Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Поэтому одну из них мы назовем большим , вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.
Определение 8. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.
Теорема 7 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠ ВСМ=∠ МDР - накрестлежащие, ∠ ВМС=∠ DМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

Теорема 8 . Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.
Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:

Виды трапеций:
Определение 9. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 10. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 11. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Определение 12. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 10 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный, ∠ СМD=∠ СDM, и, значит, ∠ А=∠ D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.
Теорема 11 . Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.

Теорема 13 . Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому ∠ ОАD=∠ ОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 13. Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.
Теорема 14 . Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники АОD и ВОС равнобедренные. ОМ и ОК являются медианами этих треугольников соответственно по определению . Вспомним свойство равнобедренного треугольника : медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника. Вследвствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.
Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 15 . Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 16 . Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 17 . Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая.
Теорема 18 . Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобокая.
Признак прямоугольной трапеции:
Теорема 19 . Всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны. в случае, когда три прямых угла это прямоугольник)
Теорема 20 . Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты основания.
Доказательство этой теоремы заключается в объяснении того, что радиусы проведенные к основаниям лежат на высоте трапеции. Из точки О - центра вписанной в данную трапецию АВСD окружности проведем радиусы в точки касания её основаниями трапеции. Как известно, ридиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатыльной, поэтому ОК^ ВС и ОМ^ AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общуй перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, а AB и CD - её основания. Пусть также AH - высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC .
Но S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Следовательно, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Что и требовалось доказать.

Вторая формула перешла от четырехугольника.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

1. Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность . Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O .

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

Тра-пе-ция

1. Трапеция и её виды

Опре-де-ле-ние

Тра-пе-ция - это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го две сто-ро-ны па-рал-лель-ны, а две дру-гие - нет.

На Рис. 1. изоб-ра-же-на про-из-воль-ная тра-пе-ция. - это бо-ко-вые сто-ро-ны (те, ко-то-рые не па-рал-лель-ны). - ос-но-ва-ния (па-рал-лель-ные сто-ро-ны).

Рис. 1. Тра-пе-ция

Если срав-ни-вать тра-пе-цию с па-рал-ле-ло-грам-мом, то у па-рал-ле-ло-грам-ма две пары па-рал-лель-ных сто-рон. То есть па-рал-ле-ло-грамм не яв-ля-ет-ся част-ным слу-ча-ем тра-пе-ции, так как в опре-де-ле-нии тра-пе-ции чётко ска-за-но, что две сто-ро-ны тра-пе-ции не па-рал-лель-ны.

Вы-де-лим неко-то-рые виды тра-пе-ции (част-ные слу-чаи):

2. Средняя линия трапеции и её свойства

Опре-де-ле-ние

Сред-няя линия тра-пе-ции - от-ре-зок, со-еди-ня-ю-щий се-ре-ди-ны бо-ко-вых сто-рон.

На Рис. 2. изоб-ра-же-на тра-пе-ция со сред-ней ли-ни-ей .

Рис. 2. Сред-няя линия тра-пе-ции

Свой-ства сред-ней линии тра-пе-ции:

1. Сред-няя линия тра-пе-ции па-рал-лель-на ос-но-ва-ни-ям тра-пе-ции.

До-ка-за-тель-ство:

Пусть се-ре-ди-на бо-ко-вой сто-ро-ны тра-пе-ции - точка . Про-ве-дём через эту точку пря-мую, па-рал-лель-ную ос-но-ва-ни-ям. Эта пря-мая пе-ре-се-чёт вто-рую бо-ко-вую сто-ро-ну тра-пе-ции в точке .

По по-стро-е-нию: . По тео-ре-ме Фа-ле-са из этого сле-ду-ет: . Зна-чит, - се-ре-ди-на сто-ро-ны . Зна-чит, - сред-няя линия.

До-ка-за-но.

2. Сред-няя линия тра-пе-ции равна по-лу-сум-ме ос-но-ва-ний тра-пе-ции: .

До-ка-за-тель-ство:

Про-ве-дём сред-нюю линию тра-пе-ции и одну из диа-го-на-лей: на-при-мер, (см. Рис. 3).

По тео-ре-ме Фа-ле-са па-рал-лель-ные пря-мые от-се-ка-ют на сто-ро-нах угла про-пор-ци-о-наль-ные от-рез-ки. Так как равны от-рез-ки: . Зна-чит, от-ре-зок яв-ля-ет-ся сред-ней ли-ни-ей тре-уголь-ни-ка , а от-ре-зок - сред-ней ли-ни-ей тре-уголь-ни-ка .

Зна-чит, .

При-ме-ча-ние: это сле-ду-ет из свой-ства сред-ней линии тре-уголь-ни-ка: сред-няя линия тре-уголь-ни-ка па-рал-лель-на ос-но-ва-нию и равна его по-ло-вине. Пер-вая часть этого свой-ства до-ка-зы-ва-ет-ся ана-ло-гич-но с до-ка-за-тель-ством пер-во-го свой-ства сред-ней линии тра-пе-ции, а вто-рую часть можно до-ка-зать (к при-ме-ру, для сред-ней линии тре-уголь-ни-ка ), про-ве-дя через точку пря-мую, па-рал-лель-ную . Из тео-ре-мы Фа-ле-са будет сле-до-вать, что эта пря-мая будет яв-лять-ся сред-ней ли-ни-ей, а об-ра-зо-ван-ный че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грам-мом (две пары по-пар-но па-рал-лель-ных сто-рон). От-сю-да уже неслож-но по-лу-чить тре-бу-е-мое свой-ство.

