Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Деление числа на произведение. Познакомиться и отработать приёмы деления числа на произведение.

Слайд 8 из презентации «Математика 4 класс «Деление»» . Размер архива с презентацией 2492 КБ.

Математика 4 класс

«Игра по математике в 4 классе» — Десять солдат строились в ряд. Математический КВН. Сообрази. Играем с числами. У двух носорогов 2 рога. Загадочные числа. Задачи для внимательных. Какое число я задумала. Веселые задачки. В кармане у Коли монеты звенели. Найди «лишний» символ. Вырази в более мелких единицах. Какое число никогда не может быть делителем.

«Действия с многозначными числами» — Индивидуальная работа. V. Решение задач на движение в противоположные стороны. Физкультминутка. Сообщение темы и целей урока. Ход урока. Разгадайте ребус. Подведение итогов урока. Е: Задача: За 1 рейс машина перевозит 172 ящика груза. Устный счет. Организационный момент. Решение задач на действия с многозначными числами.

«Задания по множествам» — №2 За пресной водой. Поможете? Мыс Художников. Мы купаемся с Дельфинчиком! «Бременских музыкантов». Переселяем множества. Множества. № 6 на стр.4. Птиц, которые умеют плавать. Эй, там, на корабле! Гласных букв в русском языке. №1 Пополняем запасы. То-есть, здравствуйте! Братьев в сказке «Кот в сапогах». Приветствую вас, мореплаватели, на нашем полуострове! Приветствую вас на острове Поиграй! Полюсов Земли.

«Распределительное свойство» — «Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит». Масса индейки. Найдите значение выражений двумя способами. Распределительные свойства умножения. Запишите выражения, равные данным. Тест. Вклад М. В. Ломоносова в науки. Устный счёт. Распределите равенства в два столбика. Проверка по образцу.

«Элементы геометрии в начальной школе» — Рациональные способы решения задач. Геометрические величины. Прямые линии. Множество геометрических фигур. Три палочки. Пространственные отношения. Прямоугольный лист. Изучение основ геометрии. Оригинальность и самостоятельность мысли. Примеры задач открытого типа.

«Единицы площади 4 класс» — У математиков есть свой язык. Единицы площади. Сотка – это новая единица площади. Рассмотрите запись на доске. Формулы. Общая протяжённость границ России - 60 933 км. Сделайте запись в тетерадь, расположив эти числа в порядке возрастания. Математическое лото. Задачи. Лови ошибку. Сотка – это ар. Гектар.

Всего в теме «Математика 4 класс» 51 презентация

Деление целых чисел, правила, примеры.

В этой статье мы разберем деление целых чисел без остатка. Здесь мы будем говорить лишь о делении таких целых чисел, абсолютные величины которых делятся нацело (смотрите смысл деления натуральных чисел без остатка). Про деление целых чисел с остатком мы побеседуем в отдельной статье.

Сначала мы введем термины и обозначения, которые будем использовать для описания деления целых чисел. Дальше укажем смысл деления целых чисел, который поможет нам получить правила деления целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. Здесь же мы рассмотрим примеры применения правил деления целых чисел. Наконец, мы покажем, как выполняется проверка результата деления целых чисел.

Термины и обозначения

Для описания деления целых чисел мы будем использовать те же термины и обозначения, которые использовали при описании деления натуральных чисел (смотрите раздел теории делимое, делитель, частное и знак разделить). Напомним их.

Целое число, которое делят, называется делимым . Целое число, на которое проводится деление, называется делителем . Результат деления целых чисел называется частным .

Деление обозначается символом вида:, который располагается между делимым и делителем (иногда встречается символ ÷, который также обозначает деление). Деление целого числа a на целое число b можно записать с использованием символа: как a:b . Если в результате деления целого числа a на целое число b получается число c , то этот факт удобно записывать в виде равенства a:b=c . Выражение вида a:b также называют частным, как и значение этого выражения.

