Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Для упрощения процесса решения исходные данные задачи линейного программирования при решении ее симплекс методом записываются в специальные симплекс-таблицы. Поэтому одна из модификаций симплекс метода получила название табличный симплекс метод. Задача линейного программирования в каноническом виде:

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...a 1,n x n + x n+1 =b 1

Исходная таблица для задачи имеет следующий вид:

x 1 , x 2 , x n - исходные переменные, x n+1 , x n+2 , x n+m - дополнительные переменные. Все дополнительные переменные мы приняли как базисные , а исходные переменные как небазисные (дополнительные записаны в первый столбец симплекс-таблицы а исходные в первую строку). При каждой итерации элементы симплекс-таблицы пересчитывают по определенным .

Алгоритм симплекс-метода.

Подготовительный этап

Приводим задачу ЛП к каноническому виду

F=a 0,1 x 1 +a 0,2 x 2 +...a 0,n x n +b 0 → max

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...a 1,n x n +x n+1 =b 1

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +...a 2,n x n +x n+2 =b 2

.......................................

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +...a m,n x n +x n+m =b m

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a 0,n =-a 0,n . Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" - коэффициенты запишутся без изменений.

Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно .

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строке F (не беря в расчет элемент b 0 - текущее значение целевой функции) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Если в строке F есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю (исключая значение функции b 0)

a 0,l =min{a 0,i }

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b k /a k,l =min {b i /a i,l } при a i,l >0, b i >0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x l) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по . Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы.

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

• Вместо базисной переменной x k записываем x l ; вместо небазисной переменной x l записываем x k .
• ведущий элемент заменяется на обратную величину a k,l "= 1/a k,l
• все элементы ведущего столбца (кроме a k,l) умножаются на -1/a k,l
• все элементы ведущей строки (кроме a k,l) умножаются на 1/a k,l
• оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a i,j "= a i,j - a i,l x a k,j / a k,l

Схему преобразования элементов симплекс-таблицы (кроме ведущей строки и ведущего столбца) называют схемой ”прямоугольника”.

Преобразуемый элемент a i,j и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами ”прямоугольника”.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент

РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу

Итерация №1.

• 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
• 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент.
• 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее:

min (-, 1: 3, -) = 1/3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x7 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы

Получаем новую симплекс-таблицу:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЧНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДАННОГО ТИПА

1.1 Математическое программирование

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f (x 1 , x 2 , ... , x n) при ограничениях g i (x 1 , x 2 , ... , x n) * b i , где g i - функция, описывающая ограничения, * - один из следующих знаков £ , = , ³ , а b i - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели (целевая функция).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так. Найти max

при условии: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n £ b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n £ b 2 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n £ b m ;

x 1 ³ 0, x 2 ³ 0, . . . , x n ³ 0 .

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max c T x

при условии

где А - матрица ограничений размером (m´n), b (m ´ 1) - вектор-столбец свободных членов, x (n ´ 1) - вектор переменных, с Т = - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х 0 называется оптимальным, если для него выполняется условие с Т х 0 ³ с Т х, для всех х Î R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный (прямой, простой) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

Формируется симплекс-таблица.

Рассчитываются симплекс-разности.

Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

При необходимости выполняются итерации.

На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

1.3 Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m , а в задачи минимизации - с положительными m . Таким образом из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов: оборудованием 1-го типа - а 1 , оборудованием 2-го типа - а 2 , оборудованием 3-го типа - а 3 .На производство единицы изделия В идёт времени, часов: оборудованием 1-го типа - b 1 , оборудованием 2-го типа - b 2 , оборудованием 3-го типа - b 3 .

На изготовление всех изделий администрацияпредприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t 1 ,оборудование 2-го типа не более, чем на t 2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t 3 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет a рублей, а изделия В - b рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами.

а 1 = 1 b 1 = 5 t 1 = 10 a = 2

а 2 = 3 b 2 = 2 t 2 = 12 b = 3

а 3 = 2 b 3 = 4 t 3 = 10

3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Построение математической модели задачи

Построение математической модели осуществляется в три этапа:

1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.

Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут:

x 1 - объём производства изделия А, в единицах;

x 2 - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x 1 + 3x 2 (рублей). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить допустимые значения переменных x 1 и x 2 , максимизирующих целевую функцию F = 2x 1 + 3x 2 .

3. Формирование системы ограничений.

При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет предоставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим трём ограничениям:

x 1 + 5x 2 £10;3x 1 + 2x 2 £ 12 ; 2x 1 + 4x 2 £ 10 .

Так как объёмы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то появляются ограничения неотрицательности:

x 1 ³ 0 ; x 2 ³ 0 .

Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде: определить план x 1 , x 2 , обеспечивающий максимальное значение функции:

max F = max (2x 1 + 3x 2)

при наличии ограничений:

x 1 + 5x 2 £10;

3x 1 + 2x 2 £ 12 ;

2x 1 + 4x 2 £ 10 .

x 1 ³ 0 ; x 2 ³ 0 .

3.2 Решение задачи вручную

Табличный метод ещё называется метод последовательного улучшения оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно.

1. Приведение задачи к форме:

x 1 + 5x 2 £10;

3x 1 + 2x 2 £ 12 ;

2x 1 + 4x 2 £ 10 .

x 1 ³ 0 ; x 2 ³ 0 .

2. Канонизируем систему ограничений:

x 1 + 5x 2 + x 3 =10;

3x 1 + 2x 2 + x 4 = 12 ;

2x 1 + 4x 2 + x 5 = 10 .

x 1 ³ 0 ; x 2 ³ 0 .

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 0

3. Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-разности по формулам: