Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ В 7 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ
«Взаимное расположение графиков линейных функций»

учебник Ш.А.Алимов и др. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение, 2000.

Урок подготовила и провела Кузнецова С.Д.,

учитель математики МКОУ ООШ № 4, г. Красноуфимск

Цель урока: создать условия для получения учащимися новых знаний через проведение исследования, обработку полученных результатов и умение делать выводы.

Задачи :

Предметные: обосновывать, что графиком линейной функции является прямая;

рассмотреть случаи взаимного расположения прямых – графиков линейных функций;

развивать навыки построения прямых по координатам точек; способствовать представлению о взаимном расположении графиков линейных функций, построения их на основе традиционных и инновационных ресурсов.

Метопредметные

Регулятивные: работают по составленному плану, используют наряду с основными и дополнительные средства построения графиков линейных функций. В диалоге с учителем совершенствуют критерии оценки и пользуются ими в ходе оценки и самооценки.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием ЭОР.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявлять положительное отношение к урокам алгебры, широкий интерес к новому учебному материалу, способам решения новых учебных задач, доброжелательное отношение к сверстникам; дают позитивную оценку и самооценку учебной деятельности; анализируют соответствие результатов требованиям конкретной учебной задачи.

Тип урока урок – изучения нового материала Вид урока Урок – исследование

ХОД УРОКА

I . Организационный момент. Приветствие (1 – 2 мин)

II .Актуализация. На прошлом уроке мы с вами познакомились с понятием линейная функция. При изучении нового материала мы всегда опираемся на ранее изученный материал.

Фронтальный опрос + устная работа с целью повторения ранее изученного материала

В ходе подготовки к устной работе приготовьтесь ответить на следующие вопросы:

3) Как называют число k ? Что оно показывает? Как влияет знак коэффициента k

4) Как называется число b ? Что показывает число b ?

Работа в парах (2 – 3 мин.)

1 пара	Ответить на вопросы: 1) Какая функция называется линейной? 2) Что является графиком линейной функции?	2 пара	Ответить на вопросы: Как называют число k ? Как называется число b ?
3 пара	Ответить на вопросы: Что показывает число k k на положение графика в системе координат?	4 пара	Ответить на вопросы: Что показывает число k ? Как влияет знак коэффициента k на положение графика в системе координат?
5 пара	Ответить на вопрос: Как называется число b ? Что показывает число b ?
6 пара		7 пара Что представляет собой график линейной функции, если угловой коэффициент равен 0?

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут.

Проверим, насколько вы были внимательны во время устной работы.

Физ. минутка. (работа со слайдами 13,14,15,16)

Учитель просит детей сильно зажмурить глаза, после чего открывает слайд 13 и просит открыть глаза и найти ошибку. Дети находят ошибку, учитель показывает правильный ответ. Опять просит зажмурить глаза, включает следующий слайд и т.д.

Изложение нового материала

1. Цель: Обеспечить целеполагание.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая. Каково взаимное расположение прямых на плоскости? /параллельны, пересекаются, совпадают/

Можно ли применить наш вывод к графикам линейных функций? На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока.

(«»)

Сформулируйте своими словами цель работы на уроке, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться?

/ Каково взаимное расположение графиков линейных функций,

от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Можно ли без построения графиков определить взаимное расположение графиков линейных функций./

Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование k и b .

Цель работы: k и b .

Группа №1. у = х – 2 и у = х + 1. Инструкция у = х – 2 и у = х + 1. k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) Вывод: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Вывод:

Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями параллельны.

Таким образом, если угловые коэффициенты k прямых y = kx + b одинаковы, а значения b различны, то эти прямые параллельны.

Группа № 2. Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2х + 1. Инструкция 1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1. 2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) 3) Запишите, а затем сравните свободные члены b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) 4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций. Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями _________ Запишите вывод с помощью математических символов: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.	1
Группа № 3. Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - . Инструкция 1) В одной системе координат постройте графики у = 2х – 1 и у = х - . 2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) 3) Запишите, а затем сравните свободные члены b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) 4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций. Вывод: Из рисунка видно, что видно, что графики двух данных функций _______________ Запишите вывод с помощью математических символов: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Вывод: видно, что графики двух данных функций совпадают.

