Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство:

Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0.

x 2 -3x-4 < 0

Пользуясь теоремой Виета находим корни х 1 = - 1; х 2 = 4

Изобразим параболу, вернее, ее эскиз.

Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от – 1 до 4.

У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ.

Решение дробных неравенств

Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение, а вторая – «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, мы получим в результате f(x)/g(x) > (.

Решение неравенств методом интервалов

Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класс, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.

Построим график многочлена. Это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x 1 , x 2 и x 3 , корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется.

Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график.

f(x)>0 при x(x 1 ; x 2) и при x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) и при х (x 2 ; x 3)

На графике наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго). Чтобы определить Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни.

В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Программа для решения линейных, квадратных и дробных неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения одного из неравенств нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов при подготовке к контрольным работам, родителям для контроля решения неравенств их детьми.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода неравенств

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} y + \frac{1}{7}y^2 \)

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки

С понятием системы вы познакомились в 7 классе и научились решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Далее будут рассмотрены системы линейных неравенств с одним неизвестным. Множества решений систем неравенств могут записываться с помощью промежутков (интервалов, полуинтервалов, отрезков, лучей). Также вы познакомитесь обозначениями числовых промежутков.

Если в неравенствах \(4x > 2000 \) и \(5x \leq 4000 \) неизвестное число х одно и то же, то эти неравенства рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{l} 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end{array}\right. $$

Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения х, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Данная система - пример системы линейных неравенств с одним неизвестным.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства \(x \geq -2 \) и \(x \leq 3 \) можно записать в виде двойного неравенства: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия. Так, на числовой оси множество чисел х, таких, что \(-2 \leq x \leq 3 \), изображается отрезком с концами в точках -2 и 3.

Если \(a отрезком и обозначается [а; b]

Если \(a интервалом и обозначается (а; b)

Множества чисел \(x \), удовлетворяющих неравенствам \(a \leq x полуинтервалами и обозначаются соответственно [а; b) и (а; b]

Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками .

Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде неравенств.

Решением неравенства с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений. Так, решениями неравенства х > у будут, например, пары чисел (5; 3), (-1; -1), так как \(5 \geq 3 \) и \(-1 \geq -1\)

Решение систем неравенств

Решать линейные неравенства с одним неизвестным вы уже научились. Знаете, что такое система неравенств и решение системы. Поэтому процесс решения систем неравенств с одним неизвестным не вызовет у вас затруднений.

И все же напомним: чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение этих решений.

Например, исходная система неравенств была приведена к виду:
$$ \left\{\begin{array}{l} x \geq -2 \\ x \leq 3 \end{array}\right. $$

Чтобы решить эту систему неравенств, отметим решение каждого неравенства на числовой оси и найдём их пересечение:

Пересечением является отрезок [-2; 3] - это и есть решение исходной системы неравенств.