По-лу-ча-ем: .

До-ка-за-но.

Рас-смот-рим те-перь по-дроб-нее ос-нов-ные виды тра-пе-ции и их свой-ства.

3. Признаки равнобедренной трапеции

На-пом-ним, что рав-но-бед-рен-ная тра-пе-ция - тра-пе-ция, у ко-то-рой бо-ко-вые сто-ро-ны равны. Рас-смот-рим свой-ства бо-ко-вой тра-пе-ции.

1. Углы при ос-но-ва-нии рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции равны.

До-ка-за-тель-ство:

Вы-пол-ним стан-дарт-ное до-пол-ни-тель-ное по-стро-е-ние, ко-то-рое очень часто ис-поль-зу-ет-ся при ре-ше-нии раз-лич-ных задач на тра-пе-цию: про-ве-дём пря-мую па-рал-лель-но бо-ко-вой сто-роне (см. Рис. 4).

Па-рал-ле-ло-грамм.

От-сю-да сле-ду-ет, что: . Зна-чит, тре-уголь-ник - рав-но-бед-рен-ный. А зна-чит, углы при его ос-но-ва-нии равны, то есть: (по-след-ние два угла равны, как со-от-вет-ствен-ные при па-рал-лель-ных пря-мых ).

До-ка-за-но.

2. Диа-го-на-ли рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции равны.

До-ка-за-тель-ство:

Для до-ка-за-тель-ства этого свой-ства вос-поль-зу-ем-ся преды-ду-щим. Дей-стви-тель-но, рас-смот-рим тре-уголь-ни-ки: и (см. Рис. 5.).

(по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: две сто-ро-ны и угол между ними).

Из этого ра-вен-ства сразу сле-ду-ет, что: .

До-ка-за-но.

Ока-зы-ва-ет-ся, что, как и в слу-чае с па-рал-ле-ло-грам-мом, у рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции свой-ства од-но-вре-мен-но яв-ля-ют-ся и при-зна-ка-ми. Сфор-му-ли-ру-ем и до-ка-жем эти при-зна-ки.

При-зна-ки рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции

1. Дано: - тра-пе-ция; .

До-ка-зать:

До-ка-за-тель-ство:

До-ка-за-тель-ство дан-но-го при-зна-ка аб-со-лют-но ана-ло-гич-но до-ка-за-тель-ству со-от-вет-ству-ю-ще-го свой-ства. Про-ве-дём в тра-пе-ции пря-мую па-рал-лель-но сто-роне (см. Рис. 6).

(со-от-вет-ствен-ные углы при па-рал-лель-ных пря-мых). От-ку-да, поль-зу-ясь усло-ви-ем, по-лу-ча-ем: - рав-но-бед-рен-ный

(равны углы при ос-но-ва-нии). Зна-чит: (у па-рал-ле-ло-грам-ма про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны).

До-ка-за-но.

2. Дано: - тра-пе-ция; .

До-ка-зать: .

До-ка-за-тель-ство:

Вы-пол-ним ещё одно стан-дарт-ное до-пол-ни-тель-ное по-стро-е-ние при ре-ше-нии задач с тра-пе-ци-ей: про-ве-дём через вер-ши-ну пря-мую па-рал-лель-но диа-го-на-ли (см. Рис. 7).

Па-рал-ле-ло-грамм (две пары по-пар-но па-рал-лель-ных сто-рон).

(со-от-вет-ствен-ные углы при па-рал-лель-ных пря-мых). Кроме того, - рав-но-бед-рен-ный ( - по усло-вию; - по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма). А зна-чит: .

До-ка-за-но.

4. Примеры задач

Рас-смот-рим несколь-ко при-ме-ров ре-ше-ния задач с тра-пе-ци-ей.

При-мер 1.

Дано: - тра-пе-ция; .

Ре-ше-ние:

Сумма углов при бо-ко-вой сто-роне тра-пе-ции равна - свой-ство внут-рен-них од-но-сто-рон-них углов при па-рал-лель-ных пря-мых. Из этого факта можно по-лу-чить два ра-вен-ства:

При-мер 2.

Дано: - тра-пе-ция; . .

Ре-ше-ние:

Про-ве-дём вы-со-ту . По-лу-ча-ем че-ты-рёх-уголь-ник , в ко-то-ром про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны, а два углы равны по . Зна-чит, - па-рал-ле-ло-грамм, а точ-нее, пря-мо-уголь-ник.

Из этого сле-ду-ет, что . От-ку-да: .

Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ный тре-уголь-ник . В нём один из ост-рых углов, по усло-вию, равен . Зна-чит, вто-рой равен , то есть: . Вос-поль-зу-ем-ся свой-ством ка-те-та, ле-жа-ще-го про-тив угла : он в два раза мень-ше ги-по-те-ну-зы.

На этом уроке мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие тра-пе-ции и её свой-ства, изу-чи-ли виды тра-пе-ции, а также ре-ши-ли несколь-ко при-ме-ров ти-по-вых задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Трапеция. Задача на среднюю линию трапеции.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N"\) - середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N"\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Пусть \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\) .

Тогда по теореме Фалеса \(M"\) и \(N"\) - середины отрезков \(BB"\) и \(CC"\) соответственно. Значит, \(MM"\) – средняя линия \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) - средняя линия \(\triangle DCC"\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B"M"=M"B\) . Значит, \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.