Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В разделе узнаете:

Что такое многочлен;

Какой вид многочлена называют стандартным;

Что называют степенью многочлена;

Какие свойства действий с многочленами; формулы сокращенного умножения;

Как раскладывать многочлен на множители;

Как применить изученный материал на практике

§8. МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД

Запишем сумму одночлен х 2 , -15ху, 4x 5 в 2 , -3, -5х 5 у 2 . Получили выражение, что содержит пять слагаемых:

х 2 + (-15xy) + (4x 5 y 2) + (-3) + (-5х 5 y 2).

Такое выражение называется многочленом, а каждое слагаемое этой суммы - членом многочлена.

Выражение, которое является суммой нескольких одночлен, называется многочленом.

Является многочленом разница одночлен? Так, поскольку действие вычитание всегда можно заменить действием сложения:

7х - 2 = 7х + (-2).

Задача 1. Можно преобразовать в многочлен выражение:

1)3: (5х 3 - в 2);

2) 3(5х 3 + y 2)?

Решения. 1. Выражение 3: (5х 3 - в 2) не является целым, поскольку содержит деления на выражение с переменными. Поэтому его преобразовать в многочлен нельзя.

2. Выражение 3(5х 3 + в 2) можно преобразовать в сумму одночлен. Раскрыв скобки, получим выражение 15х 3 + 3у 2 , который является многочленом.

Многочлены с двумя и тремя членами имеют собственные названия - двочлен и трехчлен соответственно. Например, 7х + ху - двочлен, а 7х + ху + 2 - трехчлен. Считают, что любой одночлен также является многочленом.

Рассмотрим многочлен х 2 - 15ху + 4х 5 в 2 - 3 - 5х 5 у 2 . Его третий и пятый члены 4х 5 у 2 и -5х 5 у 2 имеют ту же буквенную часть х 5 y 2 . Это подобные члены в многочлены. их можно свести как подобные слагаемые в выражении:

4х 5 в 2 - 5х 5 у 2 = -х 5 у 2 .

После возведения подобных членов данный многочлен содержит не пять, а четыре члена, то есть приобретет более простой вид:

х 2 - 15xy + 4x 5 y 2 - 3 - 5x 5 y 2 = х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3.

В полученном многочлені каждый член является одночленом стандартного вида и не содержит подобных членов. Считают, что такой многочлен записан в стандартном виде.

Обратите внимание:

чтобы возвести многочлен к стандартному виду:

1) подайте каждый член многочлена в стандартном виде;

2) сведите подобные члены многочлена.

Найдем степень каждого члена многочлена х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3. Члены х 2 и -15ху имеют степень 2, член -х 5 у 2 имеет степень 7. Член -3 - это свободный член многочлена. Степень свободного члена многочлена равна нулю. Высочайший степень имеет член -х 5 y 2 . Поэтому его называют старшим членом данного многочлена. Степень многочлена определяют по степени его старшего члена.

Запомните!

Если многочлен представлен в стандартном виде, то степенью этого многочлена называется степень его старшего члена.

Задача 2. Найдите степень многочлена:

1) х 2 - 15ху - х 5 у 2 - 3;

2) х 3 y 2 - x 2 в 3 .

Решения. 1. Старшим членом многочлена х 2 - 15 ху - х 5 в 2 - 3 является член -х 5 у 2 . Его степень равна 7. Поэтому степень многочлена равна 7.

2. Многочлен х 3 у 2 - х 2 у 3 имеет два члены одинакового степени 5. Следовательно, данный многочлен является многочленом пятой степени.

Обратите внимание:

чтобы определить степень многочлена, найдите степень каждого его члена и выясните, какой из них является самым большим.

Найдя степени членов многочлена, его можно упорядочить по степеням членов. Для этого члены многочлена можно разместить, например, в порядке убывания их степеней, начиная запись со старшего члена многочлена и заканчивая его свободным членом, если он является:

х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3 = -х 5 y 2 + х 2 - 15ху - 3.

Узнайте больше

1. Среди многочленов выделяют особые виды многочленов, которые нашли широкое применение в математике.

