлено Бартоломео Дзамберти в 1505 году . Из предисловия известно, что Дзамберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Дзамберти . Этот взгляд имел вполне твёрдую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция , которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы [ | ]

Первое издание «Начал» на русском языке издано в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя» . Перевод выполнил Иван Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона , служившего в это время при российском Морском корпусе . Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто то ли по недоразумению, то ли в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого и модернизированного французского издания «Начал» Андре Таке , куда переводчиками были добавлены ряд числовых примеров и критические комментарии .

Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• (1769) Перевод Н. Г. Курганова , преподавателя Морского кадетского корпуса: «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения»;
• (1784) Перевод Прохора Суворова и Василия Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году).

Практически полностью (кроме X книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Фомы Петрушевского : книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году . В 1880 году вышел перевод Ващенко-Захарченко . Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840-1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища .

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии - Дмитрия Мордухай-Болтовско́го .

Важнейший математический труд гениального Эвклида "Начала" имеет весьма почтенный возраст - свыше двух тысячелетий. Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А "Начала", написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время. Созданные в III в. до н. э., "Начала" не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики. Эвклид, один из величайших геометров, решил найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе...

Большую часть жизни Эвклид провел в Александрии - городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта; чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон - храм муз. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, анатомический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы, а главное - большая библиотека.

В Мусейон стекались математики, астрономы, историки, поэты - Александрия стала мировым центром науки и литературы. В разное время здесь читали лекции и работали многие выдающиеся ученые: Архимед, Аристарх Самосский, Гиппарх... В Мусейон - основной научный центр эллинистического мира - был приглашен и знаменитый греческий математик Эвклид, живший в III в. до н. э. В Александрии он основал математическую школу, для учеников которой и написал свой фундаментальный научный труд - "Начала". Эвклид обобщил достижения геометров, все знания, накопленные к тому времени. В этом ему помогли книжные собрания Александрийской библиотеки. В папирусных свитках запечатлелись и первые шаги египтян, и открытия "халдейских мудрецов" из Вавилона, и достижения греческих ученых. Эвклид всегда мог обратиться к математическим трудам своих предшественников.

Египетские землемеры (а геометрия и означает "землемерие") уже в глубокой древности обладали большими познаниями. Они научились измерять площадь прямоугольников, треугольников, трапеций; нашли способ приблизительно вычислять площадь круга по его диаметру; им было известно свойство так называемого египетского треугольника со сторонами 3, 4, 5; они знали формулы для вычисления объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды... Были сделаны и другие немаловажные открытия. Но все-таки, как наука, геометрия стала развиваться в Древней Греции.

Кто же был первым геометром? Греки любили число "семь". У них - семь чудес света, семь великих мудрецов. Один из них - Фалес Милетский (живший в VII-VI вв. до н. э.). Разносторонность интересов его поразительна. Вот некоторые свидетельства древних о Фалесе. Он и "мудрый советчик в государственных и военных делах" (Плутарх), и "первый физик" (Плиний), и "первый геометр" (Апулей), и "первый астроном" (Эвдем). Кроме того - он путешественник, метеоролог, поэт...

Предполагают, что геометрию и астрономию он изучал в Египте. Ему приписывают первое применение циркуля и угломера, измерение высоты пирамиды по длине ее тени и своей собственной, а также способ определения расстояния корабля от берега. Но главное - Фалес попытался логически осмыслить и систематизировать те открытия в математике, которые были сделаны в Вавилоне и Египте.

Следуя за Фалесом, Пифагор - глава первой математической школы - старался доказать теоремы при помощи чисто логического мышления. Очень много сделал для развития геометрии Аристотель. Можно назвать и других математиков, которые занимались геометрией в период от Фалеса Милетского до Аристотеля. Возникла потребность в стройной логической системе, обшей схеме построения науки. Эту схему и дал Эвклид.

Конечно, он опирался на труды своих предшественников, но нигде не упоминает о первоисточниках. Так, установлено, что разрозненные математические знания, отдельные теоремы и их доказательства были впервые собраны и систематизированы в "Началах" Гиппократа Хиосского (он преподавал в Афинах в середине V в. до н. э.). Сочинение утеряно. Основные положения "Начал" Гиппократа вошли в первые четыре книги "Начал" Эвклида.

Сведений о жизни Эвклида почти не сохранилось; остались лишь две-три легенды.