Смысл деления целых чисел

Мы знаем о существовании связи между умножением и делением натуральных чисел. Из этой связи мы заключили, что деление – это нахождение неизвестного множителя, когда известен второй множитель и произведение. Делению целых чисел придадим этот же смысл. То есть, деление целых чисел – это нахождение по данному произведению и одному из целых множителей другого целого множителя.

Исходя из смысла деления целых чисел, мы можем сказать, что если произведение двух целых чисел a и b равно c , то частное от деления c на a равно b , и частное от деления c на b равно a . Приведем пример. Допустим нам известно, что произведение двух целых чисел 5 и −7 равно −35 , тогда мы можем сказать, что частное (−35):5 равно −7 , а частное (−35):(−7) равно 5 .

Отметим, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом (если a делится на b без остатка).

Правила деления целых чисел

Смысл деления целых чисел, указанный в предыдущем пункте, позволяет утверждать, что один из двух множителей является частным от деления их произведения на другой множитель. Но он не дает способа нахождения неизвестного множителя по известному множителю и произведению. Например, равенство 6·(−7)=−42 позволяет нам сказать, что частные (−42):6 и (−42):(−7) равны соответственно −7 и 6 . Однако если нам известно, что произведение двух множителей равно 45 и один из множителей равен −5 , то смысл деления целых чисел нам не дает прямого ответа на вопрос, чему равен другой множитель.

Эти рассуждения приводят нас к следующему выводу: нам нужны правила, позволяющие выполнять деление одного целого числа на другое. Сейчас мы их и получим. Эти правила позволят нам свести деление целых чисел к делению натуральных чисел.

Деление целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел проводится по всем правилам деления натуральных чисел. Здесь больше нечего добавить, стоит лишь рассмотреть решение пары примеров, в которых проводится деление целых положительных чисел.

Выполните деление целого положительного числа 104 на целое положительное число 8 .

Делимое 104 в данном случае можно представить в виде суммы 80+24 , после чего воспользоваться правилом деления суммы на данное число. Получаем 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13 .

Вычислите частное 308 716:452 .

В этом случае частное от деления данных целых положительных чисел проще всего получить, выполнив деление в столбик:

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Сформулировать правило деления целых отрицательных чисел нам помогут следующие рассуждения.

Пусть нам нужно разделить целое отрицательное число a на целое отрицательное число b . Обозначим буквой c искомое частное от деления a на b , то есть, a:b=c . Выясним сначала, чему равна абсолютная величина числа c .

В силу смысла деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=a . Тогда . Свойства модуля числа позволяют нам записать равенство , следовательно, . Из полученного равенства следует, что , то есть, абсолютная величина частного от деления равна частному от деления модулей делимого и делителя .

Осталось определить знак числа c . Другими словами выясним, положительным или отрицательным целым числом является результат деления целых отрицательных чисел.

По смыслу деления целых чисел справедливо равенство b·c=a . Тогда из правил умножения целых чисел следует, что число c должно быть положительным. В противном случае b·c будет являться произведением целых отрицательных чисел, которое по правилу умножения будет равно произведению модулей множителей, следовательно, будет положительным числом, а у нас число a – целое отрицательное. Таким образом, частное c от деления целых отрицательных целых чисел есть целое положительное число .

Теперь объединим сделанные выводы в правило деления целых отрицательных чисел. Чтобы разделить целое отрицательное число на целое отрицательное число, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя . То есть, если a и b – целые отрицательные числа, то .

Рассмотрим применение правила деления целых отрицательных чисел при решении примеров.

Разделите целое отрицательное число −92 на целое отрицательное число −4 .

По правилу деления целых отрицательных чисел искомый результат равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя. Получаем.

Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения.

В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел . Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка , или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется смысл деления натуральных чисел). Деление натуральных чисел с остатком> заслуживает отдельной статьи.

Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия — это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.

Навигация по странице.

Связь деления с умножением

Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению .

Поясним, что же означает последняя фраза.

Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a . Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел, можно записать равенство a:b=c .

Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное от деления a на b равно c .

Итак, если c·b=a , то a:b=c . Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a , откуда следует, что a:c=b . Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a , то есть, c·b=a , то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно .

На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.

Деление – это действие, с помощью которого находится один множитель, когда известно произведение и другой множитель.

На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел как последовательное вычитание

В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.

Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.

Чему равен результат деления 12 на 4 ?

Отталкиваясь от смысла деления натуральных чисел, поставленную задачу можно смоделировать так: имеется 12 предметов, их нужно разделить на равные кучки по 4 предмета в каждой, количество полученных кучек даст нам ответ на вопрос, чему равно частное 12:4 .

Давайте последовательно шаг за шагом будем из исходных предметов забирать по 4 предмета и формировать из них требуемые кучки до того момента, пока не закончатся исходные предметы. Количество шагов, которые нам потребуется сделать, укажет нам количество получившихся кучек, а значит и ответ на поставленный вопрос.

Итак, из исходных 12 предметов откладываем 4 в сторону, они образуют первую кучку. После этого действия в исходной куче остается 12−4=8 предметов (при необходимости вспомните смысл вычитания натуральных чисел). Из этих 8 предметов забираем еще 4 предмета, и формируем из них вторую кучку. После этого действия в исходной куче предметов остается 8−4=4 предмета. Очевидно, что из оставшихся предметов можно сформировать еще одну, третью по счету, кучку, после чего у нас не останется ни одного предмета в исходной куче (то есть, у нас будет 4−4=0 предметов в исходной куче). Таким образом, мы получили 3 кучки, и можно сказать, что мы выполнили деление натурального числа 12 на натуральное число 4 , при этом получили 3 .

Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4 ? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.

Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание .

Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.

Вычислим частное 108:27 , проводя последовательное вычитание.

Первое действие: 108−27=81 (при затруднениях с вычитание смотрите статью вычитание натуральных чисел).

Второе действие: 81−27=54 .

Третье действие: 54−27=27 .

Итак, мы получили нуль, последовательно проведя вычитание 4 раза, следовательно, 108:27=4 .

Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице . Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел.

К примеру, 1:1=1 , 143:143=1 , результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.

Деление натурального числа на единицу

Свойство деления натурального числа на единицу позволяет нам сразу сформулировать соответствующее правило деления. Оно звучит так: частное от деления любого натурального числа на единицу равно делимому натуральному числу .

Например, 21:1=21 , 13 003:1=13 003 , аналогично, результатом деления натурального числа 555 987 на единицу является число 555 987 .

Деление натуральных чисел с использованием таблицы умножения

Как известно, таблица умножения позволяет найти произведение двух однозначных натуральных чисел.

По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.

Для примера, разделим 48 на 6 . С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.

Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8 , которое обведено окружностью синего цвета.

Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6 . Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48 . Результат обведен синей окружностью.

Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8 .

Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1 .

Деление на 10 , 100 , 1 000 и т.д.

Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10 , 100 , 1 000 , … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.

Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0 , сколько их содержится в записи делимого).

Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0).

Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100 . Так как 102·100=10 200 , то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102 .

Представление делимого в виде произведения

Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число.

Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.

Разделим 30 на 3 .

Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10 . Имеем 30:3=(3·10):3 . Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10 . Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10 .

Приведем решения еще пары аналогичных примеров.

Разделите 7 200 на 72 .

В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100 . При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100 .

Разделим 1 600 000 на 160 .

Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000 , поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160= (160:160)·10 000=1·10 000=10 000 .

1 600 000:160=10 000 .

В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.

Выполните деление натурального числа 5 400 на 9 .

По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9 , поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9= (54:9)·100=6·100=600 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Вычислим частное 120:4 .

Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10 , после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30 .

Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0

Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.

Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.

Разделим 490 на 70 .

Так как 70=10·7 , то 490:70=490:(10·7) . Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7 . Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7 . Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.

Вычислим частное 54 000:5 400 .

Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)= (54 000:100):54=540:54 . Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Итак, 54 000:5 400=10 .

Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0 , то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел . Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0 .

Подбор частного

Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b , причем если b умножить на 10 , то получится число, которое больше, чем a . В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9 , и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1 , 2 , 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b .

Найдем частное 108:27 .

Очевидно, что делитель 108 меньше, чем 27·10=270 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Подберем частное. Для этого последовательно будем умножать делитель 27 на 1 , 2 , 3 , …, пока не получим делимое 108 . Поехали: 27·1=27 , 27·2=54 , 27·3=81 , 27·4=108 (при необходимости смотрите статью умножение натуральных чисел). Следовательно, 108:27=4 .

В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью последовательного вычитания.

Представление делимого в виде суммы натуральных чисел

Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число, и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое»?

Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551 , а делитель равен 17 .

Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

Например, если делимым является натуральное число 8 551 , а делителем – число 17 , то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2). То есть, запоминаем число 2 .

Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .

Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0 , при этом получаем число 1 700 . Это число меньше, чем делимое 8 551 , поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 2 .

После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100 , то есть, мы будем работать с разрядом сотен.

Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.

В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100 , получаем 17·100=1 700 . Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200 . Имеем 17·200=3 400 8 551 .

Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.

В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500 , откуда видно, что 8 500:17=500 , это равенство мы используем дальше).

После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.

Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51 . Так как 51 не равно 0 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.

Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.

В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0 , так как мы запоминали число 0 . То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51 , поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0 .

К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0 , так как в памяти у нас находится число 0 . То есть, мы будем работать с разрядом единиц.

Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1 , 2 , 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51 . Имеем 17·1=17 51 . На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3 , и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51 .

Находим разность между числом 51 и числом 51 , полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0 . Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.

Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51 .

Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17 . Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17 . Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3 . Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503 . Итак, 8 551:17=503 .

Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.

Разделим 64 на 2 .

1) В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя, поэтому запоминаем число 1 .

2) Если в записи делителя справа дописать одну цифру 0 , то мы получим число 20 , которое меньше, чем делимое 64 . Поэтому запомненное число 1 уменьшать на единицу не нужно.

3) Теперь к 1 приписываем справа одну (так как у нас в памяти число 1) цифру 0 , получаем число 10 , то есть, будем работать с десятками.

4) Начинаем делитель 2 последовательно умножать на 10 , 20 , 30 и т.д. Имеем: 2·10=20 64 . Таким образом, первым слагаемым является число 60 (так как 2·30=60 , то 60:2=30 , это равенство нам пригодится дальше).

5) Вычисляем разность 64−60 , которая равна 4 . Это число мы легко можем разделить на делитель 2 , поэтому примем это число в качестве второго (и последнего) слагаемого. (Несомненно, можно было принять это число в качестве делимого, и пройти все шаги алгоритма еще раз, они нас приведут к тому, что вторым слагаемым является число 4 .)

Итак, делимое 64 мы представили в виде суммы двух слагаемых 60 и 4 . Остается закончить вычисления: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .

Решим еще один пример.

Вычислим частное 1 178:31 .

1) В записи делимого на 2 знака больше, чем в записи делителя. Поэтому запоминаем число 2 .

2) Если к записи делителя справа добавить две цифры 0 , то мы получим число 3 100 , которое больше делимого. Следовательно, запомненное в предыдущем пункте число 2 нужно уменьшить на единицу: 2−1=1 , запоминаем это число.

3) Теперь к цифре 1 добавляем справа одну цифру 0 , получаем число 10 и дальше работаем с десятками.

4) Последовательно умножаем делитель на 10 , 20 , 30 и т.д. Получаем 31·10=310 1 178 . Так мы нашли первое слагаемое. Оно равно 930 (дальше нам пригодится равенство 930:31=30 , которое следует из равенства 31·30=930).

5) Вычисляем разность: 1 178−930=248 . Так как получили число, не равное нулю, то принимаем его в качестве делимого, и начинаем поиск второго слагаемого по тому же алгоритму.