Симметричный многочлен - многочлен от п переменных (n - натуральное число), что не меняется при любых перестановках переменных. Например: -43ху + х 5 у 2 + х 2 у 5 , х 2 - 9 + в 2 .

Действительно, если в этих многочленах заменить х на у, а у на х, то получим такой же многочлен.

2. В математике пользуются понятием алгебраической суммы, которое объединяет два понятия - «сумма» и «разность». Это связано с тем, что разницу можно представить как сумму: a - b = a + (-b).

Алгебраическая сумма чисел - это числовое выражение, которое содержит лишь сумму (разность) чисел. Например, 2 + 5 - 6 + 7 - 8 - алгебраическая сумма чисел 2, 5, -6, 7, -8.

Многочлен можно определить как алгебраическую сумму одночлен. Например, х 2 - 2х + х 3 - 4 - алгебраическая сумма одночлен х 2 , -2х, х 3 и -4.

3. Митропольский Юрий Алексеевич (1917-2008) - выдающийся математик, академик Национальной академии наук Украины, заслуженный деятель науки УССР, лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники, Герой Украины. Родился в с. Чернишівка Шишацкого р-на Полтавской обл.

С 1951 г. Ю. А. Митропольский работает в Институте математики НАН Украины, с которым связана вся его дальнейшая научная деятельность. Научную работу ученый успешно совмещал с педагогической - на механико-математическом факультете Киевского университета. Он является автором более 750 научных трудов. Среди его учеников 25 докторов и 100 кандидатов физико-математических наук.

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что такое многочлен?

2. Какие члены многочлена называют подобными?

3. Как возвести многочлен к стандартному виду?

4. Член многочлена называют старшим?

5. Что называется степенью многочлена?

6. Как определить степень многочлена?

7. Как упорядочить многочлен по степеням его членов?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

372 . Какое из данных выражений является многочленом:

1) 3а 2 ∙ х 3 ; 3) х 3 + х 12 ; 5)5: х 3 ;

2) 2 - х; 4) 4 3 + (х + 2,5); 6) + 5х?

373 . Назовите одночлен, сумма которых является многочленом:

2)5х 6 + х 6 + х;

3)6х + 4 + х 3 + 2х 2 .

374 . Запишите двочлен, что является суммой одночлен:

1)х 2 и х; 2) 2х и 6; 3)4х и 6х; 4)а 2 и а 3 .

375 . Запишите трехчлен, что является суммой одночлен:

1) х 2 , х и 5; 2) х, 4х и 2х; 3) х 3 , у 3 и z 3 .

376 . Правильно выделено подобные члены многочлена:

1) а 2 + 2х 2 + 2а + 2х + х;

2) а 2 + х 2 + а + х + х;

3) а 2 + х 2 + а + х + х?

377 . В каком случае правильно сведено подобные члены многочлена -х 2 - х + 1 + 2Х 2 + 3Х + 4 + 2Х:

1) -2х 2 - 3х + 5;

2) Х 2 - Х + 5;

3) Х 2 - 5Х + 5;

4) Х 2 + 4Х + 5?

378 . Является старшим членом многочлена х 3 + 5х 2 + 4х + х 5 + 3 выражение:

1) х 3 ; 2) х 6 ; 3)5x 2 ; 4)3; 5)4х?

379

1) х 2 + 3х + х 2 + 2;

2) х ∙ х + 5х + 2;

3) 2х 2 - 2х 3 ;

4) -3х - х 2 ?

380 . Можно свернуть в одночлен многочлен:

1)3 + 4х + 3х; 2)х 2 + х 2 ; 3)3х + 5х + 4х?

381

2)-х - х 9 +10х;

3) 6х - 2 - 2у 2 ;

4) 4 - 3n 3 m + n 2 - 5mn 3 .

382 . Назовите одночлен, которые составляют многочлен:

1)7ас - 9а - 4; 3)-а - 0,6 с - 2с 2 ;

2)6х 12 - х + в; 4)-а 5 с + в 2 - 5с 5 а - 55.

