Если бы Земля была бы однородной, неподвижной и подвержена только действию внутренних сил тяготения, она имела бы форму шара (рис.1.2).

Рис. 1.2. Шар

Под действием центробежной силы, вызванной вращением вокруг оси с постоянной скоростью, Земля приобрела форму сфероида или эллипсоида вращения (рис.1.3).

Рис. 1.3. Эллипсоид вращения

На самом деле, из-за неравномерного распределения масс внутри Земли, эллипсоидальная фигура Земли сдеформирована и имеет форму геоида (рис.1.4). Наибольшие отступления геоида от эллипсоида не превышают 100 – 150 м.

Т.о. специальными инструментами с физической поверхности Земли геодезические измерения проектируют на геоид, фигура которого не изучена. Фигуру геоида заменяют правильной математической фигурой, к которой можно применять математические законы. Размеры земного эллипсоида составляют:

большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b= 6356863 м,

полярное сжатие= 1: 298,3.

Рис. 1.4. Геоид

Для того, чтобы земной эллипсоид ближе подходил к геоиду, его располагают в теле Земли, ориентируя определенным образом. Такой эллипсоид с определенными параметрами и определенным образом ориентированный в теле Земли, называется референц-эллипсоидом (рис.1.5).

Рис. 1.5. Референц-эллипсоид

Геоид не может быть строго изучен из-за незнания распределения плотности масс внутри Земли. Было предложено вместо геоида принять фигуру квазигеоида (рис.1.6), которая может быть определена точно на основании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений на поверхности Земли без учета внутреннего строения и плотности масс внутри Земли. Поверхностьквазигеоида отклоняется от поверхности геоида максимально 2 м в горных районах, на океанах и морях их поверхности совпадают.

Рис. 1.6. Квазигеоид

Тема 2. Системы координат

2.1. Система географических (астрономических) координат

Рис. 2.1. Географическая система координат

Географическая (астрономическая) широта  – угол, составленный отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора (рис.2.1);

Географическая (астрономическая) долгота  – двугранный угол между плоскостью астрономического меридиана, проходящего через данную точку и плоскостью начального меридиана (Гринвича) (рис.2.1);

Астрономический азимут а – двугранный угол, составленный плоскостью астрономического меридиана, проходящего через данную точку и плоскостью, проходящей через данную линию и отвесную линию данной точки (рис.2.1).

Широтаможет принимать значения 090и называются “северные и южные широты”;

Долгота может принимать значения 0180и называются “западные и восточные долготы”;

Азимут а может принимать значения 0а360, иногда пользуются не азимутами, а румбами, тогда румбы имеют названия.

2.2. Система геодезических координат

Рис. 2.2. Геодезическая система координат

Геодезическая широта В – угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора (рис.2.2);

Геодезическая долгота L – двугранный угол между плоскостью геодезического меридиана, проходящего через данную точку и плоскостью начального меридиана (Гринвича) (рис.2.2);

Геодезический азимут А – двугранный угол, составленный плоскостью геодезического меридиана, проходящего через данную точку и плоскостью, проходящей через данную линию и нормаль в данной точке (рис.2.2).

Широта В может принимать значения 0В90и называются “северные и южные широты”;

Долгота Lможет принимать значения 0L180и называются “западные и восточные долготы”;

Азимут А может принимать значения 0А360.

Связь между двумя системами координат:

В = ;L=sec; А = а + (L)sin, (1.1)

где и– уклонения отвесной линии в плоскостях меридиана и первого вертикала.

Страница 2 из 50

1.2. Общие сведения о форме и размерах Земли

Физическая поверхность Земли имеет сложную форму, суша занимает 29%, моря и океаны – 71% всей поверхности. Чтобы изобразить земную поверхность на плане, надо знать фигуру Земли. Это позволит выбрать такой метод проектирования изображения земной поверхности, которая бы позволила спроектировать неправильную форму Земли в виде математической модели.

Прежде всего, дадим понятие «уровенной поверхности». Уровенная поверхность (рис.1.1) – поверхность, перпендикулярная в каждой точке к направлению силы тяжести (отвесной линии).

Уровенных поверхностей можно провести сколько угодно, т.к. Земля неоднородна и состоит из слоев, плотность которых различна. За фигуру Земли принимается уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью океанов и морей при спокойном состоянии водных масс и мысленно продолженная под материками. Такая уровенная поверхность называется геоидом .