Вывод:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые пересекаются.

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые параллельны.

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые совпадают.

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут. Заполнение памятки.

Формирование умений и навыков

Этап первичного закрепления новых знаний.

Задание № 1 . Функции заданы формулами

1) у = -1,5х + 6 2) у = 0,5х + 6 3) у = 0,5х + 4 4)у = 0,5х 5)у = 3 + 1,5х

Выпишите те, из них которые:

1) Параллельны графику функции у = 0,5х + 10 (2,3 и 4)

2) Пересекают график функции у = -1,5х (2,3,4 и 5)

Задание 2 .

Дана линейная функция у = 2,5х – 4. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой

1) параллелен графику данной функции;

2) пересекает график данной функции.

Задание 3 . Найдите лишнюю функцию, ответ обоснуйте

1) у= - 2х + 0,3; у = -2х + 4; у = 3 - 2х; у = х + 1; у = - 2х; у = - 2 ?

2) у = х + 3; у = 2(0,5х + 1,5); у = 3 - х ; у = 3 + х; у = ?

Задание 4 .

1. При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

у = 2 ах + 5 и у = 5 х – 2. (Ответ: а ≠ 2,5)

2. При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

у = 3 ах + 5 и у = 6 х – 2. (Ответ: а = 2)

3. При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

у = 2 ах + 7 и у = 9 х + 7 (Ответ: а = 4,5)

V. Подведение итогов урока, постановка задания на дом.

– Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

– Условие пересечения графиков двух линейных функций?

– При каком условии графики линейных функций параллельны?

– Условие совпадения графиков линейных функций?

VI . Домашнее задание: п. 32, № 610. Рекомендую при построении графиков разных функций применять цветные пасты. Не забывайте делать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений b и k .

VI I . Рефлексия + тест (при наличии времени)

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я узнал….

Сегодня на уроке я научился….

У меня хорошо получилось…

Я хотел бы еще…

«Приложение 1. Памятка»

Памятка

по теме «_____________________________________________»

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида ______________, где x – ______________________,

k – _________________________________________________и

b – _________________________________________________.

Графиком линейной функции является ____________________ .

Если k ___0 х _____________________ .

Если k ___0 , то угол наклона, образованный графиком функции, с положительным направлением оси х _____________________ .

Если k ___0 , то график линейной функции________________ с осью х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ____________________________________.

Зависимость графика линейной функции от k и b

k / b + – 0

Пусть функции заданы формулами y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые _____________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые ____________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые ______________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

Просмотр содержимого документа
«Приложение 2. Задания для групп на устную работу»

Задание для 1 пары

Выберите линейные функции и выделите букву, стоящую рядом.

При ответе сделайте клик мышью по букве.

1) Р у = – 0,3х + 3; 4) Г у = x – 5x 2 ; 7) Х у = х 3 – 5;

2) Я у = – 8 + x ; 5) Ш у = x 2 + 1; 8) П у = 205x + 3;

3) А у = – 4 – 7х ; 6) М у = 4 – 6x ; 9) Я у = 0,5x.

Ответьте на вопросы устно

1) Какая функция называется линейной?

2) Что является графиком линейной функции?

__________________________________________________________________

Задание для 2 пары Заполните таблицу

k b

Ответьте на вопросы устно

Как называют число k ? Как называется число b ?

_____________________________________________________________________

Задание для 3 пары

Задание для 4 пары

______________________________________________________________________

Задание для 5 пары

1)
Как называется число b ? Что показывает число b ?

Задание для 6 пары

Задание для 7 пары

Что представляет собой график линейной функции, если угловой коэффициент равен 0?

Просмотр содержимого документа
«Приложение 3. Инстукция к лабораторной работе»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод:

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

1)В одной системе координат постройте графики у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что видно, что графики двух данных функций _______________________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Просмотр содержимого документа
«Приложение 4. Построение графиков»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

у = х – 2 и у = х + 1.