383

2)-2, 3ху,- х 2 и х 5 в 2 ;

3)-5х 8 , -4х 4 и 8.

384 . Запишите многочлен, являющийся суммой одночлен:

1) 4m 2 , mn и -рмп;

2) 0,25 х 2 , -2,8 x 5 и -ху 3 ;

3) -5, с 2 а 3 и с 3 а 2 .

385

1) 6n + 8,2 n - 5,9 n - 0,3 n + 7;

2) х 2 + 3х - 4х 2 + 2х;

3)-ас + а 2 - са + 3а 5 + 2са;

4) 4,5 ху - 6х 4 - 50" height="42" /> ху - 0,4 х 4 у + ху.

386 . Сведите подобные члены многочлена:

1) -5х + 11 х - 4х + 9х;

2)3,8 - 7х 2 + 3,4 - 4х 2 - 3х 2 ;

3)-5m 2 - 5m + 1 + 2m 2 + 9 + 2m;

4) -a 2 + 4с 2 + 3а 2 - с2а 2 + 4а 3 - 2а 2 .

387 . Какой из данных многочленов записаны в стандартном виде:

1)х 2 + 3х + 5х 2 + 2; 3) 2х 2 уz - 2ух 3 z;

2)у 2 + 5у + 2 + х; 4) (-3ху) 2 - х 2 х 3 ?

388

1)хх 2 + у 2 + х 5 + (-0,5 х 5);

2) 100 + p 2 + 1,4 г - 1,2 г 2 + 0,6 г - 28;

3) -4 + 32аb 2 а + аb 2 + 5 - 3аb + а 2 b 2 .

389 . Запишите в стандартном виде многочлен:

1) -ух 2 + хуу + 3х 2 - 8уух;

2) 0,5 b + 8 + (-с) 3 + 3bc - bс - 5 - 6,5 b + 7с 3 .

390 . Правильно, что старшим членом многочлена 81а 3 + 25b 2 + 3а - b 5 есть выражение:

1) 81а 3 ; 2) 25b 2 ; 3) 3; 4) b 5 ; 5) -b 5 ; 6) 81?

391 . Найдите степень многочлена:

3)1 + х + х 2 ;

4)-2 + 7х + 5х 2 .

392 . Найдите степень многочлена:

3)-27 - 27а 7 b 7 + а 8 .

393 . Упорядочите по степеням членов многочлен:

1)2 + 4а + 6а 8 + 1,8 а 5 + За 2 - 2а 10 - а 4 ;

2)ху 2 + 19х 2 + 3ху + 3ху 3 ;

3)1,6 ab + 2b 2 а 2 - 2b 3 a 3 + 3,7;

4)7х 4 + х 5 - х 3 - 10х 2 - 76.

394 . Дан многочлен 2xy - 3х - ху 2 - 8x 4 y + 5. Запишите:

2) свободный член многочлена;

3) степень многочлена;

395 . Дан многочлен -9 + m + 3mn 5 - m 2 - 8mn 6 . Запишите:

1) одночлен, которые составляют многочлен;

2) свободный член многочлена;

3) степень многочлена;

4) многочлен, упорядочив по степеням его члены.

396 . Сведите подобные члены многочлена:

1) 7 х 2 + 7х - 2 - 4ух 2 + 4ху 2 + ху - х 2 у;

2) 10a 2 - 7а - 3b 2 - 3a + (-4а) - 21 а 2 - 4а + 2,1 b 2 - 2 + (-5а 2);

3) 14m - 3n 3 - 2m - Зп 2 - 54m + 4n 3 + (-n) 3 - n 3 + m 2 + 3n 2 .

397 . Упростите многочлен -0,5 b - 4a 3 b 2 + (2b) 2 a 3 + b + a + (-0,5) 2 b) и найдите значение полученного выражения, если:

1) a = 2, b = -;

2)a =-0,4, b = -1.