1) В записи числа 248 на 1 знак больше, чем в записи делителя 31 . Поэтому запоминаем число 1 .

2) Добавляем в записи делителя справа одну цифру 0 , получаем число 310 , которое больше, чем число 248 . Поэтому, из запомненного числа 1 нужно вычесть 1 , при этом получим число 0 и запомним его.

3) Так как у нас в памяти число 0 , то к цифре 1 справа дописывать нулей не нужно. Таким образом, мы работаем с единицами.

4) Последовательно умножаем делитель 31 на 1 , 2 , 3 и так далее. Имеем 31·1=31 248 . Второе слагаемое равно 248 (из равенства 248=31·8 следует, что 248:31=8 , это нам потребуется дальше).

5) Вычисляем разность между числом 248 и полученным числом 248 , имеем 248−248=0 . Следовательно, на этом поиск слагаемых прекращается.

Таким образом, 1 178 представляем в виде суммы 930+248 . Осталось лишь закончить вычисления: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (на результаты 930:31=30 и 248:31=8 мы обращали внимание выше).

Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?

Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.

Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.

Рассмотрим подробно пример 12:6=2:

Число 12 называется делимым . Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем . Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным . Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.

Так что же такое деление?

Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.

Деление проверяется умножением, то есть:
a : b = c , проверка с⋅ b = a
18:9=2, проверка 2⋅9=18

Неизвестный множитель.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?

Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.

x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.

Ответ: 10 упаковок шаров.

Неизвестное делимое.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?

Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.

Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18

Ответ: 18 карандашей.

Неизвестный делитель.

Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?

Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3

Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.

Свойства деления натурального числа на единицу.

Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.

7:1=7
a :1= a

Свойства деления натурального числа на нуль.

Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.

Свойства деления нуля на натуральное число.

0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0: a =0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.

Свойство деления одинаковых чисел.

3:3=1
a : a =1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.

Вопросы по теме “Деление”:

В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.

Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.

Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41

Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9

а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48

б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6

Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3

Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54 , то (18+36):6=54:6 . Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6 . Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6 , поэтому 18:6+36:6=3+6=9 . Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2 .

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа .

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c , где a , b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b , а также и a и b можно разделить на c .

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5 . Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5 . По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4 . Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5 , стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5 , тогда 45:5-25:5=9-5=4 . Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением , то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю . Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a , где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2 , то получим 8 , а (3·7):7=3 .

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель .

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из .

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a , b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b ; если b можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c) ; а если и a , и b можно разделить на c , то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2) , которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел.

Давайте разберем следующую ситуацию. Пусть нужно поровну разделить a призов между участниками b команд по c человек в каждой команде (будем считать, что натуральные числа a , b и c таковы, что указанное деление возможно провести). Как это можно сделать? Рассмотрим два случая.

• Во-первых, можно узнать общее количество участников (для этого нужно вычислить произведение b·c ), после чего провести деление всех a призов на всех b·c участников. Математически этому процессу соответствует a:(b·c) .
• Во-вторых, a призов можно разделить на b команд, после чего полученное количество призов в каждой команде (оно будет равно частному a:b ) разделить на c участников. Математически этот процесс описывается выражением (a:b):c .

Понятно, что и при первом и при втором варианте деления, каждый участник получит одно и то же количество призов. То есть, будет справедливо равенство вида a:(b·c)=(a:b):c , которое представляет собой буквенную запись свойства деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Следует заметить, что в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел полученное равенство можно записать в виде a:(b·c)=(a:c):b .

Осталось лишь привести формулировку рассматриваемого свойства деления: разделить натуральное число на произведение – это все равно что разделить это число на один из множителей, после чего полученное частное разделить на другой множитель .

Приведем пример. Покажем справедливость равенства 18:(2·3)=(18:2):3 , что будет подтверждать свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Так как 2·3=6 , то частное 18:(2·3) равно 18:6=3 . Теперь вычислим значение выражения (18:2):3 . Из таблицы умножения находим, что 18:2=9 , а 9:3=3 , тогда (18:2):3=3 . Следовательно, 18:(2·3)=(18:2):3 .