1) у = х – 2 - 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х – 2
2) у = х + 1 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х + 1

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

В одной системе координат построить графики функций у = х – 2 и у = х + 1.

1) у = х – 2 - __________, проходящая через ____________________________ 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х – 2
2) у = х + 1 - __________, проходящая через ____________________ 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________

Расположение графика функции У равно КХ плюс В на координатной плоскости напрямую зависит от значения коэффициентов К и В. Спросим: как зависит расположение графика от коэффициента В. Если Х=0, то У=В. Значит график линейной функции У равно КХ плюс В при любых значениях К и В обязательно проходит через точку с координатами (0; В). От К зависит угол, который образует прямая У равно КХ плюс В с осью Х.

Например, прямая У равно КХ плюс В при К=1 и наклонена к оси Х под углом сорок пять градусов. Это следует из того, что прямая У=Х совпадает с биссектрисами первого и третьего координатных углов. Если К больше нуля, то угол наклона прямой У равно КХ плюс В к оси Х острый. Если же К меньше нуля, то этот угол тупой. Поэтому коэффициент К называют угловым коэффициентом прямой графика функции У равно КХ плюс В.

Выясним, каково взаимное расположение графиков функций двух линейных функций: У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 на координатной плоскости. Графики этих функций прямые. Они могут пересекаться, то есть -иметь только одну общую точку, или быть параллельными, то есть - не иметь общих точек. Если К1 не равно К2, то прямые пересекаются, так как первая из них параллельна графику прямой пропорциональности У равняется К1Х, а вторая графику прямой пропорциональности У равно К2Х. А этими графиками являются две пересекающиеся прямые. Если К1 равно К2, то прямые параллельные, так как каждая из них параллельная графику прямой пропорциональности У равно КХ, где К равно К1и равно К2.

Заметим, что случаи, когда К1 равно К2 и В1 равно В2 мы не рассматриваем, так как речь идет о графиках двух различных функций. А при этом условии прямые У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 совпадают.

Итак, для любых двух линейных функций справедливо утверждение «Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются, если же угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые параллельны.» На рисунку мы видим графики различных линейных функций с угловыми коэффициентами и одинаковым значением В, равным двум. Эти графики пересекаются в точке с координатами ноль и два. На следующем рисунке изображены графики линейных функций с одинаковыми угловыми коэффициентами и различными значениями В. Эти прямые параллельны друг другу.

Пример один. Найдем координаты точек пересечения графиков функций: У равно минус 3Х плюс 1 и У равно Х минус 3. Будем рассуждать так: пусть точка М с координатами Х нулевое У нулевое - искомая точка пересечения графиков данных функций. Тогда ее координаты удовлетворяют как первое, так и второе уравнению. Значит, У нулевое равное минус 3Х нулевое плюс 1 и У нулевое равное Х нулевое минус 3 - это верные числовые равенства.

Отсюда получаем, что минус 3Х нулевое плюс 1 равно Х нулевое минус 3. Тогда минус 4Х нулевое равно минус 4, и Х нулевое тогда равно 1.

Подставим значение Х нулевое равно 1 в равенство У нулевое равно минус 3Х нулевое плюс 1 или в равенство У нулевое равно Х нулевое минус 3, получим У нулевое равно минус 2. Таким образом, точка пересечения графиков функций имеет такие координаты: Х нулевое равно 1, а У нулевое равно минус 2. Заметим, что часто неизвестные координаты не обозначают другими символами. В этом случае решение выглядит так: минус 3Х плюс 1 равно Х минус 3; минус 4Х равно минус 4, а Х равно 1. У равно 1 минус 3 и равно минус 2. (Или У равно минус 3 умножить на 1 плюс 1 равно минус 2.) Ответ: точка с координатами 1 и минус 2.

Линейная функция часто используется в статистике. Рассмотрим пример. Автомобиль проехал за 10 часов расстояние, равное 800 километров. Каждый час фиксировалось расстояние от пункта отправления до автомобиля. После этого полученные достаточно разбросанные данные отмечали в координатной плоскости. Отмеченные точки не лежат на одной прямой, поскольку на разных участках дороги автомобиль ехал с разной скоростью.

Однако все полученные точки группируются около так называемой аппроксимирующей прямой. Чтобы ее построить, нужно приложить к чертежу линейку и провести наиболее подходящую прямую, содержащую вблизи себя все отмеченные точки. Проведенная прямая позволяет прогнозировать, где может оказаться автомобиль через 11, 12 и так далее часов после начала своего движения. Заметим, что в статистике существуют специальные методы расчетов аппроксимирующих прямых, но и рассмотренный метод дает вполне разумное приближение.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

1. Выяснить зависимость расположения графиков линейных функций от значений k и b.
2. Формирование умений и навыков по внешнему виду определять взаимное расположение графиков линейных функций; уметь задавать формулами линейные функции, графики которых пересекаются или параллельны.
3. Развитие способностей наблюдать, анализировать, делать выводы.

Ход урока

1. Организационный момент.

На этом уроке мы продолжим говорить о линейной функции и о прямой пропорциональности. Выясним их взаимное расположение, зависящее от значений k и b. Научимся по внешнему виду, не выполняя построений определять взаимное расположение графиков линейных функций. Каждый на уроке обязательно получит оценку.

2. Актуализация знаний.

а) Устная работа

1. Какую функцию называют линейной?
2. Что является графиком линейной функции?
3. Сколько нужно отметить точек на координатной плоскости, чтобы построить прямую?
4. Как построить график линейной функции?
5. Какую функцию называют прямой пропорциональностью?
6. Что является графиком прямой пропорциональности?
7. Как его построить?
8. В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх + b при k<0, k>0?
9. Как называется k?
10. Что зависит на графике от k?
11. Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?

б) В это время 2 человека работают по карточкам.

Карточка № 1.

1. Уравнение прямой имеет вид у = kх + b. Для функции у = 2 – 7х запиши чему равны k и b?
2. Построить в одной системе координат графики функций у = 5 – х и у = -х.

Карточка № 2.

1. Как называется функция у = 5х + 2?
2. Построить в одной системе координат графики функций у = х – 2 и у = х.

3. Проверка домашнего задания.

1) Найти координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) у = -4х – 1 и у = 2х + 5	б) у = -2х + 3 и у = х – 6
-4х –1 = 2х + 5	-2х + 3 = х – 6
-4х – 2х = 5 + 1	-2х – х = -6 – 3
-6х = 6	-3х = -9
х = -1	х = 3
у = -4(-1) – 1 = 3 точка пересечения (-1, 3)	у = 3 – 6= -3 точка пересечения (3, -3)

2) Построить в одной системе координат графики функций:

а) у = х + 2, у = х, у = х – 3
б) у = х + 2, у = -х + 2, у = 2

Работа устная по чертежам. Вывод записать в тетрадь.

1. k > 0 => Угол наклона прямой к оси Ох острый;
   k < 0 => Угол наклона прямой к оси Ох тупой;
   k = 0 => прямая параллельна оси Ох;
2. b => график пересекает ось Оу выше оси Ох;
   b => график пересекает ось Оу ниже оси Ох;
   b => график проходит через начало координат (прямая пропорциональность).
3. Даны функции заданные формулами: у = k 1 х + b 1 и у = k 2 х + b 2
   k 1 = k 2 , b 1 = b 2 => графики функций совпадают,
   k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 => графики функций параллельны,
   k 1 ≠ k 2 => графики пересекаются,
   k 1 ≠ k 2, b 1 = b 2 => графики пересекаются в точке (0,b).

4. Закрепление. Устно.

1) Определить по графику знак углового коэффициента k и число b

k > 0,b = -1

k < 0,b = 2

2) Среди функций, заданных формулами:
у = х + 0,5 (1);
у = 1 + 0,5х (2);
у = 2х –5 (3);
у = -0,5х + 4 (4);
у = 5х = 1 (5);
у = 0,5х –2 (6) назовите те, которые:

а) параллельны графику функции у = 0,5х + 4
б) пересекаются с графиком функции у = 2х + 3
в) совпадают с графиком функции у = 4 – 0,5х

3) По внешнему виду определить: Правильно ли построен график? Ответ объяснить.