398 . Запишите в стандартном виде многочлен:

1)-(yz) 2 + xy 2 + x 10 x - уух;

2) (а 2) 4 + 0,3(а 2) 3 + 5(а 4) 2 + 0,7 (а 2) 3 - а 6 ;

3) в 121,1 y - 6((-в) 4) 3 - (y 2) 5 (y - 3) 5 - (-11у) 2 + (в 6 в 5) 2 y 3 ;

4) 5 (х 2) 2 + (х 3 х 5 а 2) - 0,4 х 4 + (-0,125 х 10) + 81;

5) 4у 2 y 6 + 4 + (-2 3) 2 ((-0,5 y) 3) 3 - (2у 2) 4 .

399 . Запишите в стандартном виде многочлен:

1) 10,1(2) 2 + 6,9 ху 2 + у 8 + (-0,125 уу 7);

2) (3k 8) 3 - 0,01(2k 3 k) 6 - k 3 - 1,2 k 2 + 0,6 kkk;

3) -а 2 b 6 + (-3а) 3 + (-0,4 b 2 а 2)2b 2 - b - 2,4 b + 3а 3 ;

4) -х(0,3 ух) 2 + 32ху 2 + х 10 ху 2 - 18уух;

5) 0,4 zxy 2 z + (-3ху) 2 - х 2 х 3 - 1,5 z 2 (- х)(-у) 2 + х 5 .

Который степень полученного многочлена?

400 . Определите знак старшего члена многочлена:

Х(-в) 3 + хх + (-z) 5 (-в) 8 - 0,5 уху 2 - 0,5 + (-yz) 5 (-y) 3 + (-х) 2 .

401 . Упростите выражение 0,24 х 4 в 16 + z 2 x 4 уz 7 + 2хz 2 x 4 y 2 - 0,03(8) 2 (2х - 2) 3 - 0,8(zyx 2) 2 - z 9 в(-х 2) 2 и упорядочите полученный многочлен по степеням его членов.

402 . Упростите выражение х (x 2) 5 - 6((-х) 4) 3 - (х 2) 5 (-х 3) 5 - (-10х) 3 + ((х 3) 5 х 2 х 4) 2 - х 25 и разместите полученный многочлен по степеням его членов.

403 . Запишите сумму одночлен -2,6, 3ху 2 , х 8 , х 2 , 100х 3 y 2 , -2х 8 , 4х 4 в 2 и x 8 . Упорядочите многочлен по степеням его членов. Который степень полученного многочлена?

404 . Сколько разных двочленів и тричленів можно образовать из одночлен 10а 3 с, 6 ху, а 3 и 7?

405 . Подайте многочлен 5х 2 - х + 6у виде суммы четырех одночлен, один из которых равен:

1) 5х; 2) 6х; 3) 10.

406 . Подайте многочлен х 2 + 3х - 10 в виде суммы четырех одночлен, один из которых равен:

1) 2х; 2) х; 3) 3.

407 . Сколько многочленов, которые в стандартном виде состоят из шести членов, можно образовать добавлением одночлен 10а 3 , b, 6ху, -10ас, 10а, -3bс и 5? Запишите эти многочлены.

408 . Дан одночлен: 10а, 6ху, а 3 и 5. Образуйте многочлен, старший член которого равен:

1) 10а; 2) 6ху; 3) 5; 4) а 3 .

409 . Дан одночлен: 10х 2 в 4 , 6ху, 0,02 х 3 , -10в, 4,5 х 2 у 2 , -5,4, а, и 3х 4 . Образуйте многочлен, степень которого равна:

1) 7; 2) 6; 3)4; 4)3; 5)1; 6) 0.

410 . Найдите сумму двух чисел, одно из которых равно k % числа 48, а вторых - d% числа 100.

411 . Найдите сумму двух чисел, одно из которых равно 40 % числа А, а второе - 20 % числа d.

412 . Расстояние от Киева до Харькова на 329 км больше расстояние а км от Киева до Чернигова. Составьте выражение для нахождения длины пути Чернигов - Киев - Харьков. Выясните, какое расстояние между городами Киев и Чернигов, и вычислите значение составленного выражения.

