Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Определение 1

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a · x 2 + b · x + c < 0 , где a , b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака < может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y = a · x 2 + b · x + c .

Приведем пример квадратного неравенства:

Пример 1

Возьмем 5 · x 2 − 3 · x + 1 > 0 . В этом случае a = 5 , b = − 3 и c = 1 .

Или вот такое неравенство:

Пример 2

− 2 , 2 · z 2 − 0 , 5 · z − 11 ≤ 0 , где a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 и c = − 11 .

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Пример 3

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x 2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b · x + c > 0 , так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример 4

Пример такого неравенства x 2 − 5 ≥ 0 .

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

Определение 2

• графический;
• метод интервалов;
• через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c для квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c < 0 (≤ , > , ≥) . Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a · x 2 + b · x + c при их наличии.

Для неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 , промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида (x − p) 2 < q (≤ , > , ≥) , где p и q – некоторые числа.

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5 ≤ 2 · x − 3 · x 2 . Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 · x 2 − 2 · x + 5 ≤ 0 .

Пример 5

Необходимо найти множество решений неравенства 3 · (x − 1) · (x + 1) < (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 · (x − 1) · (x + 1) − (x − 2) 2 − x 2 − 5 < 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D ’ = 2 2 − 1 · (− 12) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал (− 6 , 2) .

Ответ: (− 6 , 2) .

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2 · x 2 + 5 < x 2 + 6 · x + 14

равносильно квадратному неравенству x 2 − 6 · x − 9 < 0 , а логарифмическое неравенство log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 – неравенству x 2 + x − 2 ≥ 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Общий вид квадратного неравенства после переноса всех выражений на одну сторону неравенства представляет собой одну из следующих форм:

$ax^2+bx+c > 0$ , либо $ax^2+bx+c \geq 0$ либо $ax^2+bx+c

Когда $a \neq 0$ , а также $b, c \in \mathbb{R}$

Решением каждого неравенства указанного выше, является нахождение всех действительных чисел, которыми можно заменить $x$ так, чтобы неравенство было верным.

Например, если мы заявляем, что $x = 1$ является одним из корней неравенства $x^2 - \frac{1}{2} > 0$. Подставив 1 вместо всех переменных $x$ в неравенстве, мы получим, что $1^2 - \frac{1}{2} > 0 \rightarrow \frac{1}{2} > 0$ ,
что всегда верно. Поэтому $x = 1$ является одним из решений данного неравенства.

Теперь мы научимся решать неравенства (1).

Во-первых, мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, $y = ax^2+bx+c$, и предположим, что $ax^2+bx+c$ равно нулю. Тогда:

$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) = 0 \rightarrow^{a \neq 0} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0 \rightarrow$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2} = 0 \rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \rightarrow$
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow $
$x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Из этого следует, что график квадратного уравнения пересекает ось x в точке $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Эти нули разделяют числовую прямую на три интервала:

$(-\infty, x_1)$ , $$ , $(x_2,+\infty)$,

допуская, что $x_1

Теперь пусть $\Delta = b^2 - 4ac$.

Мы можем рассмотреть три указанных ниже случая:

1. $\Delta > 0$
2. $\Delta = 0$
3. $\Delta

Случай 1: Если $\Delta > 0$,

Тогда $ax^2+bx+c$ имеет два различных корня $(x_1 \neq x_2)$.
Теперь, если $a>0$, то его график получается таким, как на "Рисунке а" .
Если $a "Рисунке b". Поэтому, если $a>0$ и, если имеем $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$, то тогда множество решений это:
$(-\infty, x_1] \cup $ $((x_1,x_2))$
С другой стороны, если $a 0)$, тогда множество решений это:
$$ $((x_1,x_2))$
А если имеем $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c $(-\infty, x_1] \cup \cup ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.