Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f( x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

K - это элемент c ∈ K {\displaystyle c\in K} (либо элемент расширения поля K), такой, что выполняются два следующих равносильных условия: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу . В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень c {\displaystyle c} имеет кратность m {\displaystyle m} , если рассматриваемый многочлен делится на (x − c) m {\displaystyle (x-c)^{m}} и не делится на (x − c) m + 1 . {\displaystyle (x-c)^{m+1}.} Например, многочлен x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle x^{2}-2x+1} имеет единственный корень, равный 1 , {\displaystyle 1,} кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Свойства

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , {\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),} где - (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем .

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро , Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком

Схема деления углом

Деление многочленов

Деление с остатком . Теорема . Если P(x) и S(x) 0 - два многочлена, то существует и притом единственная пара многочленов Q(x) и R(x), которая удовлетворяет соотношениям: 1) , 2) либо степень R(x) меньше или равна степени S(x), либо R(x) = 0.

Q(x) - называется частным, а R(x) - остатком.

Пример 1 . , . Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на S(x).

Ответ : частное , остаток .

Пример 2 . Найти частное и остаток при делении на .

Ответ : частное равно ; остаток равен нулю.

Теорема . Многочлен P(x) делится на многочлен S(x) в том случае, если остаток при делении P(x) на S(x) равен нулю .

Из теоремы следует, чтобы выяснить, делится ли многочлен P(x) на S(x), можно выполнить деление углом и найти остаток. Если остаток равен нулю, то многочлен P(x) делится на многочлен S(x).

Пример 3 . Установить делится ли многочлен

на многочлен ?

Разделим "уголком" многочлен P(x) на S(x). В результате мы получим, что частное равно , а остаток равен нулю. Значит многочлен P(x) делится на многочлен S(x).

Пусть c - некоторое действительное число (в общем случае, комплексное число). Значением многочлена P(x) при x = c называется число, которое получается, при подстановке вместо x в данный многочлен и выполнении действий.

Если , тогда значение этого многочлена при x = c обозначается через P(c): .

Пример 1 . Значение многочлена P(x) = при x = 2 равно:

при x = 0, P(0) = -5; при x = 1, P(1) = 3 - 2 + 4 - 5 = 0.

Таким образом, при x = 0 значение многочлена равно свободному члену:

при x = 1 значение многочлена равно сумме его коэффициентов:

Определение . Если при значение многочлена равно нулю, , тогда называется корнем многочлена P(x).

Пример 1 . Задан многочлен . При x = 2 значение этого многочлена равно нулю, , значит x = 2 является корнем многочлена S(x).

Тот факт, что при x = 1 значение многочлена равно сумме его коэффициентов используется в обратном порядке: если сумма коэффициентов многочлена равна нулю, тогда x = 1 - корень этого многочлена.

Определение . Если стоит задача найти все значения переменной x, при которых многочлен f(x) равен нулю, то говорят, что надо решить уравнение f(x) = 0.

Выделим особенно, что решить уравнение - значит найти все его корни.

Таким образом, алгебраическим уравнением называется уравнение f(x) = 0, где f(x) - некоторый многочлен. Если f(x) - многочлен n-й степени, то уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени .

При решении алгебраических уравнений полезна следующая теорема (называемая теоремой Безу).

Теорема 1 . Остаток от деления многочлена f(x) на x - a равен f(a) (т. е. равен значению этого многочлена при x = a).

Доказательство

Произведём деление с остатком многочлена f(x) на x - a:

где остаток r(x), если он не равен нулю, является многочленом, степень которого меньше степени делителя x - a, т. е. равна нулю. Поэтому r(x) = r является числом :

Чтобы найти число r, положим в этом равенстве x = a. Тогда, получим f(a) = r, что и доказывает теорему.

Следствие . Если a - корень многочлена f(x), то этот многочлен делится на .

Пример 1 . Дан многочлен . Нетрудно видеть, что 1 - корень этого многочлена, в самом деле: , значит, по следствию из теоремы многочлен должен делиться на x - 1.

Разделим "уголком" многочлен на x - 1:

Остаток равен нулю, значит, многочлен делится на x - 1.

Теорема 2 . Если все коэффициенты многочлена

являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена .

Доказательство

Пусть c - целый корень многочлена f(x), т. е.

Так как число, стоящее в скобках, является целым (так как все коэффициенты целые, по условию), то делится на c.

Доказанная теорема значительно облегчает отыскание целых корней многочленов с целыми коэффициентами.

1 . Надо найти и выписать все делители свободного члена (положительные и отрицательные).

2 . Проверить (можно подстановкой), какие из них являются корнями данного многочлена.

3 . Если ни один делитель свободного члена не обращает многочлен в нуль, то этот многочлен целых корней не имеет.

Пример 1 . Решить уравнение .

1. Найдем делители свободного члена 12: .

2. Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди этих делителей, проверим это. Многочлен в левой части уравнения обозначим f(x).

f(1) = 24, значит 1 не является корнем уравнения;

f(-1) = -24, значит -1 не является корнем уравнения;

f(2) = 0, значит 2 является корнем уравнения.

3. По теореме Безу, многочлен f(x) делится на x - 2. Производя деление "уголком", находим: .

Для нахождения остальных корней нужно решить уравнение

Снова повторяем предыдущий процесс.

1. Выписываем делители свободного члена 6: .