Свойство деления нуля на натуральное число.

Мы приняли условность, что число нуль (напомним, что нуль не относится к натуральным числам) означает отсутствие чего-либо. Таким образом, деление нуля на натуральное число – это есть деление «ничего» на несколько частей. Очевидно, что в каждой из полученных частей также будет «ничто», то есть нуль. Итак, 0:a=0 , где a – любое натуральное число.

Полученное выражение представляет собой буквенную запись свойства деления нуля на натуральное число, которое формулируется так: результатом деления нуля на произвольное натуральное число является нуль .

К примеру, 0:105=0 , а частное от деления нуля на 300 553 тоже равно нулю.

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b , то есть, справедливо равенство a:0=b . Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b означает справедливость равенства b·0=a . Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0 . Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0 , чего быть не может, так как мы сказали, что a – некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак, натуральное число нельзя делить на нуль .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

На данном уроке учащимся предоставляется возможность повторить табличные случаи умножения и деления, познакомиться с правилом деления суммы на число, а также потренироваться в выполнении различных заданий по теме урока.

Прочитайте и сравните выражения, записанные на доске.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Вы заметили, что в каждом выражении имеется сумма чисел 6 + 4.

Прочитаем выражения.

(6 + 4) + 2

Сумму чисел 6 + 4 увеличили на 2.

(6 + 4) - 2

Сумму чисел 6 + 4 уменьшили на 2.

(6 + 4) * 2

Сумму чисел 6 + 4 увеличили в 2 раза.

(6 + 4) : 2

Сумму чисел 6 + 4 уменьшили в 2 раза

Как вы думаете, значения этих сумм будет одинаково?

Проверим. Вычислим значения выражений. Помним, что первое действие выполняем в скобках.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Мы получили разные значения.

Рассмотрим, как может быть выполнено деление суммы на число.

Рис. 1. Деление суммы на число

Способ 1.

Сначала мы сложили синие и красные квадраты, а затем их количество разделили на две равные части.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Способ 2.

Сначала мы можем синие квадраты разделить на две равные части, затем красные квадраты разделить на две равные части, а потом результаты сложить.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

При выполнении действий разными способами результат получается одинаковый. Поэтому можно сделать вывод.

Чтобы разделить сумму на число, можно каждое слагаемое разделить на это число,

а полученные частные сложить.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Применим полученные знания на практике. Вычислим значения выражений.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Чтобы разделить сумму на число, разделим каждое слагаемое на это число, а полученные значения частных сложим.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Рассмотрите выражения. Что в них общего?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

Правильно. В каждом выражении необходимо делить сумму на число 6.

Разделим выражения на две группы.

В первую запишем те выражения, где можно применить свойство деления суммы на число. В этих выражениях каждое слагаемое суммы делится на 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

Во вторую группу запишем выражения, где слагаемые суммы на 6 не делятся, это значит, что в них нельзя применить свойство деления суммы на число.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Выполним задание.

Какие из данных чисел можно записать в виде суммы двух слагаемых, в которой каждое из слагаемых будет делиться на 7?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

Сначала выпишем числа, которые делятся на число 7 без остатка.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Составим выражения и найдем их значения.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Выполним следующее задание.

Вставьте пропущенные числа, применяя правило деления суммы на число.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Рассуждаем так.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Первое слагаемое разделили на 8 и получили число 8. Значит, это было число 64. Второе слагаемое разделили на 8 и получили число 6. Значит, это было число 48. Запишем решение.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Первое слагаемое разделили на 9 и получили число 9. Значит, это было число 81. Второе слагаемое разделили на 9 и получили число 5. Значит, это было число 45. Запишем решение.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Первое слагаемое разделили на 3 и получили число 8. Значит, это было число 24. Второе слагаемое разделили на 3 и получили число 5. Значит, это было число 15. Запишем решение.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом деления суммы на число, потренировались в решении примеров по теме урока.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.