4) Составить функцию, график которой будет:

а) параллелен графику функции у = 35х – 42;
б) параллелен графику функции у = 35х – 42 и проходит через начало координат;
в) пересекается с графиком функции у = 35х – 42;
г) пересекается с графиком функции у = 35х – 42 в точке А(0, -42).

5) Составить формулы для функций, изображенных графиков:

В тетрадях.

1) Найти координаты точки пересечения графика у = 3х + 4 с осями координат:

с осью Ох, у = 0: 3х + 4 = 0 х = - (-; 0)

с осью Оу, х = 0: у = 30 + 4 = 4

2) График функции у = kх + 5 проходbт через точку М(-7; 12). Найдите k.

12 = -7k + 5
7k = -7
k = -1

3) График функции у = kх + b проходит через точку А(-3, 2) и параллелен прямой у = -4х. Найдите k и b. Напишите получившуюся формулу:

k = -4, х = -3, у = 2 2 = -3(-4) + b
2 = 12 + b
b = -10

у = -4х – 10

5. Тестирование.

Вариант 1.

а) у = 2х –1 и у = 2х + 3

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

б) у = 3х + 2 и у = 2х –3

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

в) у = 0,5х + и у =0,75 + х

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

а) у = 12х – 8 и у = ?х + 4 пересекались
б) у = 12х – 8 и у = ?х – 1 параллельны
в) у = 12х – 8 и у = ?х – ? перекались в точке (0; -8)

Вариант 2/

1. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций:

а) у = 6х – 1 и у = 4х + 5

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

б) у = х – 0,5 и у = - + 0,6х

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

в) у = 0,5х + 2 и у = 0,5х – 4

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

2. Подберите и вставьте вместо знака вопроса такое число, чтобы графики функций:

а) у = -27х + 1 и у = ?х – 9 пересекались
б) у = -27х + 1 и у = ?х + 4 параллельны
в у = -27х + 1 и у = ?х + ? перекались в точке (0; 1)

3.Составить функцию для графика, изображенного на рисунке:

6. Домашнее задание: № 335, 336, 346, 347/

7. Итог урока.(выставление оценок, рефлексия)

УРОК в 7 классе по теме «Взаимное расположение графиков линейной функции».

Форма урока – деловая игра. Класс разбивается на 6 команд. В соревновании участвуют только 1, 2, 3, 4, и 5 команды (исследовательские лаборатории), 6 – я команда – «(не) вольные слушатели», состоит из учащихся, которые по каким – либо причинам отсутствовали на предварительных уроках и не могут в полном объеме владеть базовым материалом по данной теме.

Обучающие цели:

1. Закрепить навыки и умения учащихся по построению графиков линейных функций;

выяснить зависимость положения графиков линейной функции от значений k и b ;

научить определять по значениям k и b положение графиков на координатной плоскости;

по графику научить определять заданную функцию;

по формуле линейной функции научить определять соответствующий ей график.

Воспитательные цели:

Воспитывать умение работать коллективно;

эстетика в выполнении чертежей;

умение говорить и правильно высказать свои мысли с использованием математических терминов.

Ход урока:

Оргмомент . Ставлю цели и задачи. Объясняю форму урока .

Повторение пройденного материала.

1. Сформулируйте определение линейной функции.

( Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа . )

1 з а д а н и е: Определить, какие функции являются линейными: у = 3x,

y = x (6 – x ), y = 2, y = x (9 – x ) + x 2 , y = +9, у = . Если будут неверные ответы, задать вопросы командам, которые ошиблись:

1. Что является графиком линейной функции?

( Графиком линейной функции является прямая линия . )

1. Как построить график линейной функции?

( Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.)

1. Почему для построения графика линейной функции достаточно только двух точек?

(Из начальных геометрических сведений мы знаем, что через две точки плоскости можно провести прямую линию и причем только одну.)

1. Что значит утверждение: «точка принадлежит графику функции»?

( Данное утверждение означает, что абсцисса этой точки равна аргументу, а ордината – соответствующему значению функции.)