2. Проверяем их. Числа 1 и -1 уже проверялись. Испытаем другие делители, подставляя их один за другим в многочлен .

g(2) = -40, значит 2 не является корнем многочлена g(x);

g(-2) = 12, -2 не является корнем;

g(3) = -48, 3 не является корнем;

g(-3) = 0, значит -3 является корнем многочлена g(x).

По теореме Безу, он делится на x + 3. В результате деления получаем:

Чтобы найти другие корни, если они существуют, решим квадратное уравнение .

Таким образом, исходное уравнение четвёртой степени имеет четыре корня.

Ответ : , , , .

Замечание . Порой бывает нелегко проверять предполагаемые корни многочлена или вычислять его значение, особенно, если многочлен высокой степени и проверяемые числа большие.

Для облегчения этого процесса существует схема Горнера.

§ 13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 165

13.1. Основные определения 165

13.2. Основные свойства целых многочленов 166

13.3. Основные свойства корней алгебраического уравнения 169

13.4. Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 173

13.5. Упражнения для самостоятельной работы 176

Вопросы для самопроверки 178

Глоссарий 178

1. Основные определения

Целой алгебраической функцией илиалгебраическим многочленом (полиномом )аргумента x называется функция следующего вида

Здесьn –степень многочлена (натуральное число или 0),x – переменная (действительная или комплексная),a 0 , a 1 , …, a n –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),a 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратный трехчлен;

,
;.

Числох 0 такое, чтоP n (x 0)0, называетсянулем функции P n (x ) иликорнем уравнения
.

Например,

его корни
,
,
.

так как
и
.

Замечание (к определению нулей целой алгебраической функции)

В литературе часто нули функции
называются ее корнями. Например, числа
и
называются корнями квадратичной функции
.

1. Основные свойствацелых многочленов

 Тождество (3) справедливо при x 
(илиx  ), следовательно, оно справедливо при
; подставляя
, получима n = b n . Взаимно уничтожим в (3) слагаемые а n и b n и поделим обе части на x :

Это тождество тоже верно при x , в том числе при x = 0, поэтому полагая x = 0, получим а n – 1 = b n – 1 .

Взаимно уничтожим в (3") слагаемые а n – 1 и b n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что а n – 2 = b n –2 , …, а 0 = b 0 .

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства двух целых многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .

Обратное утверждение справедливо очевидно, то есть если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, определенные на множестве
, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента
, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью.

Пример (тождественное равенство многочленов)

.

 Запишем формулу деления с остатком: P n (x ) = (x – х 0)∙Q n – 1 (x ) + A ,

где Q n – 1 (x ) - многочлен степени (n – 1), A - остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при x , в том числе при x = х 0 ; полагая
, получим

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A  A = P n (х 0) 

Следствием доказанного свойства является утверждение о делении без остатка многочлена на двучлен, известное как теорема Безу.

Теорема Безу (о делении целого многочлена на двучлен без остатка)

Если число является нулем многочлена , то этот многочлен делится без остатка на разность , то есть верно равенство  (5)

 Доказательство теоремы Безу можно провести без использования ранее доказанного свойства о делении целого многочлена
на двучлен
. Действительно, запишем формулу деления многочлена
на двучлен
с остатком А=0:

Теперь учтем, что - это нуль многочлена
, и запишем последнее равенство при
:

Примеры (разложение многочлена на множители с использованием т. Безу)

1) ,так какP 3 (1)0;

2) ,так какP 4 (–2)0;

3) ,так какP 2 (–1/2)0.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом P n (x ):

после n -кратного применения этих теорем получим, что

где a 0 - это коэффициент приx n в записи многочленаP n (x ).

Если в равенстве (6)k чисел из наборах 1 ,х 2 , …х n совпадают между собой и с числом, то в произведении справа получается множитель (x –) k . Тогда числоx =называетсяk-кратным корнем многочлена P n (x ) , или корнем кратности k . Еслиk = 1, то число
называетсяпростым корнем многочлена P n (x ) .

Примеры (разложение многочлена на линейные множители)

1) P 4 (x ) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - простой корень, x 2 = 4 - трехкратный корень;

2) P 4 (x ) = (x – i ) 4  x = i - корень кратности 4.

Свойства

где - (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем .

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро , Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году . Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции - эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера , причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы , например, метод секущих , метод бисекции , метод Ньютона . Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма .

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Канализация
• Словарь терминов вексиллологии

Смотреть что такое "Корень многочлена" в других словарях:

Корень алгебраического уравнения

Корень уравнения - Корень многочлена над полем k элемент, который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество. Свойства Если c является корнем многочлена p(x … Википедия

Корень Бринга - Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения. В алгебре корень Бринга или ультрарадикал это аналитическая функция, такая что для… … Википедия

Корень (значения) - Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

Корень (в математике) - Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …

Корень - I Корень (radix) один из основных вегетативных органов листостебельных растений (за исключением мхов), служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питательных веществ, первичного превращения ряда поглощаемых веществ,… … Большая советская энциклопедия

КОРЕНЬ - 1) К. степени n из числа a число n я степень х п к рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К элемент к рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена Если сявляется… … Математическая энциклопедия

Кратный корень - многочлена f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an, число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х с) k, но не… … Большая советская энциклопедия

Сопряжённый корень - Если задан некоторый неприводимый многочлен над кольцом и выбран некоторый его корень в расширении, то сопряженным корнем для данного корня многочлена называется любой корень многочлена … Википедия

Квадратный корень из 2 - равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из числа 2 положительное … Википедия