Рис. 1.1. Понятие уровенной поверхности

1.3. Математические модели поверхности Земли, применяемые в геодезии

1. Если бы Земля была бы однородной, неподвижной и подвержена только действию внутренних сил тяготения, она имела бы форму шара (рис.1.2).

Рис. 1.3. Эллипсоид вращения

3. На самом деле, из-за неравномерного распределения масс внутри Земли, эллипсоидальная фигура Земли сдеформирована и имеет форму геоида (рис.1.4). Наибольшие отступления геоида от эллипсоида не превышают 100 – 150 м.

Т.о. специальными инструментами с физической поверхности Земли геодезические измерения проектируют на геоид, фигура которого не изучена. Фигуру геоида заменяют правильной математической фигурой, к которой можно применять математические законы. Размеры земного эллипсоида составляют:

большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b = 6356863 м,

полярное сжатие a = 1: 298,3.

Рис. 1.4. Геоид

4. Для того, чтобы земной эллипсоид ближе подходил к геоиду, его располагают в теле Земли, ориентируя определенным образом. Такой эллипсоид с определенными параметрами и определенным образом ориентированный в теле Земли, называется референц-эллипсоидом (рис.1.5).

Рис. 1.6. Квазигеоид

МОДЕЛЬ ЗЕМЛИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ - разработана под руководством Ф. Пресса в Массачусетском технологическом ин-те (США). Из изученных в этом ин-те методом Монте-Карло на 5 млн. М. З. м. З модели наиболее хорошо отвечают имеющимся фактическим материалам. По этим моделям имеет радиус на 18-22 км больше, чем принято теперь (6371 км); ее внешнее жидкое ядро сложено сплавом Fe и Si (содер. последнего 15-25%), а внутреннее твердое ядро - сплавом Fе и Ni (содер. его 20-50%), внутри ядра выше (13,3-13 г/см 3), чем принято считать (12 г/см 3). Начальные плотности в верхней чаете жидкого ядра - 9,4-10,0 г/см 3 . Для мантии характерна хим. . Переходная эта /между верхней и нижней мантией характеризуется большими изменениями плотности и скоростей сейсмических волн. Материал переходной зоны варьирует в разных ее частях от твердого до жидкого. Описанные М. З. м. свидетельствуют о значительных флюктуациях плотности в верхней мантии, о наличии вертикальных и горизонтальных неоднородностей, обусловливающих нестабильное состояние и развитие мощных динамических процессов (расширение океанического дна, сейсмичность, вариации теплового потока, движение полюсов Земли и др.).

Геологический словарь: в 2-х томах. - М.: Недра . Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др. . 1978 .

Смотреть что такое "МОДЕЛЬ ЗЕМЛИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Модель (значения). Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторите … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Модель (значения). Модель (в науке) это объект заместитель объекта оригинала, инструмент для познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает… … Википедия

Модель (франц. modèle, итал. modello, от лат. modulus мера, мерило, образец, норма), 1) образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного ли массового воспроизведения (М. автомобиля, М. одежды и т. п.), а также тип, марка какого либо… …

UAM Тип Геофизика Разработчик Мурманский государственный технический университет Операционная система Windows Сайт Модель верхней атмосферы Земли (англ. … Википедия

Приближённое описание какого либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. М. м. мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность… … Большая советская энциклопедия

Модели общей циркуляции это системы дифференциальных уравнений основанных на законах физики, гидродинамики и химии. Чтобы запустить модель учёные создают трёхмерную сетку покрывающую всю планету, применяют на ней основные уравнения и… … Википедия

I Модель (Model) Вальтер (24.1.1891, Гентин, Восточная Пруссия, 21.4.1945, близ Дуйсбурга), немецко фашистский генерал фельдмаршал (1944). В армии с 1909, участвовал в 1 й мировой войне 1914 18. С ноября 1940 командовал 3 й танковой… … Большая советская энциклопедия

Приближенное описание какого либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математич. символики. М. м. мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых… … Математическая энциклопедия

Модель описание объекта (предмета, процесса или явления) на каком либо формализованном языке, составленное с целью изучения его свойств. Такое описание особенно полезно в случаях, когда исследование самого объекта затруднено или физически… … Википедия

Часть пространства, в которую не проникают прямые солнечные лучи вследствие экранирования их телом Земли. Т. З. имеет форму, мало отличающуюся от круглого конуса с вершиной, удалённой от Земли в среднем на 1,4 млн. км (длина конуса… … Большая советская энциклопедия