2 з а д а н и е: Используя данный слайд задать следующие вопросы:

3 з а д а н и е: Опишите устно, что собой представляет график функции, заданной формулой: у = 25х, у = -70 , у = - 0,01х, у = 0

4 з а д а н и е: 1.Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоугольник со сторонами 8 см и x см. Обозначив площадь оставшейся части квадрата буквой у, выразите зависимость у от x формулой . ( y = 100 – 8x)

( y = 67 – 8x

x = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ).

2.У мальчика было 67 р. Он купил x марок по 8 рублей за штуку, после чего у него осталось у рублей. Задайте формулой зависимость у от х. Укажите область определения функции.

( y = 67 – 8x

x = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).

5 задание: Какие две пословицы переведены на математический язык? (Чем дальше в лес, тем больше дров. Кашу маслом не испортишь)

3. Практическая работа и исследовательская работа: (Задания командам)

I группа .

у= х, у= х-1, у= х+2

б) Ответить на вопросы: 1). Графики функций представляют собой… 2). Что общего в формулах этих функций? 3). В каких координатных четвертях проходят графики? 4). Каково значение коэффициента по знаку? 5). Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 6). Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?

Вывод Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, одинаковы, то прямые параллельны

II группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций у=х-4,

у=-2х-4, у=-4

2) Что общего в формулах этих функций? 3) В каких координатных четвертях расположены графики? 4) Каково значение коэффициента по знаку? 5) Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 6) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?

Вывод о взаимном расположении графиков функций: Если угловые коэффициенты прямых- различны, а число в одинаковое. то прямые пересекаются в точке (о; в ).

III группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций у=6х-3,

у=-3х+6

б) Ответить на вопросы: 1) Графики функций представляют собой…

2) В каких координатных четвертях расположены графики? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 5) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу? 6) Если графики пересекаются, то определите координаты точки пересечения

Вывод о взаимном расположении графиков функций: Если угловые коэффициенты прямых различны, и число в различное, то прямые пересекаются.

I V группа а) Построить график функций: ; ; .

k

Вывод : Если k > 0 и b > 0, то график функции находится в I, II, III четверти. Если
k > 0 и b < 0, то в I, III, IV четверти. Если k > 0 и b = 0, то в I, III четверти.

Если k>0, то угол наклона прямой к оси ОХ острый. Если b>0,то график пересекает ось Оу выше оси Ох; b<0,то график пересекает ось Оу ниже оси Ох;b=0,то график проходит через начало координат (прямая пропорциональность)

V группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций: ; ;

б) Ответьте на вопросы: 1) Графики функций представляют собой… 2) В какой точке пересекаются графики функций? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Какой угол наклона каждого графика к оси Ох? 5) Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков к оси Ох?

Вывод: Если k < 0 и b > 0,то график функции находится в I, II, IV четверти.
Если k < 0 и b < 0,то в II, III, IV четверти. Если k < 0 и b = 0, то в II, IV четверти. Если k<0, то угол наклона прямой к оси ОХ тупой. Если b>0 график пересекает ось Оу выше оси Ох; b<0 график пересекает ось Оу ниже оси Ох; b=0 график проходит через начало координат (прямая пропорциональность

VI группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций:

у=5; у=-3; у=0

б) Ответьте на вопросы: 1) Графики функций представляют собой… 2) В какой точке пересекаются графики функций? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Какой угол наклона каждого графика к оси Ох? 5) Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков к оси Ох?

Вывод : Если k=0, то прямая параллельна оси Ох.

b>0 график пересекает ось Оу выше оси Ох;

b<0 график пересекает ось Оу ниже оси Ох;

b=0 график совпадает с осью ОХ

После выполнения заданий (графики строят на листах А4, на которых заготовлена координатная сетка) каждая команда 1 - 6 отчитывается по результатам выполненной работы (Задание «б» карточек)

Общие итоги работ:

Если коэффициенты у функций одинаковые, то графики функций – параллельны.

Если коэффициенты различны, то графики функций – пересекаются.

Ордината точки пересечения графика функции с осью Оу равна b .