Первый комментатор "Начал" Прокл (V в. н. э.) уже не мог указать, когда и где родился Эвклид, когда умер. Это и не удивительно. Для нас, представителей XX в., и тот и другой жили в глубокой древности: один пятнадцать столетий назад, а другой - двадцать два, но для Прокла Эвклид - тоже древность, между ними лежит восемьсот лет! Все равно как для нас автор "Слова о полку Игореве".

Прокл установил, что "этот муж (т. е. Эвклид) жил в эпоху Птолемея I, ибо Архимед, который жил тотчас же вслед за царствованием Птолемея I, упоминает о нем". А затем следуют легенды. Так, рассказывают, что однажды Птолемей решил выучить геометрию. Вскоре обнаружилось, что овладеть математическими премудростями не так-то просто. Тогда он призвал Эвклида, попросил указать ему легкий путь к математике. Ученый ответил: "К геометрии нет царской дороги".

Часть страницы первого издания "Начал" Эвклида. Венеция, 1482 г.

Вторая легенда. К Эвклиду пришел молодой человек и стал под его руководством постигать геометрию. Изучив несколько первых теорем, юноша задал естественный вопрос - какова будет практическая польза от штудирования "Начал". Эвклид не удостоил ученика ответом. Он призвал раба и сказал: "Дай ему грош, он хочет извлечь выгоду из учения".

Некоторые биографические данные имеются на страницах арабской рукописи XII в.: "Эвклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира". Известно также, что первоначальное образование он получил от учеников Платона, а ведь над входом в Академию, основанную Платоном, была надпись: "Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии".

Таким образом, о жизни великого человека почти ничего не известно, время поглотило его... Но остался основной его труд - знаменитые "Начала".

Тот же Прокл об Эвклиде говорит: "Он в самом деле был первым, о котором сообщается, что он действительно составил "Начала".

Весь труд состоит из тринадцати книг, в содержание которых входит прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости. Но для этого требуются числа, поэтому Эвклид излагает учение о целых числах и дробях. Затем исследование распространяется с плоскости на пространство, на взаимоположение и величины поверхностей и объемы тел. Словом "Начала" включают основы планиметрии, стереометрии, арифметики...

Главная особенность "Начал" - они построены по единой логической схеме, а все теории в них логически обоснованы. Труд Эвклида справедливо считается образцом дедуктивной системы. Небольшое число основных положений принимается без доказательств. Исходными положениями, на которых Эвклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и постулаты. Каждая из тринадцати книг начинается определением терминов, которые в ней появляются. Вначале Эвклид вводит определения основных понятий - точка, линия, прямая линия, плоскость, угол, фигура... Первой книге, кроме того, предшествуют аксиомы и постулаты (в некоторых списках "Начал" аксиомы и постулаты объединены в одну группу аксиом).

Свое величественное здание, свою грандиозную геометрию Эвклид построил с удивительной стройностью, ясностью и широтой. В "Началах" подведен итог трехсотлетнего развития математики начиная с Фалеса Милетского.

В древности "Начала" сразу же получили широкую известность и стали быстро распространяться по всему свету, удивляя и покоряя умы.

Советский ученый Э. Кольман говорит о "Началах": "Не может быть сомнения, что автор этого замечательного труда был великим геометром. Гигантская задача систематизации обширного разнообразного материала, которую он столь блестяще выполнил, сама по себе была под силу лишь крупнейшему ученому. Этот труд, являющийся одной из самых распространенных книг, выдержавших на протяжении более чем двух тысячелетий очень большое количество изданий в переводах на многочисленные языки, в сокращенных и переработанных вариантах, служит до сих пор, несмотря на громадное развитие, которое проделала за этот период геометрия, образцом для учебников элементарной геометрии, по которым ведется преподавание в средней школе".

Надо напомнить, что книга эта первоначально была написана на папирусных свитках, с нее снимали копии и, вероятно, в большом количестве. Нетрудно представить, как трудолюбивые писцы в разных городах и странах старательно переписывали заостренными тростинками на папирусе самых высших сортов теоремы Эвклида, с помощью циркуля и линейки чертили геометрические фигуры. "Начала" пользовались большой популярностью: Архимед, Аполлоний Пергский и другие выдающиеся мыслители опирались на них в своих исследованиях в области математики и механики. Учеником Эвклида был и Аристарх Самосский, тот самый, кто выдвинул гипотезу о движении Земли вокруг Солнца. Ученики и последователи великого математика снова и снова изучали его труд, делали на полях заметки, пояснения, исправления... С папируса "Начала" перешли на пергамент, потом на бумагу... Копии следовали одна за другой - иначе вряд ли дошел бы до нас этот неповторимый труд.