Книги

• В. Н. Николаевский. Собрание трудов. Геомеханика. Том 1. Разрушение и дилатансия. Нефть и газ , В. Н. Николаевский. Два тома трудов содержат оригинальные научные публикации в ведущих отечественных журналах. Статьи дают единое изложение современного состояния соответствующих 20 разделов науки о Земле и…
• Собрание трудов. Геомеханика. Том 1. Разрушение и дилатансия. Нефть и газ , Николаевский В.Н.. Два тома трудов содержат оригинальные научные публикации в ведущих отечественных журналах. Статьи дают единое изложение современного состояния соответствующих 20 разделов науки о Земле и…

При построении математических моделей используют не материальные предметы, такие как дерево, пластмасса и т. п., а идеализированные, математические объекты: фигуры, параметры, произведение, равно, формула и т.п. Вообще часть плоскости может быть математической моделью многих реальных объектов. Так, древние евреи представляли Землю в виде равнины, поскольку жили в такой местности. И это представление правильно отражало действительность, конечно, приближённо и на малых площадях. Естественно, что в глубокой древности не могло быть достаточно правильных представлений о форме всей земной поверхности.

География многим обязана древним грекам – эллинам. Их представления о форме Земли описаны в поэмах Гомера «Одиссее» и «Илиаде», из которых следует, что они считали Землю слегка выпуклой поверхностью, т.е. говоря современным научным языком, моделировали её шаровым или сферическим сегментом большого радиуса, когда ещё и не имели правильных представлений о форме земли в целом. Однако уже последователи знаменитого греческого учёного Пифагора – математика и философа – пошли дальше: они считали, что Земля имеет форму шара и, пытались, конечно, приближённо, определить его диаметр. Первое измерение диаметра земного шара, послужившее основанием математической географии, произвёл Эратосфен – древнегреческий математик и астроном , .

Знания о форме Земли и её размерах уточнялись, особенно после того, когда в 17 веке был найден метод надёжного измерения больших расстояний на ней, получивший название «триангуляция» (от латинского слова «триангулюм» - треугольник). Этот способ характерен тем, что встречающиеся на пути препятствия- холмы, леса, болота и т. п., не мешают довольно точному измерению расстояний .

Конечно, Земля не может иметь форму шара, хотя бы потому, что она вращается вокруг своей оси. На это указывал ещё великий Ньютон: в результате вращения земной шар оказался раздутым у экватора, а у полюсов сплющенным и таким образом приобрёл форму мандарина. Однако у сторонников Ньютона были и оппоненты, которые утверждали, что Земля не сплюснута, как мандарин, а наоборот вытянута подобно лимону. Научный спор между сторонниками двух противоположных утверждений длился около 50 лет. С помощью достаточно точных измерений, основанных на методе триангуляции, было установлено, что Земля имеет форму мандарина, точнее является сфероидом. Размеры земного шара, полученные таким способом, следующие: длина экваториального диаметра составляет км, а длина полярного диаметра – км. Эти величины показывают, что экваториальный диаметр примерно на 43 км длиннее полярного. Если изобразить отклонение формы Земли от шара на глобусе с экваториальным диаметром точно 1 м, то его полярная ось должна быть короче всего на 3,4 мм! Действительно, если м – полярная ось глобуса, то , откуда и (м), т.е. на глобусе экваториальный диаметр отличается от полярной оси всего на 3,4 мм. Это настолько малая величина, что на глаз её невозможно обнаружить.

Таким образом, форма Земли очень мало отличается от шара! Однако можно подумать, что горные вершины должны сильно искажать форму Земли. Но и это не так. Даже высочайшая гора Земного шара – Эверест (Джомолунгма), высотой почти км, в масштабах указанного выше глобуса изобразится в виде прилипшей к нему песчинки диаметром около мм. Действительно, если обозначить через у м высоту изображения Эвереста на указанном глобусе, то , т.е. (м) или 0,7 мм. Итак, шар является математической моделью Земли, с хорошим приближением, отражающим её форму. Это обстоятельство даёт возможность использовать для различных расчетов закономерности сферической тригонометрии – математической дисциплины, изучающей зависимости между сторонами и углами сферических треугольников, образующихся при пересечении трех больших кругов сферы.