Если коэффициент k > 0, то графики расположены в I и III координатных четвертях, углы наклона графиков функции к оси Ох – острые.

Если коэффициент k < 0, то графики расположены во II и IV координатных четвертях, а углы наклона графиков функции к оси Ох – тупые.

Чем больше значение k , тем больше угол наклона графика функции к оси Ох.

4.Линейная функция в пословицах

5.Закрепление нового материала.

Устная работа по учебнику № 1082, 1083, 1084

6.Индивидуальная работа. Тестирование ( Цели: проверить, как учащиеся усвоили новую тему) Каждый получает карточку

Приложение 1

7.Стихотворение о линейной функции.

Функция линейная

Совсем не здоровенная,

... и все...

И больше ничего.

Но это только кажется,

Что все легко и вяжется,

Ведь главные у функции-

Есть два таких числа…

Чтоб мы не заблудились

В координатной плоскости

Они как два гаишника

Движением рулят.

КА смело нам укажет,

Что за приключения

Нам с вами предстоят.

Ведь от ее характера и от ее одежды

Зависит – толи в горку,

иль с горки нам бежать.

А БЭ за нас волнуется,

БЭ просто нам подскажет

Как правильно и верно

Дорогу перейти.

И судя по строительству

Графиков линейных

Сказать мы можем смело

Что числа те важны.

И если вдруг окажемся

В координатной плоскости

Преграды этой функции

Мы сможем одолеть.

8. Рефлексия

Еще раз давайте повторим.
Что вы узнали нового?
Чему научились?
Что показалось особенно трудным?

Выполнить задания «Найди ошибку»

9.Итоги урока .

Учитель объявляет итоги работы, которую выполняли команды.

Итоги тестирования.

10.Домашнее задание :

1)п.39, № 1090,1093

2)Линейная функция в пословицах

3)Выяснить, при каком условии графики линейных функций, перпендикулярны

Приложение 1.

Вариант 1.

1. Дана функция . Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?

у у

1

0 х х

0

а) б)

у у

1 1

х х

-1,5 0 -2 0

в) г)

у

2. Дан график функции . 0 х

а)

б)

в) -1

г)

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.

Как могут располагаться графики линейных функций?

Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.

Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?

• Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
• Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
• Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.

Определим условия для каждого из этих случае.

Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b , очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b .

Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Даны три функции:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x 2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2)

Выясните, графики каких из них совпадают.

Решение:

1. Для начала выясним области определения каждой функции.

Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.

2. Преобразуем каждую из функций.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x 2 – 3(x – 2)(x + 3) – 25 = 3x 2 – 3(x 2 – 2x + 3x – 6) = 3x 2 – 3x 2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2) = 2x 2 + 3x – 2x 2 – 4x = –x

В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.

Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.

Для этого рассмотрим пример.

Пример 2.

Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.

Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:

x	–2	–1	0	1	2	3
y = –2x + 1	7	5	3	1	–1	–3
y = –2x – 2	3	1	–1	–3	–5	–7

Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x 0 ; y 0 ) соответствует точка с координатами (x 0 ; y 0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).

Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)

Таким образом, условием параллельности графиков функций:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 является: k 1 = k 2 и b 1 ≠ b 2 .

Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков.

«Уравнение параллельной прямой»

«Параллельные прямые».

В тех случаях, когда k 1 ≠ k 2 графики линейных функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.

Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) « » (теоретический материал) и « » (практические задания).

Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 были перпендикулярны.

Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k 1 ∙ k 2 = –1 , то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.

Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.

Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков.

«Перпендикулярные прямые».

«Перпендикулярные прямые 2».

Решение задач

Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков.

«Параллельные прямые 2».

«Параллельные прямые 3».

Пример 1.

Найдите координаты общих точек графиков функций.

а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6

Решение:

Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x 0 ; y 0 ).

Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x 0 ; y 0 ), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.

То есть нужно решить уравнение: –x 0 – 6 = 5x 0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.

Решая уравнение, получаем: –12 = 6x 0 или –2 = x 0 тогда y 0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.

Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)

б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)

Решение:

Преобразуем данные функции:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)

в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.

Пример 2.

Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x ) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).

Решение:

Преобразуем данные функции.