К сожалению, не сохранилось ни одной рукописи "Начал" эпохи античности, за исключением небольших отрывков, которые были найдены при раскопках в Египте и Геркулануме.

Постепенно, вместе с упадком античного общества, число геометров уменьшается. К середине II в. до н. э. преподавание этой науки не поднимается выше школьного уровня, а за пределами Александрии становится поверхностным. Римляне, например, лишь заучивали определения и формулировки теорем. Возникла даже легенда, будто Эвклид составил всего-навсего формулировки теорем. Эта легенда существовала в средние века. Словом, наука не развивалась, наступило время комментаторов и компиляторов. Среди них заслуживает упоминания Папп Александрийский, живший в конце III в. н. э. Он занялся восстановлением позабытых к тому времени математических знаний. В его основном труде - "Математическое собрание" - одна из частей отведена комментариям "Начал" Эвклида. "Собрание" Паппа - нечто вроде учебника для изучающих геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств.

Другой математик, Теон Александрийский (отец знаменитой Гипатии - женщины-математика, астронома, философа, растерзанной толпой религиозных фанатиков) частично упростил труд великого геометра, внес в него некоторые дополнения и исправления. Этот текст "Начал" был весьма распространен в средние века. Более того, все рукописи, дошедшие до нас (за исключением одной) основываются на "издании" Теона.

Наконец, в V в. н. э., после гибели Александрийской научной школы, математик и философ Прокл прокомментировал "Начала" Эвклида (сохранилась только часть работы)...

Правда, в Константинополе сберегались многие старые своды рукописей, и здесь-то комментаторы продолжали хранить память о греческой науке. Среди других трудов были и "Начала" Эвклида, которые несколько веков не находили применения, были как бы похоронены. Они вновь стали известны только к концу средних веков, когда арифметика и геометрия входят в круг высшего образования.

Древнейшая рукопись "Начал" представляет собой копию, сделанную в 888 г. монахом Стефаном для архиепископа Цезарейского. В том же IX в. своими математическими познаниями славился митрополит Лев Солунский, который собрал большую библиотеку, включавшую сочинения Архимеда, Эвклида, Птолемея... Существует много рукописей "Начал", относящихся к X-XII вв., все они появились на территории Византийской империи и копируют "издание" Теона Александрийского. И неизвестно, сколько промежуточных копий лежит между этими рукописями и их первоисточником.

Из Византии "Начала" попали в страны арабского Халифата. Арабы тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык книги древнегреческих ученых по математике, астрономии, медицине. Благодаря этим переводам многие выдающиеся произведения древнегреческой и эллинистической науки дошли до нашего времени. "Начала" Эвклида были переведены на арабский язык уже в конце IX в. (первый перевод сделан известным арабским переводчиком Исхаком). Труд греческого ученого служил в арабских странах учебным руководством и основой для дальнейших исследований. Можно назвать около пятидесяти математиков, живших в VIII - XV вв., которые занимались переводами, переделками и комментированием "Начал".

Много сделал, чтобы привлечь внимание к "Началам", крупнейший философ того времени ал-Фараби, уроженец местечка близ г. Фараба на Сырдарье. Работал он в Багдаде и Алеппо. Этот ученый составил комментарий к первой и пятой книгам Эвклида. Омар Хайям - поэт и математик - написал книгу, в которой заменил аксиому параллельных рядом других допущений, которые можно связать с идеями неэвклидовой геометрии.

После того как монголы разграбили Багдад (1256 г.), неподалеку от него - в Марагинской обсерватории - возник новый центр культуры, где трудился ученый ат-Туси. Ему принадлежат два издания "Начал" с собственными добавлениями и изменениями. Немало арабских ученых работало и в Кордовском Халифате (Пиренейский полуостров). Их заслуга - в установлении научных контактов со странами Европы; здесь трудились переводчики и комментаторы арабских и переведенных с греческого сочинений.

Итак, с мудростью Эвклида начинает знакомиться Европа. Первую попытку перевести "Начала" с арабского на латынь предпринял итальянец Герард из Кремоны в Ломбардии (1114-1187 гг.). Это был выдающийся переводчик своего времени, число трудов, переведенных им с арабского, приближается к девяноста.