413 . Каждая сторона шестиугольника равна а. Одну его сторону увеличили в 2 раза, вторую - в 3 раза, третью - в 4 раза и т. д. Найдите периметр получившегося шестиугольника.

414 . Стороны а и с прямоугольника уменьшили соответственно на 10 % и на 20 %. Найдите периметр полученного прямоугольника. Ответ запишите в виде многочлена.

415 . Упростите выражение:

1) (2b ∙ 3b n ba n) 2 + (-4b) 3 (b 2)n ∙ a 2 n b + a 2 b 3 n;

2) a n+3 a n+2 + b 3 a n+2 + b

3) (-1) n (a n) n + (а n) n + 1;

4)(-2b 2) n (0,125 а 2) n (2с) 2 n + (аbс) 2 n .

Найдите степень многочлена, в который превратится данное выражение после упрощения.

416 . Сколько различных многочленов стандартного вида можно образовать из одночлен 10а 3 , 6ху, а 3 и -z 9 ?

417 . Упростите выражение (bа 5) 2 n + ba 6 a 1 0 + а 2 b 8 а 8 n а 4 n - b(а 8) 2 + b 3 n b n c 3 a 8 n с 2 и упорядочите полученный многочлен по степеням его членов.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

418 . Начальную цену а грн за 1 кг крупы снизили на 10 %, а начальную цену b грн за 1 кг сахара снизили на 5 %. На сколько уменьшится общая стоимость 4 кг сахара и 8 кг крупы после скидки? По условию задачи составьте выражение, упростите его и вычислите, если а = 12, b= 10.

419 . На первую клеточку шахматной доски положили k зернышек, на вторую - в k раз больше, чем на первую, на третью - в k раз больше, чем на вторую и т. д. Сколько зернышек будет на: 1) шести ячейках; 2) десяти ячейках? Ответ запишите в виде многочлена.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

420 . Преобразуйте в десятичную дробь:

1) ; 2) 2 ; 3) ; 4) 1.

421 . Маша задумала некоторое число, которое сначала увеличила на 2 , а потом еще в 3 раза. В результате получила 6 . Какое число задумала Маша?

На этом уроке мы продолжим изучать математические конструкции, которые будут использоваться для решения различных задач, в частности уравнений и неравенств. Мы уже поговорили об одночленах и знаем, что сумма одночленов - это многочлен. Теперь мы поговорим о свойствах многочленов, о том, как приводить их к стандартному виду и выполнять с ними различные арифметические действия.

На прошлом уроке мы ввели новую конструкцию: многочлен - сумма одночленов.

Например,

Зачем нужны многочлены

Мобильный телефон - очень удобное и полезное устройство. С его помощью можно не только звонить и писать СМС, но и сидеть в интернете, социальных сетях, играть в разные игры. В общем, скучным и бесполезным его точно не назовёшь.

А видели ли вы, как производят телефоны? Большой завод, на котором штампуются разные непонятные микросхемы, пластмассовые детали, затем всё это соединяется. В целом и общем - рутинное, однотипное занятие, не всегда даже понятно, зачем та или иная деталь нужна, как она помогает телефону выполнять свои функции.

И это касается не только телефонов. Почти любой полезный результат, который мы наблюдаем, скрывает за собой много рутинной работы. Фигуристы, чтобы показать минут красивой программы, ежедневно по несколько десятков раз выполняют одни и те же упражнения и т. д.

В математике всё то же самое. Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например многочленами.

Терминология

Мы говорим: «многоэтажный дом», потому что в нём «много этажей». Аналогично многочлен - это «много членов».

Например, членами многочлена являются и .

В данном примере два одночлена, в таких случаях многочлен называют двучленом . Если их три - то трехчленом (например, ).

Обратите внимание, что, когда мы называли члены многочлена, мы назвали именно , а не . Поскольку многочлен - это СУММА одночленов, то знак минус относится к числовому коэффициенту одночлена: .