Конечно, на отдельных участках поверхности земли, моделируемых частями плоскости, с успехом могут применяться и законы обычной (плоской) тригонометрии.

В этой связи рассмотрим задачу о движении малого диаметра ядра, начальная скорость которого направлена под углом к поверхности Земли. Требуется установить траекторию движения центра ядра и определить расстояние на поверхности Земли от точки вылета до точки падения. Для решения этой задачи построим математическую модель, основанную на следующих допущениях (аксиомах):

1) на интересующем нас участке поверхность Земли заменяется горизонтальной плоскостью;

2) ускорение свободного падения постоянно;

3) сопротивлением воздуха при движении ядра пренебрегаем;

4) ядро считаем материальной точкой.

Теперь введём систему координат. Её начало совместим с центром покоящегося ядра, ось направим горизонтально в сторону движения центра ядра, ось – вертикально вверх. Тогда, как известно из физики, характер движения ядра описывается системой уравнений

представляющей математическую модель рассматриваемой задачи. Исходя из этой модели, легко получить ответы на поставленные вопросы. Заметим, что при

приходим к модели, рассмотренной в § 3.

Задача. Какой поперечник должен иметь глобус, чтобы на нём мог быть изображён Эверест высотой около 1 мм в масштабе глобуса? .

Обозначим диаметр глобуса через у м, тогда, для определения неизвестного получим уравнение: , т.е (м).

(Заметим, что ответ: «Примерно 4,5 м», приведённый на с. 93 указанной книги, неверный).

Итак, даже самая высокая гора Земли – Эверест (Джомолунгма), достигающая км в масштабах указанного выше глобуса с поперечником 1,4 м, изобразится в виде прилипшей к нему песчинки диаметром около 1 мм.

Общие сведения о форме и размерах Земли

Физическая поверхность Земли имеет сложную форму, суша занимает 29%, моря и океаны - 71% всей поверхности. Чтобы изобразить земную поверхность на плане, надо знать фигуру Земли. Это позволит выбрать такой метод проектирования изображения земной поверхности, которая бы позволила спроектировать неправильную форму Земли в виде математической модели.

Прежде всего, дадим понятие «уровенной поверхности». Уровенная поверхность (рис.1.1) - поверхность, перпендикулярная в каждой точке к направлению силы тяжести (отвесной линии).

Уровенных поверхностей можно провести сколько угодно, т.к. Земля неоднородна и состоит из слоев, плотность которых различна. За фигуру Земли принимается уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью океанов и морей при спокойном состоянии водных масс и мысленно продолженная под материками. Такая уровенная поверхность называется геоидом.

Рис. 1.1 Понятие уровенной поверхности

Математические модели поверхности Земли, применяемые в геодезии

2. Если бы Земля была бы однородной, неподвижной и подвержена только действию внутренних сил тяготения, она имела бы форму шара (рис.1.2).

Рис. 1.2. Шар

3. Под действием центробежной силы, вызванной вращением вокруг оси с постоянной скоростью, Земля приобрела форму сфероида или эллипсоида вращения (рис.1.3).

Рис. 1.3 Эллипсоид вращения

4. На самом деле, из-за неравномерного распределения масс внутри Земли, эллипсоидальная фигура Земли сдеформирована и имеет форму геоида (рис.1.4). Наибольшие отступления геоида от эллипсоида не превышают 100 - 150 м.

Т.о. специальными инструментами с физической поверхности Земли геодезические измерения проектируют на геоид, фигура которого не изучена. Фигуру геоида заменяют правильной математической фигурой, к которой можно применять математические законы. Размеры земного эллипсоида составляют:

большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b = 6356863 м,

полярное сжатие = 1: 298,3.

Рис. 1.4 Геоид

5. Для того, чтобы земной эллипсоид ближе подходил к геоиду, его располагают в теле Земли, ориентируя определенным образом. Такой эллипсоид с определенными параметрами и определенным образом ориентированный в теле Земли, называется референц-эллипсоидом (рис.1.5).

Рис. 1.5 Референц-эллипсоид

6. Геоид не может быть строго изучен из-за незнания распределения плотности масс внутри Земли. Было предложено вместо геоида принять фигуру квазигеоида (рис.1.6), которая может быть определена точно на основании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений на поверхности Земли без учета внутреннего строения и плотности масс внутри Земли. Поверхность квазигеоида отклоняется от поверхности геоида максимально 2 м в горных районах, на океанах и морях их поверхности совпадают.