Новый перевод "Начал" Эвклида дал столетие спустя математик-астроном Джованни Кампано из Новары (близ Милана). Он дополнил перевод собственными пояснениями и размышлениями. Следует подчеркнуть, что перевод Кампано послужил оригиналом для первого печатного издания этого наиболее капитального научного произведения классической древности. Книга вышла из печати в 1482 г. в Венеции у немца Э. Ратдольта и называлась: "Преславная книга начал Эвклида".

Сыграли свою роль в развитии математики в Европе университеты, которые стали возникать в первой половине XI в. Правда, на протяжении нескольких столетий она оставалась вспомогательной дисциплиной, и особых кафедр, да и особых преподавателей математики, не было. Студентов весьма поверхностно знакомили с несколькими книгами "Начал". Об Эвклиде знали так мало, что некоторые полагали, что его "Начала" были написаны по-арабски, а другие,- что он дал только теоремы, а доказательства к ним представил Теон. В XVI в. в Парижском университете кандидаты на степень магистра искусств вместо сдачи экзамена по геометрии должны были присягать в том, что прослушали лекции по шести первым книгам "Начал".

И все ж из недр университетов в то время вышли многие замечательные математики, которые не только усваивали "Начала" Эвклида, но и развивали математику. Но действительно славное шествие "Начал" по странам Европы началось только в эпоху Возрождения, когда, как сказал Франсуа Рабле, "всюду мы видим ученых людей, образованнейших наставников, обширнейшие книгохранилища, так что, на мой взгляд, даже во времена Платона, Цицерона и Папиниана было труднее учиться, нежели теперь, и скоро для тех, кто не понаторел в Минервиной школе мудрости, все дороги будут закрыты. Ныне разбойники, палачи, проходимцы и конюхи более образованны, нежели в мое время доктора наук и проповедники".

Латинский перевод с греческого (а не арабского) текста был сделан Цамберти и выпущен в Венеции в 1506 г., а первое печатное издание греческого текста появилось в Базеле в 1533 г. Первый сохранившийся итальянский перевод "Начал" сделал математик Николо Тарталья (1543 г.). Это классическое сочинение стало учебным пособием для не знающих латыни читателей. Прежде чем выпустить свой перевод в свет, неутомимый Тарталья "разъяснял" Эвклида на народном языке почти во всех городах Италии. Во второе издание книги (1565 г.) им внесены пояснения - "чтобы каждая заурядная голова в состоянии была легко понять их без всяких предварительных познаний в этой области и без помощи других наук". Так говорит титульный лист венецианского издания. Книга Тартальи приобрела огромную популярность: за короткое время она была издана семь раз, последний - в 1586 г.

За опубликованным Тартальей переводом последовало полное издание. Но в полном виде труд Эвклида выходил далеко за пределы университетского образования. И вскоре после первого полного издания в разных странах выпускаются сокращенные варианты "Начал". Для студентов печатались первые четыре книги, реже - шесть.

В книге Эвклида множество иллюстраций. В старинных печатных книгах (по примеру первого печатного издания 1482 г.) геометрические чертежи выносились на поля.

Шли века, а творение Эвклида не старело. На протяжении четырех столетий его основное произведение публиковалось около 2500 раз. В среднем выходило ежегодно 6-7 изданий! Лучшим считается издание датского ученого И. Гейберга в пяти томах (1883-1888 гг.), в котором приводится и греческий и латинский текст.

"Начала" Эвклида - книга в истории человечества уникальная. Достаточно сказать, что учебники, по которым сейчас ведется первоначальное обучение в школе, представляют собой переработку труда Эвклида.

Учащиеся гимназий, а затем наших средних школ знакомились с красотой идей Эвклида по учебнику "Геометрия" А. П. Киселева, который выходил десятки раз.

Без преувеличения можно сказать, что влияние "Начал" Эвклида испытали на себе многие выдающиеся ученые. С томом Эвклида не расставался с юности до последних дней Николай Коперник; тщательно изучал "Начала" Галилео Галилей; вслед за Эвклидом и Ньютон свой фундаментальный труд назвал "Началами"; план своего основного сочинения "Этика" Спиноза целиком взял из Эвклида.

Средневековый итальянский математик Кардано писал о "Началах" Эвклида: "Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ним сравнивать. В них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличить в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Эвклида".

Геометрией Эвклида был очарован и Альберт Эйнштейн. Он говорил: "Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Эвклида - это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением".

А о том, что один из постулатов Эвклида на протяжении двадцати веков - вплоть до Лобачевского - тщетно пытались доказать многие математики, будет рассказано в другом очерке.