Для наглядности можно воспользоваться эквивалентной записью этого же многочлена:

Для удобства классификации одночлены («сумма одного члена») также относят к многочленам. И в этом нет ничего странного. Например, в кафе столик для официанта занят независимо от того, сидит за ним 1 человек или 10. Или заказ для таксиста: не важно, сколько поедут человек: 1, 2, 3 или 4.

Таким образом, для описания структуры многочленов можно использовать следующую иллюстрацию:

Рис. 1. Структура многочленов

В зависимости от задачи число 3 можно представлять различными способами:

Но работать с числами, которые записаны по-разному, неудобно. Поэтому запись в десятичной системе счисления принято считать стандартной (для такой записи есть алгоритмы выполнения арифметических операций, можно сравнивать числа друг с другом и т. д.).

Мы уже вводили стандартный вид для одночленов. Естественно ввести такой стандарт и для многочленов.

Многочлен можно записать разными способами:

Нужно выбрать такой способ записи, чтобы было удобно выполнять различные арифметические операции с многочленами.

Многочлен может содержать в себе подобные одночлены. На прошлом уроке мы уже научились складывать подобные одночлены, поэтому естественно, когда они встречаются в многочлене, их сложить, тем самым упростив многочлен:

Если в многочлене привести (т. е. сложить) все подобные одночлены, а также записать их в стандартном виде, то мы получим многочлен стандартного вида.

Многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида .

Например,

Зачем тренировать технику?

На самом деле, ничего сложного в работе с многочленами (приведение к стандартному виду, арифметические операции с многочленами) нет.

Алгоритмы действий (которые мы в дальнейшем изучим и потренируемся применять) легко программируются, поэтому сегодня всю техническую работу можно поручить компьютеру.

Но мы отрабатываем навыки работы с различными выражениями, чтобы в дальнейшем применять их для решения, например, уравнений, которые возникают при работе над различными прикладными задачами.

Пример 1.

Выбрать среди многочленов те, которые записаны в стандартном виде:

В многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

- в многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно );

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно ).

Таким образом, многочленами стандартного вида являются:

Ответ: .

Пример 2.

Привести многочлены к стандартному виду:

Итак, мы ввели новый объект - многочлены. Научимся с ними работать, т. е. выполнять арифметические действия.

Степень многочлена

Числа похожи: в них по три цифры. А вот числа и различаются: в одном 5 цифр, в другом - 2. Т. е. числа можно классифицировать по количеству цифр, в них входящих.

Для многочленов, записанных в стандартном виде, можно ввести подобную классификацию - по степени старшего слагаемого. Для этого вводят понятие степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.

Многочлены, которые тождественно равны 0, называют ноль-многочленами .

Например:

У таких многочленов степени нет.

Пример 1.

Определить степень многочленов:

Многочлен второй степени, т. к. степень одночлена - вторая, а - нулевая;

- многочлен шестой степени, поскольку степень одночлена - это сумма показателей всех переменных, которые в него входят: ;

Многочлен нулевой степени;

Нет степени.

Ответ: 2; 6; 0; нет степени.

Почему говорят именно о степени многочлена стандартного вида? - это многочлен первой степени, а - ?

Если бы в определении степени многочлена не было слова «стандартный», то ответ был бы . Но понятно, что оба этих многочлена эквивалентны, поэтому степень у них должна быть одинакова:

Поэтому говорят именно о степени многочлена стандартного вида (и это ещё один пример пользы введения стандартного вида многочлена).

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит минус?

Вова, Володя, Владимир - разные записи одного и того же имени.

Это сокращённая запись выражения .

Тогда запись - сокращённая запись выражения .

Такое умножение мы можем выполнить, пользуясь распределительным законом:

Т. е. мы получим:

Так можно поступать при раскрытии любых скобок, перед которыми стоит знак минус. Кроме того, можно заметить и запомнить, что в таком случае нужно поменять знак перед каждым слагаемым.

Пример 3.

Упростить выражения:

Вспомним, что если перед скобками стоит знак «», то скобки просто можно опустить, а если знак «», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Запишем распределительный закон:

Пример 4.

Упростить выражения:

Используем распределительный закон.

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.