В России "Начала" были впервые опубликованы в 1739 г. Переводчик - И. Астаров, сокращения сделаны профессором" А. Фархварсоном. Книга называлась "Евклидовы елементы". После этого "Начала" неоднократно выходили в нашей стране (1769, 1784, 1819 гг.). Последнее издание осуществлено в 1948- 1950 гг.

Такова судьба замечательной книги Эвклида, книги, пронизавшей, по словам С. И. Вавилова, века.

Что читать

Начала Эвклида. Л., 1948-1950, т. 1-3.

Каган В. Ф. Очерки по геометрии. М., 1963.

Кольман. Э. История математики в древности. М., 1961.

Лурье С. Очерки по истории античной науки. М.-Л., 1947.

Смилга В. В погоне за красотой. М., 1966.

Стройк Д. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. М., 1969.

Цейтен Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1938.

Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., 1961.

Евклид (иначе Эвклид) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид - первый математик александрийской школы. Евклид - автор ряда работ по астрономии, оптике, музыке и др. Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса. Умер Евклид между 275 и 270 до н. э.

Начала Евклида

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы -- общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н.э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные» -- введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика» и «Катоптрика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов.

Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», -- ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз -- Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное -- великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии -- столице Египта -- математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» -- главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида -- Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Обычно о «Началах» Евклида говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6--7 изданий. До XX века книга «Начала» считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом

Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония – и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в. «неевклидовых геометрий».

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в. н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме «Начал» до нас дошли книги Евклида, посвященные гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги – XIV-ю и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого слова «хорой», которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы – восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема).

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел (см. Чисел теория), основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математики (XVI в.) «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые и за пределами математики.

Трудно переоценить значение книги Евклида «Начала». В качестве учебника при школьном преподавании математики (особенно геометрии) эту книгу использовали вплоть до XX в. Идеи, высказанные в «Началах», на протяжении более чем двух тысячелетий оказывали стимулирующее воздействие на новые математические исследования. Классическая механика, лежащая в основе естествознания XVII–XIX вв., описывает мир как находящийся в абсолютном пространстве, устроенном по законам геометрии Евклида. Осуществленная в «Началах» попытка логического выведения целостной теории из ограниченного числа первоначальных положений вызвала многочисленные подражания: в их числе – основополагающая для классической механики книга И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», а также философский трактат Б. Спинозы «Этика, излагаемая геометрическим методом».

«Начала» подводят итог предшествующему развитию греческой математики, объединяя в себе теории, содержавшиеся в не дошедших до нас трактатах Гиппократа Хиосского, Теэтета, Евдокса и др. Последующие математики ссылались на положения «Начал» как на нечто окончательно установленное. В то же время некоторые теории, разработанные ранее, в эту книгу не вошли: по-видимому, автор стремился дать в ней именно «начала», «элементы», на основе которых могут быть развиты все разделы современной ему математики. Хотя основное место в греческой математике, и в «Началах» в том числе, занимает геометрия, эта книга также содержит много важных сведений из греческой арифметики.

Греческое название книги – «Стойхейя» – исходно обозначало алфавит, а также элементы, в частности, те, из которых состоит мироздание; греки насчитывали четыре элемента – землю, воду, огонь и воздух (рус. «стихия» также происходит от греч. «стойхейя»). Философ-неоплатоник V в. н. э. Прокл в комментариях к «Началам» утверждает, что структура книги отображает устройство космоса: она начинается с самых простых понятий – точки и прямой – чтобы в конце концов придти к учению о правильных многогранниках, которые, согласно философии Платона, лежат в основе структуры мира (четыре элемента имеют формы четырех из пяти правильных многогранников, а весь мир в целом – форму пятого, додекаэдра).

Если математические тексты Древнего Востока представляют собой лишь сборники предписаний для решения тех или иных задач, то греческая математика очень рано пришла к осознанию важности доказательств, обоснований одних положений с помощью других, уже установленных ранее. Появился идеал научной системы, в которой, во-первых, используемые термины имели бы четкие определения, а во-вторых, совокупность утверждений логически строго выводилась бы из немногих первоначальных аксиом. Этот идеал со всей ясностью сформулирован в логических трактатах Аристотеля. Первые попытки аксиоматического изложения математики были осуществлены еще до Евклида, но именно его «Начала», по-видимому, стали наиболее совершенным произведением такого рода в античности, полностью затмившим достижения предшественников.

«Начала» состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается с определений используемых терминов; кроме того, в начале первой книги сформулированы аксиомы и постулаты. Далее идут «предложения», доказываемые на основе определений входящих в них терминов, а также на основе аксиом, постулатов и доказанных ранее предложений. Значительную часть предложений составляют задачи на построение циркулем и линейкой. В этих случаях приводятся способ построения и доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.

В I книге приводятся аксиомы и постулаты, а затем излагаются основные свойства треугольников, параллелограммов, трапеций. Венчает книгу теорема Пифагора.
Во II книге излагаются основы геометрической алгебры.

III книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.
В IV книге строятся правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, десятиугольник. Изящное построение правильного пятнадцатиугольника, которым заканчивается книга, возможно, принадлежит самому Евклиду.
Книга V содержит общую теорию отношений величин.
В VI книге Евклид излагает учение о подобии и применяет его к решению геометрических задач, эквивалентных квадратным уравнениям.
Книги VII–IX посвящены арифметике – теории целых чисел и их отношений (т. е., фактически, рациональных чисел). Здесь рассматриваются свойства операций с такими числами и проблемы делимости, вводится алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя двух чисел, доказывается, что простых чисел бесконечно много.
Книга X, считающаяся одной из самых сложных, излагает классификацию квадратичных иррациональностей.
Книги XI–XIII посвящены стереометрии. Книга XI содержит основные факты о прямых и плоскостях в трехмерном пространстве, а также об объемах параллелепипедов и призм.
В книге XII с помощью довольно тонкой техники (т. н. метода исчерпывания) доказывается, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров, а объемы шаров – кубам их диаметров.
В книге XIII излагается учение о правильных многогранниках.
Впоследствии к тексту Евклида начали присоединять еще книги XIV–XV, также посвященные правильным многогранникам. Книгу XIV написал математик Гипсикл (II в. до н. э.), книга XV составлена в школе Исидора Милетского (VI в. н. э.).

Определения

Аристотель справедливо отмечал, что нельзя определить все термины: определяя одни термины на основе других, мы в конце концов придем к первичным, неопределяемым терминам. В современных аксиоматических изложениях геометрии в качестве неопределяемых терминов обычно рассматриваются точка, прямая, плоскость и некоторые другие. Евклид, однако, стремился определить и эти термины тоже, например:

• точка – это то, что не имеет частей;
• линия – это длина без ширины;
• прямая – это линия, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
• поверхность – это то, что имеет только длину и ширину;
• плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней;
• граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

Историки математики расходятся в мнениях, что именно имел в виду Евклид, давая эти определения. В любом случае такие определения имеют целью скорее описание определяемых объектов, которое должно отсылать к интуитивно ясному образу точки, прямой и т. д. Ввиду их расплывчатости такие определения не используются в доказательствах.

Определения, используемые в доказательствах – это, например, такие:

• полукруг – это фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности;
• равносторонний треугольник – треугольник, имеющий три равные стороны;
• параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются;
• говорят, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга.

В идеальном случае все термины, встречающиеся в определениях, должны быть определены ранее либо принадлежать к узкому кругу неопределяемых терминов. В действительности Евклид определяет такие термины, как «круг», «окружность», «диаметр», «прямой угол», «треугольник», но не определяет понятий «содержащаяся между», «отсекаемая», «встречается», «пересекает» и т. д. Значения всех этих слов, по-видимому, должны быть ясны интуитивно, из обычного словоупотребления.

Многие современные математики, в частности, последователи так называемой школы формалистов (Д. Гильберт и др.), считают, что математическая теория должна строиться без каких-либо интуитивных образов. Любое математическое предложение должно логически выводиться из определений входящих в него понятий и из свойств неопределяемых объектов, каковые свойства в явной форме задаются аксиомами. Таким образом, «неопределяемые объекты» определяются всей совокупностью аксиом, и никакие другие «интуитивно ясные» свойства этих объектов не должны использоваться. При этом конкретные зрительные представления о «точке» как о чем-то очень маленьком, о «прямой» как о чем-то узком и длинном и т. д. не являются обязательным для построения геометрии. Например, под точкой могла бы пониматься пара чисел (x , y ), а под прямой – совокупность таких пар, удовлетворяющих уравнению ax + by + c = 0 . Широко известна фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить не о точках, прямых и плоскостях, а о столах, стульях и пивных кружках».